北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 最新课件
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高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第三章 §4 4.2 换底公式 (共22张PPT)
∴log182＝1－a.∵18b＝5，∴log185＝b， log1845 log189＋log185 a＋b ∴log3645＝ ＝ ＝ . log1836 1＋log182 2－a
换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算，要 注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底 公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以 10或e为底的常用对数或自然对数．
4．2
换底公式
预习课本 P83～85，思考并完成以下问题
1．换底公式的内容是什么？
2．如何证明换底公式？
[新知初探]
对数换底公式： logbN＝
logaN (a，b＞0，a，b≠1，N＞0)． logab
[ 点睛 ]
换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为
同底的对数，再运用运算性质进行运算．
[小试身手]
对数的实际应用
[典例] 光线璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块 玻璃板以后的强度值为y. (1)试写出y关于x的函数关系式； 1 (2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的 以 2 下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] lg 27 lg 32 (1)log1627log8132＝ × lg 16 lg 81
lg 33 lg 25 3lg 3 5lg 2 15 ＝ × ＝ × ＝ . lg 24 lg 34 4lg 2 4lg 3 16
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
[活学活用] 求下列对数的值：
1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg 1. 9 求下列对数的值： 1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg 1. 9
高中数学北师大版必修一《第三章4.2对数学的换底公式》课件
k
lg l6g43lglg481lg k 0
3x 4y
4
y
6z
(
4 lg 4
6 lg 6
)
lg
k
lg
36 lg 64 lg 2lg 6
lg
k
0
4y 6z
3x 4y 6z
11
例5 已知 logax= logac+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接
利用对数定义求解；另外，由于等
式右端为两实数和的情势，b的存
_____2________
5
（二）、新课：
1.对数换底公式： log a
N
log m N log m a
( a > 0 ,a = 1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)
证明: 设 logaN=x ,则 ax= N，两边取以m为底的对数：
logm ax logm N x logm a logm N
1 2
)lg0.7
15
4.2 谢谢大家
北师大版 高中数学
16
4.2 对数的换底 公式
北师大版 高中数学
• (一)复习
• 积、商、幂的对数运算法则： • 如果 a > 0，a = 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
2
• 练习：
1.已知lg2=a , lg3=b , 请用a ,b 表示 lg12 . 2.计算lg ( 103－102)的结果( )。 A. 1 B. C. 90 D.2＋lg9
3.4.2换底公式ppt课件高中数学必修一北师大版
外在事物成功的关键，专注在目标上，全
神贯注，你才会所向披靡。
( 1)
lg 3 lg 5
15
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
lg 9 ?
=
3 2
;
(2)
lo g 8 9 ? lo g 2 7 3 2
lg 3 2
lg 8 lg 2 7
2 lg 3 5 lg 2 10 = g = ; 3 lg 2 3 lg 3 9
提升总结:
换底公式的应用：
1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利
用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计 算器或对数表得到结果。
x = lo g 0 .8 4 0 .5 = ln 0 .5 ln 0 .8 4 ? 3 .9 8
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一 半.
1. 求值
(1) lo g 2 2 5 鬃 lo g 3 4 lo g 5 9 = _ _ _8 ____
5
( 2 ) ( lo g 4 3 + lo g 8 3 ) ( lo g 3 2 + lo g 9 2 ) = _ 4 __
所以 x lg 1 5 lg 2
2 =15
x
lg 2
x
lg 1 5
探究二:
假设
lg 1 5 lg 2
x ,则 lg 1 5 x lg 2 lg 2 x
神贯注，你才会所向披靡。
( 1)
lg 3 lg 5
15
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
lg 9 ?
=
3 2
;
(2)
lo g 8 9 ? lo g 2 7 3 2
lg 3 2
lg 8 lg 2 7
2 lg 3 5 lg 2 10 = g = ; 3 lg 2 3 lg 3 9
提升总结:
换底公式的应用：
1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利
用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计 算器或对数表得到结果。
x = lo g 0 .8 4 0 .5 = ln 0 .5 ln 0 .8 4 ? 3 .9 8
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一 半.
