《1.3.1圆幂定理》教学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案

教学目标

1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项；

2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；

3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点

重点：正确理解相交弦定理及其推论

难点：相交弦定理及其推论的熟练运用

教学过程

前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题.

探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？

∙=∙(老师引导学生完成推导过程)

.

PA PB PC PD

探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？

连接AD、BC，请同学们自己给出证明.

探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？

事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明.

由上诉探究和论证，我们有

1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？

2.

=∙(老师引导学生完成推导过程)

PA PC PD

由上诉探究和论证，我们有

3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：

由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A• PB都是定值.

设定植为k，则：

当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得

k = P A• PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 )

当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则：

k = P A• PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 )

当点P在圆上时，显然k=0.

由上，我们可以得到：

圆幂定理：

已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则：

当点P在圆外时，k= PO2- r2；

当点P在圆内时，k= r2- PO2；

当点P在⊙O上时，k= 0.

我们称定值k为点P对⊙O的“幂”

【自主检测】

1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____.

2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______.

3

. 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______.

4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．

【例题解析】

例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦的长度为32cm ，求第二条弦被交点分成的两端的长.

解：设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm ， 则另一段长为 (32 – x ) cm ，根据相交弦定理，有

x (32 – x )=12×16，即x 2 – 32x +192=0.

解得x 1=8或x 2=24.因此

32 – x 1=24，32 – x 2=8.

另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ，24cm .

例2已知：线段a ，b (如图)

求作：线段c ，使c 2=ab .

作法：1.作线段AP =a ；

2.延长AP 到点B ，使PB =b ；

3.以AB 为直径作半圆；

4.过点P 作PC ⊥AB ，交半圆于点C .

PC 就是a ，b 的比列中项c .

例3已知如图，在⊙O 中，C 是⊙O 上异于A ，B 的一点，弦AB 的延长线与过点C 的切线相交于P ，过B 作⊙O 的切线交CP 于点D ，且∠CDB =90°，CD =3，PD =4.求⊙O 的弦AB 的长.

解：因为DC 切⊙O 于点C ，DB 切⊙O 于点B ，所以CD =BD =3，

因为∠CDB =90°，PD =4，所以

22 5.,(4+3)=5.

49.5

49245.55

PB PC PB PA PA PA AB PA PB ====∙==-=-=又因为

所以

所以因此 【课堂小结】

回顾本课学习了哪些知识？