参数曲线和曲面
第2讲 曲线和曲面的矢量方程和参数方程
本讲任务上课内容一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性上述三点，分别赋于参数u＝0，0.5，1，则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。
p(u)＝2(u-0.5)(u-1)p0-4u(u-1)p1+2u(u-0.5)p2，其中p0, p1, p2, 分别为上述三点的位置矢量。
无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对位置保持不变。
9/5211/52产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。
这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。
假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，一些y值又对应多个x值。
若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。
但若用参数矢函数p(u)＝[x(u) y(u)]描述，就可以简单地用a ≤u ≤b界定它的范围。
这里u＝a与u＝b分别为曲线在首末两端点的参数值。
一、关于形状数学描述的基本要求3.易于定界f (x , y ) = 0同样运用待定系数法求之！17/5212()[(),(),()]()()()[,]t x t y t z t x t y t z t t t t ==++∈p i j k ，]2,0[]sin ,[cos )(πθθθθ∈=p 例:]1,0[,)(332210∈+++=t t t t t a a a a p 曲线的表示1. 一般表示形式]0[][)(v /L ,t vt ,t sin a ,t cos a t ∈=ϖϖp 思考题：上面空间螺旋线的非参数方程表示形式是什么？Z,Y用X 表示，而参数化为Z,Y ,X 均用一个变量t 表示，简便，易懂圆螺旋线三次抛物线曲线被表示成参数u的矢函数p(u)=[x y x]=[x(u) y(u) z(u)]笛卡儿分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k,其中i,j,k为单位矢量21/52Pz 0xatMNQ点P在圆柱面上等速地绕26/52矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数的矢函数四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）1.矢函数的导矢类似地，可以给出曲线在u=u 0处的高阶导矢。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
解析几何中的参数方程与曲线与曲面的关系
解析几何中的参数方程与曲线与曲面的关系解析几何是数学中的一个分支，它研究的是几何图形与代数方程之间的关系。
在解析几何中，参数方程是一个非常重要的概念，它可以用来描述曲线和曲面的性质。
本文将从参数方程的定义和性质入手，探讨参数方程与曲线与曲面的关系。
首先，我们来了解一下参数方程的定义。
在解析几何中，参数方程是一种用参数表示的函数方程。
通常情况下，参数方程由两个或多个参数组成，并且每个参数都有自己的取值范围。
通过改变参数的取值，我们可以得到曲线或曲面上的不同点。
参数方程的一个重要性质是它可以描述曲线上的每一个点。
以二维平面上的曲线为例，如果我们用参数方程表示一条曲线，那么对于每一个参数的取值，我们都可以得到曲线上的一个点。
通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点，从而完整地描述了整条曲线。
除了描述曲线上的点，参数方程还可以描述曲线的形状。
通过改变参数方程中参数的取值，我们可以改变曲线的形状。
例如，对于一个圆的参数方程，通过改变参数的取值，我们可以得到不同半径的圆。
这个性质可以帮助我们更好地理解曲线的几何性质。
参数方程不仅可以用来描述曲线，还可以用来描述曲面。
在三维空间中，曲面可以用两个参数的参数方程表示。
通过改变参数的取值，我们可以得到曲面上的不同点。
与二维平面上的曲线类似，参数方程可以描述曲面上的每一个点，并且通过改变参数的取值范围，我们可以得到整个曲面。
除了描述曲面上的点，参数方程还可以描述曲面的性质。
通过改变参数方程中参数的取值，我们可以改变曲面的形状。
例如，对于一个球体的参数方程，通过改变参数的取值，我们可以得到不同半径的球体。
这个性质可以帮助我们更好地理解曲面的几何性质。
除了描述曲线和曲面的性质，参数方程还可以用来求解曲线和曲面的交点。
通过将曲线和曲面的参数方程联立，我们可以求解出曲线和曲面的交点的参数值。
通过将参数值代入参数方程，我们可以得到曲线和曲面的交点的具体坐标。
这个方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们求解复杂的几何问题。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
曲线与曲面的参数方程与切线法向量
曲线与曲面的参数方程与切线法向量曲面与曲线的参数方程与切线法向量在数学中，曲线和曲面是两个基本的概念。
曲线可以用参数方程来表示，而曲面也可以通过参数方程进行描述。
此外，在研究曲线和曲面的性质时，切线和法向量是非常重要的工具。
本文将探讨曲线和曲面的参数方程以及切线法向量的概念和应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来表示，其中曲线上的点坐标是参数的函数。
