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高中数学常用公式及结论

元素与集合的关系 : x A

x C U A , x

C U A x A .

1 ? A A

2

n

2

n

2

n

1个;非空子集有 2 1 个;非空的真子集有

集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个;真子集有

1 2

n n

2

2 个.

3 二次函数的解析式的三种形式:

ax

2

(1) 一般式 f (x) bx c(a

0) ;

h)2

(2) 顶点式 f (x) a(x k(a

0) ; (当已知抛物线的顶点坐标

(h, k ) 时,设为此式)

(3) 0) ;(当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x)

a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时,设

为此式)

2

a(x x 0 )

( 4)切线式: f ( x) (kx d ), (a 0) 。(当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横

坐标为 x 0 时,设为此式)

4 5 真值表:

同真且真,同假或假

;

常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于

反设词 不 是 不都是不大于不小于

存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个

p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n

q

q

1)个

1)个

至多有( 至少有( p 且 p 或 x ,成立 x ,不成立

x ,不成立 x ,成立

对所有 对任何 6 ( 下图 ): ( 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假

. )

四种命题的相互关系 原命题 若p则q

互逆

逆命题 若q则p

互 否

互 否

逆 逆

否命题 若非p则非q 逆否命题 若非q则非p

互逆

p

p q ,则 q ,且 充要条件: (1) P 是 q 的充分条件,反之, q 是 p 的必要条件;

、 ( 2)、 q ≠> p ,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3) 、p ≠ > p ,且 q p ,则 P 是 q 的必要不充分条件;

4、p ≠ > p ,且 q ≠ > p ,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性 :

增函数: (1) y 随 x 的增大而增大。

、文字描述是:

x1, x2 D , 且x1x2(2)、数学符号表述是:设f(x)在x ,都有

D 上有定义,若对任意的

f ( x1 ) f ( x2 )

成立,则就叫f(x)在x D 上是增函数。 D 则就是f(x)的递增区间。

减函数:(1) 、文字描述是:y 随x 的增大而减小。

x1, x2 D ,且x

1x2

(2)、数学符号表述是:设f(x)在x ,都有

D 上有定义,若对任意的

f ( x1 ) f ( x2 ) 成立,则就叫

f(x)在x D 上是减函数。 D 则就是f(x)的递减区间。

单调性性质:(1)

(3) 、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数;、增函数-减函数=增函数;(4) 、减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性:

函数

内层函数外层函数复合函数等价关系:单调单调性

(1) 设x1 , x2a, b , x1x2 那么

f ( x1 )

x f ( x2 )

x

f ( x)在

(x x ) f (x ) f (x ) 0 上是增函数;

0 a, b

1 2 1 2

1 2

f ( x1 )

1 f ( x

2 )

f ( x)在.

(x x ) f (x ) f (x ) 0 上是减函数

0 a, b

1 2 1 2 x x

2

(2) 设函数y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ( x) 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f (x) 0 ,则 f (x)

为减函数.

8 函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称)

奇函数:

定义:在前提条件下,若有 f ( x) f ( x)或f ( x) f ( x) 0 ,

则f(x)就是奇函数。

性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;

(2)、奇函数在x>0 和x<0 上具有相同的单调区间;

(3)、定义在R 上的奇函数,有f(0)=0

偶函数:

.

f ( x) f ( x) ,则f(x)就是偶函数。

定义:在前提条件下,若有

性质:(1)、偶函数的图象关于y 轴对称;

(2)、偶函数在

奇偶函数间的关系:

x>0 和x<0 上具有相反的单调区间;

(1) (3) (5)

=奇函数;(2)、奇函数·奇函数=偶函数;

=奇函数(也有例外得偶函数的)

=非奇非偶函数

、奇函数·偶函数

、偶奇函数·偶函数=偶函数;

、偶函数±偶函数=偶函数;

(4)

(6)

、奇函数±奇函数

、奇函数±偶函数

偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,

奇函数的图象关于原点对称,那

y 轴对称,那么这个函数是偶函数.

么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于

9 函数的周期性:

定义: 对函数 f (x ),若存在 T

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式:

0,使得 f (x+T )=f (x ),则就叫 f ( x )是周期函数,其中, T 是 f (x )

(1) 、f ( x+T ) = - f ( x ),此时周期为 2T ; m

n ( 2)、 f (x+m ) =f ( x+n ),此时周期为 2 ;

1

f ( x)

(3) 、 f ( x m)

2m ,此时周期为 。

10 常见函数的图像:

y

y

y

y

y=log a x

0

y=a x

a<0

k<0

k>0

x

o

o

x

0

a>1

o

x

1

1

a>0

y=ax 2

+bx+c

y=kx+b

a>1

o

x

a b ; 两个函

2

x R ), 11 对于函数 y f ( x) ( f ( x a)

f (b x) 恒成立 f ( x) 的对称轴是 , 则函数 x

b a 对称 .

2

y

f ( x a) 与 y

f (b x) 数 的图象关于直线 x

12 分数指数幂与根式的性质:

m

n

a m

1

m

a n

a n

(1) ( a 0, m , n N n 1 ) .

,且 m

n

1 a

m

( 2) a

( a 0, m , n

N n 1 ) .

,且 n

a )

n

( 3) ( n

a .

a, a a, a 0

n

n

a

n a

n

( 4)当 n 为奇数时,

a ;当 n 为偶数时, | a |

.

a

b

13 : log a 指数式与对数式的互化式 N b N ( a 0, a 1, N 0) .

指数性质:

1 a

p

( 2)、 a

mn

、 a

( a m )

n

p

1 ( a 0 ) (1) 1 、 a

; (3) ;

m

; (5) 、 a

n

n a

m

、 a r

a

s

a

r s

(a

0, r , s Q )

(4) ;

指数函数:

a x

(a 1) 在定义域内是单调递增函数;

(1) 、 y

a x

(0 1) 在定义域内是单调递减函数。 ( 2)、 y a 0,1)

注: 指数 函数图象都恒过点( 对数性质:

M N

、 log log log ( MN ) (1) M N ;( 2)、 log M log N log ;

a a a a a a

n m b

m

b

n

、 log log (3) m b log a m log b log 1 0

; (4) 、 (5) 、 ; a a a a l o gb

a

a

(6) log a 1

、 b

a (7) 、

对数函数:

log a x (a 1) (1) 、 y 在定义域内是单调递增函数; log a x (0 1) 在定义域内是单调递减函数;

( 2)、 y

a 注: 对数 函数图象都恒过点( 1, 0)

(3) 、 l o g a 0 x ,

( 0或

, 1 )a , ( 1,

x a x (4) 、 log a 0

(0,1)则x (1,

) a (1, )则x (0,1)

x a 或 log m N 14 对数的换底公式 : log N

(

a 0 , 且 a 1, m 0 , 且 m 1, N 0 ).

a log a

m a log a N

n

log N 对数恒等式: a 0 , 且 a 1 , N 0).

