零输入响应-PPT课件
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二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
作业：7-21 7-22
24
定常数
+ R iR
50V
-
2A iC
idRdi(tR0(0))1?iC(0iR)501RuC
d d itR(0)R 1d d u tC(0)R 1iC C (0)200
20
iR 1 A 1t0 s e0 1 in t 0( )0
1Asin1
0
10A0 cos10A0 sin200
A
§7-5 二阶电路的零输入响应
1. LC电路中的正弦振荡
(t=0) i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
++
求uC(t), i(t), t 0
C uC uL L --
uC uL di
uL L dt
i C duC dt
以电容电压为变量： LCdd2tu2C uC 0
特征方程：
LC2p10
p1,2 j
1 LC
1
方程的解：
j 1t
j 1 t
uCA1e LCA2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1A2U0
duC dt t0
C 1i(0)0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A 1A20
uCU20
ej
1t
j
LCe
L1Ct
U0
cos
1 t LC
i C duC dt
U0
Csin L
1 t LC
2
uC(t) U0
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
24
定常数
+ R iR
50V
-
2A iC
idRdi(tR0(0))1?iC(0iR)501RuC
d d itR(0)R 1d d u tC(0)R 1iC C (0)200
20
iR 1 A 1t0 s e0 1 in t 0( )0
1Asin1
0
10A0 cos10A0 sin200
A
§7-5 二阶电路的零输入响应
1. LC电路中的正弦振荡
(t=0) i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
++
求uC(t), i(t), t 0
C uC uL L --
uC uL di
uL L dt
i C duC dt
以电容电压为变量： LCdd2tu2C uC 0
特征方程：
LC2p10
p1,2 j
1 LC
1
方程的解：
j 1t
j 1 t
uCA1e LCA2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1A2U0
duC dt t0
C 1i(0)0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A 1A20
uCU20
ej
1t
j
LCe
L1Ct
U0
cos
1 t LC
i C duC dt
U0
Csin L
1 t LC
2
uC(t) U0
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
零输入响应
=
5 24
e–
t
12 A
电路分析基础——第二部分：7-3
12/12
i2(t) =
5 6
e–
t 12
12 12+4
=
15 24
e–
t
12 A
uab(t) = －4i1(t) + 3i2(t) =
25 24
e–
t 12
V
t≥0
c
R1
+
R2
R4
ab
– 10e–t/12 V
R3
R5
R1=9, R2=4, R3=8, R4 =3, R5=1 图7-12 用电压源置换电容后所 得的电阻电路，t≥0
解得
L
diL dt
+ RiL = 0
iL(0) = I0
iL(t) = I0e – t /
t≥0 t≥0
（7-25） （7-21） （7-22）
电路分析基础——第二部分：7-3
7/12
式中
=L/R 为该电路的时间常数。电感的电压
uL = L
diL dt
= －RI0e t /
t≥0
uL 则为
（7-28）
iC 在开关接通的瞬间电流突变达到U0 /R，以后随时间变化 的曲线，即 iC 的波形如图7-5所示(注意电流方向)。
另一种典型的一阶电路是 RL 电路。我们来研究它的零输 入响应。设在在 t<0 时开关S1与 a 端相连，因而电感被充磁到 电流 I0。在t=0时刻开关S1换为 c 点而同时开关S2闭合。
电路分析基础——第二部分：7-3
6/12
S1
a
bc
Is = I0
一阶电路的零输入响应
L
diL dt
RiL
0
即
diL dt
R L
iL
0
uR RiL
对应的特征方程为
一阶线性常系数齐次微分方程
p R 0 L
pR 1
L
则微分方程的通解为
i(t)
Ae pt
R
Ae L
t
1
Ae
t
（A为待定常数）
将t=0时的电感电流初始值代入，则有
图示电路换路后电感将经电阻释放储存的能量。
随着时间的延续，电感电流逐渐下降，电阻两端的电压也 逐渐减小，最后电路中的电压和电流均趋近于零，过渡过程结 束，电路进入新的稳态。电流流经电阻将电感储存的能量变成 热能耗散。
开关S断开后，根据KVL和各元件的伏安关系可得
uL uR 0
uL
L
diL dt
意义： （1）τ值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快 慢。 τ值越大， uC和i衰减越慢，过渡过程越长。 这是因为电容量C越小，电容储存的初始能量越少， 维持的时间就短；而R越小，i 越大，电阻耗能越 快。适当的选择R和C，改变电路的时间常数，可 控制放电速度。
（2） τ值还是零输入响应下降为初始值的36.8%所 需时间。并且零输入响应每经过一个τ值的时间后都 衰减为原有值的36.8%。
解：10kV是高压三相电路的线电压， 星形连接时电容器两端 电压为相电压,则电容电压的初始值为：
uc
(0
)
uc
(0
)
10000 3
5770V
时间常数为： RC 100106 40106 4000s
电容电压为：
t
uc (t) uc (0 )e
1t
6.4 一阶电路的零输入响应 电路原理第一版课件
RI0
t
令 =L/R RL电路的时间常数 3 5 过渡过程结束。
例.
35V
S(t=0)
iL
+
V
RV 5k
–
R=0.2 L=0.4H
iL (0+)=iL(0)=35/0.2=175 A= I0
L 0.481 0 5s8μ0 s
RR V 5000
R t
iL I0e L
R
R
t
t
u V R L i R V I0eL 8e 7L5 kV (t0)
6.4 一阶电路的零输入响应
零输入响应(Zeroinput response )：激励(电源)为零，由初 始储能引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应 (C对R放电)
S(t=0) i
+
C uC
–
+
R uC
–
i C duC dt
uC
RCduC dt
0
uC (0)=U0
解答形式 uC(t)=uC"=Aept (特解 uC'=0)
由特征方程
Lp+R=0
得
pR L
由初值 i(0+)=i(0)= I0 得 i(0+)=A= I0
R
解 答iL(t)I0eLt
(t 0)
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
I0 iL
uL(t)LdditL
Rt
R0IeL
(t
0)
O uL
t
O
(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零；
(2)衰减快慢取决于L/R。
uV (0+)= 875 kV !
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应ppt课件
+ u u 0 uC 方程： Ri L C duC di i C uL L dt dt
2 d u d u C C 以电容电压为变量： LC RC u 0 C d t d t
以电感电流为变量：
2 d i d i LC RC i 0 d t d t
4
以电容电压为变量时的初始条件：
二阶电路的零 输入响应、零 状态响应及全 响应
方程的解：
u A e C 1
j
1 t LC
A e 2
j
1 t LC
代入初值uC(0+) = U0，则
A A U 1 2 0
d u 1 C A A 0 i ( 0 ) 0 1 2 d t t C 0
U 0 联立解得： A A 1 2 2
uC(0+)=U0
i(0+)=0
duC dt
0
t 0
以电感电流为变量时的初始条件： i(0+)=0 uC(0+)=U0
U0 di dt t 0 L
u ( 0 ) u ( 0 ) U L C 0
电路方程：
2 d u d u C C LC RC u 0 C d t d t
j U 0 u e C 2 1 t LC
e
j
1 t LC
1 U t 0 cos LC
duC C 1 i C U sin t 0 dt L LC
2
U0oBiblioteka uC ( t ) t结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
L C
t > tm
L R
一阶电路的零输入响应
2、零输入响应取决于电路的原始能量和电路特性，对于一阶电路来说，电 路的特性是通过时间常数τ来体现的；
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
零输入响应和零状态响应
信号与系统
零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输 入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之 前，系统原有的储能（如电容上的初始电压， 电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。
1.1 零输入响应的求取
1.2 零状态响应的求取
其中零状态响应的完全解的系数应在零状 态响应的全解中由初始条件
即
。因此，零状态响应的特解、齐次
解和完全解分别为
将零状态响应的初始条件 解得
代入上式
因此，此系统的零状态响应为 （3）求系统的完全响应。
其中，
信号与系统
确定。
1.3 系统的完全响应
系统的完全响应按性质可分为自由响应和 强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态 响应，它们的关系为
式中，
。
例1.1 已知某系统的微分方程模型为
初始条件
，输入
系统的零输入响应 ，零状态响应
全响应 。
解：（1）求零输入响应 。
由特征方程
，求 以及完
得单根
，因此零输入响应为
零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输 入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之 前，系统原有的储能（如电容上的初始电压， 电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。
1.1 零输入响应的求取
1.2 零状态响应的求取
其中零状态响应的完全解的系数应在零状 态响应的全解中由初始条件
即
。因此，零状态响应的特解、齐次
解和完全解分别为
将零状态响应的初始条件 解得
代入上式
因此，此系统的零状态响应为 （3）求系统的完全响应。
其中，
信号与系统
确定。
1.3 系统的完全响应
系统的完全响应按性质可分为自由响应和 强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态 响应，它们的关系为
式中，
。
例1.1 已知某系统的微分方程模型为
初始条件
，输入
