曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册上海电机学院

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曲线积分与曲面积分复习

第8章曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。

平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。

3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。

下列四个命题等价（1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1）计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解（1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2）计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分)1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解:设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分）所求平面方程为 032=++z y x （6分） 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分）⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ （6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分每题7分)1．设vue z =，而22y x u +=,xy v =,求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分）2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yz x z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -=,xz F y -=,xy e F zz -= （5分）xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂．（7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解:添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d （5分）ππ=-⋅=022 （7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+，即xe xf x f =-')()( （3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=，（6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ （3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= （6分) 故该级数收敛．（7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分）0d 3-=⎰⎰⎰Ωv （6分）34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分)在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．（6分）六、（8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→nn a a R n n n n ,故收敛半径为1=R ．（2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法，级数收敛; 当1=x 时，级数为调和级数,发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分）再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分）七、（5分)设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ （2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分）由于上式右边可导,所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ,故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ．(5分）八．（5分）已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212, x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4。

高数期末复习题第十一章曲线积分与曲面积分

⾼数期末复习题第⼗⼀章曲线积分与曲⾯积分第⼗⼀章曲线积分与曲⾯积分试题⼀．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平⾯内有⼀分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为µ(x,y)，⽤第⼀类曲线积分表⽰这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2µ?11.1.2.2 设在xoy 平⾯内有⼀分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为µ(x,y)，⽤第⼀类曲线积分表⽰这曲线弧的质⼼坐标x =；y =。

x =??LLds y x ds y x x ),(),(µµ；y =??LLdsy x ds y x y ),(),(µµ 11.1.3.1在⼒),,(z y x F F =的作⽤下，物体沿曲线L 运动。

⽤曲线积分表⽰⼒对物体所做的功=W 。

d z y x L ),,(11.1.4.2 有向曲线L 的⽅程为≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上⼀阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，⼜),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平⾯内直线a x =上的⼀段，则曲线积分?Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平⾯内，从点(c,a )到点(c,b )的⼀线段，则曲线积分dy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

高等数学-曲面积分试题

Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）课堂练习题一、填空题1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z∂∂∂αβγ∂∂∂∑++⎰⎰Ò= 。

2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰Ò= 。

3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑⎰⎰Ò 。

4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。

5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y∂∂∂∂∂∂αβγ∂∂∂∂∂∑-+-+-∂⎰⎰Ò 。

二、选择题1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则式正确。

A ．12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰；B ．12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；D ．zdxdy ∑⎰⎰=0。

2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑⎰⎰等于。

A．200d rdr πθ⎰⎰； B．200d rdr πθ⎰⎰；C．20d rdr πθ⎰； D ．2π。

3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑⎰⎰等于。

曲线曲面积分期末复习题

曲线、曲面积分：一、选择题1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2L x y dx +⎰=（）。

A . 221a B . 0 C.a 2 D 1 （对坐标积分，将曲线代入）2．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（）A .(2,3)2(1,1)(3)(3)x y dx yx y dy ++-⎰２２ B .(2,3)22(1,1)(2)()xy x dx x y dy -++⎰ C.(2,3)2322(1,1)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰ D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰（提示；P Q y x ∂∂=∂∂时，与路径无关） 3．∑设：)0(2222≥=++z a z y x ，在第一卦限的部分为∑∑1，则有（）A ．⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS ； B.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS ；C.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS ；D.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS 。

（对称）４．设C 是圆周x y x 222=+，则⎰=C xds （）。

A 、0； B 、1； C 、π； D 、π2。

解：（对弧长的曲线积分，将曲线代入）Ｃ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，⎰=Cxds 20(1cos 2πθθπ+=⎰二、填空题１．C 为不包围原点的封闭曲线，积分=++⎰c y x ydy xdx 22２.曲线积分()22()()n L x y dx x y dyx y -+++⎰与路径无关，则n ＝＿＿＿＿＿，３．设L 是2214x y +=逆时针方向的封闭曲线，⎰=++L xydy dx y y 2)(2 ___________。