( b

n

推论 log b ( a 0 , 且 a 1, N 0 ). a m a

m 15 对数的四则运算法则 : 若 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0,则

M N

(1) log (MN ) log log M

N log log M log N ; ; (2)

a a a a

a a n

m n

N

n

(3) log n log M (n R ) ; M

log log N (n, m R) 。

(4)

a a a a m p 0 ):

16 平均增长率的问题(负增长时

p )x

.

x 的总产值 N (1 N ,平均增长率为 p ,则对于时间 y ,有 如果原来产值的基础数为 y

17 等差数列:

1) 通项公式: a n a 1 (n 1)d ,其中 a 1 为首项, d 为公差, n 为项数, a n 为末项。

(n k )d

( 2)推广: a n a k

( 3) a n

S n S n 1(n 2) (注: 该公式对任意数列都适用)

n(a 1

a n )

前 n 项和: ( 1) S

a 为首项, n 为项数, a 为末项。 ;其中 1 n

n 2

n(n 2

a n ( n 1) d

( 2) S na n 1

( 3) S n S n 2) ( 注: 该公式对任意数列都适用) 1 ( 4) S n

a 1 a 2

a n

( 注: 该公式对任意数列都适用)

常用性质:( 1)、若 m+n=p+q ,则有 a m a n a p a q ;

a m 是a n , a p 的等差中项,则有 2 a m

a n

a p

注: 若 n 、m 、p 成等差。

( 2)、若

a n 、

b n a n b n 为等差数列,则 为等差数列。

( 3)、 a n S n 为其前 n 项和,则 S m , S 2m

S m , S 3m

S 2 m 也成等差数列。

为等差数列, qa , a

, 0

( 4)、 a p p 则pq ;

q

n(n 1) 2 ( 5) 1+2+3+

+n=

等比数列:

a 1 q

n 1

q n ( n N *

) 通项公式: ( 1) a a q ,其中 a 为首项, n 为项数, q 为公比。

n

1

1 q n k

( 2)推广: a n a k ( 3) a n

S n

S n 1 (n

2)

( 注: 该公式对任意数列都适用)

前 n 项和:(1) S n

S n a n (n 2) ( 注:该公式对任意数列都适用) 1 ( 2) S n

a 1 a 2

a n

( 注: 该公式对任意数列都适用)

na 1

( q 1)

a (1 q n

) ( 3) S n

1

( q 1)

1 q

a m a n

a p a q 常用性质: ( 1)、若 m+n=p+q ,则有 ;

2

, a 注: 若 a 是a a

a a n 、m 、p 成等比。

的等比中项,则有 m

n p m

n p

( 2)、若

a n 、

b n a n b n 为等比数列,则 为等比数列。

ab(1 b) n

元(贷款 a 元, n 次还清 ,每期利率为 b ).

x 18 分期付款 (按揭贷款 ) :每次还款 n

(1 b)

1

19 三角不等式:

(0, ) ,则 sin x

2

x tanx .

( 1)若 x x (0, ) ,则 1

2

sin x cosx

2 .

(2) 若 (3) | sin x | | cos x | 1. sin

=

cos

: sin

2

cos

2

20 1 , tan 同角三角函数的基本关系式

, 21 22 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 和角与差角公式

sin( ) sin cos

cos sin ; cos( ) cos cos sin sin

;

tan

tan

tan

tan( )

.

1 tan a 2

b 2

asin

b cos sin( )

= b a

( 辅助角

(a, b) 的象限决定 , tan

所在象限由点 ).

23 二倍角公式及降幂公式

2 tan tan

2

sin 2 sin cos

.

1 tan 2

tan 2

cos 2 sin 2

1 1 cos 2

sin

2

2cos

2

1 2sin

2

.

cos 2 1 2 tan 1 tan 2

sin 2 cos 2

1 .

tan 2 tan

1 1 cos 2

2

1 cos 2

2

sin

2

,cos

2

24 三角函数的周期公式

2

| y sin( x

) ,x ∈ R 及函数 y cos( x ) ,x ∈R(A, ω

, 为常数, 且 A ≠ 0) 的周期 函数 T

|

函数 y tan( x

) , k 2

x k

Z A ≠

0) 的周期 T , (A, ω,

.

|

为常数,且 | 三角函数的图像:

y

y=sinx

-π/2

y

y=cosx

1

1

3π/2

x

o

-1

π

-2π-3π

/2 π/2

x

-π o

-1

π

2 π

-2 π

-3π/2 π/2

-π/2

3 π/2 2π

a sin A

a b sin B

2 R sin A, b c sin C

2 R ( R 为 ABC 外接圆的半径) 25 正弦定理 :

.

a : b: c sin A:sin B :sin C

2R sin B, c 2R sin C

26 余弦定理:

a

2

b

2

c

2

b

2

c

2

a

2

c

2

a

2

b

2

2bc cos A ; 2ca cos B ; 2 a b cos C .

27 面积定理:

1 ah 1 bh 1

ch ( h 、 h 、h 分别表示 ( 1) S a 、b 、c 边上的高) .

a b c a b c 2 2 2

1 ab sin C

2 1 bc sin A

2 1 casin B . 2 ( 2) S 1 2

2S

b (| OA | | O B |) 2 (OA OB) 2

(3) S .

OAB a b -c 斜边

2

r , r 内切圆

直角 内切圆

a c

28 三角形内角和定理

在△ ABC 中,有 A B C C ( A B)

C 2

A B 2C 2 2( A B) .

2

2

29 实数与向量的积的运算律 : 设λ 、 μ 为实数,那么:

结合律: λ ( μ a )=( λ μ )

a ;

第一分配律: ( λ

+μ) a =λ a +μ a ; (1) (2) 第二分配律: λ ( a + b )= λ a +λ b (3) . 30 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) : a · b =| a ||

b cos | 。

31 平面向量的坐标运算:

设 a = ( x 1 , y 1) , b = (x 2 , y 2 ) ,则 a + b = (x 1

(1) x 2 , y 1 y 2 ) . 设 a = ( x 1 , y 1) , (2) b a - b = (x 2 , y 2 ) ,则 = (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) .

(3)

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则 AB

OB OA ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) .

(4) 设 a = ( x, y), a = ( x, R ,则 y) .

设 a = ( x 1 , y 1 ) , (5) b = ( x 2 , y 2 ) ,则 a · b = ( x 1 x 2

y 1 y 2 ) .

32 两向量的夹角公式:

a | a |

b | b |

x 1x 2

2 y 1 y 2 2 a = (x , y ) , b = ( x , y ) ).

( cos

1 1

2 2 2

2 x

y

x

y

1

1

2

2

33 平面两点间的距离公式:

2

2

d (x x ) ( y y ) = | AB |

AB AB

(A ( x , y ) , B ( x , y ) ).

A, B 2 1

2 1 1 1 2 2 a = ( x 1 , y 1 ) , 34 b b

0 ,则:

向量的平行与垂直

:设 =( x 2 , y 2 ) ,且 a || b b =λ a x 1 y 2 x 2 y 1

0 . (交叉相乘差为零)

b 0 )

a ·

b a

( a x 1 x 2

y 1 y 2

0 . (对应相乘和为零)

=0 35 P 1( x 1 , y 1) ,P 2 ( x 2 , y 2 ) ,P( x, y) 是线段 P 1 P 2 的分点 , 线段的定比分公式

:设 P 1P

PP 2 是实数, 且 ,

x 1 1

y 1 1

x 2

x

OP 1

1

OP 2

OP

y 2 y

1 ) .

OP tOP (1 t )OP (

t 1 2 1

A(x 1,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) , 则△ ABC 的

36 三角形的重心坐标公式:

△ ABC 三个顶点的坐标分别为

G( x 1

x 2 3

x 3 ,

y 1

y 2 3

y 3

) .

重心的坐标是 37 三角形五“心”向量形式的充要条件:

设 O 为

ABC 所在平面上一点,角 A, B,C 所对边长分别为 a, b, c ,则

2

OA

2 OB

2

OC .

( 1) O 为 ABC 的外心 ( 2) O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 .

( 3) O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . ( 4) O 为 ABC 的内心

aOA bOB cOC 0 .

( 5) O 为

ABC 的 A 的旁心

aOA bOB cOC .

38 常用不等式:

2

a

2

b

( 1) a, b R 2ab ( 当且仅当 a =

b 时取“ =”号 ) . a b 2 3abc( a ( 2) a, b R ab ( 当且仅当 a =

b 时取“ =”号 ) . a

3

b

3

c

3

( 3) 0, b 0, c 0).

a b a b a b . ( 4) a

2

b 2

2ab

a b ( 5)

ab

( 当且仅当 a = b 时取“ =”号 ) 。

a b

2

2

39 极值定理 : 已知 x, y 都是正数,则有

x y 有最小值 2 p ( 1)若积 xy 是定值 p ,则当 x y 时和 ; 1 s 2 .

4

x

y 是定值 s ,则当 ( 2)若和 x

y 时积 xy 有最大值 a,b, x, y R ( 3)已知 ,若 ax by 1 则有

1 x

1 y (ax by)(

1 x 1 ) y by ax

b )2

a b a b 2 ab ( a

x y

a x

b y

a,b, x, y

R ( 4)已知 1 则有

,若

a ( x

y

b ) y ay x bx y b )

2

x y a b a b 2 ab ( a 2

0) ,如果 a 与 ax

ax 2

bx b

2

40 一元二次不等式 c 0(或 0) (a 0,

4 a c bx c 同号,则其

ax 2

解集在两根之外;如果 a 与 bx c 异号,则其解集在两根之间 . 简言之:同号两根之外,异号两

根之间 . 即:

x 1 x x 2 ( x x 1 )( x x 2 ) 0( x 1 x 2 ) ;

x x 1 ,或x x 2

(x x 1 )( x x 2 ) 0( x 1

x 2 ) .

41 :当 a> 0 含有绝对值的不等式

时,有

x

2

a

2

x a a x a .

2

x

2

a

x a x a 或 x

a .

42 斜率公式 :

y 2 x 2 y 1

x 1

k

( P ( x , y ) 、 P ( x , y ) )

. 1 1 1 2 2 2 43 直线的五种方程:

( 1)点斜式 ( 直线 l 过点 P 1( x 1 , y 1 ) ,且斜率为 k ).

y y 1

k (x x 1)

y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).

( 2)斜截式 y y 2

y 1 y 1

x x 2

x 1 x 1

( 3)两点式

( y y )( P ( x , y ) 、 P ( x , y ) ( x x , y y )).

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 两点式的推广: ( x 2 x 1 )( y y 1 ) ( y 2 y 1 )( x x 1 ) 0 (无任何限制条件! )

x a Ax y

b

By 1 ( (4) 截距式

a 、

b 分别为直线的横、纵截距,

a 0、

b 0 )

( 5)一般式 C

0 (其中 A 、B 不同时为 0).

Ax By C

0 的法向量: l ( A, B) ,方向向量: l ( B, A)

直线 44 夹角公式:

k 2 1 k 1

( l : y k x b , l : y k x b , (1) tan

| | . )

k 1 k 2 1 1 1 1 2 2 2

k k 2 1 A 1B 2 A 2 B 1 | .( l : Ax B y C 0, l : A x B y C 0, (2) tan

| ).

A 1 A 2

B 1B 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2

A A

B B 1 2

1 2

l 1 与 l 2 的夹角是

直线 l 1 l 2 时,直线 .

2

45 l 1 到 l 2 的角公式:

k 2 k 1 .( l : y

k x b , l : y k x b (1) tan

, )

k 1k 2

1 1 1 1

2 2 2 1 k k 2 1 A 1B 2 A 2B 1 .( l : A x B y C 0 , l : A x B y C 0 , (2) tan

).

A 1 A 2

B 1 B 2

0 1 1 1 1 2 2 2 2

A A

B B 1 2

1 2

l 1 到 l 2 的角是

直线 l 1 l 2 时,直线 .

2

(点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 | Ax 0

By 0 C |

l : Ax 46 : d

By C 0 ).

点到直线的距离 A

2

B

2

47 圆的四种方程:

a)2

b) 2

r 2

( 1)圆的标准方程 ( x ( y .

x

2

y

2

D

2

E

2

( 2)圆的一般方程

Dx Ey F

0 ( 4F >

0). x y a b r cos r sin

( 3)圆的参数方程

.

( 4)圆的直径式方程 (x x 1)(x x 2) (y y 1)(y y 2) 0( 圆的直径的端点是 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2) ). 2

a) 2

b)

2

的位置关系有三种:

48 点与圆的位置关系:点

P( x , y ) 与圆 (

x ( y r 0 0 )

2

)2

若 d

(a x (b y d

d r P 在圆外 ; ,则 点 0 0 d r

r

点 P 在圆上 ;

点 P 在圆内 .

a) 2

( y b) 2

2

49 Ax By C 0 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 : 直 线 与 圆 ( x r 的 位 置 关 系 有 三 种

Aa A

2

Bb C ( d

):

B

2

d r 0 ; d r 0 ; d r 0 .

相离 相切 相交 O 1 O 2

d ,则:

50 : 设两圆圆心分别为 O 1, O 2,半径分别为 r 1, r 两圆位置关系的判定方法 2, 4条公切线 d r 1 r 2 外离 ; 3条公切线 d r 1 r 2 外切

; 2条公切线 内含

内切 相交 相交

r 1 r 2 d r 1 r 2

外切 ;

相离 d

o

d

d

1条公切线 内切

d

r 1 r 2

d

r 1+r 2

;

r 2-r 1

内含

无公切线 0 d

r 1 r 2

.

x

2 y

2 b

2 2

x y a cos bsin

c a

51 .

椭圆

1(a b 0) 的参数方程是

离心率 e

1

2

2

a b

a

a

2

c

b

2

c

,焦点到对应准线的距离 ( 焦准距 ) 准线到中心的距离为

p

b

2

a

2

.

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:

x

2 y

2 52 1(a b 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积

椭圆

:

2

2

a b

a

2

c

:

a

2

c

F PF b 2

1 2

PF e( x

) a ex , PF e( x) a ex ; S c | y | tan

1 2

F 1PF 2

P 53 椭圆的的内外部 x

2 a 2

y 2

b

2

2

2 0 x y 0 ( 1)点 P( x , y ) 在椭圆

1(a b 0) 的内部

1 .

0 0 a

2

b

2

x

2 y

2

2

2 x

y 0 0 (2)点 P( x , y ) 在椭圆 1(a b 0) 的外部

1 .

0 0 2

2

2

2

a b

a

b

54 椭圆的切线方程 :

x 2

a

2 y 2

b

2 x x y y 0 0 (1) 椭圆

1(a b 0) 上一点 P(x , y ) 处的切线方程是

1.

0 0 a

2

b

2

x 2 a

2

y 2

b

2

x x y y

0 ( 2)过椭圆

1外一点 P( x , y ) 所引两条切线的切点弦方程是

1 . 0 0 a

2 b

2

x 2 a

2

y

2

b

2

A 2a

2

B 2b

2

c 2

.

( 3)椭圆

1(a b 0) 与直线 Ax By C 0 相切的条件是 x

2 y

2

2

b

2 a

2

c

c a

55 0) 的离心率 e

1

双曲线

1(a 0,b ,焦点到对应准

,准线到中心的距离为

2

2

a

a b

b

2

c

b

2

a

线的距离 ( 焦准距 ) .

p

2

。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:

a

2

c

a

2

c

F 1PF 2

焦半径公式 PF 1

| e ( x

) | | a ex |, PF 2

| e(

x) | | a ex |,

b 2

两焦半径与焦距构成三角形的面积

S cot

F 1

PF 2

56 :

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x

2 y

2

x

2 y

2 b a

1

(1 )若双曲线方程为

x .

渐近线方程:

y

2

2

2

2

a b

a b

x 2 y

2

x a

y b

b a

(2)

.

若渐近线方程为 x

y 双曲线可设为

2

2

a b

x

2 y

2

x

2 y 2

1 有公共渐近线,可设为

(3) 若双曲线与 2

2

2

2

a b

a

b

0 ,焦点在 x 轴上,

焦点到渐近线的距离总是 0,焦点在 b 。

y 轴上) .