通常用参数t表示曲线上的点，并用x(t)和y(t)表示点的横纵坐标。
因此，曲线的参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)比如，考虑一条单位圆的曲线，它可以由以下参数方程给出：x = cos(t)y = sin(t)其中t的取值范围是0到2π。
通过改变t的取值，我们可以获得圆上的各个点。
二、曲面的参数方程曲面可以由两个参数来表示，通常用u和v表示曲面上的点的参数。
曲面上的点坐标同样可以表示为参数的函数，用x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)表示。
因此，曲面的参数方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)例如，一个球体的曲面可以由以下参数方程给出：x = R * sin(u) * cos(v)y = R * sin(u) * sin(v)z = R * cos(u)其中R表示球的半径，u的取值范围是0到π，v的取值范围是0到2π。
通过改变u和v的取值，我们可以获得球体上的各个点。
三、曲线的切线和法向量曲线的切线向量表示曲线上某一点的切线方向。
对于参数方程x =x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的切线向量可以通过求导得到：dx/dt = x'(t)dy/dt = y'(t)其中x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。
切线向量的方向是曲线在该点的切线方向。
曲线上某一点的法向量垂直于切线向量，表示曲线在该点的法向量。
对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的法向量可以通过对切线向量的导数再求导得到：d²x/dt² = x''(t)d²y/dt² = y''(t)其中x''(t)和y''(t)分别表示x'(t)和y'(t)关于t的导数。
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学的一个分支，研究曲线、曲面及高维空间中的几何性质和变换。
下面是一些关键知识点的总结：1. 切空间：切空间描述了曲线或曲面在某一点上的局部性质。
对于曲线，切向量是切线的方向；对于曲面，切空间是与曲面相切的平面。
2. 参数化曲线和曲面：参数化是将曲线或曲面表示为参数的函数形式。
通过参数化，我们可以在数学上描述曲线和曲面，并进行分析。
3. 曲率：曲率描述了曲线或曲面在某一点附近的弯曲程度。
曲线的曲率由曲率向量表示，曲面的曲率由主曲率和法向量表示。
4. 流形：流形是一个具有局部坐标系的空间，可以用一组坐标来描述其中的点。
流形可以是一维曲线、二维曲面或更高维的空间。
5. 流形上的度量：度量是流形上定义的内积结构。
度量可以用来计算距离、角度和曲率等几何量。
6. 流形上的切向量和切空间：在流形上，切向量和切空间与欧几里得空间中的相似。
切向量是切平面上的向量，切空间是与流形在某点的切平面对应的向量空间。
7. 平均曲率流：平均曲率流描述了曲线或曲面根据其曲率的时间变化。
它常用于模型匹配、图像处理和几何建模等领域。
8. 黎曼流形：黎曼流形是一种拥有黎曼度量的流形。
黎曼度量允许我们定义切向量的长度和角度。
9. 流形上的测地线：测地线是流形上的特殊曲线，沿该曲线运动的物体会保持速度恒定。
测地线在广义相对论、地理学和航天飞行等领域中具有重要应用。
10. 张量场：张量场是定义在流形上的张量函数。
张量场可以用于描述力、电磁场和应力等物理量在空间中的分布。
这些是微分几何中的一些关键知识点。
通过研究这些概念和方法，我们可以更好地理解和分析曲线、曲面和高维空间中的几何性质。
微分几何中的曲线与曲面理论
微分几何中的曲线与曲面理论微分几何是研究曲线与曲面的数学分支，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍微分几何中的曲线与曲面理论，并讨论其基本概念、性质和应用。
一、曲线理论1. 曲线的定义在微分几何中，曲线是指由一组点按照一定的方式连接形成的线状对象。
曲线可以是直线、圆、椭圆等各种形状，其性质由曲线的参数化方程来描述。
2. 参数化方程参数化方程是描述曲线运动的一种方式，通过引入参数t，可以用函数形式表示曲线上的每一个点的坐标。
曲线的参数化方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)3. 弧长和切向量在曲线理论中，弧长是曲线上两个点之间的距离。
切向量是描述曲线在某一点上的方向的矢量。
通过参数化方程，可以求得曲线上任意一点的切向量，并计算出曲线的曲率和挠率等性质。
二、曲面理论1. 曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维对象，可以看作是曲线在平面上的推广。
曲面有着平面没有的曲率和法向量等性质。
2. 参数化曲面和曲线类似，曲面也可以通过参数化方程来描述。
参数化曲面是指通过引入两个参数u和v，可以用函数形式表示曲面上的每一个点的坐标。
曲面的参数化方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)3. 第一基本形式和第二基本形式在曲面理论中，第一基本形式描述了曲面的度量性质，包括曲面的长度和角度等信息。
第二基本形式描述了曲面的曲率性质，包括法向量的旋转和曲面的高斯曲率等性质。
