高中数学公式大全完整版
高中数学常用公式及常用结论
1. 包含关系
A B A
A B B A B C U B C U A
A C U B
C U ABR
2 ．集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n – 1 个；非空子集有 2n – 1 个；非空的真子集有 2n – 2
个 .
3.充要条件
（ 1）充分条件：若
（ 2）必要条件：若
（ 3）充要条件：若
p q ，则 p 是 q 充分条件 .
q p ，则 p 是 q 必要条件 .
p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 .
4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2
a,b , x 1 x 2 那么
(x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0
f (x)在 a,b 上是增函数；
x 2
x 1
(x
x ) f ( x )
f ( x )
f ( x 1 ) f ( x 2 )
f ( x)在 a, b 上是减函数 .
1
2
1
2
x 1 x 2
(2) 设函数 y
f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x)
0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函
数 .
f ( x) 和 g( x) 都是减函数 ,
, 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ;
5. 如果函数
则在公共定义域内 如果函数
y
f (u) 和 u
g (x) 在其对应的定义域上都是减函数
, 则复合函数 y
f [ g( x)] 是增函数 .
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么
这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
7. 对于函数 y
f (x) ( x
R ), f (x a)
f (b
x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b
x
; 两个函
a b
2
数 y
f (x
a) 与 y
f (b x) 的图象关于直线
x
对称 .
2
8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0)
（ 1） f (x)
f (x
a) ，则 f (x) 的周期 T=a ；
（ 2）， f ( x a)
1
( f ( x) 0) ，或 f (x a)
1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ；
f (x)
9. 分数指数幂
m
1
m
1
(1)
a n
（ a
0, m, n N ，且 n 1 ） .(2) a
n
0, m, n N ，且 n 1） .
n
a m m （ a
a
n
10．根式的性质
（ ） ( n a )n
a . （ 2）当 n 为奇数时，
n n
a ；当 n 为偶数时，
n
a n | a |
a, a 0 . 1
a
a, a 0
11．有理指数幂的运算性质
(1)
a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s
Q) .(3) (ab)r
a r
b r (a
0, b 0, r Q) .
12. 指数式与对数式的互化式log a N b
a b
N (a
0, a 1, N 0) .
①.负数和零没有对数，②
.1 的对数等于 0： log a 1 0 ，③ .底的对数等于
1： log a a 1 ，
④ .积的对数： log a (MN )
log a M
log a N ，商的对数： log a
M log a M
log a N ，
N
n
log a b
幂的对数： log a M
n
nlog a M ； log a m b
n
m
13. 对数的换底公式
log
N
log m N
a 0
a 1
m 0
a
(
, 且
,
, 且
,
).
log m a
m 1 N 0
推论 log a m b
n
n
log a b ( a 0,
且 a
1 , m, n
0 , 且 m 1, n
1 , N
0).
m
15. a n
s 1 , n 1
( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n
a 1 a 2
a n ).
s n s n 1 , n
2
16. 等差数列的通项公式
a n
a 1 (n 1)d
dn a 1 d (n N *)；
其前 n 项和公式为 s n
n(a 1 a n )
na 1
n(n 1)
d
2 (a 1
1
2
2
d
n
d ) n .
a 1 2 2
17. 等比数列的通项公式
a n a 1q n 1 q n (n N *)；
q
其前 n 项的和公式为 s n
a 1 (1 q n ) , q 1
a 1 a n q , q 1 1 q
或 s n
1 q .
na 1, q 1
na 1 , q 1
18. 同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1 ， tan
=
sin
cos
19 正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
)
( 1)2 sin ,
(n 为偶数 )
n 1
2
( 1) 2
co s ,
(n 为奇数 )
20 和角与差角公式 sin(
) sin
cos
cos sin
;
cos(
)
cos cos
sin sin
;
tan(
)
tan
tan
.