(4) 57 双曲线的切线方程 :

x 2 a

2

y 2

b

2

x x y y 0 0 b

2

(1) 双曲线

1(a 0,b 0) 上一点 P( x , y ) 处的切线方程是

1.

0 0 a

2

x 2 a

2

y 2 b 2

x x y y 0 a 2

0 (2) 过双曲线

1外一点 P( x , y ) 所引两条切线的切点弦方程是

1 .

0 0 b 2

x

2 y

2

2

2 2

2 2

2 ( 3)双曲线

1 与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A a

B b

c .

2

a b

y

2

2 px 的焦半径公式 :

58 抛物线 p .

2 y 2

抛物线 2 px( p 0) 焦半径 CF

x 0 p 2

p 2 x x p .

CD

x x 过焦点弦长 1

2

1

2

b 2

b

2a

4ac 4a

y ax

2

)

2

59 二次函数 bx c a(x

( a 0) 的图象是抛物线:

b 2

b

2

4a b 2 a 4 a c 4a b 4 a c 1

( 1)顶点坐标为 ( , ) ;( 2)焦点的坐标为 ( ,

) ;

2 a

b

2

4a

4ac 1

( 3)准线方程是 y

.

)

2

)

2

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

( x x ( y y 1 2 1 2 (1 k 2

)[( x 2

2

x 1 ) tan 2

cot

2

AB

4x 2 x 1] | x 1 x 2 | 1 | y 1 y 2 | 1 或 y kx b 0

2

A ( x 1 , y 1 ),

B ( x 2 , y 2 ) ,由方程

消去 y 得到 0

(弦端点 ax

bx c F(x, y) 2

( x 1 x 2 )

| x 1 x 2 |

4x 1x 2 0 , 为直线 AB 的倾斜角,

k 为直线的斜率, .

61 证明直线与平面的平行的思考途径

( 1)转化为直线与平面无公共点;

( 2)转化为线线平行; :

( 3)转化为面面平行 . 62 证明直线与平面垂直的思考途径

:

( 1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; ( 2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; ( 3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; ( 4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径:

( 1)转化为判断二面角是直二面角; ( 2)转化为线面垂直;

(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算:

设 a = (a 1 ,a 2 , a 3 ) , b = (b 1 ,b 2 , b 3 ) 则: (1) a + b = (a 1 b 1, a 2 b 2 , a 3 b 3 ) ; a - b (2)

= (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) ;

(3) λ a = ( a 1, a 2 , a 3 ) ( λ ∈ R); a · b (4)

= a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 ;

65 夹角公式:

a 1

b 1 2 a 2b 2 2 a 3b 3

2 设 a = (a ,a , a ) , b = (b ,b , b ) ,则 .

cos a,

b 1 2 3 1 2 3 2

2 2 a

a

a

b b

b

1

2

3

1

2

3

66 异面直线间的距离 :

| CD n | ( l | n |

n , C 、D 是 l , l , l d 为 l ,l d

间的距离 ).

是两异面直线,其公垂向量为

上任一点, 1 2 1 2 1 2 67 点 B 到平面

的距离: | AB n | ( | n |

n 为平面

A

d

AB 是 .

的法向量,

, 的一条斜线段)

4 3

R 2

R 3

, 其表面积 S

68 球的半径是 R ,则其体积 4 V 69 球的组合体: (1) (2)

: .

正方体的棱切球的直径是正方体的

球与长方体的组合体 球与正方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 面对角线长 , .

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长

6 a 12

棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

(3)

球与正四面体的组合体 : 6 a 的 3

1

), 外接球的半径为 4 6 a ( 正四面体高 4 6 a 的 3 3

).

4 ( 正四面体高

70 分类计数原理( 加法原理): N m 1 m 2 m n . 分步计数原理( 乘法原理 ): N

m 1 m 2

m n .

n !

m

.( n , m ∈N * ,且 m n ) . 规定 0! 1. 71 排列数公式 A

: =

n(n 1) (n m 1) =

n m)!

(n m n ! m !(n A n(n 1) 2 (n m m 1) m n ( n ∈ N * , m m)!

n N 72 C

= =

m n ). 组合数公式: ,且 =

m A 1 m

m n n n

m m n m 1 m

=C 0 n

1 .

C C

C C . 规定 C

组合数的两个性质 :(1) ;(2)

=

+

n n 1 (a b)

n

0 n

1

n 1

b

2

n 2

b 2

r

n r b

r

n n

73 C a

C a C a C a C b 二项式定理 ; n n n

n n

r

n r

r

T r

C n

a

b ( r

0,1,2 , n) .

二项展开式的通项公式 1

n

b) 2

a 2 x n

a n x 的展开式的系数关系:

f ( x) ( ax a 0 a 1x ( 1)n

a a a a a f (1); a a a f ( 1) ; a f (0) 。

0 1 2 n

0 1 2

n

74 互斥事件 A ,B 分别发生的概率的和: P(A + B)=P(A) + P(B) .

P(A 1+

A 2+ + A n )=P(A 1) + P(A 2) + + P(A n ) . n 个互斥事件分别发生的概率的和:

75 独立事件 A ,B 同时发生的概率: P(A ·B)= P(A) · P(B).

n 个独立事件同时发生的概率: P(A 1· A 2· · A n )=P(A 1) · P(A 2) · · P(A n ) .

k

k

(1 ) n k

.

76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P (

k ) C n

P P n 77 数学期望: E

x 1P 1 x 2 P 2 x n P n

数学期望的性质 ( 1) E( a

b) aE( ) b . ~ B(n, p) , 则 E

np .

( 2)若 1 p

q k 1

p ,则 E

(3)

, 且 若 服从几何分布 P( k ) g(k, p)

.

2

2

2

78 方差: D

x 1 E

p 1 x 2 E p 2 x n E p n

D =

.

标准差: 方差的性质: 2

a D (1)

D a b ;

(2 )若 B(n, p) ,则 D

np (1 p) .

~ q p

2 k 1

P(

k) g(k, p)

q p ,则 D

服从几何分布 , 且 . (3) 若 2

.

2

方差与期望的关系: D E E

2

x 262

1

2 79 正态分布密度函数:

f x

e , x ,

6

>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差 .

式中的实数 μ , ( x

2

) ,取值小于 x 的概率: .

对于 N ( ,

F x

P x 1 x 0 x 2 P x x 2 P x x 1

80 f ( x) 在 x 0 处的导数(或变化率) :

f ( x 0

x)

x

t) t f (x 0 )

y x

.

f ( x ) y

lim

lim 0

x x 0

x 0

x 0

s t

s(t s(t) . 瞬时速度:

s (t ) lim

lim t

t 0

v t

v(t

t ) t

v(t ) .

瞬时加速度: a v (t ) lim

lim

t

t 0

81 y

f ( x) 在点 函数 x 0 处的导数的几何意义: y f ( x) 在点 函数 x 0 处的导数是曲线 f (x) 在 P( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ( x 0 ) ,相应的切线

y (x 0 )( x x 0 ) .

方程是 y

y 0

f 82 几种常见函数的导数:

nx n 1

(n 1 ; (log x

C 0 ( C 为常数) (1)

.(2)

( x n

)

(sin x) cos x .

Q) .(3)

1

log x

(4) (cos x) sin x .

(5) (ln x) x)

e . a a (e x

)

e x

; (a x

) a x

ln a .

(6) 83 导数的运算法则:

u ' v v

2

uv '

u v

v)'

u

'

v ' . ( 2) (uv) '

u '

v uv '

. ( 3) ( )

'

( 1) (u ( v 0) .

f ( x 0 ) 是极大(小)值的方法:

84 判别 f ( x) 在点 当函数 x 0 处连续时,

( 1)如果在 x 0 附近的左侧 f (x) 0 ,右侧 f ( x) 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值; ( 2)如果在 x 0 附近的左侧 f (x) 0 ,右侧 f ( x)

0 ,则 f ( x 0 ) 是极小值 .

