有关圆的经典练习题及答案

圆的经典练习题及答案、填空题1. （2011浙江省舟山，15 , 4分）如图，AB是半圆直径，半径0C丄AB于点O, AD平分/ CAB交弧BC于点D,连结CD、0D，给出以下四个结论：① AC// 0D :②CE =0E ;③厶0DE ADO :④2CD2二CE AB •其中正确结论的序号是_____________ .A 0（第16题）【答案】①④2. （2011安徽，13, 5分）如图，O 0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E,且AB=CD , 已知CE=1 , ED=3，则O 0的半径是 ______________________ •【答案】3. （2011江苏扬州，15,3分）如图，O0的弦CD与直径AB相交，若/ BAD=50 ° ,则/ ACD=【答案】40°4. （2011山东日照，14, 4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是_____________________ •【答案】女口：x2- 5 x+1=0 ；5. （2011山东泰安，23 , 3分）如图，FA与O 0相切，切点为A, P0交O 0于点C,点B是优弧CBA上一点，若/ ABC==320,则/ F的度数为_________________________ 。

6. （2011山东威海，15, 3分）如图，O O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点【答案】53°9. （2011浙江温14, 5分）如图，AB 是O O 的直径，点 C , D 都在O O 上，连结 CA , CB , DC , DB .已知/ D=30 ° BC = 3，贝U AB 的长是E ，若 【答案】（—2,- 1）8. （2011浙江杭州，14, 4）如图，点 A , B , C , D 都在O O 上, 是/ OCD 的平分线，则/ ABD 十/ CAO= _____________ °'的度数等于 84 °CA 【答案】26°ABC 的外心坐标是AE=5, BE=1, CD =4.2,则/ AED=（第珂题图）【答案】610. （2011浙江省嘉兴，16, 5分）如图，AB是半圆直径，半径OC丄AB于点O, AD平分 / CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：① S^ AEC=2S^DEO；②AC=2CD ；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD 2=CE AB .其中正确结论的序号是.（第16 题）【答案】①④11. （2011福建泉州，16, 4分）已知三角形的三边长分别为3, 4, 5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是______________________ .（写出符合的一种情况即可）【答案】2 （符合答案即可）12. （2011甘肃兰州，16,4分）如图，OB是O O的半径，点C、D在O O 上, / DCB=27 ° 贝OBD=_________ 。

【答案】63°13. （2011湖南常德，7, 3分）如图2，已知O O是厶ABC的外接圆，且/ C =70 °,贝OAB = _________ .【答案】20°14. （2011江苏连云港，15,3分）如图，点D 为边AC 上一点，点0为边AB 上一点，AD=DO. 以0为圆心，0D 长为半径作半圆，交AC 于另一点E,交AB 于点F ,G ，连接EF.若/ BAC=22o, 则/ EFG= ________ .215. （2011四川广安，19, 3分）如图3所示，若O 0的半径为13cm ，点p 是弦AB 上一 动点，且到圆心的最短距离为 5 cm ,则弦AB 的长为 ___________ cm【答案】150°17. （2011重庆綦江，13,4分）如图，已知AB 为O 0的直径，/ CAB = 30。

，则/ D=16 4分）已知如图，在圆内接四边形 ABCD 中 , / B=30o,则/ D=-C16. ( 2011重庆江津, BCB18. （2011江西南昌，13, 3分）如图，在△ ABC 中，点P 是厶ABC 的内心，则/ PBC+ /19. （2011江苏南京，13，2分）如图，海边有两座灯塔 A 、B ,暗礁分布在经过 A 、B 两点的 弓形（弓形的弧是O O 的一部分）区域内，/ AOB=80，为了避免触礁，轮船 P 与A 、B 的张角/ APB 的最大值为 ________ °【答案】4020. （2011上海，17, 4分）如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM 丄AB , ON 丄AC ,垂足分别 为M 、N ，如果 MN = 3，那么BC = ____________ .【答案】62011江苏无锡，18, 2分）如图，以原点 O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点 C , D 为第一象限内O O 上的一点，若/ DAB = 20°,则/ OCD =【答案】6522. （2011湖北黄石，14, 3分）如图（5）, △ ABC 内接于圆O ,若/ B = 30 .AC =（3，则 O O的直径为 ____________________________ 。