1 tan tan
a sin
b cos
=
a
2
b 2
sin(
)( 辅助角
所在象限由点 ( a,b) 的象限决定 ,
tan
b
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
a
⑴ sin2 2sin cos ．
⑵ cos2
cos 2
sin 2
2cos 2
1 1 2sin 2
（ cos 2
1 cos2
， sin 2
1 cos
2 ）．
2
2
⑶ tan2
2tan ．
1 tan
2
22. 三角函数的周期公式
函数 y
sin( x ) ，x ∈R 及函数 y cos( x ) ，x ∈ R(A, ω , 为常数， 且 A ≠ 0，ω ＞0) 的周期 T
2
；
函数 y tan( x
) ， x
k
, k Z (A, ω, 为常数，且 A ≠ 0， ω ＞0) 的周期 T .
23. 正弦定理
2
a
b
c 2R .
sin A sin B
sin C
24. 余弦定理
a 2
b 2
c 2 2bc cos A ; b 2 c 2 a 2 2ca cos B ; c 2 a 2 b 2 2ab cosC .
25. 面积定理 S
1
ab sin C
1
bc sin A
1
ca sin B （2） .
2 2 2
26. 三角形内角和定理
在△ ABC 中，有 A B C
C
C A B (A B)
2
2C 2 2(A B).
2
2
27. 实数与向量的积的运算律设 λ 、μ 为实数，那么
(1) 结合律： λ( μ a)=( λμ ) a;(2) 第一分配律： ( λ +μ) a=λ a+μa; (3) 第二分配律： λ ( a+b)= λa+λ b.
28. 向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b · a （交换律） ;(2) （
）· b= （ · b ） = a · b= a ·（ b ）;(3) （ +b ）· c= a ·c +b · c.
a a
a
30．向量平行的坐标表示
设 a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，则 a b(b 0)
x 1 y 2 x 2 y 1 0 .
31. a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) a · b=| a || b|cos θ． 32. 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的方向上的投影 |b |cos θ 的乘积．
33. 平面向量的坐标运算
(1) 设 a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 a+b= (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) .
(2) 设 a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 a-b= (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) .
(3) 设 A (x 1, y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ,则AB OB OA ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) .
(4) 设 a= ( x, y),
R ，则 a= (
x, y) .
(5) 设 a= ( x 1 , y 1) , b= ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b= (x 1x 2 y 1 y 2 ) . 34. 两向量的夹角 公式 cos
x 1x 2 y 1y 2
( a = ( x 1 , y 1) , b= (x 2 , y 2 ) ).
x 12
y 12 x 22
y 22
35. 平面两点间的距离公式
d A ,B = | AB | AB AB
(x 2 x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 (A ( x 1 , y 1) ，B ( x 2 , y 2 ) ).
36. 向量的平行与垂直
设 a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，则
A|| b
b=λ a x 1 y 2 x 2 y 1
0 .
a b(a
0)
a · b=0
x 1 x 2 y 1 y 2 0 .
37. 三角形的重心坐标公式
△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x 1,y 1) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3) ,则△ABC 的重心的坐标是
G (
x 1x
2
x 3 , y 1y 2
y
3 ) .
3
3
设 O 为
ABC 所在平面上一点，角 A, B,C 所对边长分别为 a, b, c ，则
（1）O 为
ABC 的外心 2
2
2
OA OB OC 0.
OA OB
OC . （2） O 为 ABC 的重心
（3）O 为 ABC 的垂心
OA OB
OB OC
OC OA .
38. 常用不等式：
（ 1） a, b R a 2 b 2 2ab ( 当且仅当 a ＝b 时取“ =”号) ． （ 2） a, b R
a b ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取“ =”号) ．
2
（ 3） a b a b a b .
39 已知 x, y 都是正数，则有（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 x
y 时和 x
y 有最小值 2 p ；
（ 2）若和 x
y 是定值 s ，则当 x
y 时积 xy 有最大值 1
s 2 .
4
40. 含有绝对值的不等式
2
a x
a .
当 a> 0 时，有 x ax 2 a
x a
x 2 a 2
x a 或 x
a .
41.斜率公式 k
y 2
y 1
（ P 1 (x 1, y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ）.
x 2 x 1
42.直线的五种方程
（ 1）点斜式 y y 1
k( x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1, y 1 ) ，且斜率为 k )．
（ 2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).