1. 求值
(1) lo g 2 2 5 鬃 lo g 3 4 lo g 5 9 = _ _ _8 ____
5
( 2 ) ( lo g 4 3 + lo g 8 3 ) ( lo g 3 2 + lo g 9 2 ) = _ 4 __
所以 x lg 1 5 lg 2
2 =15
x
lg 2
x
lg 1 5
探究二:
假设
lg 1 5 lg 2
x ,则 lg 1 5 x lg 2 lg 2 x
高中数学 3.4.2换底公式课件 北师大版必修1
log363 1y＝log1436＝log13636＝log364，
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
分析(2)：换成常用对数
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ．
例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
两边同取常用对数得： b1log3=lg5，b2lg2=lg5．
在等式(*)中，从左到右，对数的底数变了，原对 数等于原真数的以10为底的对数除以原底数以10 为底数的对数所得的商，
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较下列两组值的大小：
生：第1题是“底”同“真”不同的两个对数值，可利 用对数函数
北师大版数学必修1《3.4.2换底公式》课件
新 课 学 习
log a N 对数换底公式 logb N a, b 0, a, b 1, N 0 . log a b
证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 两边取以a为底的对数,得 logaN=logabx. 而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab. 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
必修1第三章第4节
4.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log23. 解:设log23=x,则2x=3,两边取常用对数得:
xlg2=lg3
x=lg3/lg2=0.47710.3010=1.5850
即：log23=所求. 由上述计算你可得出什么结论？
必修1第三章第4节
必修1第三章第4节
小 结 反 思
loga N a, b 0, a, b 1, N 0. 对数换底公式 logb N loga b
logb a loga b 1
常用结论
logb a logb c logc a 1
n log a m b log a b m
n
loga N x . loga b loga N . 因为x=logbN,所以 logb N loga b
必修1第三章第4节
推论 log log a log log b ? 1 (a,b>0,且a,b≠1) bba aab
lg a lg b log b a log a b lg b lg a
ln 0.5 x log 0.84 0.5 3.98 ln 0.84
即约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.
必修1第三章第4节
随 堂 练 习
1.计算:
北师大版高中数学必修一课件3.4第2课时对数的运算性质和换底公式(导学式)
大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级
M.其计算公式为.
其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
典例精讲：题型三：运用对数知识解决实际问题
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地 震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震 级（精确到0.1）； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅 是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算： (1);(2)； (3)(4)
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同，则直接利用对数运 算性质求解，若底数不同，则借助对数运算性质和换底公式，化式子 为同底的形式，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为2,3,5等 ).
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
③logab＝
⑥logab· logbc· logca=1
再见
=lg=lg
lg10.
课堂练习
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(
A．a－2B．5a－2
)
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
答案： A
归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式： 则：
(4)
(c>0,且c≠1;b>0)
归纳小结
2.对数运算时几个常见恒等式： ①lg2+lg5=1； ④b＝ ②bnlogab； ⑤logab· logba=1
由对数定义得到：logaM=m，logamn，
∴logalogaM.
M.其计算公式为.
其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
典例精讲：题型三：运用对数知识解决实际问题
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地 震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震 级（精确到0.1）； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅 是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算： (1);(2)； (3)(4)
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同，则直接利用对数运 算性质求解，若底数不同，则借助对数运算性质和换底公式，化式子 为同底的形式，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为2,3,5等 ).
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
③logab＝
⑥logab· logbc· logca=1
再见
=lg=lg
lg10.
课堂练习
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(
A．a－2B．5a－2
)
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
答案： A
归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式： 则：
(4)
(c>0,且c≠1;b>0)
归纳小结
2.对数运算时几个常见恒等式： ①lg2+lg5=1； ④b＝ ②bnlogab； ⑤logab· logba=1
由对数定义得到：logaM=m，logamn，
∴logalogaM.
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
-7-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
-5-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
-6-
4.2 换底公式
4.2
换底公式
-1-
4.2 换底公式
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
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1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
logc N logc a p
转换为以10或e为底 的对数，经过查表就
logc N p logc a
n lg N m lg a
n lg N m lg a
n m
loga N
即证得
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
证明:由换底公式
log a
b • logb
a
lg lg
b a
•
lg a lg b
1
即
log a
b
1 log b
a
推论:
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
logc N logc a p
转换为以10或e为底 的对数，经过查表就
logc N p logc a
n lg N m lg a
n lg N m lg a
n m
loga N
即证得
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
证明:由换底公式
log a
b • logb
a
lg lg
b a
•
lg a lg b
1
即
log a
b
1 log b
a
推论:
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8