《实数和二次根式》知识点汇总
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
实数与二次根式考点归纳总结
二次根式与实数必考点全梳理考点1 平方根与立方根的定义解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方 根有2个；任意一个数的立方根只有1个．例题1 下列说法中，正确的是（ ）A ．﹣5是（﹣5）2的算术平方根B ．16的平方根是±4C ．2是﹣4的算术平方根D ．27的立方根是±3【解析】A 、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；B 、16的平方根是±4，符合题意；C 、2是4的算术平方根，不符合题意；D 、27的立方根是3，不符合题意．故选：B ．变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）A ．√81的平方根是±9B ．√100=±10C ．立方根等于本身的数只有0.1D ．√−63=−√63【解析】A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误；B .√100=10，故原说法错误；C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；D .√−63=−√63，故原说法正确．故选：D ．变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③−√−83=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；②116的算术平方根是14，原来的说法错误； ③−√−83=2是正确的；④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误；⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．故其中正确的有1个．故选：A ．变式3 下列说法正确的是（ ） A ．若√a 2=−a ，则a ＜0B ．若√a 2=a ，则a ＞0C ．√a 4b 8=a 2b 4D ．3的平方根是√3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、若√a 2=−a ，则a ≤0，故本选项错误；B、若√a2=a，则a≥0，故本选项错误；C、√a4b8=a2b4，故本选项正确；D、3的平方根是±√3，故本选项错误；故选：C．考点2 算术平方根的小数点移动规律解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；例题2由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．【解析】∵√300≈17.32，∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；故答案为：0.1732，173.2，两．变式4如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．a…0.0000010.011100100001000000…√a…0.0010.11101001000…【解析】∵√a=180，且−√3.24=−1.8，∴√3.24=1.8，∴√32400=180，∴a＝32400，故答案为：32400．变式5若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（）A．50.36B．503.6C．159.06D．1.5906【解析】∵√25.36=5.036，∴√253600=√25.36×√10000=5.036×100＝503.6，故选：B．变式6设√5=m，√7=n，则√0.056可以表示为（）A．mn25B．mn20C．mn15D．mn10【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．【解析】√0.056=√561000=√56010000=√560100=√16×5×7100=4×√5×√7100=mn25；故选：A．考点3 算术平方根的非负性解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.例题3 若实数x ，y 满足|x ﹣3|+√y −1=0，则（x +y ）3的平方根为（ ）A ．4B ．8C ．±4D ．±8【解析】∵|x ﹣3|+√y −1=0，∴x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，∴x ＝3，y ＝1，则（x +y ）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故选：D ．变式7 已知实数x 和y 满足√x 2−4+（y 3+8）2＝0，则x +y 的值为（ ）A ．0B ．﹣4C ．0或﹣4D ．±4【解析】由题意可知：x 2﹣4＝0，y 3+8＝0，∴x ＝±2，y ＝﹣2，∴x +y ＝0或﹣4，故选：C ． 变式8 已知（2a +b ）2与√3b +12互为相反数，则b a ＝ ．【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，计算即可．【解析】由题意得，（2a +b ）2+√3b +12=0，则2a +b ＝0，3b +12＝0，解得，a ＝2，b ＝﹣4，则b a ＝（﹣4）2＝16，故答案为：16．变式9 已知：实数a 、b 满足关系式（a ﹣2）2+|b +√3|+√2009−c =0，求：b a +c +8的值．【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a ，b ，c 的值，再代入计算即可求解．【解析】由题意得a −2=0，b +√3=0，2009−c =0，解得a ＝2，b =−√3，c ＝2009，∴b a +c +8=(−√3)2+2009+8＝2020．考点4 利用平方根与立方根性质解方程解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题4 计算下列各式的x 的值：（1）12x 2=8； （2）13（x +1）3＝﹣9． 