4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与(1,1)B 点之间的一段弧，则曲线积分=⎰_____ ___ 。

（Ｌ代入）５．已知C 为椭圆22221x y a b+=，反时针方向，则()()C x y dx x y dy +--=⎰ 。

(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

曲线积分与曲面积分重点总结+例题

第十章曲线积分与曲面积分[教学目标与要求]1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系.2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质,掌握计算第一类曲面积分的方法.[教学重点]1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式与其应用；3.第一类曲面积分的计算方法；[教学难点]1.两类曲线积分的关系与第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式与其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；[参考书][1]同济大学数学系.《高等数学〔下〕》,第五版.高等教育.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第六版.高等教育. [3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南〔下〕》,第六版.高等教育§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上,已知曲线形构件在点<x ,y >处的线密度为μ<x ,y >. 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段,∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n <∆s i 也表示弧长>; 任取<ξi ,ηi >∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值μ<ξi ,ηi >∆s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f <x ,y >定义在可求长度的曲线L 上,并且有界.,将L 任意分成n 个弧段:∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n ,并用∆s i 表示第i 段的弧长;在每一弧段∆s i 上任取一点<ξi ,ηi >,作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ;令λ=max{∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n },如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f <x ,y >在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作ds y x f L ),(⎰,即i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f <x ,y >叫做被积函数,L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f <x ,y >在光滑曲线弧L 上连续时,对弧长的曲线积分ds y x f L ),(⎰是存在的. 以后我们总假定f <x ,y >在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(⎰μ的值, 其中μ<x ,y >为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ∆==→Γ∑⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L <或Γ>是分段光滑的, 则规定函数在L <或Γ>上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1与L 2,则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+.闭曲线积分:如果L 是闭曲线,那么函数f <x ,y >在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(⎰.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21⎰⎰⎰+=;性质3设在L 上f <x ,y >≤g <x ,y >, 则⎰⎰≤L L ds y x g ds y x f ),(),(.特别地, 有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f <x ,y >, 则曲线形构件L 的质量为⎰L ds y x f ),(.另一方面,若曲线L 的参数方程为 x =ϕ<t >,y =ψ <t > <α≤t ≤β>,则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=,曲线的质量为⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()()]( ),([22.即⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22.定理设f <x ,y >在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为x =ϕ<t >,y =ψ<t > <α≤t ≤β>, 其中ϕ<t >、ψ<t >在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2<t >+ψ'2<t >≠0,则曲线积分ds y x f L ),(⎰存在,且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰<α<β>.应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:<1>若曲线L 的方程为y =ψ<x ><a ≤x ≤b >,则ds y x f L ),(⎰=?提示:L 的参数方程为x =x ,y =ψ<x ><a ≤x ≤b >,dx x x x f ds y x f baL ⎰⎰'+=)(1)](,[),(2ψψ.<2>若曲线L 的方程为x =ϕ<y ><c ≤y ≤d >,则ds y x f L ),(⎰=?提示:L 的参数方程为x =ϕ<y >,y =y <c ≤y ≤d >,dy y y y f ds y x f dcL ⎰⎰+'=1)(]),([),(2ϕϕ.<3>若曲Γ的方程为x =ϕ<t >,y =ψ<t >,z =ω<t ><α≤t ≤β>,则ds z y x f ),,(⎰Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ.例1计算ds y L⎰,其中L 是抛物线y =x 2上点O <0, 0>与点B <1, 1>之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 <0≤x ≤1>,因此⎰⎰'+=1222)(1dx x x ds y L ⎰+=10241dx x x )155(121-=.