85 a bi c di a c,b d . ( a,b,c, d

R )

复数的相等: 2

a

2

b z

a bi 86 | z |=| a bi | = 复数 的模(或绝对值) .

87 复平面上的两点间的距离公式:

2

2

d | z z | (x x ) ( y y ) ( z x y i , z x y i )

. 1 2 2 1

2 1 1

1 1

2 2 2 88 实系数一元二次方程的解

ax 2

bx c 0 ,

实系数一元二次方程 b 2

2 a b 4 a c

b 2

①若

4ac 0 , 则 x ;

1,2 b

2a

b

2

4ac 0 , 则 ②若 x x ;

1

2

b

2

4ac 0 ,它在实数集

③若

R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根

(b

2

2a

b 4ac)i

(b

2

x

4ac 0) .

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1. ( 确定, 互异 , 无序 ); A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0, 研究集合必须注意集合元素的特征即三性

已知集合 |

x | ,y}, 且 A=B,则 x+y=

研究集合 , 首先必须弄清代表元素 , 才能理解集合的意义。 已知集合 M={y |

y=x 2 ,x ∈ R},N={y |y=x 2

+1,x 2. M={( x,y )| y=x 2 2

| y=x +1,x ∈ R}求 M ∩ N 的区别。

∈ R}, 求 M ∩ N ;与集合 ,x ∈R},N={(x,y) 集合 A 、B , A

B

A 或 B

A B

3. 时,你是否注意到“极端”情况:

;求集合的子集

x 2

2 2 2 1 0 对一切 x

. R 恒成立,求 时是否忘记

例如: a a x a 的取植范围,你讨论

了 a = 2 的情况了吗?

2n

,2 n

4. 对于含有 n M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

个元素的有限集合 1, 2 n 1, 2 n

2. 如满足条件 {1} M {1,2,3,4} 的集合 M 共有多少个

5. ; 某文艺小组共有 10 名成员 , 每人至少会唱歌和跳舞中的一项

, 其中 7

解集合问题的基本工具是韦恩图

人会唱歌跳舞 5 人会 , 现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人, 不同的选法?

表演一个唱歌和一个跳舞节目

, 问有多少种

M { x x 2k 1,k Z}, N { xx 4k 1,k Z} 6. 两集合之间的关系。 A B B B A ;

7. (C U A) ∩ ( C U B) = C U (A ∪ B) (C U A) ∪ ( C U B) = C U (A ∩ B) ; 8、可以判断真假的语句叫做命题

.

逻辑连接词有“或” 、“且”和“非” .

p 、q 形式的复合命题的真值表

: (真且真,同假或假)

p 真真假假

9、 命题的四种形式及其相互关系

原命题若 p 则 q 真假真 假

P 且 真假假假 q P 或 q 真 真 真 假

:

互 逆 逆命题 若 q 则 p

q

互 互 否

互 否

否 否命题 逆否命题

q

若﹃p则﹃ 若﹃q则﹃p

互 逆

.

原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假 10、你对映射的概念了解了吗?映射

种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质:

f :A → B 中, A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素的唯一性,哪几

y f x x R ,都有 f a x

f a x y f x

f (2a-x )=f ( x ),那么函数 ①如果函数

对于一切 或 x a 对称 .

的图象关于直线 ②函数 y f x y f x x 0对称; 与函数 的图象关于直线 函数 y f x y f x y 0 对称; 与函数 的图象关于直线 y f x y f

x 的图象关于坐标原点对称 .

函数 与函数 y f x 0, y f x ,0 ③若奇函数

在区间 上是递增函数,则 在区间 上也是递增函数. y

f x 0,

y

f x ,0 ④若偶函数 在区间 上是递增函数,则

在区间

上是递减函数.

⑤函数 y

f x a 0) 的图象是把函数 y f x (a x 轴向左平移 a 个单位得到的;函数

的图象沿 y f x a ( ( a 0) 的图象是把函数 y f x a 个单位得到的;

x 轴向右平移

的图象沿 y f x y f x +a (a 0) 的图象是把函数 y 轴向上平移 a 个单位得到的 ; 函数

函数 助图象沿 y f x 0) 的图象是把函数 y f x +a (a 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的 .

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗? x( 4 x) lg( x 3)2

13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数

y=

的定义域是 ;

f ( x) 的定义域是 [0,1], f (lo

g 0. 5 x ) 的定义域 复合函数的定义域弄清了吗?函数 求 . 函数 f ( x) 的定义域是

[ a, b ], b

a 0, 求函数 F (x)

f (x)

f ( x) 的定义域

14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗?

在公共定

义域内 : 两个奇函数的乘积是偶函数

; 两个偶函数的乘积是偶函数

; 一个奇函数与一个偶函数的乘积是

奇函数 ;

15、据定义证明函数的单调性时, 调性的一种重要方法。 ( 取值 , 作差 , 判正负 .) 规范格式是什么? 可别忘了 导数也是判定函数单

a x

16、函数 a 0 , a 和 a,

a,0

y

x

的单调区间吗?(该函数在 上单调递增;在

和 0, a 上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!

17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于

还需讨论呀 .

1)字母底数

log c b b n

b 18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?(

log b

, log a

log a )

a a n

log c a

log a b

19、你还记得对数恒等式吗?( b )

ax 2

b

2

0 有实数解”转化为“

20、“实系数一元二次方程

bx c 4 a c 0 ”,你是否注意到必须

b

2

a 0 ;当 a=0 时,“方程有解”不能转化为

4ac 0 .若原题中没有指出是“二次”方程、

函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?

二、三角、不等式

21、三角公式记住了吗?两角和与差的公式

二倍角公式 :

;解题时

; : “看角 , 看函数 , 看特征” , 基本的技巧有 : 巧变角 , 公式变形使用 , 化切

本着“三看”的基本原则来进行 割为弦 , 用倍角公式将高次降次 ,

22、在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定义域内是否为单调

函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

sin 2

cos 2

sec 2 tan 2

23、在三角中,你知道 1 等于什么吗?( x x

x x

1 tan x cot x

tan

4

sin

cos 0

1 的代换 ) 常数 “ 1”的种种代换有着广泛

这些统称为 2

的应用.(还有同角关系公式:商的关系,倒数关系,平方关系; 诱导公试: 奇变偶不变,符号看象限

( ) , ( ) ,

24、在 三 角 的 恒 等 变 形 中 , 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 .( 如

等)

2 2 2

25、你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的

式子,一定要算出值来)

26、你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角

. 异角化同角,

2

2

cos x=(1+cos2x)/2;sin x=(1-cos2x)/2

异名化同名,高次化低次) ;你还记得降幂公式吗? 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

6 2

, sin 75 6 2 , s in18 5 1 )

4

( sin15

cos 75

cos15

4

4 1 lr 2

( l

r , S 28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗? ) 扇形

a

2

b 2

asin x bcosx

sin x

29、 辅助角公式:

( 其中 a, b 的符号确定, 角所在的象限由 角

b 确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用 a

的值由 tan

.

30、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、对称轴,取最值时

的 x 值的集合吗?(别忘了 k Z ) y= A sin(

x ) k 的图象及性质:

三角函数性质要记牢。函数

2

振幅 |A| ,周期 T= , x=x 0 为此函数的对称轴,则 x 0 是使 y 取到最值的点,反之亦然,使 y 取到

若 最值的 x 的集合为 0, A 0 时函数的增区间为

, 当

,减区间为 ;

0 时要利用诱导公式将

变为大于零后再用上面的结论。

, 3

2 x

x, y 作图

五点作图法:令

依次为 0 , 2

,2

求出 x 与 y ,依点

31、三角函数图像变换还记得吗?