【解析】（1）方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4；（2）方程变形得：（x +1）3＝﹣27，开立方得：x +1＝﹣3，解得：x ＝﹣4．变式10 求下列各式中x 的值（1）25x 2＝4；（2）（x +1）3＝﹣27．【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案；（2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．【解析】（1）方程两边都除以25，得x 2=425，开方得，x =±25； （2）开立方得，x +1＝﹣3，移项得，x ＝﹣4．变式11 求下列各式中的x ：（1）4（x +2）2﹣16＝0； （2）（2x ﹣1）3+2627=1． 【解析】（1）由题意得，4（x +2）2＝16，∴（x +2）2＝4，∴x +2＝±2，解得x ＝0或﹣4；（2）由题意得，（2x ﹣1）3=127，∴2x ﹣1=13，∴x =23． 变式12 解方程： （1）（x ﹣4）2＝6； （2）13(x +3)3−9＝0． 【解析】（1）（x ﹣4）2＝6，x −4=±√6，∴x ＝4+√6或x ＝4−√6；（2）13(x +3)3−9＝0，13(x +3)3=9，（x +3）3＝27，x +3=√273，x +3＝3，∴x ＝0． 考点5 平方根与立方根性质的运用解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题5 已知4a +1的平方根是±3，b ﹣1的算术平方根为2．（1）求a 与b 的值；（2）求2a +b ﹣1的立方根．【分析】（1）首先根据4a +1的平方根是±3，可得：4a +1＝9，据此求出a 的值是多少；然后根据b ﹣1的算术平方根为2，可得：b ﹣1＝4，据此求出b 的值是多少即可．（2）把（1）中求出a 与b 的值代入2a +b ﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．【解析】（1）∵4a +1的平方根是±3，∴4a +1＝9，解得a ＝2；∵b ﹣1的算术平方根为2，∴b ﹣1＝4，解得b ＝5．（2）∵a ＝2，b ＝5，∴2a +b ﹣1＝2×2+5﹣1＝8，∴2a +b ﹣1的立方根是：√83=2．变式13 已知4a +7的立方根是3，2a +2b +2的算术平方根是4． （1）求a ，b 的值； （2）求6a +3b 的平方根．【解析】（1）∵4a +7的立方根是3，2a +2b +2的算术平方根是4，∴4a +7＝27，2a +2b +2＝16，∴a ＝5，b ＝2；（2）由（1）知a ＝5，b ＝2，∴6a +3b ＝6×5+3×2＝36，∴6a +3b 的平方根为±6．变式14 已知2a +1的平方根是±3，3a +2b ﹣4的立方根是﹣2，求4a ﹣5b +8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a ﹣5b +8的值，然后根据立方根的定义求解．【解析】∵2a +1的平方根是±3，3a +2b ﹣4的立方根是﹣2，∴2a +1＝9，3a +2b ﹣4＝﹣8，解得a ＝4，b ＝﹣8，∴4a ﹣5b +8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a ﹣5b +8的立方根是4．变式15 已知3a +4a +5a +6a +7a +8a ＝165，且a +11的算术平方根是m ，5a +2的立方根是n ．求n m 的平方根．【解析】∵3a +4a +5a +6a +7a +8a ＝165，即33a ＝165，∴a ＝5，又a +11的算术平方根是m ，即16的算术平方根是m ，∴m ＝4，∵5a +2的立方根是n ，即27的立方根是n ，∴n ＝3，则n m ＝34＝81的平方根为±9．考点6 无理数的概念解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题6 在以下实数227，3.14159265，√93，√36，π3中，无理数的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】227是分数，属于有理数；3.14159265是有限小数，属于有理数； √36=6，是整数，属于有理数；无理数有：√93，π3共2个． 故选：B ．变式16 在√16，−π2，﹣5.1⋅8⋅，−√93，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】√16=4，是整数，属于有理数；−5.1．8．是循环小数，属于无理数；47是分数，属于有理数；无理数有：−π2，−√93，0.317311731117…共3个．故选：C ． 考点7 估算无理数的大小解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题7 下列整数中，与6−√11最接近的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∵3.52＝12.25＞11，∴3＜√11＜3.5∴2.5＜6−√11＜3．∴与6−√11最接近的是3．故选：B ．变式17 若a ＜√28−√7＜a +1，其中a 为整数，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a ＜√28−√7＜a +1，其中a 为整数，∴a ＝2．故选：B ．变式18 阅读下面的文字，解答问题，例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）5−√17小数部分是m ，6+√17小数部分是n ，且（x +1）2＝m +n ，请求出满足条件的x 的值．【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；（2）直接利用（1）中所求即可得出m ，n 的值，进而得出x 的值．【解析】（1）∵√16＜√17＜√25，∴4＜√17＜5，∴√17的整数部分是：4，小数部分是：√17−4； 故答案为：4，√17−4；（2）∵5−√17小数部分是m ，6+√17小数部分是n ，∴m ＝5−√17，n ＝6+√17−10=√17−4， ∴m +n ＝1，∴（x +1）2＝1，解得：x ＝0或﹣2．