21.【答案】9023. （2011湖南衡阳，16, 3分）如图，O O的直径CD过弦EF的中点G,/ EOD=40则/ FCD的度数为_______ .【答案】2024. （2011湖南永州，8, 3分）如图，在O O中，直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB , 已知O O的半径为2, AB= 2J3,则/ BCD= ______________ 度.（第8 题）【答案】3025. （20011江苏镇江,15,2分）如图,DE是O O的直径,弦AB丄DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC= ,CD= .126. （2011内蒙古乌兰察布，14, 4分）如图，BE是半径为6的O D的一圆周，C点是BE4上的任意一点，△ ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是_______________第14题图【答案】18 ：：： p 叮8 6、.227. （2011河北，16, 3分）如图7,点0为优弧 ACB 所在圆的圆心，/ AOC=108，点 D 在AB 的延长线上，BD=BC 贝D=__°.【答案】2728. （2011湖北荆州，12, 4分）如图，O 0是厶ABC 的外接圆，CD 是直径，/ B = 40 则/ ACD 的度数是 _________________.的弦心距为（ ）6，3分）如图，半径为 10的O 0中，弦AB 的长为16,则这条弦(A) 6 (B) 8 (C ) 10 (D) 12B【答案】50°二、选择题1. （2011浙江省舟10 , 3分）如图，O O 的弦AB 垂直平分半径 OC ,若AB=，则OO2. （2011 安徽, 7, 4分）如图，O O 的半径是1 , A 、B 、C 是圆周上的三点，/ BAC=36 ° ）【答案】B3. （2011福建福州, 点C,若.AOB =120；,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（9, 4分）如图2,以0为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于B . R =3rC . R = 2rD . R=2..2r B.2 A.【答案】A 5. （2011四川南充市，9, 3分）在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽C. D.AB 为6 分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为 8分米，圆柱形油槽直径MN 为（）【答案】A4. （2011山东泰安,【答案】C 6.（ 2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示， 弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角.ACB=45，则这个人工湖的直径 AD 为（）【答案】C8.（ 2011浙江绍兴，6,4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10， 截面圆圆心O 到水面的距离 0C 是6，则水面宽 AB 是（）A. 16B.10C.8D.6【答案】A 第6题图）9. （2011浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻 度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）B. 10个单位C.4 个单位D. 15个单位10. （ 2011四川重庆，6，4分）如图，O O 是厶ABC 的外接圆，/ OCB = 40。

则/ A 的度数 等于（）(A) 6分米 (B) 8分米 (C) 10分米 (D) 12分米A. 50 2mB.100.. 2mC.150、2mD. 200., 2m A. 74 B. 48 AB 为LI O 的直径，点C 在L O 上，若.C =16 , C. 32 D.16C7. （2011浙江绍兴，4, 4分）如图,则.BOC 的度数是（） （第5题图）数为何?EDF的度数为何? C. 40 °D. 30 °11. （2011浙江省嘉兴，6, 4分）如图，半径为10的O O中，弦AB的长为16,则这条弦(B) 8 (C) 10 (D) 12【答案】A12. （2011台湾台北,16）如图（六）,BD为圆0的直径, 直线ED为圆0的切线，A、C 两点在圆上, AC平分/ BAD且交BD于F点。

若/ ADE = 19，则/ AFB的度97 B. 104 C. 116 D. 142【答案】13. （2011台湾全区，24）如图（六）,△ ABC的外接圆上, AB、BC、CA三弧的度数比为12: 13: 11 .自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交BC于E、F两点，则/B .50 的弦心距为（【答案】C14. （2011甘肃兰州，12, 4分）如图，O O 过点B 、C ,圆心O 在等腰Rt △ ABC 的内部, / BAC=90 °，OA=1，BC=6。

