《1.3.1圆幂定理》教学案1
《1.3.1圆幂定理》教学案3
《1.3.1圆幂定理》教学案【教学目标】1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.【教学重难点】重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用；难点：灵活运用圆幂定理解题.【教学过程】相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等.定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·PD(相交弦定理)2证明证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.)∴△P AC∽△PDB∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆.3比较相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度.4相交弦定理推论定理如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项.说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种.切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=P A·PB(切割线定理)推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=P A·PB=PC·PD2证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=P A·PB证明：连接AT，BT∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 )切割线定理的证明∠APT=∠APT(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·P A3比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求直线段长度.二〖知识点〗相交弦定理、切割线定理及其推论〖大纲要求〗1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；2．了解圆幂定理的内在联系；3．熟练地应用定理解决有关问题；4．注意(1)相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；(2)见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.考查重点与常见题型证明等积式、等比式及混合等式等.此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识.常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中.。
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解圆心角、圆幂定理的概念；（2）掌握圆心角与圆幂定理之间的关系；（3）能够运用圆心角与圆幂定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等方法，发现圆心角与圆幂定理之间的关系；（2）运用图形计算器或其他工具，验证圆心角与圆幂定理之间的关系。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的观察能力、实验能力、推理能力；（2）激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）圆心角与圆幂定理的概念；（2）圆心角与圆幂定理之间的关系。
2. 教学难点：（1）圆幂定理的证明；（2）运用圆心角与圆幂定理解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入：（1）复习相关知识：角的概念、圆的性质；（2）提问：圆心角与圆有什么特殊关系？2. 新课讲解：（1）介绍圆心角的概念；（2）引入圆幂定理；（3）讲解圆心角与圆幂定理之间的关系。
3. 实例演示：（1）利用图形计算器或其他工具，展示圆心角与圆幂定理的实例；（2）引导学生观察、分析实例，巩固所学知识。
四、课堂练习：1. 填空题：（1）圆心角___________于圆周上的角；（2）圆幂定理指的是___________。
2. 选择题：（1）一个圆周上的角，它的顶点在圆心，这个角叫做_________；（2）在同一圆中，两个圆心角的___________相等。
五、课后作业：（1）已知一个圆的半径为5cm，求直径的长度；（2）已知一个圆的周长为18.84cm，求圆的半径。
2. 探索性问题：（1）请研究圆心角与圆幂定理在实际问题中的应用；（2）尝试创新，将圆心角与圆幂定理的知识推广到其他几何图形。
六、教学拓展：1. 对比分析：（1）引导学生回顾之前学过的角的概念，如平角、周角等；（2）分析圆心角与这些角的关系，加深对圆心角的理解。
2. 联系实际：（1）举例说明圆心角在生活中的应用，如自行车轮子的转动、钟表的指针等；（2）引导学生关注圆心角在其他领域的应用。
《1.3.1圆幂定理》课件3-优质公开课-人教B版选修4-1精品
跟踪训练
1．(2013·高考湖南卷)如图，在半径为 7的⊙O 中，弦 AB， CD 相交于点 P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心 O 到弦 CD 的 距离为________．
解析：由相交弦定理得 PA·PB＝PC·PD. 又 PA＝PB＝2，PD＝1，则 PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，
∴OE＝
r2－C2D2＝
7－245＝ 23.
答案：
3 2
考点二 切割线定理 例2 (2013·高考重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ A＝60°，AB＝20，过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD，BD ⊥CD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为________．
【解析】 在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°. ∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3. ∵CD 为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3. 由切割线定理得
∴DA＝BA－BD＝5－156＝95.
∴BDDA＝196.
答案
16 9
反思感悟 本小题主要考查圆的切割
1.3.1圆幂定理》课件1
新知初探思维启动
1．相交弦定理
(1)文字叙述 圆内的两条相__交__弦__，被交点分成的两条线段长的积___相__等__． (2)图形表示 如图，弦 AB 与 CD 相交于 P 点， 则 PA·PB＝_P_C_·_P_D__.