例2计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I <设线密度为μ=1>. 解取坐标系如图所示,则⎰=L ds y I 2.曲线L 的参数方程为x =R cos θ,y =R sin θ <-α≤θ<α>. 于是⎰=L ds y I 2⎰-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin⎰-=ααθθd R23sin =R 3<α-sin α cos α>.例3 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ,其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=<a cos t >2+<a sin t >2+<kt >2=a 2+k 2t 2,并且dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,于是ds z y x)(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: <1>建立曲线积分;<2>写出曲线的参数方程< 或直角坐标方程> ,确定参数的变化范围; <3>将曲线积分化为定积分;<4>计算定积分.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤,要结合实例,反复讲解.师生活动设计1.已知椭圆134:22=+y x L 周长为a,求⎰++Lds y x xy )432(22. 2.设C 是由极坐标系下曲线0,==θa r 与4πθ=所围成区域的边界,求ds eI Cy x ⎰+=22讲课提纲、板书设计作业 P 190: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕§11. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy 面内在变力F <x ,y >=P <x ,y >i +Q <x ,y >j 的作用下从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,试求变力F <x ,y >所作的功.用曲线L 上的点A =A 0,A 1,A 2,⋅⋅⋅,A n -1,A n =B 把L 分成n 个小弧段, 设A k =<x k ,y k >,有向线段→+1k k A A 的长度为∆s k ,它与x 轴的夹角为τk ,则 k k k k k s A A ∆=→+}sin ,{cos 1ττ<k =0, 1, 2,⋅⋅⋅,n -1>.显然,变力F <x ,y >沿有向小弧段1 +k k A A所作的功可以近似为k k k k k k k k k k k s y x Q y x P A A y x ∆+=⋅→+]sin ),(cos ),([),(1ττF ;于是,变力F <x ,y >所作的功→+-=⋅=∑111),(k k k k n k A A y x W F ∑-=∆+≈11]sin ),(cos ),([n k k k k k k k k s y x Q y x P ττ,从而⎰+=L ds y x Q y x P W ]sin ),(cos ),([ττ.这里τ=τ<x ,y >, {cos τ, sin τ}是曲线L 在点<x ,y >处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L 分成n 个小弧段:L 1, L 2,⋅⋅⋅, L n ;变力在L i 上所作的功近似为:F <ξi ,ηi >⋅∆s i =P <ξi ,ηi >∆x i +Q <ξi ,ηi >∆y i ; 变力在L 上所作的功近似为:]),(),([1i i i ni i i i y Q x P ∆+∆∑=ηξηξ;变力在L 上所作的功的精确值:]),(),([lim 1i i i ni i i i y Q x P W ∆+∆=∑=→ηξηξλ,其中λ是各小弧段长度的最大值. 提示:用∆s i ={∆x i ,∆y i }表示从L i 的起点到其终点的的向量.用∆s i 表示∆s i 的模. 对坐标的曲线积分的定义:定义设函数f <x ,y >在有向光滑曲线L 上有界.把L 分成n 个有向小弧段L 1, L 2,⋅⋅⋅, L n ;小弧段L i 的起点为<x i -1,y i -1>,终点为<x i ,y i >,∆x i =x i -x i -1,∆y i =y i -y i -1; <ξi ,η>为L i 上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值. 如果极限∑=→∆ni i i i x f 1),(limηξλ总存在,则称此极限为函数f <x ,y >在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分,记作⎰L dx y x f ),(,即∑⎰=→∆=ni i i i L x f dx y x f 1),(lim ),(ηξλ, 设L 为xOy 面上一条光滑有向曲线, {cos τ, sin τ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P <x ,y >、Q <x ,y >在L 上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义⎰⎰=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(, ⎰⎰=L L ds y x Q dy y x Q τsin ),(),(,前者称为函数P <x ,y >在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分,后者称为函数Q <x ,y >在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分. 定义的推广:设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cos α, cos β, cos γ}是曲线在点<x ,y ,z >处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P <x ,y ,z >、Q <x ,y ,z >、R <x ,y ,z >在Γ上有定义.我们定义<假如各式右端的积分存在>ds z y x P dx z y x P αcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=, ds z y x Q dy z y x Q βcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=, ds z y x R dz z y x R γcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=.∑⎰=→∆=ni i i i i L x f dx z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ,∑⎰=→∆=ni i i i i L y f dy z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ, ∑⎰=→∆=n i i i i i L z f dz z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ. 对坐标的曲线积分的简写形式:dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+⎰⎰⎰;dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++=⎰Γ.对坐标的曲线积分的性质:<1> 如果把L 分成L 1和L 2,则⎰⎰⎰+++=+21L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .<2> 设L 是有向曲线弧,-L 是与L 方向相反的有向曲线弧,则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.两类曲线积分之间的关系:设{cos τi , sin τi }为与∆s i 同向的单位向量,我们注意到{∆x i ,∆y i }=∆s i , 所以 ∆x i =cos τi ⋅∆s i ,∆y i =sin τi ⋅∆s i ,⎰∑=∆==→Lni i i i i ds y x f s f ττηξλcos ),(cos ),(lim 10,⎰∑=∆==→Lni i i i i ds y x f s f ττηξλsin ),(sin ),(lim 1.即⎰⎰+=+L L ds Q P Qdy Pdx ]sin cos [ττ, 或⎰⎰⋅=⋅LLds d t A r A .其中A ={P ,Q },t ={cos τ, sin τ}为有向曲线弧L 上点<x ,y >处单位切向量,d r =t ds ={dx ,dy }. 类似地有⎰⎰ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx ]cos cos cos [γβα,或⎰⎰⎰ΓΓΓ=⋅=⋅ds A ds d t t A r A .其中A ={P ,Q ,R },T ={cos α, cos β, cos γ}为有向曲线弧Γ上点<x ,y ,z >处单们切向量,d r =T ds ={dx ,dy ,dz },A t 为向量A 在向量t 上的投影. 二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P <x ,y >、Q <x ,y >是定义在光滑有向曲线L :x =ϕ<t >,y =ψ<t >,上的连续函数,当参数t 单调地由α变到β时,点M <x ,y >从L 的起点A 沿L 运动到终点B ,则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(,⎰⎰'=βαψψϕdt t t t Q dy y x Q L)()](),([),(.讨论:⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=？提示:⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)}()](),([)()](),([{),(),(.定理: 若P <x ,y >是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ<t >,y =ψ<t ><α≤t ≤β>上的连续函数,L 的方向与t 的增加方向一致,则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(.简要证明: 不妨设α≤β.对应于t 点与曲线L 的方向一致的切向量为{ϕ'<t >,ψ'<t >}, 所以)()()(cos 22t t t ψϕϕτ'+''=,从而⎰⎰=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(⎰'=βαϕψϕdt t t t P )()](),([.应注意的问题:下限a 对应于L 的起点,上限β对应于L 的终点,α不一定小于β. 讨论:若空间曲线Γ由参数方程x =ϕt >,y =ψ <t >,z =ω<t >给出,那么曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=？如何计算？提示:⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰'=βαϕωψϕ )()](),(),([{t t t t P dt t t t t R t t t t Q )}()](),(),([)()](),(),([ωωψϕψωψϕ'+'+,其中α对应于Γ的起点,β对应于Γ的终点. 例题: 例1.计算⎰L xydx ,其中L 为抛物线y 2=x 上从点A <1,-1>到点B <1, 1>的一段弧.例2.计算⎰L dx y 2.<1>L 为按逆时针方向绕行的上半圆周x 2+y 2=a 2; <2>从点A <a , 0>沿x 轴到点B <-a , 0>的直线段. 例3 计算⎰+L dy x xydx 22. <1>抛物线y =x 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧; <2>抛物线x =y 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧; <3>从O <0, 0>到A <1, 0>, 再到R <1, 1>的有向折线OAB . 例4.计算ydz x dy zy dx x 2233-+⎰Γ,其中Γ是从点A <3, 2, 1>到点B <0, 0, 0>的直线段AB .例5.设一个质点在M <x ,y >处受到力F 的作用,F 的大小与M 到原点O 的距离成正比,F 的方向恒指向原点.此质点由点A <a , 0>沿椭圆12222=+by a x 按逆时针方向移动到点B <0,b >,求力F所作的功W .小结1.第二类曲线积分的定义；2. 第二类曲线积分的计算方法.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法,要结合实例,反复讲解.师生活动设计1. 已知Γ为折线ABCOA,计算⎰Γ+-=ydz dy dx I讲课提纲、板书设计作业 P200: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕,4§11.3 格林公式与其应用一、格林公式单连通与复连通区域:设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ,则称D 为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域D 的边界曲线L 的方向:定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在D 上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(,其中L 是D 的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D 即是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明.设D ={<x ,y >|ϕ1<x >≤y ≤ϕ2<x >,a ≤x ≤b }.