三、应用微分几何中的曲线与曲面理论在多个领域有着广泛的应用，下面以几个典型应用为例进行介绍：1. 物理学中的路径与表面积在物理学中，曲线与曲面理论可以描述粒子在空间中的路径和表面积。
这对于研究物体运动、力学和电磁学等领域具有重要意义。
2. 工程学中的曲线设计曲线与曲面理论在工程学中广泛用于曲线的设计和表达。
例如，在汽车造型设计中，可以利用曲线与曲面理论来构建具有流线型外观的车身曲线。
曲线与曲面的参数方程与切线法平面
曲线与曲面的参数方程与切线法平面曲线与曲面的参数方程与切线法平面是数学中重要的概念和工具，它们被广泛应用于几何学和物理学等学科领域。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程的基本概念和应用，并探讨切线法平面的相关理论与应用。
一、曲线的参数方程在数学中，曲线是一个连续的、有限长度的线段。
为了更加准确地描述曲线的形状和位置，我们需要引入参数方程的概念。
曲线的参数方程是一组描述曲线上点位置的方程，其中参数是独立的变量。
例如，若要描述一个圆的曲线，可以使用参数方程：x = r * cosθy = r * sinθ其中，r是圆的半径，θ是参数。
通过不同取值的参数θ，我们可以获得圆上的各个点的坐标。
参数方程的优点是可以灵活地描述各种不同形状和大小的曲线。
在实际应用中，曲线的参数方程被广泛用于机械模型的建立、曲线的绘制以及图形的变换等领域。
二、曲面的参数方程与曲线类似，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是一组描述曲面上各个点位置的方程，其中参数可以是一个或多个独立的变量。
以球面为例，可以使用参数方程来描述其上的每个点的位置：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r是球的半径，θ和φ是参数。
通过不同取值的参数θ和φ，我们可以获得球面上的各个点的坐标。
曲面的参数方程不仅可以用于描述几何体，还可以用于建立三维模型、计算空间中的流体流动等实际问题。
通过调整参数的取值范围，我们可以得到各种形状的曲面。
三、切线法平面切线法是研究曲线和曲面的基本方法之一。
在曲线上的每一点，都可以确定一个切线，切线代表了曲线在该点的局部变化趋势。
切线法平面是通过切线法确定的一个平面，该平面与曲线或曲面相切于给定点，并在该点展开。
切线法平面在计算和研究曲线和曲面特性时具有重要作用。
例如，在曲线上的某一点P，假设曲线的参数方程为x = f(t)，y =g(t)，那么曲线在该点的切线的斜率可以通过导数来求得。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
插值、拟合、逼近和光顺
插值
– 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条 曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行 插值，所构造的曲线称为插值曲线。
线性插值
– 假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个 线形函数 y=ax+b 近似代替，称为的线性插值函数。
曲线曲面参数表示
表示方法
– 显式表示 y=f ( x) – 隐式表示 f(x,y)=0 – 参数表示
P(t)=[x(t), y(t)] P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第3页
显式或隐式表示存在下述问题：
1. 与坐标轴相关； 2. 可能出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3. 不便于计算机编程。
第5页
参数表示的优点
1. 便于处理斜率无穷大的情形，不会因此而中断计算。 2. 规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是 有界的，而不必考虑边界问题。 3. 对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行 几何变换。 4. 便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间。 5. 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 6. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
法平面
B
从 切 面
N T
密切面
主法线
图3.1.2 曲线的法矢
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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曲率和挠率
曲率
lim
s 0 s
挠率
– 其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 1 – 曲率k的倒数 称为曲率半径 – 挠率τ的绝对值等于副法线方向(或密切0/6
第9部分 参数曲线和曲面基础
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位置矢量、切矢量、法矢量
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第7页
位置矢量
P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
切矢量(切向量)
dP P – 将弧长s作为参数，则 T 是单位切矢量 lim s 0 ds s