则O O 的半径为15. （2011四川成都，7,3分）如图，若 AB 是O 0的直径，CD 是O O 的弦，/ ABD=58 则/ BCD= （ B ）【答案】B16. （2011四川内江，9, 3分）如图，O O 是厶ABC 的外接圆，/ BAC=60 °，若O O 的半 径OC 为2，则弦BC 的长为17. （2011江苏南京，6, 2分）如图，在平面直角坐标系中，O P 的圆心是（2, a ） （a >2），半径为2,函数y=x 的图象被O P 的弦AB 的长为2.3，则a 的值是B . 60C. 65D. 70(A)116 ° (B)32 ° (C)58(D)64C . 2.3D . 2 「313BA . 1【答案】D【答案】B18. （2011江苏南通，8, 3分）如图，O O 的弦AB = 8, M 是AB 的中点，且 0M = 3,则 O 0 的半径等于20. （2011 上海，6, 4 分）矩形 ABCD 中，AB = 8, BC =3. 5，点 P 在边 AB 上，且 BP =3AP ,如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.（A ）点B 、C 均在圆P 外；（B ）点B 在圆P 夕卜、点C 在圆P 内；（C ）点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； （D ）点B 、C 均在圆P 内. 【答案】C21. （2011四川乐山6, 3分）如图（3） , CD 是O O 的弦，直径 AB 过CD 的中点M ，若/A . 40°B . 60°C . 70°D . 80°【答案】C22. （2011四川凉山州，9, 4分）如图，.AOB =100；，点C 在L O 上，且点C 不与A 、 B 重合，则一 ACB 的度数为（）A . 50B . 80"或 50C . 130D . 50 或 130B. 2C. 10D. 5佃.（2011山东临沂, 6, 3分）如图，O 0的直径 CD = 5cm , AB 是O O 的弦，AB 丄CD ,垂足为M , OM OD = 3: 5,贝U AB 的长是（ D . 2、21cm【答案】D【答4cmBOC=40°，则/ ABD=【答案】D23. （2011广东肇庆，7, 3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形,点，若/ BAD = 105则/ DCE的大小是A. 115B. 105°C. 100 °D.95°【答案】B24. （2011内蒙古乌兰察布，9, 3分）如图，ABCD，如果/ BOC = 70 0，那么/ A的度数为（为O O的直径,）CD为弦，AB丄A . 70B . 35C . 30D . 20AB为O O的直径，点【答案】B25. （2011重庆市潼南，3,4分）如图, C 在O O 上,/ A=30 °,则/ B 的度数为A. 15°B.30C.45 °D. 60【答案】DE是BC延长线上一三、解答题1. (2011浙江金华，21, 8分)如图，射线PG平分/ EPF , O为射线PG上一点，以0为圆心，10为半径作O 0,分别与/ EPF两边相交于A、B和C、D，连结0A,此时有0A //PE.(1)求证：AP = A0 ;(2)若弦AB = 12,求tan/ 0PB 的值；(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、0)构造四边形，则能构成菱形的四个点为_____ ，能构成等腰梯形的四个点为________ 或________ 或__________ .证明：(1)v PG平分/ EPF ,•••/ DP0 = / BP0 ,•/ 0A//PE ,•••/ DP0 = / P0A ,•••/ BP0 = / P0A,•PA=0A; ……2分1解：(2)过点0作0H丄AB于点H，则AH=HB = —AB,……1分20H 1••• tan/ 0PB= , • PH=20H , ……1 分PH 2设0H = x ,贝U PH=2x ,由(1)可知PA=0A= 10 , • AH=PH -FA=2 X —10 ,••• AH 2 0H 2=0A2, ••• (2x-10)2 x^102, ……1 分解得捲=0 (不合题意，舍去)，x28 ,•AH=6 , • AB=2AH= 12; ……1 分(3) P、A、0、C; A、B、D、C 或P、A、0、D 或P、C、0、B.……2 分(写对1 个、2 个、3个得1分，写对4个得2分)2. (2011浙江金华，24, 12分)如图，在平面直角坐标系中，点A (10 , 0),以0A为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB,并延长AB至点D, 使DB = AB,过点D 作x轴垂线，分别交x轴、直线0B于点E、F,点E为垂足，连结CF.(1)当/ A0B = 30°寸，求弧AB的长；(2) 当DE = 8时，求线段EF 的长；(3) 在点B 运动过程中，是否存在以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似，若存在, 请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)连结BC,•/ A ( 10, 0) , ••• OA=10 ,CA=5, •••/ AOB=30°,•••/ ACB=2/ AOB=60° ,(2)连结OD,•/ OA 是O C 直径,OBA=90°, 又••• AB=BD,• OB 是AD 的垂直平分线, • OD=OA=10, 在 Rt △ ODE 中，OE= OD -DE? = 10 -8 =6, • AE=AO — OE= 10-6=4, 