（ 3）两点式
y y 1 x
x 1
( y 1 y 2 )( P 1 ( x 1 , y 1) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ( x 1 x 2 )).
y 2 y 1 x 2 x 1
(4) 截距式 x y 1( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b 0 )
a b
（ 5）一般式 Ax By C 0 (其中 A 、 B 不同时为 0).
43.两条直线的平行和垂直
(1)若 l : y k x b ， l : y
k x b ①
l 1 || l 2 k 1 k 2 , b 1 b 2 ;②
l 1 l 2 k 1k 21 .
1 1 1
2 2 2
(2)若 l 1 : A 1x B 1 y C 1 0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 2
0,且 A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零 ,
①
l 1 || l 2
A 1
B 1
C 1
；②
l 1 l 2
A 1 A 2
B 1B 2
；
A 2
B 2
C 2
( l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 2
0 ,
A 1A 2
B 1B 2 0 ).
直线 l 1 l 2 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是 .
2
45.点到直线的距离
d
| Ax 0 By 0 C |
By
C
0 ).
A 2
B 2 (点 P(x 0 , y 0 ) ,直线 l ： Ax
46. 圆的四种方程
a) 2
b) 2
（ 1）圆的标准方程
( x ( y r （ 2）圆的一般方程
x
2
y
2
Dx Ey F
47. 直线与圆的位置关系
2
.
0 ( D 2 E 2 4F ＞0).
直线 Ax
By C 0 与圆 ( x a) 2 ( y b)2
r 2 的位置关系有三种 : d r
相离
0; d
r 相切
0 ;
d r 相交
Aa
Bb C 0 . 其中 d
.
A 2
B 2
48. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O 1， O 2，半径分别为 r 1， r 2， O 1O 2
d
d r 1 r 2 外离
4条公切线 ; d r 1 r 2 外切 3条公切线 ;
r 1 r 2
d r 1 r 2
相交 2条公切线 ; d
r 1 r 2
内切
1条公切
线 ;
0 d r 1 r 2
内含
无公切线 .
49. 圆的切线方程
(1) 已知圆 x 2
y 2
Dx
Ey F 0 ．(2) 已知圆 x 2
y 2 r 2 ．
①过圆上的 P 0 ( x 0 , y 0 ) 点的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2 ; 50. 椭圆
x
2
y 2
x a cos
1(a b 0) 的参数方程是
.
y b sin
a 2
b 2
51. 椭圆
x 2
y 2 1(a b 0) 焦半径公式
PF 1
e( x
a 2 )， PF 2 e( a 2
x) .
a
2
b 2
c
c
52．椭圆的的内外部
（ 1）点 P(x 0 , y 0 ) 在椭圆
x 2 y 2 1(a b
0) 的内部
x 02 y 02 1.
a 2
b 2
a 2
b 2
（ 2）点 P(x 0 , y 0 ) 在椭圆
x 2
y 2
1(a b
0) 的外部
x 02 y 02
1.
a
2
b
2
a 2
b
2
53. 双曲线
x 2 y 2
a 2 a 2 2
2 1(a 0,b 0) 的焦半径公式 PF 1 | e( x
) | ， PF 2 | e(
x) | .
a b
c
c
54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1 ）若双曲线方程为
x 2 y 2 1 渐近线方程：
x 2
y 2 0
y
b
x .
a
2
b
2
a 2 b
2
a
(2) 若渐近线方程为
y
b x
x y 0
双曲线可设为
x 2
y 2
.
a
b
a 2 b
2
a
(3) 若双曲线与 x
2
y 2
1有公共渐近线， 可设为 x 2
y 2
（
0 ，焦点在 x 轴上，
0 ，焦点在 y 轴上）.
a 2
b 2 a 2 b 2
55. 抛物线 y 2 2 px 的焦半径公式
抛物线 y 2
2 px( p
0) 焦半径 CF x 0 p .
p
p
2
过焦点弦长 CD
x 1
x 2
x 1 x 2
p .
2 2
56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB (x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 )2 或
AB
(1 k 2 )(x
2
x )2
| x
x | 1
tan 2
| y
y 2
|
1 co t 2
（弦端点 A (x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，由方
1
1
2
1
y kx b 消去 y
得到 ax 2
bx c
0 ，
0 , 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） .
