实验3__曲线拟合的最小二乘法
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用
非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用非线性曲线拟合的最小二乘法是一种特殊的最小二乘拟合，源于非
线性回归，通常用来拟合复杂的曲线数据。
该方法包括数据解算和参
数拟合两个部分，在参数拟合部分，使用最小二乘法拟合获得最优的
参数，从而完成非线性曲线的拟合。
非线性曲线拟合的最小二乘法被广泛用于数学计算、信号处理、机器
学习以及物理、化学等多个领域的理论计算和实验研究。
1. 数学计算：可用非线性曲线拟合的最小二乘法进行二次函数拟合、
多项式拟合以及高次函数拟合，用于求解常见数学、物理问题中的数
值解及物理参数估算，并进行复杂程序的拟合和分析。
2. 信号处理：可用非线性最小二乘拟合方法对由采样信号产生的数据
进行拟合，从而获得目标函数的近似曲线，从而改善原信号的质量。
3. 机器学习：也可以用非线性曲线拟合的最小二乘法进行模型的训练，常用于拟合复杂的经验曲线或归纳出经验模型参数，从而用于分析、
定制解决复杂问题。
4. 物理、化学：可用该方法拟合物理、化学实验观测数据，获得各种
物理、化学实验内容的量化数据，绘制出准确的实验曲线，或分析出
物质间的关系及变化规律。
数值分析曲线拟合的最小二乘法——董安葳
数值分析第二次实验报告姓名：董安葳学号：5123119题目：曲线拟合的最小二乘法实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。
实验过程：1．实验代码：zuixiaoerchengnihe.mfunction zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X);G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵Gd=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵dfor ii=1:n+1for jj=ii:n+1for kk=1:a;G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角endG(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值endfor pp=1:ad(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵dendendjielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量%将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出fprintf('f(x)=')for ii=1:n+1fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)])if ii~=n+1fprintf('+')endendfprintf('\n')2．调用方法和输出结果：P95第十六题：P95第17题：P95第18题：经过输入X向量和Y向量再通过plot函数连线则可以判断用二次函数拟合比较合适。
故如下方式调用：。
最小二乘法曲线拟合实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最小二乘法曲线拟合实验报告篇一：实验3曲线拟合的最小二乘法实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1)给定数据如下：x：0.15，0.4，0.6，1.01，1.5，2.2，2.4，2.7，2.9，3.5，3.8，4.4，4.6，5.1，6.6，7.6；y：4.4964，5.1284，5.6931，6.2884，7.0989，7.5507，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403，8.5303，8.7394，8.9981，9.1450，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2)已知一组数据：x：0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1y：-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
excel拟合曲线用的最小二乘法
Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。
拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。
在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。
2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。
其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。
残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。
在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。
3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。
通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。
可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。
4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。
它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。
然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。
在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。
5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。
最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。
在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。
曲线拟合的最小二乘法
一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。
设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。
这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。
这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。
如下为一个曲线拟合示意图。
清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。
曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。
若令（1-1）则为残向量（残差）。
“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。
计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。
）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。
什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。
回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。
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《计算方法》实验报告学院：计算机学院专业：计算机科学与技术指导教师：JW-++1 爨莹班级学号：201207010229 姓名：图尔荪托合提实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1) 认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2) 编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3) 上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果(包括必要的中间结果)；4) 分析和解释计算结果；5) 按照要求书写实验报告；3、实验内容：1) 给定数据如下：x ：0.15，0.4，0.6 ，1.01 ，1.5 ，2.2 ，2.4，2.7，2.9，3.5 ，3.8 ，4.4，4.6 ，5.1 ，6.6，7.6；y ：4.4964，5.1284，5.6931 ，6.2884 ，7.0989 ，7.5507 ，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403 ，8.5303 ，8.7394，8.9981 ，9.1450 ，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2) 已知一组数据：x ：0，0.1，0.2 ，0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6，0.7，0.8，0.9 ，1y ：-0.447，1.978，3.28 ，6.16 ，7.08 ，7.34 ，7.66，9.56，9.48，9.30 ，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=o,1,…,m误差(i=o,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…口绝对值的最大值，即误差向量的％—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1 —范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0,1,…m)，在取定的函数类中,求，使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小。
