数学北师大版必修1课时分层作业17 换底公式
北师大版高中数学必修1换底公式课件
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示
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重要公式:
loga b
1 logb
a
（a,b 0,a,b ≠ 1）
证明:由换底公式
loga
N
logc logc
N a
取以b为底的对数得：
loga
ab 3 ab b 1
练习：1. 已知 lg 2 a，lg3 b，
试用a,b表示lg 45.
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2.已知 log3 12 a ，求 log3 24 的值.
3.
设3a 5b m 求m 的值.
，已知 1 1 2 ,
ab
(1). log2 16 log2 4
(2). log2 9 log2 3
(3). lg 8 lg 2
log4 16 log3 9 log2 8
你有何发现？
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㏒215=x
2x=15
两边取对数，得
Xlg2=lg15即x=
㏒215=x =
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作业:P86 第3题 P88 B组 第4题
北师大版高中数学必修1换底公式课件
பைடு நூலகம்
b
logb logb
b a
logb b 1,
loga
b
1 logb
a
还可以变形,得
loga b • logb a 1
2017-2018学年北师大版高中数学必修一课件：3.4.3换底公式 (共17张PPT)
loga N log b N (a,b 0,a,b 1, N 0) loga b
换底公式不难记， 一数等于两数比。
相对位置不改变，
新的底数可随意。 （非1正数）
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X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
互为倒数
1 log a n N log a N n
log N M
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ANGTANGJIAg4 A.log34= B.log34= ln3 lg3 log1 4 1 C.log34= D.log34= log4 3 log1 3
)
解析:结合换底公式的特征,可知选项D不正确.因为底数必须满 足大于0且不等于1. 答案:D
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变式训练1 算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 解 :原式= + + + + lg2 lg4 lg8 lg5 lg25 lg125 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 = + + + + lg2 2lg2 3lg2 lg5 2lg5 3lg5 13lg5 lg2 = 3× =13. 3lg2 lg5
答案:1
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3.4.2换底公式ppt课件高中数学必修一北师大版
神贯注，你才会所向披靡。
( 1)
lg 3 lg 5
15
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
lg 9 ?
=
3 2
;
(2)
lo g 8 9 ? lo g 2 7 3 2
lg 3 2
lg 8 lg 2 7
2 lg 3 5 lg 2 10 = g = ; 3 lg 2 3 lg 3 9
提升总结:
换底公式的应用：
1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利
用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计 算器或对数表得到结果。
x = lo g 0 .8 4 0 .5 = ln 0 .5 ln 0 .8 4 ? 3 .9 8
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一 半.
1. 求值
(1) lo g 2 2 5 鬃 lo g 3 4 lo g 5 9 = _ _ _8 ____
5
( 2 ) ( lo g 4 3 + lo g 8 3 ) ( lo g 3 2 + lo g 9 2 ) = _ 4 __
所以 x lg 1 5 lg 2
2 =15
x
lg 2
x
lg 1 5
探究二:
假设
lg 1 5 lg 2
x ,则 lg 1 5 x lg 2 lg 2 x
高中数学北师大版(2019)必修 第一册：换底公式(含解析)
换底公式基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －12．已知2x ＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 233．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________．4．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)5．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.综合提升练 (15分钟 30分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．232．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13 D ．－33．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．1254．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519 ＝________．8．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各式的值：(1)log427·log258·log95.(2)log225·log3116·log519.10．设a>0，a≠1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，用log a x表示log a y，并求当x取何值时，log a y取得最小值．创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：2．