变式19阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−√13的值．（2）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【解析】（1）∵3＜√13＜4，∴a＝3，b=√13−3，∴a2+b−√13=32+√13−3−√13=6；（2）∵1＜√3＜2，又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=√3−1，∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3．考点8 实数与数轴的对应关系例题8如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是√3和﹣1，则点C对应的实数是（）A．2√3B．2√3−2C．√3+1D．2√3+1【解析】AB=√3−（﹣1）=√3+1，∵AB＝AC，A所表示的实数为√3，点C在点A的右侧，∴点C所表示的数为：√3+（√3+1）＝2√3+1，故选：D．变式20如图，3，√11在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．−√11B．3−√11C．√11−3D．6−√11【解析】设点A表示的数是x，∵数轴上表示3、√11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，∴√11+x2=3，解得x＝6−√11．故选：D．变式21在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+√5的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C 表示的实数是（）A．5+√5B．1−√5C．√5−1或5+√5D．1−√5或5+√5【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．【解析】根据题意得：3+2+√5=5+√5，3﹣（2+√5）＝1−√5，则点C 表示的实数是5+√5或1−√5，故选：D ．变式22 如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B ，点A 表示−√2，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值．（2）求|m ﹣1|+m +6的值．【解析】（1）由题意A 点和B 点的距离为2，A 点的坐标为−√2，因此B 点坐标m ＝2−√2．（2）把m 的值代入得：|m ﹣1|+m +6＝|2−√2−1|+2−√2+6＝|1−√2|+8−√2，=√2−1+8−√2＝7． 考点9 实数大小比较例题9 比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．①π 3.14159；②√503 4；③√22 √33． 【解析】①π＞3.14159；②∵4=√643 ∴√503＜4；③（√22）2=12，（√33）2=13， ∵12＞13， ∴√22＞√33．故答案为：＞；＜；＞． 变式23 5−√2，2+√52，2+√2的大小关系是（ ） A ．2+√2＞2+√52＞5−√2 B ．5−√2＞2+√52＞2+√2 C ．2+√52＞5−√2＞2+√2 D ．5−√2＞2+√2＞2+√52【解析】∵5＜8，∴√5＜√8，∴√52＜√2，∴2+√52＜2+√2， ∵（5−√2）﹣（2+√2）＝3﹣2√2＞0，∴5−√2＞2+√2＞2+√52；故选：D ． 变式24 已知0＜x ＜1，则√x 、1x、x 2、x 的大小关系是（ ） A ．√x ＜x 2＜x ＜1x B ．x ＜x 2＜1x ＜√x C ．x 2＜x ＜√x ＜1x D ．1x＜√x ＜x 2＜x 【解析】∵0＜x ＜1，∴0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x＞1， ∴x 2＜x ＜√x ＜1x ．故选：C ．【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．变式25 已知min {√x ，x 2，x }表示取三个数中最小的那个数，例如：当x ＝9，min {√x ，x 2，x }＝min {√9，92，9}＝3﹒当min {√x ，x 2，x }=116时，则x 的值为（ ） A ．116 B ．18 C ．14 D ．12【解析】当√x =116时，x =1256，x ＜√x ，不合题意；当x 2=116时，x ＝±14，当x =−14时，x ＜x 2，不合题意；当x =14时，√x =12，x 2＜x ＜√x ，符合题意；当x =116时，x 2=1256，x 2＜x ，不合题意， 故选：C ．考点10 实数的混合运算在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．例题10 计算﹣12﹣（﹣2）3×18+√−273×|−13|+|1−√3| 【解析】原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2． 变式26 计算：3×(√4−√3)×√1−19273−|√3−2| 【解析】原式＝3×（2−√3）×23−（2−√3）＝4﹣2√3−2+√3 ＝2−√3．变式27 计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）． 【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13）＝﹣1． 变式28 计算：√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2 【解析】原式＝﹣2−35+√5−2+4=−35+√5． 考点11 实数中的定义新运算例题11 对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b =√a+b a−b ，如：3⊕2=√3+23−2=√5，那么12⊕4＝ ．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．【解析】12⊕4=√12+4√12−4=√2．故答案为：√2．