因为yP ∂∂连续,所以由二重积分的计算法有dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b ax x b a D)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质与计算法有dx x x P x x P ba)]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰.因此⎰⎰⎰=∂∂-L DPdx dxdy yP .设D ={<x ,y >|ψ1<y >≤x ≤ψ2<y >,c ≤y ≤d }.类似地可证⎰⎰⎰=∂∂L DQdx dxdy x Q.由于D 即是X －型的又是Y －型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q .应注意的问题:对复连通区域D ,格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D 来说都是正向.设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y ,Q =x ,则由格林公式得⎰⎰⎰-=L Dydx xdy dxdy 2, 或⎰⎰⎰-==LDydx xdy dxdy A 21.例1.椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成图形的面积A . 分析:只要1=∂∂-∂∂y P x Q , 就有A dxdy dxdy yP x QDD==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)(. 例2设L 是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰=+L dy x xydx 022.例3.计算⎰⎰-Dy dxdy e 2,其中D 是以O <0, 0>,A <1, 1>,B <0, 1>为顶点的三角形闭区域.分析:要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂,只需P =0,2y xe Q -=. 例4计算⎰+-L y x ydxxdy 22,其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.解: 令22y x y P +-=,22y x x Q +=.则当x 2+y 2≠0时,有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 记L 所围成的闭区域为D .当<0, 0>∉D 时,由格林公式得022=+-⎰L y x ydxxdy ;当<0, 0>∈D 时, 在D 内取一圆周l :x 2+y 2=r 2<r >0>.由L 与l 围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydx xdy y x ydx xdy ,其中l 的方向取逆时针方向.于是⎰⎰+-=+-l L y x ydxxdy y x ydx xdy 2222⎰+=πθθθ2022222sin cos d r r r =2π.记L 所围成的闭区域为D . 当<0, 0>∉D 时,由格林公式得0)(22=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰dxdy y Px Q y x ydx xdy DL . 分析:这里22y x y P +-=,22y x x Q +=, 当x 2+y 2≠0时,有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关:设G 是一个开区域,P <x ,y >、Q <x ,y >在区域G 内具有一阶连续偏导数.如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以与G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2,等式恒成立,就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,L1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线,则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx⇔021=+++⎰⎰-LL Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)(21=+⎰-+L L Qdy Pdx ,所以有以下结论: 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分⎰+L Qdy Pdx 等于零.定理2 设开区域G 是一个单连通域,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关〔或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零〕的充分必要条件是等式在G 内恒成立. 充分性易证:若x Q y P ∂∂=∂∂,则0=∂∂-∂∂yP x Q ,由格林公式,对任意闭曲线L ,有⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+D L dxdy y P x Q Qdy Pdx 0. 必要性:假设存在一点M 0∈G ,使0≠=∂∂-∂∂ηy P x Q ,不妨设η>0,则由yP x Q ∂∂-∂∂的连续性,存在M 0的一个δ邻域U <M 0, δ>,使在此邻域内有2η≥∂∂-∂∂y P x Q . 于是沿邻域U <M 0, δ>边界l 的闭曲线积分02)(2),(0>⋅≥∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰πδηδM U ldxdy y P x Q Qdy Pdx , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G 内0=∂∂-∂∂yPx Q . 应注意的问题:定理要求,区域G 是单连通区域,且函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P 、Q 与y P ∂∂、xQ ∂∂连续性的点称为奇点. 例5计算⎰+Ldy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧.解:因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内,积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.1112==⎰dy .讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向, 问022=+-⎰L y x ydxxdy 是否一定成立？提示:这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点<0, 0>不连续.因为当x 2+y 2≠0时,yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以如果<0, 0>不在L 所围成的区域内,则结论成立,而当<0,0>在L 所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点<x 0,y 0>与终点<x ,y >有关. 如果⎰+L Qdy Pdx 与路径无关,则把它记为⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx即⎰⎰+=+),(),(0y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .若起点<x 0,y 0>为G 内的一定点,终点<x ,y >为G 内的动点,则 u <x ,y >⎰+=),(),(0y x y x Qdy Pdx为G 内的的函数.二元函数u <x ,y >的全微分为du <x ,y >=u x <x ,y >dx +u y <x ,y >dy .表达式P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是某个二元函数u <x ,y >的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3 设开区域G 是一个单连通域,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数,则P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 在G 内为某一函数u <x ,y >的全微分的充分必要条件是等式在G 内恒成立. 简要证明:必要性:假设存在某一函数u <x ,y >,使得du =P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy ,则有y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(,x y u y u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(.因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、xQ x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,即x Q y P ∂∂=∂∂.充分性:因为在G 内xQ y P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关.在G内从点<x 0,y 0>到点<x ,y >的曲线积分可表示为u <x ,y >⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P .因为 u <x ,y >⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P⎰⎰+=xx yy dx y x P dy y x Q 0),(),(0,所以 ),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰.类似地有),(y x Q yu =∂∂,从而du =P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy .即P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是某一函数的全微分. 求原函数的公式:⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,⎰⎰+=y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0, ⎰⎰+=xx yy dx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0.例6 验证:22y x ydxxdy +-在右半平面<x >0>内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解: 这里22y x y P +-=,22y x x Q +=.因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以在右半平面内,22y x ydxxdy +-是某个函数的全微分.取积分路线为从A <1,0>到B <x ,0>再到C <x ,y >的折线, 则所求函数为⎰+-=),()0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ⎰++=y y x xdy 0220x yarctan =. 问:为什么<x 0,y 0>不取<0, 0>?例7验证:在整个xOy 面内,xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解这里P =xy 2,Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内,xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O <0,0>到A <x ,0>再到B <x ,y >的折线, 则所求函数为⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 2022022y x ydy xydy x yy==+=⎰⎰. 思考与练习:1.在单连通区域G 内,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏导数,且恒有yP x Q ∂∂=∂∂,那么 <1>在G 内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? <2>在G 内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?<3> 在G 内P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是否是某一函数u <x ,y >的全微分? 2.在区域G 内除M 0点外,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏导数,且恒有yP x Q ∂∂=∂∂,G 1是G 内不含M 0的单连通区域,那么 <1>在G 1内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? <2>在G 1内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?<3> 在G 1内P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是否是某一函数u <x ,y >的全微分? 3. 在单连通区域G 内,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏导数,x Q y P ∂∂≠∂∂,但yP x Q ∂∂-∂∂非常简单,那么<1>如何计算G 内的闭曲线积分? <2>如何计算G 内的非闭曲线积分? <3>计算dy y e dx y y e x x L)2cos ()2sin (-+-⎰,其中L 为逆时针方向的上半圆周<x -a >2+y 2=a 2,y ≥0,小结1.格林公式2. 格林公式中的等价条件.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件,要结合实例,反复讲解.师生活动设计讲课提纲、板书设计作业 P214: 2 <1>; 3 ; 4 <3> ;5 <1> , <4> ;6 <2> , <5>§11.4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题:设∑为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为ρ<x ,y ,z >,求其质量:把曲面分成n 个小块:∆S 1,∆S 2 ,⋅⋅⋅,∆S n <∆S i 也代表曲面的面积>;求质量的近似值:ii i i ni S ∆=∑),,(1ζηξρ<<ξi ,ηi ,ζi >是∆S i 上任意一点>;取极限求精确值:i i i i ni S M ∆==→∑),,(lim 10ζηξρλ<λ为各小块曲面直径的最大值>.