程
F( x, y)
57(1) 加法交换律： a ＋b=b ＋ a ．(2) 加法结合律： ( a ＋ b) ＋c=a ＋ ( b ＋c) ．(3) 数乘分配律： λ ( a ＋ b)= λ a ＋ λ b ． 59 共线向量定理
a 、
b (b ≠ 0 )， a ∥b 存在实数 λ 使 a =λ b ．
对空间任意两个向量
P 、A 、B 三点共线
AP || AB AP t ABOP (1 t )OA tOB .
60. 向量的直角坐标运算
设 a ＝ (a 1, a 2 , a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2 , b 3 ) 则
(1) a ＋b ＝ ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , a 3 b 3 ) ； (2) a － b ＝ (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ； (3) λ a ＝ ( a 1 , a 2 , a 3 ) ( λ ∈ R)； (4) a ·b ＝ a 1b 1
a 2
b 2 a 3b 3 ；
61. 设 A (x 1, y 1 , z 1) ，B (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 AB OB OA = (x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 ) .
62．空间的线线平行或垂直
r
r r r
r r
设 a ( x 1 , y 1, z 1 ) ， b ( x 2, y 2 , z 2 ) ，则 a b
a b 0
x 1 x 2 y 1 y 2
z 1z 2
0 .
63. 夹角公式
设 a ＝ (a 1, a 2 , a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2 , b 3 ) ，则 cos 〈a ， b 〉 =
a 1
b 1 a 2b 2 a 3b 3 .
a 12
a 22
a 32
b 12 b 22
b 32
r r
r r
cos
|r a b r |
| x 1 x 2 y 1 y 2 z 1z 2 |
64．异面直线所成角
| cos a,b |=
| a | |b |
x 12
y 12 z 12 x 22 y 2 2
z 2 2
（其中 （ 0o
90o ）为异面直线
r r
a,b 的方向向量）
a,b 所成角， a, b 分别表示异面直线 65.直线 AB 与平面所成角
arc sin AB m ( m 为平面 的法向量 ).
| AB || m |
66.二面角
l
的平面角
arc cos m n 或
arc cos m n （ m ， n 为平面 ，
的法向量） .
| m ||n |
| m ||n |
134. 空间两点间的距离公式
若 A (x 1, y 1 , z 1) ， B (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 d A ,B =| AB |AB AB ( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1) 2 .
67. 球的半径是 R ，则
其体积 V 4
R 3
,其表面积 S 4 R 2
．
3
(3)
球与正四面体的组合体 :
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为
6 a , 外接球的半径为 6
a .
12
4
68
V 柱体
1 h 是柱体的高） . V
锥体 1 h 是锥体的高） .
Sh （ S 是柱体的底面积、
Sh （ S 是锥体的底面积、
3
3
69. 分类计数原理（ 加法原理） N m 1 m 2
m n .
70. 排列数公式
m
1) (n
m 1) =
n ！ .( n ， m ∈ N *
，且 m n ) ． 注:规定 0! 1 .
A n =n(n
(n m)！
71. 组合数公式
C n m =
A n m
= n(n 1)
(n
m 1) =
n ！ ( n ∈ N * ， m N ，且 m n ).
A m m
1 2
m m ！(n m)！
72. 组合数的两个性质 (1) C m = C n m ;(2)
C m + C m 1 =C m 1 .注:规定C 0 1 .
n
n
n n
n n
n
m 1C n m 1
n
n
C n m 11
n
155. 组合恒等式 （1）C n m ;（ 2）C n m C n m 1 ;（ 3）C n m ;（4） C n r = 2n ;
m n m
m
r 0
73. 排列数与组合数的关系 A n m m ！C n m .
74．单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列 .
（ 1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有
A n m 11 种；②某（特）元不在某位有
A n m A n m 11 （补集思想）
A n 1 1 A n m
11
（着眼位置）
A n m 1
A m 1 1 A n m 11 （着眼元素）种 .
（ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴： k(k
m n) 个元在固定位的排列有
A k k A n m k k 种 .
