高中数学公式大全完整版

高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系A B AA B B A B C U B C U AA C U BC U ABR2 ．集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n – 1 个；非空子集有 2n – 1 个；非空的真子集有 2n – 2个 .3.充要条件（ 1）充分条件：若（ 2）必要条件：若（ 3）充要条件：若p q ，则 p 是 q 充分条件 .q p ，则 p 是 q 必要条件 .p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 .4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2a,b , x 1 x 2 那么(x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0f (x)在 a,b 上是增函数；x 2x 1(xx ) f ( x )f ( x )f ( x 1 ) f ( x 2 )f ( x)在 a, b 上是减函数 .1212x 1 x 2(2) 设函数 yf ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x)0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函数 .f ( x) 和 g( x) 都是减函数 ,, 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ;5. 如果函数则在公共定义域内 如果函数yf (u) 和 ug (x) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数 yf [ g( x)] 是增函数 .6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7. 对于函数 yf (x) ( xR ), f (x a)f (bx) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a bx; 两个函a b2数 yf (xa) 与 yf (b x) 的图象关于直线x对称 .28. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0)（ 1） f (x)f (xa) ，则 f (x) 的周期 T=a ；（ 2）， f ( x a)1( f ( x) 0) ，或 f (x a)1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ；f (x)9. 分数指数幂m1m1(1)a n（ a0, m, n N ，且 n 1 ） .(2) an0, m, n N ，且 n 1） .na m m （ aan10．根式的性质（ ） ( n a )na . （ 2）当 n 为奇数时，n na ；当 n 为偶数时，na n | a |a, a 0 .a, a 011．有理指数幂的运算性质(1)a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , sQ) .(3) (ab)ra rb r (a0, b 0, r Q) .12. 指数式与对数式的互化式log a N ba bN (a0, a 1, N 0) .①.负数和零没有对数，②.1 的对数等于 0： log a 1 0 ，③ .底的对数等于1： log a a 1 ，④ .积的对数： log a (MN )log a Mlog a N ，商的对数： log aM log a Mlog a N ，Nnlog a b幂的对数： log a Mnnlog a M ； log a m bnm13. 对数的换底公式logNlog m Na 0a 1m 0a(, 且,, 且,).log m am 1 N 0推论 log a m bnnlog a b ( a 0,且 a1 , m, n0 , 且 m 1, n1 , N0).m15. a ns 1 , n 1( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s na 1 a 2a n ).s n s n 1 , n216. 等差数列的通项公式a na 1 (n 1)ddn a 1 d (n N *)；其前 n 项和公式为 s nn(a 1 a n )na 1n(n 1)d2 (a 1122dnd ) n .a 1 2 217. 等比数列的通项公式a n a 1q n 1 q n (n N *)；q其前 n 项的和公式为 s na 1 (1 q n ) , q 1a 1 a n q , q 1 1 q或 s n1 q .na 1, q 1na 1 , q 118. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21 ， tan=sincos19 正弦、余弦的诱导公式nsin(n)( 1)2 sin ,(n 为偶数 )n 12( 1) 2co s ,(n 为奇数 )20 和角与差角公式 sin() sincoscos sin;cos()cos cossin sin;tan()tantan.1 tan tana sinb cos=a2b 2sin()( 辅助角所在象限由点 ( a,b) 的象限决定 ,tanb).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：a⑴ sin2 2sin cos ．⑵ cos2cos 2sin 22cos 21 1 2sin 2（ cos 21 cos2， sin 21 cos2 ）．22⑶ tan22tan ．1 tan222. 三角函数的周期公式函数 ysin( x ) ，x ∈R 及函数 y cos( x ) ，x ∈ R(A, ω , 为常数， 且 A ≠ 0，ω ＞0) 的周期 T2；函数 y tan( x) ， xk, k Z (A, ω, 为常数，且 A ≠ 0， ω ＞0) 的周期 T .23. 正弦定理2abc 2R .sin A sin Bsin C24. 余弦定理a 2b 2c 2 2bc cos A ; b 2 c 2 a 2 2ca cos B ; c 2 a 2 b 2 2ab cosC .25. 面积定理 S1ab sin C1bc sin A1ca sin B （2） .2 2 226. 三角形内角和定理在△ ABC 中，有 A B CCC A B (A B)22C 2 2(A B).2227. 实数与向量的积的运算律设 λ 、μ 为实数，那么(1) 结合律： λ( μ a)=( λμ ) a;(2) 第一分配律： ( λ +μ) a=λ a+μa; (3) 第二分配律： λ ( a+b)= λa+λ b.28. 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b · a （交换律） ;(2) （）· b= （ · b ） = a · b= a ·（ b ）;(3) （ +b ）· c= a ·c +b · c.a aa30．