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求1x1＋1x2.参考答案：基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －1【解析】选D.因为a ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b ＝lg 20＝1＋lg 2，所以log 23＝lg 3lg 2 ＝a －b ＋1b －1. 2．已知2x＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 23【解析】选D.令2x＝3y＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log 2k log 3k ＝log k 3log k 2＝log 23. 3．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________． 【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56 log 23·32 log 32＝54 . 答案：544．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【解析】由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90 ，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90 )t，两边取常用对数，得lg 12 ＝t2 lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3 ＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.答案：135．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.【解析】(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＋5＝lg 2lg 3 ·lg 3lg 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13 ＋5＝32 ×56 ＋5＝254 . (2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋23 lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3. 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【解析】选D.原式＝log 3342log 34 ＝23log 34log 34 ＝23.2．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13D ．－3 【解析】选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 所以1x ＝1log 2.51 000 ＝log 1 0002.5，同理1y＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000 ＝13 .3．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125【解析】选D.因为由换底公式，得lg13lg 5 ·lg 6lg 3 ·lg x lg 6 ＝2，所以－lg x lg 5 ＝2. 所以lg x ＝－2lg 5＝lg 125 .所以x ＝125 .4．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n【解析】选C.因为lg 2＝m ，lg 3＝n ， 所以log 1512＝lg 12lg 15 ＝2lg 2＋lg 3lg 3＋lg 5＝2m ＋n n ＋（lg 10－lg 2） ＝2m ＋nn ＋1－m.【误区】本题求解时，由于对数的运算性质背错导致可能选B. 5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b【解析】选D.因为b ＝log 38·log 82＝log 32，a log 32＝1，即a ＝1log 32 ，所以ab ＝1，a >1，0<b <1，显然a >b ，所以a ，b 关系不正确的是D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.答案：①④7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519＝________．【解析】原式＝lg 125lg 2 ·lg 18lg 3 ·lg 19lg 5 ＝（－2lg 5）·（－3lg 2）·（－2lg 3）lg 2·lg 3·lg 5 ＝－12. 答案：－128．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【解析】设3x ＝4y ＝6z＝k (显然k >0，且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ； 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34 ；因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34； 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 又12y ＝12 log k 4＝log k 2，所以1z －1x ＝12y . 答案：2log 34 1z －1x ＝12y【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．【解析】由已知得a ＝lg 9lg 8 ＝2lg 33lg 2 ①，b ＝lg 5lg 2 ＝1－lg 2lg 2 ②，由②得lg 2＝1b ＋1 ③，把③代入①得a ＝2lg 33b ＋1 ，所以lg 3＝3a2（b ＋1） .答案：3a2（b ＋1）三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列各式的值： (1)log 427·log 258·log 95. (2)log 225·log 3116 ·log 519.【解析】(1)原式＝lg 27lg 4 ·lg 8lg 25 ·lg 5lg 9＝3lg 32lg 2 ·3lg 22lg 5 ·lg 52lg 3 ＝98 . (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2 ·（－4）lg 2lg 3 ·（－2）lg 3lg 5＝16. 10．