量子力学课件 11量子跃迁

得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特别注意，在大多数情况下，能 级有简并，仅根据能量本征值 E 并不能把相应的本征态完全确定下来， 而往往需要找出一组守恒量完全集F ( 其中包括H )，并要求ψ 是它们的共 同本征态，从而把简并态完全标记清楚。
安
徽
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Байду номын сангаас
Hψ = Eψ
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（1）
(b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学的另一个基本假定是：体 系状态随时间的演化，遵守含时SchrÖdinger方程
iωk′k t
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1 + i
∫e
0
t
iωk′k t
学
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（13）
′ H k ′k d t
（14）
2
dt
（15）
Pk ′k (t ) << 1 (对 k ′ ≠ k )
（16）
即跃迁几率很小，体系有很大几率仍停留在初始状态。因为，如不然， 在求解一级近似解时，就不能把 Cnk (t ) 近似代之为 δ nk 。
即
i
Cnk e − iEnt ψ n = ∑ Cnk e − iEnt H ′ψ n ∑
n n
（8）
上式两边乘 ψ k ′ ，积分，利用本征函数的正交归一性，得
*
i Ck ′k = ∑ eiωk′n t k ′ H ′ n Cnk
n
其中
ωk ′n = ( Ek ′ − En )
方程 ( 9 ) 与 ( 7 ) 等价，只是表象不同而已。求解 ( 9 ) 时，要用到初条件 ( 6 )。
方程 ( 9 ) 右边只出现 H ′而不出现 开系数写成 Cnk
了。因此 Cnk (t ) 的变化只能来自
安
e − iEnt ，因子e − iEnt 把 H 0导致的态的演化反映进去
徽
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（9） （10）
H 0，是因为在 ( 3 ) 式中我们把展
H ′。此即相互作用表象。
当然，对于一般的 H ′(t ) ，问题求解是困难的。但如 H ′很微弱 ( 从 经典力学来讲
an = (ψ n ,ψ (0)) 由初态ψ (0) 决定 ( 见 ( 5 ) 式 )。
道运动 )，电子内禀磁矩与外磁场的作用为
例1 设一个定域电子处于沿 x 方向的均匀磁场 B 中 ( 不考虑电子的轨
eB eB H = − μs ⋅ B = sx = σ x = ωLσ x μc 2μ c eB ωL = ( Larmor 频率 ) 2μ c
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ψ (0) = ψ k
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（1） （2）
ψ (t ) = ∑ Cnk (t ) e −iE t ψ n
n
（3）
n
按照波函数的统计诠释，在时刻 t 去测量力学量 F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t ) = Cnk (t )
2
经测量之后，体系从初始状态 ψ k 跃迁到 ψ n态。跃迁几率为 Pnk (t ) ，而 单位时间内的跃迁几率，即跃迁速率 ( transition rate ) 为
Ck ′k (t ) = C
当 k′ ≠
+ C (t ) = δ k ′k
k
( 末态不同于初态 )，
而
此即微扰论一级近似下的跃迁几率公式。此公式成立的条件是
安
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1 Ck ′k (t ) = i 1 Pk ′k (t ) = 2
学 ∫ 大∫
t 0
t 0
′ eiωk′k t H k ′k d t
′ H k ′k e
( 不依赖于 t )。所以 Ck ′k ( 6 ) ，得
(0)
一级近似。按微扰论精神，在 ( 9 ) 式右边，令 Cnk (t ) ≈ Cnk 由此得出一级近似解
安
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(0)
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(0)
(t ) = 0,
即 Ck ′k
= 常数
(t ) = Ck(0) (0) = Ck ′k (0) 。再利用初条件 ′k
量子态随时间的演化，遵守SchrÖdinger方程
用 ( 3 ) 式代入，得
∂ i ψ (t ) = ( H 0 + H ′)ψ (t ) ∂t
i
安∑
n
Cnk e − iEnt ψ n + ∑ =
n
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学 大∑
n
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n
pi = pf ) 。
（7）
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Cnk (t ) En e − iEnt ψ n
Cnk (t ) e − iEnt Enψ n + ∑ Cnk e − iEnt H ′ψ n
（3）讨论
① 禁戒跃迁，选择定则
由 ( 15 ) 式可以看出，跃迁几率与初态 k 、末态 k ′以及微扰 H ′ 的性
′ 质都有关。特别是，如果 H ′具有某种对称性, 使 H k ′k
即在一级微扰近似下，不能从初态 k 跃迁到末态 k ′ ，或者说从 k 态到 k ′ 态的跃迁是禁戒的 ( forbidden ) ，即相应有某种选择定则 ( selection rule)。
σ x = +1 , E = E+ = ωL ,
1 ⎛1⎞ σ x = −1 , E = E− = − ωL , ϕ− = ⎜ ