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中文科数学公式总结

一、函数、导数

1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??

集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有21n -个;非空子集有21n -个;非空的真子集有

22n -个.

2. 真值表 常

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四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)

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3. 充要条件(记p 表示条件,q 表示结论) (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件.

(2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件.

(3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4. 全称量词?表示任意,?表示存在;?的否定是?,?的否定是?。

例:2

,10x R x x ?∈++> 的否定是 2

,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性

(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数;

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.

6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤:

(1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = (3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性

(1)前提是定义域关于原点对称。

(2)对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 8.若奇函数在x =0处有意义,则一定存在()00f =;

若奇函数在x =0处无意义,则利用

()()x x f f -=-求解;

9.多项式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像: 11. 函数的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=; 12. 由

)(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f

)(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f

由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f

若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线

0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

13. 函数的周期性

(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T a =||; (2)()()f x a f x +=-,则)(x f 的周期2T a =|| (3)1

()()

f x a f x +=

,则)(x f 的周期2T a =|| (4)()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|; 14. 分数指数

(1)m n

a

=0,,a m n N *>∈,且1n >).

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(2)1m n

m n

a

a

-

=

=

(0,,a m n N *

>∈,且1n >).

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15.根式的性质

(1

)n

a =.

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(2)当n

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a =; 当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?-

.

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16.指数的运算性质

(1) (0,,)r

s

r s

a a a

a r s Q +?=>∈ (2) (0,,)r s r s a a a a r s Q -÷=>∈

(3) ()(0,,)r s rs

a a a r s Q =>∈ (4) ()(0,0,)r

r r

ab a b a b r Q =>>∈. 17. 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 18.对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n

a a n N N n m R m

=∈

(5)

1log =a a (6)01log =a

19. 对数的换底公式 :log log log m a m N

N a

= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

倒数关系式:

1log log =?a b b a

20. 对数恒等式:log a N

a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

21. 零点存在定理: 如果函数

)(x f 在区间(a, b )满足()()0f a f b ?<,则)(x f 在区间(a, b )上存在零点。

22. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 23. 几种常见函数的导数

(1) 0='C (C 为常数) (2) '1

()()n n x nx n Q -=∈

(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='

(5) x x 1

)(ln =' (6) a x x a ln 1)(log =' (7) x x e e =')( (8) a a a x

x ln )(='.

24. 导数的运算法则

(1)'

'

'

()u v u v ±=± (2)'

'

'

()uv u v uv =+ (3)''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠ 25. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''

()u y f u =,则

复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数,且'''x u x y y u =?,或写作'''

(())()()x f x f u x ??=.

26. 求切线方程的步骤:

① 求原函数的导函数)(x f '

② 把横坐标0x 带入导函数)(x f ',得到)(0x f ',则斜率)(0x f k '= ③ 点斜式写方程))((000x x x f y y -'=- 27. 求函数的单调区间

① 求原函数的导函数)(x f '

② 令0)(>'x f ,则得到原函数的单调增区间。 ② 令0)(<'x f ,则得到原函数的单调减区间。 28. 求极值常按如下步骤:

① 求原函数的导函数)(x f ';

② 令方程)(x f '=0的根,这些根也称为可能极值点

③ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(可以通过列表法) 如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ,右侧0)(<'x f ,则)(0x f 是极大值;如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ,右侧0)(>'x f ,则)(0x f 是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中,得到极值。 29. 求最值常按如下步骤: ① 求原函数的极值。

② 将两个端点带入原函数,求出端点值。

③ 将极值与端点值相比较,最大的为最大值,最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

30. 同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=,tan θ=

θ

θ

cos sin . 31. 正弦、余弦的诱导公式

奇变偶不变,符号看象限。

32. 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m .

33. 二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-. 公式变形: ;

2

2cos 1sin ,2cos 1sin 2;2

2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α

αααα

ααα-=-=+=

+=

34. 三角函数的周期

函数sin()y x ω?=+,周期2T π

ω=

函数cos()y x ω?=+,周期2T π

ω=;

函数tan()y x ω?=+,周期T π

ω

=.

35. 函数sin()y x ω?=+的周期、最值、单调区间、图象变换(熟记)

36. 辅助角公式(化一公式)

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中a

b =

?tan 36. 正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 37. 余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

38. 三角形面积公式

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==. 39. 三角形内角和定理

在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=?=-+ sin()sin A B C += 40. 与的数量积(或内积) 41. 平面向量的坐标运算

(1)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r

.

(2)设=11(,)x y ,=22(,)x y ,则+=),(2121y y x x ++.