系统的零输入响应 ，零状态响应
全响应 。
解：（1）求零输入响应 。
由特征方程
，求 以及完
得单根
，因此零输入响应为
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1 t RC
（t≥0）
3、一介RC电路的时间常数τc （1） 时间常数τc 的定义 一介RC零输入响应电路的状态方程为
C
+
i(t ) R
t≥0 du （t≥0） uc (0) = U0 RC c u c 0 dt 1 特征方程为 sRC 1 0； 特征根为 s RC 令 c RC （τc称作 RC 电路的时间常数，单位为秒） 则 s 1c （S也称作 RC 电路的固有频率） 于是，一介RC电路零输入响应的一般表示式可写为 s t t c u t u 0 e u 0 e （t≥0） c c c
－
uc ( t )
d u 0 t t cu c c c （t≥0） i t C e i 0 e d tR
（2）一介RC零输入响应电路中τ 的意义 由一介RC零输入响应：
t u t u 0 e c c
uc(0)
uc曲线
例1、如图所示，S 原在位置 1 时电路处于稳态。在 t = 0 时，开关S由位置 1 合于位置 2，求t≥0时的电流 i ( t ) 。 2Ω + 10V － R3
1S 2
R1 = 4Ω
ic ( t ) i(t ) + uc ( t ) 1F R2
－
返9
4Ω
t<0
2Ω
+ 10V －
t<0(换路前）, uc ( t ) = uc ( 0- ) （a）
1
在工程实际中，一般近似认为 t = 3 ～5τ时，电容上的电 压uc ( t ) 由初始状态 uc ( t0 ) 衰减为0。 返回
（5）电流 i ( t ) 的变化过程与 uc ( t ) 的变化过程相似
u 0 U c i t e 0e R R
t t
i0 e
AB u t u 0 e c 1 c
B ∴
τ
BC AB tg
① 由图可知，切线AC在时间坐标上的次切距的长度BC在 数值上等于时间常数τ，即 BC = τ。 ② 在uc ( t ) 曲线上任意一点A，如果uc ( t )以该点的斜率为 固定变化率作衰减，经过τ时间， uc ( t )衰减为零值。
（t≥0）
0
uc(t)
t /s
u 0 t t c i t e i 0 e R
（t≥0） 可知：
i(0)
0
i(t)
t /s
①只要知道电容的初始电压值 uc ( 0 ) 和电路的时间常数τ， 就可以确定一介RC电路在t≥0时的零输入响应 uc ( t ) 和 i ( t )。 ② 响应uc ( t ) 和 i ( t )随 t 呈指数衰减，τ越小衰减越快， 即电容放电越快；τ越大衰减越慢，即电容放电越慢。
t=0
2、RC电路零输入的状态方程及响应 依据 KVL ，建立图示零输入RC电 路的状态方程为
C
+
i(t )
R
（t≥0）
du RC c u c 0 dt
s t
－
uc ( t )
（t≥0）
u c(0) =U0
方程是线性一介齐次微分 方程，其解为 1
u t Ke K e c
t RC
一介RC电路中，零输入响 应的一般表示式可写成
（3） 时间常数τ的几何意义 过任意 A 点作切线 AC
ห้องสมุดไป่ตู้
du t c tg t t dt 1 1 uc0 t1 e
∵
BC AB tg
uc(0)
uc(t)
u t u 0 e c c
1 t
uc(t1) A 0
1 t 1
uc( t1+τ ) α C t
设 则
u 0 ) U c( 0 K u ( 0 ) U c 0
1 t RC
e u t u 0 c c
1 t RC
（t≥0）
1 t RC
u tU c 0e
（t≥0）
du uc 0 c it C e dt R
电容的初始电压 u c(0)
U0 e R
t
（t≥0）
这里，有必要指出： ①
而
u 0 u 0 u 0 U 电压 uc ( t ) 连续！ c c c 0
② 可近似认为 t = 3 ～5τ时，电路中的电流 衰减为零。
i 0 0 U0 i 0 R
在 t = 0 处，电流发生了跃变！
（4）电容电压的放电过程与时间常数的关系 t
u t U e c 0
0.135U0
（t≥0）
一介 RC 零输入响应电 路中，电容的放电过程
0.05U0
当：
t 时， t 2 时， t 3 时， t 4 时，
u U e 0 . 368 U c 0 0 2 u 2 U e 0 . 135 U c 0 0 3 u 3 U e 0 . 05 U c 0 0 4 u 4 U e 0 . 0184 U c 0 0
§7-3 零输入响应 所谓零输入响应，就是外加输入（激励）为零时，由动态 元件的初始贮能所引起的电路响应。 S1 t = 0 S2 一、RC电路的零输入响应 t = 0 i(t ) 电阻和电容组成的电路中，无 + + uc ( t ) R 外加输入时，由电容的初始电压所 U0 － 产生的电路响应，称为 RC 电路的 － 零输入响应。 t<0(换路前） t≥0 时，电路的输入为 换路 零，由 uc ( 0 ) 的作用产生响 S2 S1 t≥0 应，是RC零输入响应。 i(t ) i (t ) + 1、含电容电路的换路定律 + + uc ( t ) R uc ( t ) R U0 依据电容电压的连续 － － － 性质，电路满足 uc (0+) = U0 uc ( 0+ ) = uc ( 0 ) = uc ( 0- ) = U0 t≥0(换路后）
R1 = 4Ω + uc ( 0- ) －
t≥0
i ( t ) R1
R2 4Ω
R3 i ( t )
ic = 0
ic ( t ) 4Ω + uc ( t ) 1F 4Ω