平 移 公 ( 1 ) P ( x , y ) 按 向 量 a

h, k

平 移 至 P ′ ( x ′ , y ′ 如 果 点 ), 则

' x

'

y

x y h, k.

( 2) 曲线 f ( x ,y ) =0 沿向量 a

h, k 平移后的方程为 f (

x-h , y-k ) =0 32、有关斜三角形的几个结论:

(1) 正弦定理 : (2)

余弦定理 : (3) 面积公式

33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及

意义?

,[ 0, ], [0, 2

] .

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是

0,

2 l 1 到 l 2 的角、 与l 2 的夹角的取值范围依次是 l 1 ②直线的倾斜角、

[ 0, ), [ 0, ), ( 0, ] .

2

34、不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式) f x g x

35、分式不等式

x a a 0 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式,

的系数变为

正值,奇穿偶回 )

36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值? ( 一般是根据定义分类讨论 )

2

a b 37、利用重要不等式 a b

2 ab a ,b

R

以及变式 ab

等求函数的最值时,你是否注意到 2

(或 a ,b 非负),且“等号成立”时的条件,积 ab 或和 a + b 其中之一应是定值? ( 一正二定三相等 )

a

2

b 2

2

a b 2ab 38、

, (a , b R ) ( 当且仅当 c 时,取等号)

; a 、b 、c R , ab

a b 2

ab a b

a

2

b 2

c

2

ca (当且仅当 a b c 时,取等号) ;

bc 0 a 1或 a 1 )讨论完之后,

39、在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底

要写出:综上所述,原不等式的解集是 .

40、解含参数的不等式的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.

41、 对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题)

三、数列

m n p q 42、等 差 数 列 中 的 重 要 性 质 :( 1 ) 若

, 则 a m a n

a p a q ;( 2 )

b }仍成等差数列

; S n , S 2n S n ,S 3n S 2n 仍成等差数列 数列{ a 2n 1}, {a 2n },{ka n

a- 3 d 、a- 1 d 、a+ 1 d 、a+ 3

d ;

( 3)若三数成等差数列,则可设为

a-d 、a 、a+d ;若为四数则可设为 2

2

2

2

( 4)在等差数列中 , 求S n 的最大 ( 小) 值, 其思路是找出某一项 , 使这项及它前面的项皆取正 ( 负) 值或 0, 而

( 正) 值, 则从第一项起到该项的各项的和为最大 ( 小). 即: 当a 1 >0,d<0, 解不等式组

它后面各项皆取负 a n ≥ 0 a n+1 ≤ 0

可得 S n 达最大值时的 n 的值 ; 当a 1 <0,d>0, 解不等式组 a ≤ 0 a n+1 ≥ 0 可得 S n

n a m b m

S 2m 1 T 2m 1

达最小值时的 n 的值 ; ( 5).若 a n ,b n 是等差数列 ,S n ,T n 分别为 a n ,b n 的前n 项和 , 则

。.

a a n

log a a n

( 6) . 若{ a } 是等差数列,则 { } 是等比数列,若 { a } 是等比数列且 a 0 ,则 { } 是等差数

n n n

列.

m

n

p q ,则 a m 43、等比数列中的重要性质: ( 1)若 a n

a p a q ;( 2) S k , S 2k

S k , S 3 k

S 2 k

成等比数列

44、你是否注意到在应用等比数列求前

n q 1 时, 项和时,需要分类讨论. ( S n

na 1 ; q 1 时,

q n

) q

a (1 1 S )

n

1 45、等比数列的一个求和公式:设等比数列

a n 的前 n 项和为 S n ,公比为 q ,

q m

S S S .

m n m n 46、等差数列的一个性质:设

S n a n a n 的前 n 项和, 是数列 为等差数列的充要条件是

an 2

S bn (a, b 为常数)其公差是 2a.

n

47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若

c n

a n

b n ,其中 a n b n 是等差数列, 是等

比数列,求 c n 的前 n 项的和) 48、用 a 1

S 1 了吗?

a n

S n

S n 1 求数列的通项公式时,你注意到

1 n(n 1

n 1

49、你还记得裂项求和吗?(如

. )

1)

n 1

四、排列组合、二项式定理

50、解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.

51、解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;

多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法,还记得什么时候用隔板法? m

m

n

52、排列数公式是:

组合数公式是: 排列数与组合数的关系是:

P

m ! C

n

n

m n n n

m m n m 1 n

m n 1

r = 2

n

C

C

C

C

C

组合数性质: C =

+

= n

r 0

r

r r r r 1 1

C

r

C

r C

r C n

C

n 1

2

(a b) n0 n 1 n 1b 2 n 2 b 2 r n r b r n n

二项式定理: C a C a C a C a C b

n n n n n

r n r b r

T C a

二项展开式的通项公式:(r 0,1,2 ,n)

r 1 n

五、立体几何

53、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

⊥面,垂直常用向量来证。

线// 线线// 面面// 面,线⊥线线⊥面面54、作出二面角的平面角主要方法是什么?(定义法、三垂线法)三垂线法:一定平面,二作垂线,三作

斜线,射影可见.

55、二面角的求法主要有:解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量

56、求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积变换法、法向量法)

57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗?

58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角,常常与经度及纬度联系在一起,你还记得经度及

纬度的含义吗?( 经度是面面角;纬度是线面角)

59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗?(V+F-E=2 ,其中V 为顶点数, E 是棱数,F 为面数) ,棱的两种算

E=

nF

2 E=

mV

2

( ①多面体每面为n 边形,则;②多面体每个顶点出发有m条棱,则) 法,你还记得吗?

六、解析几何

60、设直线方程时,一般可设直线的斜率为k ,你是否注意到直线垂直于x 轴时,斜率k 不存在的情况?(例

3 2 x2 y2

如:一条直线经过点3, 25 截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程。该题

,且被圆

x+3=0 这一解. )

就要注意,不要漏掉

61、定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及

线段的定比分点坐标公式

值可要搞清)

设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y 2),且P1 P PP2,则

x1 1 y1 1 x2x1x2

x x

2

中点坐标公式

y2y1y2 y y

2

x1x2

3 x3 y1y2

3

y3

62、若( , ) ( , ) ( , ) ,

A x1 y1 ,

B x2 y2 ,

C x3 y3 ,则△ABC的重心G的坐标是在利用

1了吗?

定比分点解题时,你注意到

63、在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两

条直线可以理解为它们不重合.

64、直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式的局限性

式不适用于斜率不存在的直线)

. (如点斜l 1 : A1 x 0 ,l 2

B1 y C1: A2 x B2 y C20 ,有:

65、对不重合的两条直线

A1B2 A1C2A2 B1 A2 C1

l // l l l A A B B 0 .

1 2 1 2 1 2 1 2

66、直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.

x a y

b

1 ,但不要忘记当

67、直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为a=0 时,直线y=kx 在

0,也是截距相等.