由 / AOB=Z ADE=90° - / OAB ，/ OEF = Z DEA , 得厶 OEFDEA,(3)设 OE=x ,点，即OE = 5 ,2AE DEEF EFOE• EF=3;①当交点 E 在O , C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似， / BOA 或/ ECF=Z OAB ，当/ ECF = Z BOA 时，此时△ OCF 为等腰三角形，点 有/ ECF = E 为OC 中•••弧AB 的长=605二空；……4分5二E i ( , 0)；2当/ ECF=/ OAB 时，有CE=5-x, AE=10-x,1••• CF // AB,有CF = _AB2 ，•/△ ECF s\ EAD,1丄，解得:410x ,3②当交点E在点C的右侧时，•••/ ECF>Z BOA ,•要使△ ECF与厶BAO相似，只能使/ ECF=Z BAO , 连结BE,•/ BE为Rt△ ADE斜边上的中线，• BE=AB=BD,•/ BEA=Z BAO,•/ BEA=Z ECF,• CF //BE,CF OCBE - OE•••/ ECF=Z BAO, / FEC = Z DEA=Rt Z,CF CE• E2(, o)而AD=2BE,ADOCAECE2OE5即—2x 10 -x.l / 5 +5妬--E3 (4解得x1AE5 5.17 5 -5.174v 0 （舍去），CE.CF,即口AE AD 10—x• △ CEF AED,•••要使△ ECF 与厶BAO 相似，只能使/ ECF=/ BAO1连结 BE ,得 BE= —AD =AB ，/ BEA=Z BAO2•••/ ECF=Z BEA,• CF // BE, • CF 二 OC"BE - OE ，又•••/ ECF = Z BAO, • △ CEF s\ AED,/ FEC=Z DEA =Rt Z,• CE CF AE 一 AD ，当a =5， b=3时，-―b 与-.ab 的大小关系是而 AD=2BE,• OC2OE - CEAE ,5x+5-5 5. 17-5-5,17— —5解得X i,X -v 0 (舍去)2x 10+x445-5417•••点E 在x 轴负半轴上，•• -E 4 ( , 0),综上所述：存在以点0 )、E 4，0).E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似，此时点E 坐标为:2当a=4, b=4时，与寸£的大小关系是________________________________17 / 39•探究证明 如图所示， ABC 为圆0的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD _ AB 于D ，设AD =a , BD = b .（1） 分别用a, b 表示线段OC , CD ； （2） 探求0C 与CD 表达式之间存在的关系•归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出 口 与•. ab 的大小关系是：2•实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值. 【答案】•观察计算：＞ .、品, 电卫ab .2 2•探究证明：(1) AB = AD BD =20C ,a +b 2••• ACB =90 . : A ACD =90 , ACD BCD =90•••/ A=Z BCD.ACD CBD .• AD CDCD BD '即 CD 2 =AD BD =ab , CD 二..ab ........................ 5 分(2)当 a =b 时，OC 二CD , - b =「ab ；2a^b 时，OC CD , — b > ab . .......................................... 6 分2•结论归纳：-b _、.ab.................. 7分2•实践应用1设长方形一边长为 x 米,则另一边长为-米,设镜框周长为I 米，则x（用含a , b 的式子表示）BAB1 1l =2（x —） > 4 x=4 . ........ 9 分x V x1 当x ,即x =1 （米）时,镜框周长最小. x此时四边形为正方形时，周长最小为4米........... 10分4. （2011山东济宁，19, 6分）如图，AD 为 ABC 外接圆的直径， AD _ BC ，垂足为点 F ,ABC 的平分线交 AD 于点E ，连接BD ，CD .（1） 求证：BD =CD ；（2） 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.【答案】（1）证明：••• AD 为直径，AD _ BC ,BD =CD .二 BD =CD . ......................................... •分（2）答：B , E , C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ............... •分理由：由（1）知：BD =CD ,•••£• BAD ZCBD .••• • DBE 二 CBD CBE , DEB —BAD ABE , CBE —ABE ,:.厶DBE =NDEB ..