1. 具有二阶几何连续性(G2)； 2. 不存在多余拐点和奇异点； 3. 曲率变化较小。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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参数曲线的代数和几何形式
代数形式
x(t ) a3 xt 3 a2 xt 2 a1xt a0 x 3 2 y ( t ) a t a t a1 y t a0 y 3y 2y 3 2 z ( t ) a t a t a1z t a0 z 3z 2z t [0,1]
lim
s
s
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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B1 T
B0 T0
T ( s s )
T1 T (s) N1 B1 N0 B0
O （a）
（ b）
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P(t ) P(t ) P(t )
3
( P(t ), P(t ), P(t )) ( P(t ) P(t )) 2
第15页
y
y f ( x)
y y ( x) y1
x
y f ( x)
y ( x)
y1
y2
x2
y2
y3 x3
x
o
x1 (a)
o
x1
x2 (b)
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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拟合
– 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据 点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。
– 单位切矢量的计算
2 2
• 根据弧长微分公式有： ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
ds / dt dx / dt dy / dt dz / dt
2
2
P (t )
'
2
ds P ' (t ) 0 dt
2018/10/6 第9部分 参数曲线和曲面基础 第8页
逼近
– 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数 近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中， 逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以 视为逼近。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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光顺
– – 光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。 对平面曲线而言，相对光顺的条件是：
参数曲线和曲面基础
Ray
ray@
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李辉 副教授
内容
曲线曲面参数表示 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 插值、拟合、逼近和光顺 参数曲线的代数和几何形式 连续性 参数曲面基本概念
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第2页
– 于是有
dP dP dt P ' (t ) ' ds dt ds P (t )
即为单位切矢量。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第9页
法矢量
– 与 dT 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢量N
ds
– 矢量积 B=T×N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。 把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量
P(t ) P(t ) B P(t ) P(t ) ( P(t ) P(t )) P(t ) N B T ( P(t ) P(t )) P(t )
2018/10/6 第9部分 参数曲线和曲面基础 第10页
– T、N和B构成了曲线 上的活动坐标架 – N、B构成的平面称为 法平面 – N、T构成的平面称为 密切平面 – B、T构成的平面称为 从切平面
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第14页
抛物线插值
– 已知在三个互异点x1,x2,x3,的函数值为y1,y2,y3 ,要求构 造一个函数 φ(x)=ax2+bx+c 使抛物线φ(x)在结点x1,x2,x3处与f(x)在 x1,x2,x3处的值 相等。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第4页
参数表示实例
直线
P(t ) P t [0,1] 1 (P 2 P 1 )t
圆
1 t 2 2t P(t ) , 2 2 1 t 1 t t [0,1]
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第9部分 参数曲线和曲面基础