两条坐标轴上的截距都是

高中数学公式大全及总结

高中数学公式大全及总结 高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα 2cotα=1 sinα 2cscα=1 cosα 2secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα

sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα 2tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2)

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )(' =;⑥x x e e =' )(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±. (2)' ' ' ()uv u v uv =+. (3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m n m n a a - = = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 根式的性质 (1)当n a =;

高中数学公式大全完整版

高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 .集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n – 1 个;非空子集有 2n – 1 个;非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 ( 1)充分条件:若 ( 2)必要条件:若 ( 3)充要条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件 . q p ,则 p 是 q 必要条件 . p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数; x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) 0 ,则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x) f (x a) ,则 f (x) 的周期 T=a ; ( 2), f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ,或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ; f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n ( a 0, m, n N ,且 n 1 ) .(2) a n 0, m, n N ,且 n 1) . n a m m ( a a n 10.根式的性质 ( ) ( n a )n a . ( 2)当 n 为奇数时, n n a ;当 n 为偶数时, n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11.有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数,② .1 的对数等于 0: log a 1 0 ,③ .底的对数等于 1: log a a 1 , ④ .积的对数: log a (MN ) log a M log a N ,商的对数: log a M log a M log a N , N n log a b 幂的对数: log a M n nlog a M ; log a m b n m

高一数学公式大全

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan=2tanA/(1-tan) ctg=(ctg-1)/2ctga cos=cos-sin=2cos-1=1-2sin 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) co s(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

高中数学公式大全(完整版)

高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2.集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x --'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2),)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ,或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ; 9.分数指数幂 (1)m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >).(2)1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 10.根式的性质 (1 )n a =.(2)当n a =;当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:01log =a ,③.底的对数等于1:1log =a a , ④.积的对数:N M MN a a a log log )(log +=,商的对数:N M N M a a a log log log -=,

高中数学公式总结

高中数学常用知识点 一、函数 1.函数的单调性证明 (1)对于区间T 内任意取两个值21,x x : ①当21x x <时,)()(21x f x f <,则)(x f 为增函数 ②当21x x <时,)()(21x f x f >,则)(x f 为减函数 (比较两个数之间大小的方法:作差、变形、与零比较) 2.函数单调性判断 (1)如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; (2)如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上单调性相同时,则复合函数)]([x g f y =是增函数;单调性相反时,)]([x g f y =是减函数 3.函数的奇偶性 (1)奇函数的图象关于原点对称; (2)偶函数的图象关于y 轴对称; (3)若函数)(x f y =是偶函数,则)()(x f x f =-; (4)若函数)(x f y =是奇函数,则)()(x f x f =-.注意;定义域优先考虑。 4.函数的周期性 (1) 若)()(a x f x f +=,则函数)(x f y =为周期为a 的周期函数. (2)若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 5.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2) 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x += 6.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根? 0)()(21,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ θcos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦,等于α的同名函数,前面加上把α看成锐角时该函数的符号; απ π±+2k 的正弦、余弦,等于α的余名函数,前面加上把α看成锐角时该函数的符号。 口诀:奇变偶不变,符号看象限。 10、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=m .

高中数学公式总结大全

龙正中学05级高中数学公式总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=,顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422,。用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式) c bx ax x f ++=2 )(,(零点式))()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( (顶点式)。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α=r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=x r ,csc α=y r 。 2、 同角三角函数的关系中, 平方关系是:1cos sin 2 2=+αα,αα2 2 sec 1=+tg ,αα2 2 csc 1=+ctg ; 倒数关系是:1=?ααctg tg ,1csc sin =?αα,1sec cos =?αα; 相除关系是:αααcos sin = tg ,α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ω π 2= T ,频率是 πω2= f ,相位是?ω+x ,初相是?;其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: x y sin =的递增区间是?? ? ?? ?+ - 222 2πππ πk k ,)(Z k ∈,递减区间是?????? ++23222ππππk k ,)(Z k ∈;x y cos =的递增区间是[]πππk k 22, -)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是?? ? ? ? + -22 πππ πk k ,)(Z k ∈ 6、和角、差角公式:=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos( βαβαβαsin sin cos cos = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1

高中数学公式总结:高中数学函数公式总结

高中数学公式总结:高中数学函数公式总结高中数学函数知识点总结 (1)高中函数公式的变量:因变量,自变量。 在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 (2)一次函数:①若两个变量,间的关系式可以表示成(为常数,不等于0)的形式,则称是的一次函数。②当=0时,称是的正比例函数。 (3)高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的 横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中,当0,O,则经2、3、4象限;当0,0时,则经1、2、4象限;当0,0时,则经1、3、4象限;当0,0时,则经1、2、3象限。 ④当0时,的值随值的增大而增大,当0时,的值随值的增大而减少。 (4)高中函数的二次函数: ①一般式:,对称轴是 顶点是; ②顶点式:,对称轴是顶点是;

③交点式:,其中,是抛物线与x轴的交点 (5)高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时,在对称轴左侧,值随值的增大而减少;在对称轴右侧;的值随值的增大而增大。当时,取得最小值 ③时,在对称轴左侧,值随值的增大而增大;在对称轴右侧;的值随值的增大而减少。当时,取得最大值 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名 家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强 语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作 中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。 9高中函数的图形的对称 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随

高中数学公式大全(文科)

高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有21n -个;非空子集有21n -个;非空的真子集 有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;(当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时,设为此式) (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠;(当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时, 设为此式) (4)切线式:02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。(当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时,设为此式) 4 真值表: 同真且真,同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 互逆 逆命题 若p则q 若q则p 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非p则非q 互逆 若非q则非p 充要条件: (1)、p q ?,则P 是q 的充分条件,反之,q 是p 的必要条件; (2)、p q ?,且q ≠> p ,则P 是q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且q p ?,则P 是q 的必要不充分条件; 4、p ≠> p ,且q ≠> p ,则P 是q 的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而增大。 (2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且,都有 12()() f x f x <成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是增函数。D 则就是f (x )的递增区间。 减函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而减小。 (2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且,都有 12()() f x f x >成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是减函数。D 则就是f (x )的递减区间。 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。

高一数学必修四(公式总结)

高一数学公式总结 复习指南 1.注重基础和通性通法 在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教材,挖掘教材的潜力,注意避免眼高手低,偏重难题,搞题海战术,轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当然注重基础和通性通法的同时,应注重一题多解的探索,经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一定会,会了不一定对,对了不一定美。即数学学习的五种境界:听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫,每年的高考结束,结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大,这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够,比如仅仅一点“规范答题”问题,我们老师也强调很多遍,但作为学生的你们又有几人能够听进去! 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”: 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题,提高数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的,而只能由学生依据自身已有的知识、经验,主动地加以建构。学习是一个创造的过程,一个批判、选择、和存疑的过程,一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学,老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不甜”嘛!数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆,积累和模仿,而且还要动手实践,自主探索,并且在获得知识的基础上进行反思和修正。(这也就是我们经常将让大家一定要好好预习,养成自学的好习惯。)记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义:科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问,仔细想来确实很有道理! 所以我们在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩固,知识的得到拓展,能力得到提高,思维得到优化,创新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯! 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么,索性就不听,抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的,想象如果上课没有用的话,国家还开办学校干嘛?只要印刷课本就足够了,学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的,听听老师对问题的分析和解题技巧,老师是如何想到的,与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西,更重要的是跟着老师的思路,注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记,因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎样讲的,自己在整理时有比较好的想法,就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上

(完整版)高中数学公式大全

高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人,而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷,然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖:咳嗽贫穷和爱,越隐瞒,就越欲盖弥彰。抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结公式大全

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大 全 高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全 高一数学知识要点与公式总结1)、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性。 (2)集合与元素的关系用符号,表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集、 ;整数集 ;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法:列举法,描述法,韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 2)、集合中元素的个数的计算: (1)若集合中有 n 个元素,则集合的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是。

3)、若 ; 则是的充分非必要条件 ; 若 ; 则是的必要非充分条件 ; 若 ; 则是的充要条件 ; 若 ; 则是的既非充分又非必要条件 ; 4)、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ; 5)、反证法:当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立,步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。 矛盾的 1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定 1)、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 2)、函数的三要素:,,。 (1)函数解析式的求法:①定义法(拼凑):②换元法: ③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法:含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来

高中数学必修 公式总结

高中必修4、5公式定理及常见规律 1.三角函数 1.1终边相同的角 ⑴α与)(Z k k ∈+απ 表示终边相同的角度; ⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; ⑶而α与)(Z k k ∈+απ 表示终边共线的角. ⑷终边相同的角的集合表示:},2|{Z k k S ∈+==παββ或者},360|{Z k k S ∈?+==οαββ 1.2特殊位置的角的集合的表示 1.3孤独之与角度制互化 rad 1(弧度)π 180 = 度ο 7.53≈ 1.4扇形有关公式 ⑴弧长公式:R l ||α=; ⑵扇形面积公式:2||2 1 21R lR S α==扇形 (注 想象成三角形面积计算公式) 1.5任意角的三角函数定义 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距