•• DB = DE . ...................................................................... •分 由（1）知：BD = CD .:. DB = DE 二 DC .B , E ,C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ............ 7分5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点G , E 是直 线AB 上一动点（不与点 A 、B 、G 重合），直线DE 交O O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点 P.设O O 的半径为r.（1） 如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE OP = r 2（2） 当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图 2点E 的位置为例，请你画出符合 题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.••• FQ 是OO 直径,+ / C = 90°•••/ Q =Z C （图Z 1）FD =Z P.•/ CD 丄 AB , D ：•••/ FOE = Z POF ,•••△ FOEPOF.（第19题）D（第19题） 【答90°EB PFO 并延长交OF6. (2011宁波市，25, 10分)阅读下面的情境对话，然后解答问题形”是真命题还是假命题?(2) 在 Rr ： ABC 中， / ACB = 90°, AB = c , AC = b , BC = a ,且 b > a ,若 Rr ： ABC 是 奇异三角形，求 a ： b : c ;(3) 如图，AB 是O O 的直径，C 是上一点(不与点 A 、B 重合)，D 是半圆的中点，CD 在 直径AB 的两侧，若在O O 内存在点E 使得AE = AD , CB = CE . 1求证：■ ：ACE 是奇异三角形；2当^ACE 是直角三角形时，求/ AOC 的度数.【答案】解：(1)真命题(2)在 RL ： ABC 中 a 2+ b 2= c 2,■/ c > b > a > 0 ^ 2 2 2 2 2 2• 2c >a + b , 2a v c + b•••若Rr ： ABC 是奇异三角形，一定有 2b 2= c 2 + a 2 • 2b 2= a 2+( a 2+ b 2) • b 2= 2a 2 得：b = a• OEOF2 2 ..• OE OP — OF 2= r 2理由：如图2,依题意画出图形，连接 M ，连接CM.••• FM 是O O 直径，•••/ FCM = 90° •/ CD 丄 AB ,「./ E + Z D = 90°•••/ M = Z D ，•/ CFM =Z E.•••/ POF = Z FOE ,•△ POFFOE.OP OFOFOE 2 2• OE OP = OF = r . OF ~OP ' (2)解：(1)中的结论成立FO 并延长交O O•••/ M + Z CFM = (第25题图)于90°弼坯*才祜辛于痹三逆爭亍钠；'JI(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题： “等边三角形一定是奇异三角•/ c2= b2+ a2= 3 a2・・c a••• a: b: c= 1::(3)1 v AB是O O 的直径ACBAD S 90° 在Rt .：ABC 中，AC2+ BC2= AB2 在Rt . ：ADB 中，AD2+ BD2= AB2v•点D是半圆的中点・AD = BD・AB2= AD2+ BD2= 2AD2・AC2+ CB2= 2AD2又v CB = CE , AE = AD・AC2= CE2= 2AE2・：ACE是奇异三角形2由1可得■ ：ACE是奇异三角形・AC2= CE2= 2AE2当：ACE是直角三角形时由(2)可得AC: AE: CE = 1::或AC: AE: CE=: : 1(I)当AC : AE : CE = 1 ::时AC : CE= 1 :即AC : CB = 1 :vZ ACB = 90 °ABC = 30 °・Z AOC = 2Z ABC = 60°(II )当AC : AE : CE = : : 1 时AC : CE= : 1 即AC : CB = : 1vZ ACB = 90 °・Z ABC = 60 °・Z AOC = 2 Z ABC = 120°・Z AOC = 2 Z ABC = 120°・Z AOC的度数为60°或120°7. (2011浙江丽水，21, 8分)如图，射线PG平分Z EPF, O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O O,分别与Z EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA,此时有OA //PE.(1)求证:AP = AO ;(2)若弦AB = 12,求tan Z OPB 的值；(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为________ 或或【解】(1)v PG平分Z EPF ,・Z DPO = Z BPO , v OA//PE,・Z DPO = Z POA,•••/ BPO= / POA , ••• PA=OA ;(2)过点O 作OH 丄AB 于点H ，贝U AH=HB ,•/ AB=12, • AH=6,由(1)可知 PA=OA=10, • PH = FA+AH=16, 7,0 O 中AB 是直径，C 是O O 上一点，Z ABC=45 °等腰直角三角形 DCE 中 是直角，点D 在线段AC 上.