设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．【解析】由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x ＝3，整理得(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log a x －32 2＋34 . 所以当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34 .创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：【解析】因为lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，所以在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，所以这4个对数的值都对，所以lg 15的值错． 又lg 15＝lg 3＋lg 5，则lg 15＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c . 答案：15 3a －b ＋c2．若函数y ＝2x ，y ＝5x与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，求1x 1 ＋1x 2.【解析】因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510， 所以1x 1 ＋1x 2 ＝1log 210 ＋1log 510 ＝lg 2＋lg 5＝1.。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《换底公式》典型例题剖析
《换底公式》典型例题剖析题型1 换底公应的应用 例（1） 计算：235111log log log 2589⋅⋅； （2）若3484log 4log 8log log 2m ⋅⋅=，求m 的值.解析 （1）将底数统一成以10为底数的常用对数后计算；（2）等式左边前一个对数的真数是后一个对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值.答案 （1）原式111lglg lg2589lg 2lg 3lg 5=⋅⋅(2lg5)(3lg 2)(2lg3)12lg 2lg3lg5-⋅-⋅-==-⋅⋅.（2）由题意，得lg 4lg8lg lg 21lg 3lg 4lg8lg 42m ⋅⋅==, 1lg lg32m ∴=，即lg m =m ∴=规律总结 换底公式可将不同底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具.在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论如1log ,log ,log log ,lg 2lg 51log m n n a a a a b nb a n b b a m===+=等，将会达到事半功倍的效果.变式训练1 （1）求证：log log m n a a nb b m=（0a >，且10a b ≠>，）； （2）9log 27； （3）827log 9log 64⋅.答案（1）log log log log log log m n na a a m a a ab n b nb b a m a m===.（2）方法一（换成以10为底的对数）：392lg 27lg 33lg 33log 27lg 9lg 32lg 32====.方法二（换成以3为底的对数）：333392333log 27log 33log 33log 27log 9log 32log 32====. 方法三（利用log log n m a a mb b n=）：3932333log 27log 3log 322===.（3）2682733lg 9lg 64lg 3lg 22lg 36lg 24log 9log 64lg8lg 27lg 2lg 33lg 23lg 33⋅=⋅=⋅=⋅=. 题型2 对数混合运算 例2 计算：（1）235log 25log log 9⋅；（2）422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解析 （1）先利用对数的运算性质进行化简，然后利用换底公式换成相同底数的对数（比如换成以10为底的常用对数）后计算.（2）综合运用对数的性质、换底公式、指数幂的运算性质进行化简求值.答案 （1）原式23532log 5log 22log 32=⋅⋅lg5lg 2lg366lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=. （2）442log 3log 3231log 3log 21,432-⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭,1220.5322334949764449,24525616273316⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,422log 30.53231496479log 3log 21312256271616--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅-++=-++=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 变式训练22323127log 3log 8-⨯+=_________.答案 13 点拨 原式()23323233log 3log 2-=-⨯+=2lg33lg 23lg[612lg1013lg 2lg3--⋅++=+=.题型3 对数运算的综合问题 例3 已知3436a b ==，求21a b+的值. 解析 欲求21a b +，需想办法由3436a b ==求出1a 与1b，有两种办法：一种是直接由对数定义将3436a b ==化成对数式，另一种是对3436a b ==中的各等号两边取对数，可以取以6为底的对数，也可以取常用对数.答案 方法一：3436,a b ==∴由对数定义得34log 36,log 36a b ==. 由换底公式，得363611log 3,log 4a b==， 3636363636212log 3log 4log 9log 4log 361a b ∴+=+=+==. 方法二：对3436a b ==等号两边取以6为底的对数， 得666log 3log 4log 36a b ==，即66log 32log 22a b ==，666662121log 3,log 2,log 3log 2log 61a b a b ∴==∴+=+==. 方法三：对3436a b ==等号两边取常用对数， 得lg 3lg 4lg36a b ==，1lg 31lg 4,lg 36lg 36a b ∴==, ()2lg 34212lg3lg 4lg361lg36lg36lg36lg36a b ⨯∴+=+===. 