离记为r ,则x y r x r y === ααα tan ,cos ,sin . 1.6三角函数的同角关系 ⑴商数关系: αααtan cos sin =, 其中Z k k ∈+≠,22ππ α. ⑵平方和关系: 1cos sin 22=+αα; 1.7三角函数的诱导公式 诱导公式(一)απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k ; 诱导公式(二)α απsin )sin(-=+; ααπcos )cos(-=+; ααπtan )tan(=+; 诱导公式(三)ααπ sin )sin(=-; ααπcos )cos(-=-; ααπtan )tan(-=-; 诱导公式(四)ααsin )sin(-=-; ααcos )cos(=-; ααtan )tan(-=-; 诱导公式(五)ααπcos )2sin(=-; ααπ sin )2cos(-=-; 诱导公式(六)ααπ cos )2sin( =+; ααπ sin )2 cos(-=+; 1.8特殊的三角函数值 1.9三角函数的图象与性质

高中高考数学公式大全

高考基础知识(公式) 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 子集:一般地, ,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集:一般地, A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集:一般地, A A A =I ,A B B A =I I ,A A ?=?=?I I 并集:一般地, A A A =U ,A B B A =U U ,A A A ?=?=U U 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个子集(包括空集);非空子集有21n -个;即真子集有21n -个;非空的真子集有22n -个. 充要条件:1、p q ?, 则p 是q 的充分条件;反之(若q p ?), q 是p 的必要条件; 2、p q ?, 且q p ?, 则p 是q 的充要条件; 3、p q ?, 且q ≠>p , 则p 是的q 充分不必要条件; 4、p ≠>q , 且q p ?, 则p 是q 的必要不充分条件; 5、p ≠>q , 且q ≠>p , 则是p 是q 的既不充分又不必要条件。 二、指数与对数 指数性质:(1)1、1p p a a -= ; (2)、0 1a =(0a ≠) ; (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ;(5) 、n a =(0,,a m n N *>∈, 1n >) (6) 、m n a =0,,a m n N *>∈, 且1n >) (7)当n 为偶数时 a =; 当n 为奇数时 ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则 (1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log a a a M M N N =- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m n a a n N N m = (5)、 log 10a = (6)、 log a b a b = (7)、 log 1a a = (8)、换底:log log log m a m N N a = (0,1,0,1,0)a a m m N >≠>≠> (9)、推论:log log 1a b b a ?= ; 22 log log a a N N == 指数与对数的关系: log b a N b a N =?= (0,1,0)a a N >≠>

重点高中数学公式汇总(上海版)

重点高中数学公式汇总(上海版)

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集合命题不等式公式 1、()U C A B ?=_____U U C A C B ?____;()U C A B ?=_____U U C A C B ?______。 2、 A B A ?=?__A B ?___;A B B ?=?__A B ?__; U U C B C A ??__A B ?___; U A C B ?=??____A B ?____;U C A B U ?=?______A B ?_____。 3、含n 个元素的集合有:__2n __个子集,__21n -__个真子集,__21n -__个非空子集,__22n -__个非空真子集。 4、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 否 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 小于等于 至少有n 个 至多n-1个 小于 大于等于 至多有n 个 至少n+1个 对所有x 都成立 至少有一个x 不成立 P 或q (非p )且(非 q ) 对任何x 都不成立 至少有一个x 成立 P 且q (非p )或(非 q ) 5、四种命题的相互关系:__原命题___与___逆否命题__互为等价命题;____否命题____与____逆命题___互为等价命题。 6、若p q ?,则p 是q 的___充分____条件;q 是p 的____必要____条件。 7、基本不等式: (1)R b a ∈,:________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。 (2)+∈R b a ,:__________2a b ab +≥__________等且仅当b a =时取等号。 (3)绝对值的不等式:__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式: + ∈R b a ,时, _______2 11a b +______≤_____ab _____≤___2a b +___≤___22 2a b +____ 等且仅当b a =时取等号。 9、分式不等式:()0()f x g x ≥?()()0()0f x g x g x ?≥??≠? ()0()f x g x ≤?()()0()0f x g x g x ?≤??≠? 10 、 绝 对 值不 等 式 :

上海高中高考数学所有公式汇总

上海高考高三数学所有公式汇总 集合命题不等式公式 1、()U C A B ?=_____U U C A C B ?____;()U C A B ?=_____U U C A C B ?______。 2、 A B A ?=?__A B ?___;A B B ?=?__A B ?__; U U C B C A ??__A B ?___; U A C B ?=??____A B ?____;U C A B U ?=?______A B ?_____。 3、含n 个元素的集合有:__2n __个子集,__21n -__个真子集,__21n -__个非空子集,__22n -__个非空真子集。 4、常见结论的否定形式 __原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。 6、若p q ?,则p 是q 的___充分____条件;q 是p 的____必要____条件。 7、基本不等式: (1)R b a ∈,:________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。 (2)+∈R b a ,:__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。 (3)绝对值的不等式:__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式: + ∈R b a ,时, _______2 11a b +______≤_____≤___2a b +___≤____ 等且仅当b a =时取等号。 9、分式不等式:()0()f x g x ≥?()()0()0f x g x g x ?≥??≠? () 0()f x g x ≤?()()0()0f x g x g x ?≤??≠? 10 、 绝 对 值不 等 式 :

高中数学公式大全(完整版)

高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 1A . B B A B C U B C U A 2 个. B A A A C U B C U A B R .集合{a 1, a 2, ,a n } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1个;非空子集有 2n –1个;非空的真子集有 2n –2 3.充要条件 1)充分条件:若 p ( 2)必要条件:若 q (3)充要条件:若 q ,则 p 是 q 充分条件 . p ,则 p 是 q 必要条件 . q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之 亦然 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b ,x 1 x 2那么 数. (x 1 x 2 ) (x 1 x 2 ) (2) 设函数 f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2) x 1 x 2 f (x 1) f (x 2) x 1 x 2 y f (x) 在某个区间内可导,如果 f (x) f (x)在 a,b 上是增函数; f (x)在 a,b 上是减函数 . 0,则 f (x) 为增函数;如果 f (x) 0,则 f(x) 为减函 5.如果函数 f(x)和 g(x)都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 f(x) g( x)也是减函数 ; 如果函数 f (u)和 u g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y f[g(x)] 是增函数 . 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f (x) 的对称轴是函数 x ab ; 两个函 2 数 y f (x a)与 y f (b x) 的图象关于直线 x a b 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x) f (x 2), f(x a) a),则 f(x) 的周期 T=a ; 1 1 (f (x) 0),或 f(x f (x) a) 1 f(x) (f(x) 0),则 f(x) 的周期 T=2a ; 9. 分数指数幂 1 nm a 10.根式的性 质 m (1) a n a 0,m,n N ,且 n 1 ) .(2) m a n 1 m ( a n a 0,m,n N ,且 n 1) . 1)(n a)n a .(2)当 n 为奇数时, n a n a ; 当 n 为偶数时, n a n |a| a,a 0 a,a 0 11.有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s (a 0,r,s Q) .(2) (a r )s 12.指数式与对数式的 互化式 log a N b a b ①.负数和零没有对数,② .1 的对数等于 0: log a 1 rs a rs (a 0,r,s Q) .(3) N (a 0,a 1,N 0) 0,③ .底的 对数等于 ④ .积的对数: log a (MN) log a M log a N ,商的对数: log a M N (ab)r rr a 1: log a a log a M b (a 0,b 0,r Q) . 1, log a N ,

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