考点12 实数的性质综合例题12如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【解析】（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√2，∴S正方形ABCD=(√2)2=2；（3）∵正方形ABCD的边长为√2，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1−√2，故答案为：﹣1−√2．变式29如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数√8．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数√8的位置．【解析】（1）正方形的边长是：√5，面积为：√5×√5=5．（2）见图：在数轴上表示实数√8，【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．变式30如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）这个魔方的棱长为cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝64∴a＝4故答案为4．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝64∴b＝2∴所以根据勾股定理得CD2＝22+22∴CD＝√8答：这个正方形的边长是√8cm．（3）由（2）知，AD＝√8∴点D对应的数的绝对值是√8-1，∵点D对应的数是负数∴点D对应的数是1﹣√8故答案为1﹣√8．【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．变式31如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的边长为．（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是．（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，则a2＝5，a=√5，即拼成的正方形的边长为√5，故答案为：√5；（2）由（1）得点A表示的数为√5−1，故答案为：√5−1；（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为√6．。
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
二次根式知识点复习
二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，√a叫做a的平方根。
一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。
如果b^2=a，那么√a=b。
2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。
（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。
（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。
（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。
3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。
（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。
二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。
（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。
（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。
三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。
（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。
2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。
二次根式的知识点的总结
二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。
在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。
下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。
简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。
2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。
（3）非负实数a的平方根的平方等于a。
即$(\sqrt{a})^2=a$。
（4）非负实数的平方根存在且非负。
即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。
即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。
（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。
2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。
如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。
三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。
实数与二次根式归纳总结
本讲总结提升
【归纳总结】 三种具有明显特征的无理数类型： 一是开方开不尽的数，二是化简后含π 的数，三是人 为构造的有特定结构但不循环的数 (如－0.5252252225…(相 邻两个5之间2的个数逐次加1)
