(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)

高

中文科数学公式总结

一、函数、导数

1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??

集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有

22n -个.

2. 真值表 常

四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。

例：2

,10x R x x ?∈++> 的否定是 2

,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性

(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数；

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤：

（1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性

(1)前提是定义域关于原点对称。

(2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =；

若奇函数在x =0处无意义，则利用

()()x x f f -=-求解；

9．多项式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=; 12. 由

)(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f

由

)(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f

由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f

若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线

0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

13. 函数的周期性

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1

()()

f x a f x +=

，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数

(1)m n

a

=0,,a m n N *>∈，且1n >）.

(2)1m n

m n

a

a

-

=

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

15．根式的性质

（1

）n

a =.

（2）当n

a =； 当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?-

.

16．指数的运算性质

(1) (0,,)r

s

r s

a a a

a r s Q +?=>∈ (2) (0,,)r s r s a a a a r s Q -÷=>∈

(3) ()(0,,)r s rs

a a a r s Q =>∈ (4) ()(0,0,)r

r r

ab a b a b r Q =>>∈. 17. 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 18．对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n

a a n N N n m R m

=∈

（5）

1log =a a （6）01log =a

19. 对数的换底公式 :log log log m a m N

N a

= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

倒数关系式：

1log log =?a b b a

20. 对数恒等式：log a N

a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

21. 零点存在定理： 如果函数

)(x f 在区间（a, b ）满足()()0f a f b ?<，则)(x f 在区间（a, b ）上存在零点。

22. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 23. 几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数） (2) '1

()()n n x nx n Q -=∈

(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='

(5) x x 1

)(ln =' (6) a x x a ln 1)(log =' (7) x x e e =')( (8) a a a x

x ln )(='.

24. 导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=± （2）'

'

'

()uv u v uv =+ （3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠ 25. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''

()u y f u =，则

复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''

(())()()x f x f u x ??=.

26. 求切线方程的步骤：

① 求原函数的导函数)(x f '

② 把横坐标0x 带入导函数)(x f '，得到)(0x f '，则斜率)(0x f k '= ③ 点斜式写方程))((000x x x f y y -'=- 27. 求函数的单调区间

① 求原函数的导函数)(x f '

② 令0)(>'x f ，则得到原函数的单调增区间。 ② 令0)(<'x f ，则得到原函数的单调减区间。 28. 求极值常按如下步骤：

① 求原函数的导函数)(x f '；

② 令方程)(x f '=0的根，这些根也称为可能极值点

③ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法) 如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中，得到极值。 29. 求最值常按如下步骤： ① 求原函数的极值。

② 将两个端点带入原函数，求出端点值。

③ 将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

30. 同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin . 31. 正弦、余弦的诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。

32. 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m .

33. 二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-. 公式变形： ;

2

2cos 1sin ,2cos 1sin 2;2

2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α

αααα

ααα-=-=+=

+=

34. 三角函数的周期

函数sin()y x ω?=+，周期2T π

ω=

；

函数cos()y x ω?=+，周期2T π

ω=；

函数tan()y x ω?=+，周期T π

ω

=.

35. 函数sin()y x ω?=+的周期、最值、单调区间、图象变换（熟记）

36. 辅助角公式（化一公式）

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中a

b =

?tan 36. 正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 37. 余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

38. 三角形面积公式

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==. 39. 三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ sin()sin A B C += 40. 与的数量积(或内积) 41. 平面向量的坐标运算

（1）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r

.

（2）设=11(,)x y ,=22(,)x y ，则+=),(2121y y x x ++.

（3）设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a -=),(2121y y x x --. （4）设a =11(,)x y ,=22(,)x y ，则?=2121y y x x +. (5)设=),(y x ，则22y x a +=

42. 两向量的夹角公式

设a =11(,)x y ,=22(,)x y ，且≠，则 43. 向量的平行与垂直

b a //?a b λ= 12210x y x y ?-=.

)(≠⊥ ?0=?12120x x y y ?+=.

44. 向量的射影公式

若，a 与b 的夹角为θ，则b 在a 的射影为θcos ||

三、数列

45. 数列}{n a 的通项公式与前n 项的和的关系（递推公式）

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 46. 等差数列}{n a 的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

47. 等差数列}{n a 的前n 项和公式

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 48. 等差数列}{n a 的中项公式

49. 等差数列}{n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 50. 等差数列}{n a 中，n s ，2n n s s -，32n n s s -成等差数列 51. 等差数列}{n a 中，若n 为奇数，则12

n n s na +=

52. 等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈； 53. 等比数列前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

当1q =时，1n a na =

54. 等比数列}{n a 的中项公式

55. 等比数列}{n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 56. 等比数列}{n a 中，n s ，2n n s s -，32n n s s -成等比数列

四、均值不等式

57. 均值不等式：如果+

∈R b a ,，那么ab b a 2≥+。“一正二定三相等”

58. 已知y x ,都是正数，则有xy y

x ≥+2

，当y x =时等号成立。 （1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2

4

1s .

五、解析几何

59. 斜率的计算公式

（1）tan k α= （2）2121y y k x x -=- （3）直线一般式中A

k B

=-

60. 直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式 11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

（4）截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

61. 两条直线的平行

若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ （1）1212,k k b b =≠; （2）12,k k 均不存在 62. 两条直线的垂直

若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ （1）121k k =-. （2）120,k k =不存在 63. 平面两点间的距离公式

,A B

d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

64. 点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

65. 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

圆心坐标(,)22

D E

-- 半径

=

66. 直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ;

0>???<相交r d . 弦长=222d r -

其中22B

A C

Bb Aa d +++=.

67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，2

22b c a =-，离心率1<=a

c e .准线方程：2a x c =±

双曲线：12222=-b

y a x (a>0,b>0)，2

22b a c =-，离心率1>=a c e ，准线方程：2a x c =±

渐近线方程是x a

b

y ±

=. 抛物线：px y 22

=，焦点)0,2

(

p ,准线2p

x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点

在y 轴上）.

69. 抛物线px y 22

=的焦半径公式

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径2

||0p

x PF +=.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 70. 过抛物线焦点的弦长p x x p

x p x AB ++=+++

=21212

2. 六、立体几何

71. 证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 72. 证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行

73. 证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交．．．．直线分别与另一平面平行） 74. 证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直 75. 证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交．．．．

直线垂直） （2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面） 76. 证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=rl π2，表面积=2

22r rl ππ+

圆椎侧面积=rl π，表面积=2

r rl ππ+

1

3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

球的半径是R ，则其体积3

43

V R π=

,其表面积24S R π= 78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算（构造二面角的平面角） 79. 点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

81. 平均数、方差、标准差的计算

平均数:n x x x x n Λ++=21 方差:])()()[(12

22212x x x x x x n s n -+-+-=Λ

标准差:])()()[(1

22221x x x x x x n

s n -+-+-=Λ 82. 回归直线方程

$y a bx =+，其中()()()11

22211n n

i i i i i i n n i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑.

83. 独立性检验 )

)()()(()(22

d b c a d c b a bd ac n K ++++-=

84. 古典概型的计算（必须要用列举法．．．、列表法．．．、树状图．．．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏） 85. 几何概型的计算，转化为体积，面积，长度之比。

八、复数

86. 复数的相等

,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

87. 复数z a bi =+的模

||z =||a bi +

88. 复数z a bi =+的共轭复数 89. 复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222

()()(0)ac bd bc ad

a bi c di i c di c d c d

+-+÷+=++≠++ 90. 复数的周期4T =