定义设曲面∑是光滑的,函数f <x ,y ,z >在∑上有界.把∑任意分成n 小块:∆S 1,∆S 2 ,⋅⋅⋅,∆S n <∆S i 也代表曲面的面积>, 在∆S i 上任取一点<ξi ,ηi ,ζi >, 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 极限i i i i ni S f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ总存在, 则称此极限为函数f <x ,y ,z >在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作⎰⎰∑dS z y x f ),,(,即i i i i ni S f dS z y x f ∆==→∑∑⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 其中f <x ,y ,z >叫做被积函数,∑叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性:⎰+L y Q x P d d yx y P x Q D d d ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=我们指出当f <x ,y ,z >在光滑曲面∑上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定f <x ,y ,z >在∑上连续.根据上述定义面密度为连续函数ρ<x ,y ,z >的光滑曲面∑的质量M 可表示为ρ<x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分:如果∑是分片光滑的我们规定函数在∑上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设∑可分成两片光滑曲面∑1与∑2<记作∑=∑1+∑2>就规定⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f .对面积的曲面积分的性质: <1>设c 1、c 2为常数, 则dS z y x g c dS z y x f c dS z y x g c z y x f c ),,(),,()],,(),,([2121∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+;<2>若曲面∑可分成两片光滑曲面∑1与∑2, 则dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=;<3>设在曲面∑上f <x ,y ,z >≤g <x ,y ,z >, 则dS z y x g dS z y x f ),,(),,(∑∑⎰⎰⎰⎰≤;<4>A dS =∑⎰⎰, 其中A 为曲面∑的面积.二、对面积的曲面积分的计算面密度为f <x ,y ,z >的物质曲面的质量为⎰⎰∑=→=∆=∑dS z y x f S f M i i i i ni ),,(),,(lim 10ζηξλ.另一方面,如果∑由方程z =z <x ,y >给出,∑在xOy 面上的投影区域为D , 那么曲面的面积元素为dxdy y x z y x z dA y x ),(),(122++=,质量元素为dxdy y x z y x z y x z y x f dA y x z y x f y x ),(),(1)],(,,[)],(,,[22++=.根据元素法, 曲面的质量为⎰⎰++=Dy x dxdy y x z y x z y x z y x f M ),(),(1)],(,,[22.因此⎰⎰⎰⎰++=∑Dy x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(22. 化曲面积分为二重积分:设曲面∑由方程z =z <x ,y >给出,∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,函数z =z <x ,y >在D xy 上具有连续偏导数,被积函数f <x ,y ,z >在∑上连续, 则⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(22.如果积分曲面∑的方程为y =y <z ,x >,D zx 为∑在zOx 面上的投影区域, 则函数f <x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分为⎰⎰⎰⎰++=∑zxD x z dzdx x z y x z y z x z y x f dS z y x f ),(),(1]),,(,[),,(22.如果积分曲面∑的方程为x =x <y ,z >,D yz 为∑在yOz 面上的投影区域,则函数f <x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分为dydz z y x z y x z y z y x f dS z y x f z y D yz),(),(1],),,([),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑.例1计算曲面积分⎰⎰∑dS z 1,其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z =h <0<h <a >截出的顶部.解∑的方程为222y x a z --=,D xy :x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 222yx a x z x ---=,222y x a y z y ---=, dxdy yx a a dxdy z z dS y x 222221--=++=,所以⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdy y x a adS z 2221⎰⎰--=πθ202222h a r a rdr d a 22022)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.提示:222222222222211yx a a y x a y y x a x z z yx --=--+--+=++. 例2 计算⎰⎰∑xyzdS ,其中∑是由平面x =0,y =0,z =0与x +y +z =1所围成的四面体的整个边界曲面.解整个边界曲面∑在平面x =0、y =0、z =0与x +y +z =1上的部分依次记为∑1、∑2、∑3与∑4,于是⎰⎰---=110)1(3xdy y x y xdx ⎰-⋅=1036)1(3dx x x 1203=.提示:∑4:z =1-x -y ,dxdy dxdy z z dS y x 3122='+'+=.小结1. 对面积的曲面积分的定义和计算2. 格林公式中的等价条件.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧. ,要结合实例,反复讲解.师生活动设计课后习题：1,3,7讲课提纲、板书设计作业 P218: 4<3>; 5<2>;6<1>, <3>, <4>;8。