证明：B 、C 、E 三点共线； 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN=OM ; 将厶DCE 绕点C 逆时针旋转 a ( 0°< aV 90 °后，记为△ D i CE i (图8),若M i 是 M i N i =OM i 是否成立？若是，请证明；若不是， 【答案】(1 )••• AB 为O O 直径• Z ACB=90 °•••△ DCE 为等腰直角三角形• Z ACE=90 ° • Z BCE=90 ° +90 ° =180°• B 、C 、E 三点共线.(2)连接 BD , AE , ON . vZ ACB=90 ° ,Z ABC=45° • AB=AC •/ DC=DEZ ACB= Z ACE=90 °• △ BCD ◎△ ACE• AE=BD , Z DBE= Z EAC:丄 DBE+ / BEA=90 °••• BD 丄 AE(3) 8.如图 DCE (1)(2)(3)OH==8 ,A 、0、D 或 P 、C 、0、B.AN iOCMD iE i线段BE i 的中点，N i 是线段AD i 的中点, 说明理由.NDOC M图7•/ O , N为中点• ON // BD , ON=BD同理OM // AE , OM=AE••• OM 丄ON , OM=ON••• MN=OM(3)成立证明：同(2)旋转后/ BCD 1= / BCE i=90°—/ ACD 1所以仍有厶BCD i^^ ACE i,所以△ ACE i是由△ BCD i绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD i丄AE i 其余证明过程与(2)完全相同.9. (2011浙江丽水，24, 12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(10 , 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D, 使DB = AB,过点D 作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足，连结CF.(1)当/ AOB = 30°时，求弧AB的长；(2)当DE = 8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△ AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由•/ A(10, 0), • OA=10 , CA=5,•••/ AOB=30 ° ,•••/ ACB=2/AOB=60° ,•的长==;(2)连结OD ,•/ OA 是O C 的直径，•••/ OBA=90 ° , 又••• AB= BD , • OB 是AD 的垂直平分线， • OD= OA=10, 在 Rt △ ODE 中， OE===6 ,• AE= AO — OE =10 - 6=4, 由/ AOB= / ADE= 90°—/ OAB , / OEF = / DEA , 得厶 OEFDEA , • =，即卩=,• EF=3;*yn⑶设OE=x ,①当交点E 在O , C 之间时，由以点 E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似， 有/ ECF = / BOA 或/ ECF= / OAB ，当/ ECF = / BOA 时，此时△ OCF 为等腰三 角形，点E 为OC 的中点，即OE=,• E i (, 0)；当/ ECF = / OAB 时，有 CE=5 — x , AE=10 — x,yD••• CF//AB，有CF=AB,•/△ ECF s\ EAD ,•=，即=，解得x=,• E2（, 0）；②当交点E在C的右侧时，•••/ ECF>Z BOA•要使△ ECF与厶BAO相似，只能使/ 连结BE,•/ BE为Rt△ ADE斜边上的中线，•BE=AB=BD,•/ BEA= / BAO,•/ BEA= / ECF,•/ CF//BE, •=,•••/ ECF = Z BAO，/ FEC= / DEA=Rt /•△ CEF AED , •=, 而AD=2BE , •=,即=,解得X i = , X2=<0 （舍去），•E3（, 0）；•••/ BOA= / EOF>/ ECF•要使△ ECF与厶BAO相似，只能使/ ECF= /BAO ,ECF= / BAO ,连结 BE ,得 BE=AD=AB , / BEA= / BAO , •••/ ECF = / BEA , ••• CF//BE ,--=,又•••/ ECF = Z BAO ，/ FEC = / DEA=Rt Z, • △ CEF s\AED , •=,而 AD=2BE , •=,•=,解得 X 1 = , X 2=<0 （舍去），•••点E 在x 轴负半轴上，• E 4（ , 0）,综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△ AOB 相似，此时点E 坐标为：• E l （，0）、E 2（，0）、E 3（，0）、E 4（，0）. _10. （2011江西，21, 8分）如图，已知O O 的半径为2,弦BC 的长为2・、3 ,点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B , C 两点除外）。