②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有
A n n
k k 1
1
A k k 种 .注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有
k 、 h 个（ k
h 1 ），把它们合在一起来作全排列，
k 个的一组互不能挨近的所有排
列数有 A h h A h k 1 种 .
（ 3）两组元素各相同的插空
m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当 n
m 1 时，无解；当 n
m
1时，有
A m n
1
C m n 1 种排法 .
A n n
（ 4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 C m n
n .
75．分配问题
归属问 题 ) 将相异 的 m 、 n 个物 件等 分给 m 个人 ，各得 n 件 ，其 分配方法
（ 1）(平均分组有 数共有
n
n
n
C n n
(mn)!
N C mn
C
mn n
C
mn 2n
2 n C n
( n! ) m .
（ 2） (平均分组无归属问题 )将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆，其分配方法数共有
N
C mn n C mn n n C mn n 2n ... C 2n n C n n (mn)!
m!
m!(n! )
m .
（ 3）(非平均分组有归属问题 )将相异的 P(P=n 1 +n 2 +
+n m ) 个物体分给 m 个人，物件必须被分完， 分别得到 n 1 ，
，?， 件，且 n 1 ， ，?， 这 m 个数彼此不相等， 则其分配方法数共有
N
n 1
n 2
n m
m!
p!m!
n 2
n m
n 2
n m
C p
C p
n 1 ...C n m
.
n 1 !n 2!...n m !
76. 二项式定理 (a b) n
C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n
2
b 2
C n r a n
r
b r C n n b n ;
二项展开式的通项公式
T
r 1
C n r a n r b r ( r
0，1，2 ， n) .
77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P n (k) C n k P k (1 P) n k .
78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（ 1） P i
0(i
1,2,
); （2） P 1
P 2 1 .
79. 数学期望 E
x 1 P 1 x 2P 2
x n P n
80.. 数学期望的性质（1）E(a b)aE () b .（2）若～ B(n, p) ,则 E np .
2
81.
方差
D x 1 E
82. 方差的性质 (1) D a
83.. f (x) 在 (a, b) 的导数
84.. 函数 y f (x) 在点
p 1 x 2 2 p 2
x n
E 2
E
p n
b
a 2 D ；(2 ）若 ～ B(n, p) ，则 D
f (x)
y
dy df lim
y f ( x
dx
dx
x
lim
x 0
x 0
x 0 处的导数的几何意义
标准差
=
D
.
np (1 p) .
x) f ( x) .
x
函数 y
f ( x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ( x 0 ) ，相应的切线方程是
y y 0
f ( x 0 )( x x 0 ) .
85.. 几种常见函数的导数
(1) C
0 （C 为常数） .(2) (x n )' nx n 1 (n Q) .(3) (sin x)
cos x .
(4)
(cos x)
sin x (5) (ln x)
1 ； (log a x ) 1 (6) ( e x ) e x ; (a x ) a x ln a .
86.. 导数的运算法则 x
x ln a
（ 1） (u
v) '
u '
v '
（ 2） (uv) '
u ' v
'
u
) '
u 'v uv '
0) .
.
uv . （ 3） (
v 2
(v
87.. 复合函数的求导法则
v
设函数 u
( x) 在点 x 处有导数 u x '
'
(x) ，函数 y
f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 y u '
f ' (u) ，则复合函
数 y
f ( ( x)) 在点 x 处有导数，且 y x '
y u ' u x ' ，或写作 f x ' ( (x)) f ' (u) ' (x) .
89. 复数的相等 a
bi c di
a
c,b
d . （ a,b, c, d
R ）
90. 复数 z
a bi 的模（或绝对值） | z |=| a
bi |= a 2 b 2 .