2.切割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线，_切__线__长__是这点到割线与圆交 点的_两__条__线__段__长___的比例中项．
《1.3.1圆幂定理》教学案1
《1.3.1圆幂定理》教学案教学目标1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项；2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点重点：正确理解相交弦定理及其推论难点：相交弦定理及其推论的熟练运用教学过程前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题.探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？∙=∙(老师引导学生完成推导过程).PA PB PC PD探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？连接AD、BC，请同学们自己给出证明.探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明.由上诉探究和论证，我们有1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？2.=∙(老师引导学生完成推导过程)PA PC PD由上诉探究和论证，我们有3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A• PB都是定值.设定植为k，则：当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得k = P A• PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 )当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则：k = P A• PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 )当点P在圆上时，显然k=0.由上，我们可以得到：圆幂定理：已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则：当点P在圆外时，k= PO2- r2；当点P在圆内时，k= r2- PO2；当点P在⊙O上时，k= 0.我们称定值k为点P对⊙O的“幂”【自主检测】1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_____.2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______.3. 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______.4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝______．【例题解析】例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦的长度为32cm ，求第二条弦被交点分成的两端的长.解：设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm ， 则另一段长为 (32 – x ) cm ，根据相交弦定理，有x (32 – x )=12×16，即x 2 – 32x +192=0.解得x 1=8或x 2=24.因此32 – x 1=24，32 – x 2=8.另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ，24cm .例2已知：线段a ，b (如图)求作：线段c ，使c 2=ab .作法：1.作线段AP =a ；2.延长AP 到点B ，使PB =b ；3.以AB 为直径作半圆；4.过点P 作PC ⊥AB ，交半圆于点C .PC 就是a ，b 的比列中项c .例3已知如图，在⊙O 中，C 是⊙O 上异于A ，B 的一点，弦AB 的延长线与过点C 的切线相交于P ，过B 作⊙O 的切线交CP 于点D ，且∠CDB =90°，CD =3，PD =4.求⊙O 的弦AB 的长.解：因为DC 切⊙O 于点C ，DB 切⊙O 于点B ，所以CD =BD =3，因为∠CDB =90°，PD =4，所以22 5.,(4+3)=5.49.549245.55PB PC PB PA PA PA AB PA PB ====∙==-=-=又因为所以所以因此 【课堂小结】回顾本课学习了哪些知识？。
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理2第八讲 圆幂定理一、 知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
即：如图，P A ·PC=PB ·PDC2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
即：如图，PA 2=P B ·PCP3、 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B 、C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD 。
3二、 要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值），即）定值（22r OP PB PA -=⋅2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
三、 例题讲解：例1、已知：如图，在ABC ∆中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN例2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=E D·EG例3、在Rt ABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：A D⊥BF45例4、如图，AB 是⊙O 中任意一弦，M 为AB 的中点，过M 任作两条弦CD 、EF,连接CE 、DF 分别交AB 于G 、H,求证：MG=MH (蝴蝶定理) A BMCDE F G H6例5、ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD ⊥AC,AC 与BD 的交点为E,点F 在DA的延长线上，连接BF,点G 在BA 的延长线上，使得DG ∥BF,点H 在GF 的延长线上,CH ⊥GF,证明：B 、E 、F 、H 四点共圆。
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆 幂 定 理 (Word)
_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。
13、圆幂定理
3、理解逆变换的概念，根据变换与矩阵的关系 理解逆矩阵的意义；了解逆矩阵可能不存在； 会证明逆矩阵的唯一性等简单性质；了解二阶 行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．
4、能用变换与映射的观点认识解线性方程组的 意义，会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；会通 过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组 解的存在性，唯一性．
5、关注以下问题：与初中平面几何的衔接；如 何培养学生综合地运用综合法推理与计算推 理的能力；启发学生学习几何的兴趣。
二、地位和作用
1、是衔接初中几何与高中几何的桥梁．由于初中几何对 推理的要求不高，平面几何知识相对又不够完整，所 以在高中要对平面几何加以复习提高，并加强对学生 推理能力的训练．
2、几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今 为止还没有其他课程能够替代几何的这种地位．
难点：线性变换的基本性质、矩阵乘法的 运算律（这可能是学生第一次遇到不满 足交换律、消去律的运算）、矩阵的特 征值与特征向量的概念等．
五、本专题中数学思想方法
类比；从特殊到一般；从具体到抽 象；转化；运动变换；算法的思想 ；“数形结合”等多种数学思想方 法．
六、内容简介
第一章 二阶矩阵与平面图形的变换（分 为三大节）
C
D
AG
．
F
O
MB
E
C
D
AG
．
F
O
MB
E
第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线（本章分 两大节编写）
2．1平行投影与圆柱面的平面截线（分2小节） 2．1．1平行投影的性质． 2．1．2圆柱面的平面截线． 2．2用内切球探索圆锥曲线的性质（分4小节） 2．2．1球的切线与切平面． 2．2．2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线． 2．2．3圆锥面及其内切球． 2．2．4圆锥曲线的统一定义．