向量平行的坐标表示设 a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，则 a b(b 0)x 1 y 2 x 2 y 1 0 .31. a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) a · b=| a || b|cos θ． 32. 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的方向上的投影 |b |cos θ 的乘积．33. 平面向量的坐标运算(1) 设 a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 a+b= (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) .(2) 设 a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 a-b= (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) .(3) 设 A (x 1, y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ,则AB OB OA ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) .(4) 设 a= ( x, y),R ，则 a= (x, y) .(5) 设 a= ( x 1 , y 1) , b= ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b= (x 1x 2 y 1 y 2 ) . 34. 两向量的夹角 公式 cosx 1x 2 y 1y 2( a = ( x 1 , y 1) , b= (x 2 , y 2 ) ).x 12y 12 x 22y 2235. 平面两点间的距离公式d A ,B = | AB | AB AB(x 2 x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 (A ( x 1 , y 1) ，B ( x 2 , y 2 ) ).36. 向量的平行与垂直设 a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，则A|| bb=λ a x 1 y 2 x 2 y 10 .a b(a0)a · b=0x 1 x 2 y 1 y 2 0 .37. 三角形的重心坐标公式△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x 1,y 1) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3) ,则△ABC 的重心的坐标是G (x 1x2x 3 , y 1y 2y3 ) .33设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A, B,C 所对边长分别为 a, b, c ，则（1）O 为ABC 的外心 222OA OB OC 0.OA OBOC . （2） O 为 ABC 的重心（3）O 为 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA .38. 常用不等式：（ 1） a, b R a 2 b 2 2ab ( 当且仅当 a ＝b 时取“ =”号) ． （ 2） a, b Ra b ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取“ =”号) ．2（ 3） a b a b a b .39 已知 x, y 都是正数，则有（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 xy 时和 xy 有最小值 2 p ；（ 2）若和 xy 是定值 s ，则当 xy 时积 xy 有最大值 1s 2 .440. 含有绝对值的不等式2a xa .当 a> 0 时，有 x ax 2 ax ax 2 a 2x a 或 xa .41.斜率公式 ky 2y 1（ P 1 (x 1, y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ）.x 2 x 142.直线的五种方程（ 1）点斜式 y y 1k( x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1, y 1 ) ，且斜率为 k )．（ 2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（ 3）两点式y y 1 xx 1( y 1 y 2 )( P 1 ( x 1 , y 1) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ( x 1 x 2 )).y 2 y 1 x 2 x 1(4) 截距式 x y 1( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b 0 )a b（ 5）一般式 Ax By C 0 (其中 A 、 B 不同时为 0).43.两条直线的平行和垂直(1)若 l : y k x b ， l : yk x b ①l 1 || l 2 k 1 k 2 , b 1 b 2 ;②l 1 l 2 k 1k 21 .1 1 12 2 2(2)若 l 1 : A 1x B 1 y C 1 0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 20,且 A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零 ,①l 1 || l 2A 1B 1C 1；②l 1 l 2A 1 A 2B 1B 2；A 2B 2C 2( l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 20 ,A 1A 2B 1B 2 0 ).直线 l 1 l 2 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是 .245.点到直线的距离d| Ax 0 By 0 C |ByC0 ).A 2B 2 (点 P(x 0 , y 0 ) ,直线 l ： Ax46. 圆的四种方程a) 2b) 2（ 1）圆的标准方程( x ( y r （ 2）圆的一般方程x2y2Dx Ey F47. 直线与圆的位置关系2.0 ( D 2 E 2 4F ＞0).直线 AxBy C 0 与圆 ( x a) 2 ( y b)2r 2 的位置关系有三种 : d r相离0; dr 相切0 ;d r 相交AaBb C 0 . 其中 d.A 2B 248. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1， O 2，半径分别为 r 1， r 2， O 1O 2dd r 1 r 2 外离4条公切线 ; d r 1 r 2 外切 3条公切线 ;r 1 r 2d r 1 r 2相交 2条公切线 ; dr 1 r 2内切1条公切线 ;0 d r 1 r 2内含无公切线 .49. 圆的切线方程(1) 已知圆 x 2y 2DxEy F 0 ．(2) 已知圆 x 2y 2 r 2 ．①过圆上的 P 0 ( x 0 , y 0 ) 点的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2 ; 50. 椭圆x2y 2x a cos1(a b 0) 的参数方程是.y b sina 2b 251. 椭圆x 2y 2 1(a b 0) 焦半径公式PF 1e( xa 2 )， PF 2 e( a 2x) .a2b 2cc52．椭圆的的内外部（ 1）点 P(x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2 y 2 1(a b0) 的内部x 02 y 02 1.a 2b 2a 2b 2（ 2）点 P(x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2y 21(a b0) 的外部x 02 y 021.a2b2a 2b253. 双曲线x 2 y 2a 2 a 2 22 1(a 0,b 0) 的焦半径公式 PF 1 | e( x) | ， PF 2 | e(x) | .a bcc54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为x 2 y 2 1 渐近线方程：x 2y 2 0ybx .a2b2a 2 b2a(2) 若渐近线方程为yb xx y 0双曲线可设为x 2y 2.aba 2 b2a(3) 若双曲线与 x2y 21有公共渐近线， 可设为 x 2y 2（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上）.a 2b 2 a 2 b 255. 抛物线 y 2 2 px 的焦半径公式抛物线 y 22 px( p0) 焦半径 CF x 0 p .pp2过焦点弦长 CDx 1x 2x 1 x 2p .2 256. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB (x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 )2 或AB(1 k 2 )(x2x )2| xx | 1tan 2| yy 2|1 co t 2（弦端点 A (x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，由方1121y kx b 消去 y得到 ax 2bx c0 ，0 , 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） .程F( x, y)57(1) 加法交换律： a ＋b=b ＋ a ．(2) 加法结合律： ( a ＋ b) ＋c=a ＋ ( b ＋c) ．(3) 数乘分配律： λ ( a ＋ b)= λ a ＋ λ b ． 59 共线向量定理a 、b (b ≠ 0 )， a ∥b 存在实数 λ 使 a =λ b ．对空间任意两个向量P 、A 、B 三点共线AP || AB AP t ABOP (1 t )OA tOB .60. 向量的直角坐标运算设 a ＝ (a 1, a 2 , a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2 , b 3 ) 则(1) a ＋b ＝ ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , a 3 b 3 ) ； (2) a － b ＝ (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ； (3) λ a ＝ ( a 1 , a 2 , a 3 ) ( λ ∈ R)； (4) a ·b ＝ a 1b 1a 2b 2 a 3b 3 ；61. 设 A (x 1, y 1 , z 1) ，B (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 AB OB OA = (x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 ) .62．空间的线线平行或垂直rr r rr r设 a ( x 1 , y 1, z 1 ) ， b ( x 2, y 2 , z 2 ) ，则 a ba b 0x 1 x 2 y 1 y 2z 1z 20 .63. 夹角公式设 a ＝ (a 1, a 2 , a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2 , b 3 ) ，则 cos 〈a ， b 〉 =a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 .a 12a 22a 32b 12 b 22b 32r rr rcos|r a b r || x 1 x 2 y 1 y 2 z 1z 2 |64．异面直线所成角| cos a,b |=| a | |b |x 12y 12 z 12 x 22 y 2 2z 2 2（其中 （ 0o90o ）为异面直线r ra,b 的方向向量）a,b 所成角， a, b 分别表示异面直线 65.直线 AB 与平面所成角arc sin AB m ( m 为平面 的法向量 ).| AB || m |66.二面角l的平面角arc cos m n 或arc cos m n （ m ， n 为平面 ，的法向量） .| m ||n || m ||n |134. 空间两点间的距离公式若 A (x 1, y 1 , z 1) ， B (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 d A ,B =| AB |AB AB ( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1) 2 .67. 球的半径是 R ，则其体积 V 4R 3,其表面积 S 4 R 2．3(3)球与正四面体的组合体 :棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为6 a , 外接球的半径为 6a .12468V 柱体1 h 是柱体的高） . V锥体 1 h 是锥体的高） .Sh （ S 是柱体的底面积、Sh （ S 是锥体的底面积、3369. 分类计数原理（ 加法原理） N m 1 m 2m n .70. 排列数公式m1) (nm 1) =n ！ .( n ， m ∈ N *，且 m n ) ． 注:规定 0! 1 .A =n(n(n m)！71. 组合数公式C n m =A n m= n(n 1)(nm 1) =n ！ ( n ∈ N * ， m N ，且 m n ).A m m1 2m m ！(n m)！72. 组合数的两个性质 (1) C m = C n m ;(2)C m + C m 1 =C m 1 .