91. 复数的四则运算法 (1)
( a bi ) ( c di ) ( a c) (b d )i (2) (a bi ) (c di ) (a c)
(b d )i ;
(3) (a bi )(c
di )
( ac bd )
(bc ad )i ; (4) ( a bi ) (c di )
ac bd bc
ad
i(c di 0) .
c 2
d 2
c 2
d 2
的角度
30
45
60
90
120 135 150
180
270 360 的弧度 0
2
3
5
3 2 6
4 3 2 3 4 6 2
sin 0 1 2 3 1
3
2 1 0
1
2
2
2
2
2
2
cos 1
3 2
1
1
2
3
1
1 2 2 2 2 2
2
tan
3
1
3
无
3
1
3 0
无
3
3
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
函 数
y sin x
y cosx
y tan x
质
图象
定义域值域最值周期性
R R x x k, k
2 1,11,1R
当 x2k k时，当 x2k k时，
2
y max1；当 x2k y max1；当x2k既无最大值也无最小值
2
k时， y min1．k时， y min1．
22
奇偶性单调性
奇函数
在2k,2k
22
k上是增函数；在
偶函数奇函数
在 2k,2 k k上是
在 k, k
增函数；在 2k,2 k22
2k, 2k
3k上是增函数．
对称性
22
k上是减函数．
对称中心 k ,0 k
对称轴 x k k
2
k上是减函数．
对称中心
k2
,0
k对称中心k,0 k
2
对称轴 x k k无对称轴
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高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
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高 中 数 学 公 式 大 全（简化版）
目录 1 集合与简易逻辑 (01) 2 函数 (03) 3 导数及其应用 (09) 4 三角函数 (11) 5 平面向量 (13) 6 数列 (14) 7 不等式 (15) 8 立体几何与空间向量 (17) 9 直线与圆 (20) 10圆锥曲线 (23) 11排列组合与二项式定理 (25) 12统计与概率 (26) 13复数与推理证明 (29)
§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注：数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6. 真值表 7. 常见结论的否定形式
8. 四种命题 原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? 原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同 9. 充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
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高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
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高中数学公式大全（最新整理版） 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线 0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系： a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([1 1b x f k y -=-,并不是 )([1 b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是 ])([1 b x f k y -= 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
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高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 ．集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n – 1 个；非空子集有 2n – 1 个；非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 （ 1）充分条件：若 （ 2）必要条件：若 （ 3）充要条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 . q p ，则 p 是 q 必要条件 . p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数； x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) （ 1） f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期 T=a ； （ 2）， f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ，或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ； f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n （ a 0, m, n N ，且 n 1 ） .(2) a n 0, m, n N ，且 n 1） . n a m m （ a a n 10．根式的性质 （ ） ( n a )n a . （ 2）当 n 为奇数时， n n a ；当 n 为偶数时， n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11．有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数，② .1 的对数等于 0： log a 1 0 ，③ .底的对数等于 1： log a a 1 ， ④ .积的对数： log a (MN ) log a M log a N ，商的对数： log a M log a M log a N ， N n log a b 幂的对数： log a M n nlog a M ； log a m b n m
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高学高等数学公式集锦 常用导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
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高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式： ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; （当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时，设为此式） (3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设 为此式） 2 a(x x 0 ) （ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时，设为此式） 4 5 真值表： 同真且真，同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1）个 1）个 至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立 x ，不成立 x ，成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 . ） 四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互逆 逆命题 若ｑ则ｐ 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 p p q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件； 、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数： (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是：
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高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人，而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷，然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖：咳嗽贫穷和爱，越隐瞒，就越欲盖弥彰。抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a，b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