圆学案15圆幂定理
圆⒂圆幂定理一、引入⑴如图，已知⊙O中，弦AB、CD相交于P，求证：PA∙PB=PC∙PD；变式：作直径OP，设⊙O的半径为r，OP=d，求证：PA∙PB=PC∙PD=r2−d2；⑵如图，已知⊙O，直线PT切⊙O于T，割线PAB交⊙O 于A、B两点，求证：PT2=PA∙PB；变式：作直径OP，设⊙O的半径为r，OP=d，求证：PT2=PA∙PB=d2−r2；⑶如图，已知⊙O，割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD交⊙O于C、D两点，求证：PA∙PB=PC∙PD；二、圆幂定理⑴相交弦定理⑵切割线定理⑶割线定理⑷推论三、例题讲解【例】如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．PPP文字描述________________________________________________________________________________；几何语言__________________________________________________；P文字描述________________________________________________________________________________；几何语言__________________________________________________；P文字描述________________________________________________________________________________；几何语言__________________________________________________；几何语言__________________________________________________；几何语言__________________________________________________；课后作业⒂1、以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）A、3：4B、4：5C、5：6D、6：72、如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）A、4cmB、16cmC、20cmD、√3、图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（）A、8cmB、10cmC、12cmD、14cm4、如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=4cm，AB=5cm，⊙O的半径R=4.5cm，此时P点到圆心O的距离是_____cm．5、如图，半圆O的直径AB=10cm，PO=8cm，DC=2PC，则PC= _______cm．6、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE=DE；②∠EBD=∠EDB；③DE∥AB；④BD2=2AD •FC其中正确的结论有________．（把你认为正确结论的序号全部填上）7、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，连接AB，并在其延长线上取点P，过P作⊙O1、⊙O2的切线PC、PD，切点分别为C、D，若PC=6，则PD=_______．8、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm，则此光盘的直径是______cm.9、如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．10、如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．（1）求证：CE：AE=DE：BE；（2）计算CE•BE的值；（3）探究：BE的取值范围．11、如图1，已知正方形ABCD的边长为2√3，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．。
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《1.3.1圆幂定理》教学案
教学目标
1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项；
2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；
3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点
重点：正确理解相交弦定理及其推论
难点：相交弦定理及其推论的熟练运用
教学过程
前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题.
探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？
∙=∙(老师引导学生完成推导过程)
.
PA PB PC PD
探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？
连接AD、BC，请同学们自己给出证明.
探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？
事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明.
由上诉探究和论证，我们有
1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？
2.
=∙(老师引导学生完成推导过程)
PA PC PD
由上诉探究和论证，我们有
3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：
由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A• PB都是定值.
设定植为k，则：
当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得
k = P A• PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 )
当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则：
k = P A• PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 )
当点P在圆上时，显然k=0.
由上，我们可以得到：
圆幂定理：
已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则：
当点P在圆外时，k= PO2- r2；
当点P在圆内时，k= r2- PO2；
当点P在⊙O上时，k= 0.
我们称定值k为点P对⊙O的“幂”
【自主检测】
1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____.
2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______.
3
. 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______.
4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．
【例题解析】
例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦的长度为32cm ，求第二条弦被交点分成的两端的长.
解：设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm ， 则另一段长为 (32 – x ) cm ，根据相交弦定理，有
x (32 – x )=12×16，即x 2 – 32x +192=0.
解得x 1=8或x 2=24.因此
32 – x 1=24，32 – x 2=8.
另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ，24cm .
例2已知：线段a ，b (如图)
求作：线段c ，使c 2=ab .
作法：1.作线段AP =a ；
2.延长AP 到点B ，使PB =b ；
3.以AB 为直径作半圆；
4.过点P 作PC ⊥AB ，交半圆于点C .
PC 就是a ，b 的比列中项c .
例3已知如图，在⊙O 中，C 是⊙O 上异于A ，B 的一点，弦AB 的延长线与过点C 的切线相交于P ，过B 作⊙O 的切线交CP 于点D ，且∠CDB =90°，CD =3，PD =4.求⊙O 的弦AB 的长.
解：因为DC 切⊙O 于点C ，DB 切⊙O 于点B ，所以CD =BD =3，
因为∠CDB =90°，PD =4，所以
22 5.,(4+3)=5.
49.5
49245.55
PB PC PB PA PA PA AB PA PB ====∙==-=-=又因为
所以
所以因此 【课堂小结】
回顾本课学习了哪些知识？。