6设计思想：从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
7、对应程序：(1)幕函数程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n(){ double a0[16][2],a1[2][16],A[2][2],Y[2];int i,j,k;double x[16]={0.15,0.4,0.6,1.01,1.5,2.2,2.4,2.7,2.9,3.5,3.8,4.4,4.6,5.1,6.6, 7.6},y[16]={4.4964,5.1284,5.6931,6.2884,7.0989,7.5507,7.5106,8.0756,7.8708,8.2403,8.5303,8.7394,8.9981,9.1450,9.5070,9.9115};double m0,m1, n;for(i=0;i<=15;i++){a0[i][0]=1;a0[i][1]=log(x[i]);y[i]=log(y[i]);printf(" 输入X 的值：");prin tf("%f ",a0[i][1]);prin tf(" 得到的对应的函数值：");prin tf("%f \n ",y[i]);}prin tf("\n");for(i=0;i<=15;i++) for(j=0;j<=1;j++){a1[j][i]=a0[i][j];}// 以上正确A[0][0]=0;A[0][1]=0;A[1][0]=0;A[1][1]=0;Y[0]=0;Y[1]=0;for(i=0;i<=1;i++){for(j=0;j<=1;j++){for(k=0;k<=15;k++){A[i][j]+=a1[i][k]*a0[k][j];}}for(i=0;i<=1;i++) {for(j=0;j<=15;j++){Y[i]+=a1[i][j]*y[j];}} m0=(Y[0]*A[1][1]-Y[1]*A[0][1])/(A[0][0]*A[1][1]-A[1][0]*A[0][1]); n=(Y[0]*A[1][0]-Y[1]*A[0][0])/(A[0][1]*A[1][0]-A[1][1]*A[0][0]);m1=exp(m0);printf(" 得到的幂函数X 的系数是：%f\n",m1); printf(" 得到的幂函数X 的指数是: %f\n",n);} (2)最小二乘法求多项式#include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> #include <process.h> #define N 11//N 个点#define T 3 //T 次拟合#define W 1// 权函数#define PRECISION 0.00001 float pow_n(float a,int n) {int i;if(n==0) return(1);float res=a; for(i=1;i<n;i++) {res*=a;} return(res);} void mutiple(float a[][N],floatb[][T+1],float c[][T+1]) {float res=0;int i,j,k; for(i=0;i<T+1;i++) for(j=0;j<T+1;j++){res=0; for(k=0;k<N;k++) {res+=a[i][k]*b[k][j];c[i][j]=res;}}}void matrix_trans(float a[][T+1],float b[][N]){int i,j; for(i=0;i<N;i++) {for(j=0;j<T+1;j++) {b[j][i]=a[i][j];}}}void init(float x_y[][2],int n){int i;prin tf(" 请输入％c个已知点：\n",N);for(i=0;i<n;i++){printf("(x%d y%d):",i,i);scanf("%f %f",&x_y[i][0],&x_y[i][1]);}}void get_A(float matrix_A[][T+1],float x_y[][2],int n){int i,j;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<T+1;j++) {matrix_A[i][j]=W*pow_n(x_y[i][0],j);}} }void print_array(float array[][T+1],int n){int i,j; for(i=0;i<n;i++) {for(j=0;j<T+1;j++) {printf("%-g ",array[i][j]);} printf("\n");}}void convert(float argu[][T+2],int n){int i,j,k,p,t;float rate,temp;for(i=1;i<n;i++){for(j=i;j<n;j++) {if(argu[i-1][i-1]==0) {for(p=i;p<n;p++){if(argu[p][i-1]!=0)break;}if(p==n){printf(" 方程组无解!\n");exit(0);} for(t=0;t<n+1;t++){temp=argu[i-1][t];argu[i-1][t]=argu[p][t]; argu[p][t]=temp;} }rate=argu[j][i-1]/argu[i-1][i-1]; for(k=i-1;k<n+1;k++) {argu[j][k]-=argu[i-1][k]*rate;if(fabs(argu[j][k])<=PRECISION) argu[j][k]=0;}}}}void compute(float argu[][T+2],int n,float root[]){int i,j;float temp;for(i=n-1;i>=0;i--){temp=argu[i][n];for(j=n-1;j>i;j--){temp-=argu[i][j]*root[j];}root[i]=temp/argu[i][i];}}void get_y(float trans_A[][N],float x_y[][2],float y[],int n){int i,j;float temp;for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<N;j++){temp+=trans_A[i][j]*x_y[j][1];}y[i]=temp;}}void cons_formula(float coef_A[][T+1],float y[],float coef_form[][T+2]) {int i,j; for(i=0;i<T+1;i++){for(j=0;j<T+2;j++){if(j==T+1)coef_form[i][j]=y[i];elsecoef_form[i][j]=coef_A[i][j];}}}void print_root(float a[],int n){int i,j;printf("%d 个点的％4次拟合的多项式系数为：\n",N,T);for(i=0;i<n;i++){printf("a[%d]=%g,",i+1,a[i]);}printf("\n");printf(" 拟合曲线方程为：\ny(x)=%g",a[0]);for(i=1;i<n;i++){printf(" + %g",a[i]);for(j=0;j<i;j++){printf("*X");}}printf("\n");}void process(){float x_y[N][2],matrix_A[N][T+1],trans_A[T+1][N],coef_A[T+1][T+1],coef_form u[T+1][T+2],y[T+1],a[T+1];init(x_y,N);get_A(matrix_A,x_y,N);"个点的2次拟合的多顶式系数为=丑【11=-0・510421「日[2]=29・3249,a[3 1=-33 *5252 .a [4]=16 .0762, 执合曲线方程为：</<x>=-0,610421 ■* 29.3249**« - -33.9252*X*K * 16,6762«X*X*K匚也Lk e r^\Admiriirtrater\Des Ictc p\D 启bug'吉吕m a.exe-"-1.897120 -9.91t29i -0.510S2C 0 .価 950 0.405465 0.788457 缜8?54&? 8.993252 1.064711 1.252763 1.3350B1 1.481605 1.52&056 1.&29241 1.887S70 2,020148L.S03277 i.&34794 1.739255 1.838707 L ・?5?940 Z.021640 2.016315 Z ・6SSS47&3160 2.109037 Z.143&25 2.1&7S42 2.197013 2.21320P 2.2&2028 2.293696jpi| j^nl j^Irl j^TTI数数应应应应需T 1—T叫T r亠、■•--,-『L~^TQ 「T二rrEl-D一・「1■『「■E_i “Jboi寸曰寸目6.4157460.209345'rcss anu ]«ey to continu.e —^n-A,Hr __i^n LLJlf*rf —rtnJ^o一-■气『■J^n-u A y A y A y A y A y A y A .A ^Ay A^(2)最小二乘法求多项式结果10、实验体会：最小二乘法虽然看起来简单，但它在数值计算及应用上却非常重要，通过C语言程序编写及运行最小二乘法的程序，加强了我们的综合能力，这些告诉我们实践很重要，实验中我们最应该注意的还是细心，认真。