规律总结 方法一借助指数变形来解，方法二、方法三通过两边取对数进行求解.无论哪种方法，都体现出种转化思想，转化思想是进行对数运算的灵魂.变式训练3已知52x y z ==，且0x y z ≠，，，求z zx y+的值.答案令52x y z k ===，则521log ,log ,lg ,2lg 2x k y k z k z k ====,所以()522lg 2lg 2lg log 5log 22lg log 102log log k k k z z k kk k x y k k+=+=+=⋅=.所以2z zx y+=.规律方法总结1.对数换底公式的选用技巧：（1）在运算过程中，若不能直接用计算器或查表获得对数值时，可将其化成以10为底的常用对数进行运算；（2）在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底数的对数，再根据运算性质进行化简与求值；（3）重视以下结论的应用： ①1log log a b b a=；②log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；③log log n n a a b b =；④log log n m a a mb b n =；⑤1log log a ab b =-. 2.条件求值问题的求解方法：解决带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.核心素养园地例 对数知识常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如对数与函数、不等式、方程、数列（后面学习）等知识综合，在求解这类问题时，灵活运用对数的运算性质就可以使问题得到解决.比如，已知()*(1)()log (2)n f n n n +=+∈N ，观察下列算式：23lg 3lg 4(1)(2)log 3log 42lg 2lg 3f f ⋅=⋅=⋅=； 237lg3lg 4lg8(1)(2)(6)log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7f f f ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅若(1)(2)()2018f f f m ⋅⋅⋅=，则m 的值为________.解析 因为()*(1)()log (2)n f n n n +=+∈N ，所以232lg 3lg 4lg 4(1)(2)log 3log 4log 42lg 2lg 3lg 2f f ⋅=⋅=⋅===； 237lg3lg 4lg5lg 6lg 7lg8(1)(2)(6)log 3log 4log 8lg 2lg3lg 4lg5lg 6lg 7f f f ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅2lg8log 83lg 2===； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2lg(2)(1)(2)()log (2)2018lg 2m f f f m m +⋅⋅⋅==+=， 所以201822m +=，所以201822m =-. 答案 201822-讲评 本例是对数运算与函数的综合问题，对数的换底公式在对数式的求值、化简与证明中起着重要的作用，利用它可将同一算式中不同底数的对数化为相同底数的对数，再进行求值、化简与证明本例是把一系列不同底数的对数式化成以10为底的常用对数，然后进行计算，再逆用换底公式求出式子的值.如果能根据给出的例子，写出更多的表达式，正确理解题意，那么可以认为达到数学运算逻辑推理核心素养水平一的要求；如果能正确分析得出规律，并利用规律求出m 值，那么可以认为达到数学运算逻辑推理核心素养水平二的要求.。
2017-2018学年高中数学必修一(北师大版)换底公式课时作业Word版含答案
其中x≥1，x∈N；
(2)依题意得a x≤a× ⇒ x≤
⇒x(2lg 3－1)≤－lg 2⇒x≥ ≈6.572，
∴xmin＝7.
答：通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的 以下．
则 ＋ ＝ logm4＋logm5
＝logm10＝1，
所以m＝10.
【答案】10
13．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
【解析】由logza＝24得logaz＝ ，
由logya＝40得logay＝ ，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝ ，
2．若log34·log8m＝log416，则m等于()
A．3 B．9
C．18 D．27
【解析】原式可化为log8m＝ ，
＝ ，
即lgm＝ ，lgm＝lg 27，m＝27.
故选D.
【答案】D
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于()
A. B.
C. D.
【解析】log512＝ ＝ ＝ ，选C.
A. B.
C．2 D．1
【解析】因为xlog34＝1，
所以x＝ ＝log43，
所以4x＝4log43＝3,4－x＝ ＝ ，
所以4x＋4－x＝3＋ ＝ .
【答案】B
12．设4a＝5b＝m，且 ＋ ＝1，则m＝________.
【解析】由4a＝5b＝m，
得a＝log4m，b＝log5m，所以logm4＝ ，lo源自m5＝ ，【解析】由换底公式，
得 · · ＝2，
lgx＝－2lg 5，x＝5－2＝ .
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案)
2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
高一数学北师大版必修1课时作业3.4.2换底公式 Word版含解析
．．－
．－
【解析】＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
【答案】
．若，是方程－＋＝的两个根，则的值等于()
．
．
【解析】由根与系数的关系，
得 ＋ ＝， · ＝，∴＝(－ )＝( ＋ )－ ·
＝－×＝.
【答案】
二、填空题(每小题分，共分)
．( )＋( )＋·＝.
【解析】∵原式＝( ＋ )[( )－ · ＋( )]＋ ·
()(＋)(＋)
＝
＝
＝×＝××＝.
．若＝，＝，试用，表示.
【解析】因为＝(×)
＝＋
＝＋，
而＝，则＝，
所以＝＋＝.
能力提升
．若＝，则＋－的值为()
．．
【解析】因为＝，
所以＝＝，
所以＝＝－＝＝，
所以＋－＝＋＝.
【答案】
．设＝＝，且＋＝，则＝.
【解析】由＝＝，
得＝，＝，
所以＝，＝，
则＋＝＋
＝＝，
所以＝.
【答案】
课时作业 换底公式
基础巩固
一、选择题(每小题分，共分)
．设＝，则－用表示的形式是()
．－ ．－(＋)
．－．＋－
【解析】∵＝，
∴－＝－(＋)＝－(＋)＝－.
