高等代数线性方程组42页PPT

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置；（2）以非零常数k乘以方程组中某个方程；（3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形，得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

高等代数课件北大版第三章线性方程组

定义：将线性方程组中的每一行进行加减、倍乘等操作，使得方程组简化
作用：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，便于求解线性方程组
步骤：对增广矩阵进行初等行变换，得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过程中需保持矩阵的行列式不变，避免出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中的应用：用于计算光照、纹理映射和渲染等。

线性方程组在计算机视觉中的应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应用：用于训练和优化模型，如线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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线性代数第四章线性方程组课件

方程组 AX 0 的两个基础解系，则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果，我们能够得到非齐次线性方程组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解，令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数，则
k11 k22 kss
也是方程组的解．即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ，即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解，则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}，其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理）齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数

扬州大学高等代数课件北大三版--第三章线性方程组-PPT课件

→
2 4 2

3
把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行
线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
课件
4
高等代数
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x 2 x3 5
→
2 0 0 2 0 0
—（1）
3
线性方程组
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解，其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
课件 3
高等代数
性方程组
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上；用一个非零数乘矩阵的某一行；
课件 6
互换两行的位置。这三种变换被称为矩阵的初等行变换。从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。定义1（矩阵）：数域 F 上 mn 个元素排成形如下数表 a1n a11 a12 a a a 22 2n 21 3 称为数域 F 上的m行n列 amn a m1 a m 2 线矩阵，简称 mn阶矩阵，记为 A 或 a ij m n 。 a i j 称为矩阵的 mn 性元素，i称为元素 a i j 所在行的行下标，j称为元素 a i j 所在列的方 n n 矩阵亦称为方阵。列下标。当m=n时，

线性方程组课件

对一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
（*）
分别称
a11 a A 21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a a2 n , A 21 a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 bm
例2
解线性方程组
x3 x3 x3 x3 2 x4 4 x4 x4 3 x5 4 x5 5 x5 8 x5 1 2 3 2
x1 x2 2 x 2 x 1 2 3 x1 3 x2 x1 x2
。
§1.2 线性方程组解的情况及判别
情形一：
d r 1 0 0 d r 1
此时阶梯形方程组中出现了
这种矛盾方程，因此阶梯形方程组无解。
情形二：
d r 1 0
子情形一：
r n
则上述阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n
定理方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组。
定理任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。
给定线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

高等代数线性方程组

增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0

4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时有唯一解? 有无穷多个解无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1

1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩阵

《线性代数》教学课件—03线性方程组

1 1 0 2 ((11))rr32 0 1 1 0
0 0 1 3
阶梯形矩阵所对应的线性方程组为
x1 x2 2
x2
x3
0
x3 3
第三步运用逐步回代求出阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解
x1 1
x2
3
x3 3
上述解即为原方程组的解. 由于此方程组中未知数的个数n和方程m的个数相同，故方程组的解是惟一的.
rr1223rr33 0 1 0 20 5 0 r1(3)r2 0 1 0 20 5 0
0 0 1 7 2 0
0 0 1 7 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
第三步增广矩阵的秩 R(AB) 3，基本未知量的个数是3，未知量的个数是5，所以自由未知量个数为2个.
第四步写出行最简形阶梯矩阵所对应的线性方程组
x1 x3,
x2
x3
1,
x4
x3
1.
（3.1.4）
表示式（3.1.4）也是方程组（3.1.1）的一般解. 虽然两个一般解的表达形式上不一样，但它们本质上是一样的，都表示了方程组（3.1.1）的所有解.式(3.1.4)的矩阵形式为：
x1 1 0
x2
k
1
1.
x3 x4
3 7 1 1 3 0
1
4
5
1
0
0
第二步用初等行变换将( A B)化为行最简形阶梯矩阵
(3.1.9)
1 3 2 2 1 0
1 3 2 2 1 0
( A B) 2 5 1 5 3 0 rrr342(2r1r13)r10 1 3 1 1 0
3 7 1 1 3 0
0 2 5 5 0 0

线性方程组解PPT课件

VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解未知数。在消元过程中，通过行变换将方程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通过回代过程求解未知数。该方法具有较高的计算效率和精度，适用于大规模线性方程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的运动状态，分析系统的平衡点和稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流和电压关系，分析电路的阻抗、导纳和转移矩阵等参数，为电路设计和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如声波、光波和水波等，分析波的传播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词