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高中数学公式大全（最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：
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高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 x 三A 二x C u A, x 三C u A 二x A. 2.德摩根公式 C U(A B^C U A C U B;C U (A B^C U A C u B . 3.包含关系 A B = A ：二A B = B ：二A —B ：二C u B —C u A =A CjB = ：：」u C u A B 二R 4.容斥原理 card (A B) =cardA cardB — card (A B) card(A B C) =cardA cardB cardC -card (A B) -card (A B)-card(B C)-card(C A) card (A B C). 5?集合｛a1,a2/ ,a n｝的子集个数共有2n个；真子集有2n- 1个；非空子集有2n- 1个；非空的真子集有2n- 2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x)二ax1 2 bx c(a = 0)； (2)顶点式f(x)二a(x-h)2 k(a = O); ⑶零点式f(x) =a(x-xj(x-x2)(a =0). 7.解连不等式N ：：：f (x) ::: M常有以下转化形式 ::f(x) :: M = [ f (x) —M ][ f (x) — N] ：： 0 M - f(x)
8.方程f(x)=0在(k「k2)上有且只有一个实根，与f (kjf(k2)：：： 0不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件?特别地，方程ax2 bx 0(a = 0)有且只有一个实根在 b k t + k2 (k i,k2)内，等价于f (kjf(k2)：： 0,或f(kJ = 0 且k i - -,或f(k2)=0 且 2a 2 k t k2 b , k2. 2 2a 9?闭区间上的二次函数的最值 二次函数f (x) =ax2 bx - c(a =0)在闭区间〔p,q〕上的最值只能在x —处及区 2a 间的两端点处取得，具体如下： ⑴当a>0 时，若X 二-f lp,q L 则fx> nm f( -)jfx xmm =(f)p)fq ?； 2a 2a b ' '-P，q L f (x)max 二max C f (P), f (q)^，f(X)min 二min f (P), f 9) ? 2a ⑵当a<0 时，若X 二-卫〔P,q 1 ,则f ( x m i n mfi nf p( f, q (若) 2a x 二-兰」p,q L 则f &爲=max1f(p), f (q)1, f(x)m^ -min「f(p), f(q)L 2a 10.一元二次方程的实根分布 依据：若f (m) f (n) ：：：0，则方程f(x) =0在区间(m,n)内至少有一个实根. 设f (x) = X2 px q，则 / 2 p _ 4q 启0 (1)方程f(x)=0在区间(m,^)内有根的充要条件为f(m)=0或< p； > m u 2 f(m) 0 |f(n)>0 (2)方程f (x) =0在区间(m,n)内有根的充要 条件为 f (m) f (n) 或* p2 _4q启。 p m ￡—上< n I 2 f(m) =0 f(n )=0 或或 af (n) 0 af(m) 0
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高中数学公式大全（最新整理版） 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ; (2)顶点式 f (x ) = a (x - h )2 + k (a ≠ 0) ; (3)零点式 f (x ) = a (x - x 1 )(x - x 2 )(a ≠ 0) . 2、四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 § 函数 f (x ) = - f (-x + a ) y = f (x ) a ( ,0) 2 1、若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 f (x ) = - f (x + a ) ,则函数 y = f (x ) 为周期为2a 的周期函数. 2、函数 y = (1) 函数 y = f (x ) 的图象的对称性 f (x ) 的图 x = a 象关于直线对称? f (a + x ) = f (a - x ) ? f (2a - x ) = f (x ) . (2) 函数 y = f (x ) 的图象关于直线 x = a + b 2 对称? f (a + mx ) = f (b - mx ) ? f (a + b - mx ) = f (mx ) . 3、两个函数图象的对称性 (1) 函数 y = f (x ) 与函数 y = f (-x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. x = a + b (2) 函数 y = f (mx - a ) 与函数 y = f (b - mx ) 的图象关于直线 2m 对称. (3) 函数 y = f (x ) 和 y = f -1 (x ) 的图象关于直线 y=x 对称. 4、若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到函数 y = f (x - a ) + b 的图象； 若将曲线 f (x , y ) = 0 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线 f (x - a , y - b ) = 0 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系： f (a ) = b ? f -1 (b ) = a . y = 1 [ f -1 (x ) - b ] 6、 若 函 数 - y = f (kx + b ) 存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 k y = 1 [ f (x ) - b ] ,并 不 是 y = [ f 1 (kx + b ) ,而函数 y = [ f -1 (kx + b ) 是 k 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f (x ) = cx , f (x + y ) = f (x ) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f (x ) = a x , f (x + y ) = f (x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f (x ) = lo g a x , f (xy ) = f (x ) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f (x ) = x , f (xy ) = f (x ) f ( y ), f ' (1) =. (5)余弦函数 f (x ) = cos x ,正弦函数 g (x ) = sin x ， f (x - y ) = f (x ) f ( y ) + g (x )g ( y ) ， § 数 列
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高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
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高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
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高中数学公式大全（最新整理版） 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线 2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和 )(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系： a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([11 b x f k y -= -,并不是 )([1b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是])([1 b x f k y -=的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1) f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=, ' ()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， § 数 列