【答案】
．若·＝，则等于()
．．
．．
【解析】原式可化为＝，
＝，
即 ＝， ＝ ，＝.
故选.
【答案】
．设＝，＝，则等于()
【解析】＝＝＝，选.
【答案】
＝×[( )－ · ＋( )]＋ ·
＝( )＋ · ＋( )
＝( ＋ )＝.
【答案】
．已知＝，＝，则＝.(用，表示)
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课时分层作业(十七) 换底公式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118 C.83
D.38
2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a b C ．ab
D ．a ＋b
B [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a
b .] 3．已知2x ＝3y ≠1，则x
y ＝( ) A ．lg 23 B ．lg 32 C ．log 32
D ．log 23
D [令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ， 故x y ＝log 2k log 3
k ＝log k 3
log k
2＝log 23.]
4．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.1
9 C ．25
D.125
D[由换底公式，得－lg 3
lg 5·
lg 6
lg 3·
lg x
lg 6
＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝
1
25.]
5．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则
1
x－
1
y＝()
A.
1
3B．3
C．－
1
3D．－3
A[因为x＝log2.51 000，
y＝log0.251 000，
所以
1
x＝
1
log2.51 000＝log1 0002.5，
同理
1
y＝log1 0000.25，所以
1
x－
1
y＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝
lg 10
lg 1 000＝1
3.]
二、填空题
7．设2a＝3b＝6，则
1
a＋
1
b＝________.
1[因为2a＝3b＝6，所以a＝log26，b＝log36，
所以
1
a＋
1
b＝
1
log26＋
1
log36＝log62＋log63＝log66＝1.]
8．若lg x－lg y＝a，则lg⎝
⎛
⎭
⎪
⎫x
2
10
－lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫y
2
10
＝________.
10a[因为lg x－lg y＝a，所以lg
x
y＝a，
所以lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫x
2
10
－lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫y
2
10
＝10
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg
x
2－lg
y
2＝10lg
x
y＝10a.]
三、解答题
9．求下列各式的值：(1)log427·log258·log95；
(2)log225·log31 16·log5
1
9.
[解](1)原式＝
lg 27
lg 4·
lg 8
lg 25·
lg 5
lg 9
＝
3 lg 3
2lg 2·
3lg 2
2lg 5·
lg 5
2 lg 3＝
9
8.
(2)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝
2lg 5
lg 2·
(－4)lg 2
lg 3·
(－2)lg 3
lg 5＝16.
10．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 1.1≈0.041 4)
[解]若设该市2006年年底有绿地面积a，则经过1年，即2007年的绿地面积是a＋a·10%＝a(1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a(1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a(1＋10%)3，…，经过x年的绿地面积是a(1＋10%)x，依题意，a(1＋10%)x＝4a，即(1＋10%)x＝4，∴x＝log1.14＝
2lg 2
lg 1.1≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．
1．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝()
A.
a
a－1
B.
3
2(b－1)
C.
3a
2(b＋1)
D.
3(a－1)
2b
C[由已知得a＝
lg 9
lg 8＝
2lg 3
3lg 2①，b＝
lg 5
lg 2＝
1－lg 2
lg 2②，
由②得lg 2＝
1
b＋1
③，把③代入①得a＝
2lg 3
3
b＋1
，
∴lg 3＝
3a
2(b＋1)
.]
2．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg a b 2的值是( )
A ．2 B.1
2 C ．4
D.14
A [由根与系数的关系得，lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝1
2，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg a b 2
＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 3．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 lg x
2a －b
a ＋c
3－3a －3c
4a －2b
3a －b ＋c ＋1
15,3a －b ＋c [∵lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，∴在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，∴这4个对数的值都对，∴lg 15的值错．
又lg 15＝lg 3＋lg 5，则lg 15＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .]
4．若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，则1x 1
＋1
x 2
＝________.
5．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝1
2y .
[解] (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .
由2x ＝py 得：2log 3k ＝p log 4k ＝p ·
log 3k
log 3
4，
因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1
log 3
k
＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝1
2y .
所以原式得证．
由Ruize收集整理。
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