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第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = BA ．1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1()2x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CＡ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA ．2π-B 。

2πC 。

0 D. π ４。

∑为ＹOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DＡ。

０ B ． π C ． 14π Ｄ． 12π 5。

设222:C x y a +=，则22()Cxy ds +=⎰ CA.22a πB. 2a π C 。

32a π Ｄ． 34a π ６。

设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑［ B ］Ａ.4π B ．2π C.π D.12π７。

设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分⎰=Lyds ［Ｃ］A 。

21B ． 21- C. 22 Ｄ。

22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧,则Ｉ=［D ]A 。

655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。

12155- 9．如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ．⎰-l ydy xdx 21; B 。

⎰-l xdx ydy 21;C.⎰-l xdy ydx 21; Ｄ. ⎰-lydx xdy 21。

１０．设2222:(0)S x y z R z ++=≥,1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA ．14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C 。

14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1。

设L 是以（0， 0), （1， 0）, （1，１), （0，１）为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分⎰=+-Ly dy x eydx )(2—22．S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π５．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰＝32π６．设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设Ｃ是以O （０，０)，A （1，0),B(0,１)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds)y x (1+8. 设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 83π.9. 光滑曲面z ＝f （x ，ｙ）在xo ｙ平面上的投影区域为D ，则曲面ｚ＝f(x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 １0．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ .12、设L 为222x y a +=的正向,则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π.三、计算题 1。

L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线yx =及ｘ轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01yx =≤≤.则原式=OA⎰＋AB⎰+OB⎰=0+40ed πθ⎰+1x e dx ⎰=2(1)4e e π-+＃2．[ln(Ly xy x dy +++,其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界.解：利用格林公式,P =[ln(Q y xy x =+,则P y∂=∂，2Q y x ∂=+∂ 故原式=()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3.22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。

解:L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。

故原式=22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - # 4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积.解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。

故所求面积＝D =D20d πθ==⎰⎰＃５、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰,其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。

解:添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D,利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂,cos x Qe y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰=22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰=20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰=22m a π ＃６．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。

解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩,t 从2π变化到0。

于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰=43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LABy z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。

解:记1∑为该表面在XOY 平面内的部分,2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在X ＯZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。

1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向,我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰=1(1)z dxdy ∑+⎰⎰=010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理,21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰，由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰，故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8.计算曲面积分:()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧.解:利用高斯公式,所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I ＝⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为ｘ+y+z=1，ｘ＝０, ｙ=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x ＋y ＋ｚ＝１, x=0， y ＝0， z ＝0所围的立体由Gass 公式得:Ｉ＝⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)(＝81＃１0。

计算I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点Ａ（3, 2, 1）到点B （0， 0, 0）的直线段AB 解：直线段ＡB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得: x=3t ， y=２t ， z=ｔ， t 从1变到0，所以：I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233=03221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰=48787013-=⎰dt t ＃ 1１. 计算曲线积分I ＝⎰⋂-+-AMOxx dy y e dx y y e ,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a ，０)至点Ｏ(0， 0) 的上半圆周ax y x =+22解:在ｘ轴上连接点O （0， 0), A （a, 0）将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMO Ａ在线段OA 上， ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由G ｒee ｎ公式得：⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12．计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是ｚ=2)(22y x +与z ＝322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L 写成参数方程：x=c ｏｓt, y ＝sint ， z=２ t ： 0π2→于是： dz y dy x dx z L333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则:2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z ＝1在第一卦限部分,计算曲面Ｓ的面积Ｉ解：S 在ｘo ｙ平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyＩ=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3=⎰⎰-10103xdy dx =23)1(31=-⎰dx x ＃１4。