注:规定C 0 1 .nnn nn nnm 1C n m 1nnC n m 11n155. 组合恒等式 （1）C n m ;（ 2）C n m C n m 1 ;（ 3）C n m ;（4） C n r = 2n ;m n mmr 073. 排列数与组合数的关系 A n m m ！C n m .74．单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列 .（ 1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有A n m 11 种；②某（特）元不在某位有A n m A n m 11 （补集思想）A n 1 1 A n m11（着眼位置）A n m 1A m 1 1 A n m 11 （着眼元素）种 .（ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴： k(km n) 个元在固定位的排列有A k k A n m k k 种 .②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有A n nk k 11A k k 种 .注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、 h 个（ kh 1 ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 A h h A h k 1 种 .（ 3）两组元素各相同的插空m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当 nm 1 时，无解；当 nm1时，有A m n1C m n 1 种排法 .A n n（ 4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 C m nn .75．分配问题归属问 题 ) 将相异 的 m 、 n 个物 件等 分给 m 个人 ，各得 n 件 ，其 分配方法（ 1）(平均分组有 数共有nnnC n n(mn)!N C mnCmn nCmn 2n2 n C n( n! ) m .（ 2） (平均分组无归属问题 )将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆，其分配方法数共有NC mn n C mn n n C mn n 2n ... C 2n n C n n (mn)!m!m!(n! )m .（ 3）(非平均分组有归属问题 )将相异的 P(P=n 1 +n 2 ++n m ) 个物体分给 m 个人，物件必须被分完， 分别得到 n 1 ，，⋯， 件，且 n 1 ， ，⋯， 这 m 个数彼此不相等， 则其分配方法数共有Nn 1n 2n mm!p!m!n 2n mn 2n mC pC pn ...C n.n 1 !n 2!...n m !76. 二项式定理 (a b) nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n2b 2C n r a nrb r C n n b n ;二项展开式的通项公式Tr 1C n r a n r b r ( r0，1，2 ， n) .77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P n (k) C n k P k (1 P) n k .78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（ 1） P i0(i1,2,); （2） P 1P 2 1 .79. 数学期望 Ex 1 P 1 x 2P 2x n P n80.. 数学期望的性质（1）E(a b)aE () b .（2）若～ B(n, p) ,则 E np .281.方差D x 1 E82. 方差的性质 (1) D a83.. f (x) 在 (a, b) 的导数84.. 函数 y f (x) 在点p 1 x 2 2 p 2x nE 2Ep nba 2 D ；(2 ）若 ～ B(n, p) ，则 Df (x)ydy df limy f ( xdxdxxlimx 0x 0x 0 处的导数的几何意义标准差=D.np (1 p) .x) f ( x) .x函数 yf ( x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ( x 0 ) ，相应的切线方程是y y 0f ( x 0 )( x x 0 ) .85.. 几种常见函数的导数(1) C0 （C 为常数） .(2) (x n )' nx n 1 (n Q) .(3) (sin x)cos x .(4)(cos x)sin x (5) (ln x)1 ； (log a x ) 1 (6) ( e x ) e x ; (a x ) a x ln a .86.. 导数的运算法则 xx ln a（ 1） (uv) 'u 'v '（ 2） (uv) 'u ' v'u) 'u 'v uv '0) ..uv . （ 3） (v 2(v87.. 复合函数的求导法则v设函数 u( x) 在点 x 处有导数 u x ''(x) ，函数 yf (u) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 y u 'f ' (u) ，则复合函数 yf ( ( x)) 在点 x 处有导数，且 y x 'y u ' u x ' ，或写作 f x ' ( (x)) f ' (u) ' (x) .89. 复数的相等 abi c diac,bd . （ a,b, c, dR ）90. 复数 za bi 的模（或绝对值） | z |=| abi |= a 2 b 2 .91. 复数的四则运算法 (1)( a bi ) ( c di ) ( a c) (b d )i (2) (a bi ) (c di ) (a c)(b d )i ;(3) (a bi )(cdi )( ac bd )(bc ad )i ; (4) ( a bi ) (c di )ac bd bcadi(c di 0) .c 2d 2c 2d 2的角度30456090120 135 150180270 360 的弧度 02353 2 64 3 2 3 4 6 2sin 0 1 2 3 132 1 01222222cos 13 2112311 2 2 2 2 22tan313无313 0无3315、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性函 数y sin xy cosxy tan x质图象定义域值域最值周期性R R x x k, k2 1,11,1R当 x2k k时，当 x2k k时，2y max1；当 x2k y max1；当x2k既无最大值也无最小值2k时， y min1．k时， y min1．22奇偶性单调性奇函数在2k,2k22k上是增函数；在偶函数奇函数在 2k,2 k k上是在 k, k增函数；在 2k,2 k222k, 2k3k上是增函数．对称性22k上是减函数．对称中心 k ,0 k对称轴 x k k2k上是减函数．对称中心k2,0k对称中心k,0 k2对称轴 x k k无对称轴。