为1－y≥0，所以 (1－y) 1－y ≥0，由非负 数的性质得1＋x＝0且1－y＝0.所以x＝－1， y＝1.所以x2 018－y2 019＝0.
本讲总结提升
问题5 最简二次根式
什么是最简二次根式？如何化简二次根式？
概念5
最二次根式
3
1 6. 二次根式 4 5a , 2a , 8a , b , (其中a，b 3
1
1 216 的立方根． (4) 是________ 6
1
本讲总结提升
开方与乘方互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系．
本讲总结提升
整合提升
问题2 实数的分类与识别
什么是无理数？什么是实数？你知道哪些具有明显特
征的无理数类型？
概念3
3．在
实
数
5 π 1 , , 2,－ ,3.14,0, 2－1, 3 －9, | 4－1|中， 2 3 16 0，| 4 －1| 整数有_____________________________ ；
本讲总结提升
【归纳总结】 二次根式 (a≥0) 具有双重非负性，即被开方数 a≥0 ， ≥0. 通常用它来解决多个非负数和为0的问题．
同类变式
已知x，y为实数，且满足
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一个重要概念，也是初中数学中常见的一种代数表达形式。
在实际应用中，二次根式经常用于解决问题，特别是涉及到面积、体积和距离等概念的计算中。
本文将从定义、性质、常见运算和应用等方面对二次根式进行总结和讨论。
一、定义与性质1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
我们可以将二次根式理解为一个具有非负平方根的数。
2. 二次根式的两个基本性质：（1）非负性：二次根式的值永远大于等于0，即√a≥0；（2）乘方性：二次根式的平方等于其本身，即(√a)^2=a。
3. 二次根式的化简：化简二次根式的基本思想是将其分解为因式的乘积。
通过因式分解，可以将根号下的被开方数分解为因子的乘积，并将它们的平方根与根号外的有理数相乘。
二、常见运算1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以对其根号下的有理数进行加减运算，并保持根号内的被开方数不变。
2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式的乘法，可以利用乘法公式将二次根式展开，并进行整理和化简。
3. 二次根式的除法运算：对于二次根式的除法，可以将分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行整理和化简。
三、应用领域1. 几何中的应用：二次根式在计算面积和体积时经常出现。
例如，计算一个正方形的对角线长度或一个球体的体积等。
2. 物理学中的应用：二次根式在计算速度、加速度、力和功等物理量时经常出现。
例如，计算物体自由落体运动的加速度或弹簧振动的周期等。
3. 金融和经济学中的应用：二次根式在计算利率、贷款、投资回报率等金融和经济问题中常常出现。
例如，计算贷款的月还款额或计算利润的增长率等。
四、解题方法1. 合理化因式：在化简二次根式的过程中，可以通过合理化因式的方法，将根号下的因子分解为平方数相乘的形式。
2. 分离因式：对于二次根式的加减运算，可以利用分离因式的方法，将根号内的因子进行合理分组，以方便进行计算和化简。
3. 引入新的变量：在解决复杂的二次根式问题时，可以适当引入新的变量，以简化计算和推导的过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《实数和二次根式》知识点
1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a
2=，则x叫做a的平方根。
2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。
5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。
注：（1）非负数才有算术平方根
（2）非负数的算术平方根仍为非负数
6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a
7.立方根：
（1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a
3=，则x叫做a的立方根。
（2）立方根的表示：a3
（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。
（4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
8.平方根和立方根的区别
（1）被开方数的取值范围不同
（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。
9.实数：有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上的点一一对应。
分类：
实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。
11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。
注：（1）含有二次根号
“”
（2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数
（3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00()
12.二次根式的基本性质：
()()a a a 20=≥
非负数a 可以写成一个数的平方的形式a a a =≥()()20
13.二次根式的性质：
a a a a a a 2
00==≥-<⎧⎨⎩||()() 注：（1）在应用性质时，注意规范书写格式，绝对值这一步要写，然后再根据绝对值符号内的式子进行进一步化简。
（2）在应用性质时，若给出条件，则在给出的条件下进行化简，若未给出条件，则需分类讨论。
14.注意a 2与()a 2的区别与联系
（1）平方符号位置不同
（2）意义不同：()a 2表示a 的算术平方根的平方；a 2表示a 的平方的
算术平方根
（3）取值范围不同：在()a 2中a ≥0，在a 2中，a 是全体实数