(3)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则b a -=),(2121y y x x --. (4)设a =11(,)x y ,=22(,)x y ,则?=2121y y x x +. (5)设=),(y x ,则22y x a +=

42. 两向量的夹角公式

设a =11(,)x y ,=22(,)x y ,且≠,则 43. 向量的平行与垂直

b a //?a b λ= 12210x y x y ?-=.

)(≠⊥ ?0=?12120x x y y ?+=.

44. 向量的射影公式

若,a 与b 的夹角为θ,则b 在a 的射影为θcos ||

三、数列

45. 数列}{n a 的通项公式与前n 项的和的关系(递推公式)

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 46. 等差数列}{n a 的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;

47. 等差数列}{n a 的前n 项和公式

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 48. 等差数列}{n a 的中项公式

49. 等差数列}{n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+ 50. 等差数列}{n a 中,n s ,2n n s s -,32n n s s -成等差数列 51. 等差数列}{n a 中,若n 为奇数,则12

n n s na +=

52. 等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈; 53. 等比数列前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

当1q =时,1n a na =

54. 等比数列}{n a 的中项公式

55. 等比数列}{n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ?=? 56. 等比数列}{n a 中,n s ,2n n s s -,32n n s s -成等比数列

四、均值不等式

57. 均值不等式:如果+

∈R b a ,,那么ab b a 2≥+。“一正二定三相等”

58. 已知y x ,都是正数,则有xy y

x ≥+2

,当y x =时等号成立。 (1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2;

(2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值2

4

1s .

五、解析几何

59. 斜率的计算公式

(1)tan k α= (2)2121y y k x x -=- (3)直线一般式中A

k B

=-

60. 直线的五种方程

(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

(3)两点式 11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)

(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

61. 两条直线的平行

若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ (1)1212,k k b b =≠; (2)12,k k 均不存在 62. 两条直线的垂直

若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ (1)121k k =-. (2)120,k k =不存在 63. 平面两点间的距离公式

,A B

d =A 11(,)x y ,B 22(,)x y ).

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64. 点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).

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65. 圆的三种方程

(1)圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

(2)圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +->0).

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圆心坐标(,)22

D E

-- 半径

=

66. 直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ;

0>???<相交r d . 弦长=222d r -

其中22B

A C

Bb Aa d +++=.

67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆:22221(0)x y a b a b +=>>,2

22b c a =-,离心率1<=a

c e .准线方程:2a x c =±

双曲线:12222=-b

y a x (a>0,b>0),2

22b a c =-,离心率1>=a c e ,准线方程:2a x c =±

渐近线方程是x a

b

y ±

=. 抛物线:px y 22

=,焦点)0,2

(

p ,准线2p

x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22

22b

y a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点

在y 轴上).

69. 抛物线px y 22

=的焦半径公式

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径2

||0p

x PF +=.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。) 70. 过抛物线焦点的弦长p x x p

x p x AB ++=+++

=21212

2. 六、立体几何

71. 证明直线与直线平行的方法

(1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 72. 证明直线与平面平行的方法

(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行

73. 证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交....直线分别与另一平面平行) 74. 证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直 75. 证明直线与平面垂直的方法

(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交....

直线垂直) (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 76. 证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=rl π2,表面积=2

22r rl ππ+

圆椎侧面积=rl π,表面积=2

r rl ππ+

1

3V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).

1

3

V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).

球的半径是R ,则其体积3

43

V R π=

,其表面积24S R π= 78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算(构造二面角的平面角) 79. 点到平面距离的计算(定义法、等体积法)

80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。

正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

81. 平均数、方差、标准差的计算

平均数:n x x x x n Λ++=21 方差:])()()[(12

22212x x x x x x n s n -+-+-=Λ

标准差:])()()[(1

22221x x x x x x n

s n -+-+-=Λ 82. 回归直线方程

$y a bx =+,其中()()()11

22211n n

i i i i i i n n i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑.

83. 独立性检验 )

)()()(()(22

d b c a d c b a bd ac n K ++++-=

84. 古典概型的计算(必须要用列举法...、列表法...、树状图...的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗漏) 85. 几何概型的计算,转化为体积,面积,长度之比。

八、复数

86. 复数的相等

,a bi c di a c b d +=+?==.(,,,a b c d R ∈)

87. 复数z a bi =+的模

||z =||a bi +

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88. 复数z a bi =+的共轭复数 89. 复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222

()()(0)ac bd bc ad

a bi c di i c di c d c d

+-+÷+=++≠++ 90. 复数的周期4T =

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