（4）运算结果不同：()()a a a 20=≥，a a 2=||
（5）a 2与()a 2都是非负数，当a ≥0时，a a 22=()
15.积的算术平方根：ab a b =⋅（a b ≥≥00，）
商的算术平方根：a b a b =（a b ≥>00，）
16.二次根式乘法：a b ab ⋅=（a b ≥≥00，）
二次根式除法：a b a b =（a b ≥>00，）
分母有理化：a
b
a b
b
ab
b
=
⋅
=
()2（a b
≥>
00
，）
17.最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件：
（1）被开方数不含有能开得尽方的因数或因式
（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式
我们把这个二次根式叫最简二次根式。
注：一般地，二次根式运算的结果应化为最简二次根式。
18.同类二次根式：一般地，几个二次根式分别化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫同类二次根式。
19.进行二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式
（2）找出其中的同类二次根式
（3）合并同类二次根式
合并同类二次根式：与合并同类项类似
20.代入求值
（1）先化简二次根式，再代入求值
（2）注意“整体代换”的思想
21.二次根式的混合运算：明确二次根式的运算顺序，与实数的运算顺序一样，先乘方开方再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，实数中的运算律、运算法则及所有的公式在二次根式中依然适用。
《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：
春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
《春雨的色彩》意境优美，散文诗中绵绵的春雨，屋檐下叽叽喳喳的小鸟，万紫千红的大地，给人以美的陶冶和享受，与此同时启发幼儿通过简洁优美的语言以及相应的情景对话练习感受春天的勃勃生机。
激发幼儿热爱大自然的情感，启发幼儿
观察、发现自然界的变化，感知春的意韵，并尝试运用多种方法把春雨的色彩表现出来，以此来表达自己的情感体验。
二、幼儿情况分析：
中班下学期的幼儿探究、分析、观察能力有了一定的发展，并且孩子们充满了好奇心和强烈的探究欲，能主动地去探究周围和环境的变化，并且能根据变化运用自己的表达方式将感知到的变化加以表现。
同时这个时期的幼儿的语言表达能力及审美能力有一定的发展，孩子们在平时的活动中也积累了许多有关绘画方面的经验在活动展示出来。
三、活动目标：
教育活动的目标是教育活动的起点和归宿，对教育活动起着主导作用，我根据中班幼儿的实际情况制定了一下活动目标：
1、情感态度目标：引导幼儿感受散文诗的意境美。
2、能力目标：发展幼儿的审美能力和想象力。
3、认知目标：帮助幼儿在理解散文的基础上感受春天的生机，知道春雨对万物生长的作用。
四、活动的重点和难点：
重点是：引导幼儿份角色朗诵小动物的对话，感受散文诗的优美，进而丰富词汇、发展幼儿的观察能力、思维和语言表达能力。
难点是：学习词语“淋、滴、洒、落”、学习春雨的对话、诗句“亲爱的小鸟们，你们说得都对，但都没说全面，我本身是无色的，但我能给春天的大地带来万紫千红”。
五、活动准备：
1、经验准备：课前学会朗诵诗《春天》，并组织幼儿春游，根据天气情况实地观察春雨，让幼儿感受了解春天的有关知识经验。
2、物质准备：小动物头饰、教学课件、幼儿绘画用纸笔
六、教法：陶行知先生曾经说：“解放儿童的双手，让他们去做去干”所以在本次活动中，我力求对幼儿充分放手，对大限度的激发幼儿的学习兴趣，让他们自己去探究、去发现、去感受，我主要采取了以下教学法：
1、谈话法：在活动得导入环节我运用与幼儿进行有关春天主题的谈话，帮助幼儿积累整理自己积累的有关春天的知识经验。
2、演示法：在活动中我通过多媒体课件向幼儿展示春天的勃勃生机，《春雨的色彩》散文诗的情景，也是通过课件中轻柔的配乐诗朗诵体现出来的。
现代教学辅助手段的运用进一步强化了他的作用，使幼儿对春天、春雨更加了解和熟悉。
3、情景演示法：将幼儿置身于《春雨的色彩》散文情景中，通过角色表演，强化幼儿对春雨的色彩的感受。
此外我还适时采用了交流讨论法、激励法、审美熏陶法和动静交替法加以整合，使幼儿从多方面获得探索过程的愉悦。
七、学法：
1、多种感官参与法：《新纲要》中明确指出：幼儿能用多种感官动手动脑、探究问题，用适当的方式表达交流探索的过程和结果，本次活动中，幼儿通过观察发现自然界的变化，感知春天的意韵，并尝试引导幼儿运用多种方法把春雨的色彩表现出来，以此来表达自己的情感体验。
2、体验法：心理学指出：凡是人们积极参与体验过的活动，人的记忆效果就会明显提高。
在活动中，让幼儿自己进行角色表演，说出小动物们之间的对话，一定会留下深刻的印象，同伴之间合作表演的快乐，也将成为他们永远的回忆。
八、教学过程
活动流程我采用环环相扣来组织活动程序，活动流程为激发兴趣谈春天-----看春雨-------欣赏散文诗------情景表演-------经验总结-------审美延（绘画形式）
1、激发兴趣谈春天
“兴趣是最好的老师”。
活动开始我利用谈话形式引导幼儿将自己已有的关于春天的经验进行整理，激发幼儿活动兴趣。
2、看春雨
观看课件《春雨的色彩》前半部分，到春雨姐姐欢迎的最热烈老师说：一天，一群小鸟在屋檐下躲雨，他们在争论一个有趣的话题，你们知道他们在争论什么问题吗？（幼儿回答）对他们在争论：春雨到底是什么颜色的？
这样的设计自然合理，进而引出散文诗《春雨的色彩》
3、欣赏散文诗
（1）完整欣赏后请幼儿把不懂得地方提出来，由幼儿提出来，教师引导讨论，帮助幼儿理解散文诗的内容。
（2）寻找句子、加深印象
给幼儿提出要求，请幼儿找一找诗里描写春雨下到草地上、柳树上、桃树上、杏树上、有菜地里、蒲公英上各用那些词语，通过找，让幼儿学会“淋、滴、洒、落”并学会用小动物的话来朗诵、来回答，促进幼儿积极思维，锻炼幼儿的口语表达能力，强调了重点，理解了难点。
4、情景表演：分角色进行朗诵表演。
5、经验总结：
将本家活动内容的前半部分进行总结，给幼儿一个春天的完整印象。
6、扩展延伸、升华主题
引导幼儿运用手工工具，用绘画的方式将幼儿感受到的《春雨的色彩》散文诗的意境描绘出来，巩固和加深幼儿对春天及春雨的任认知。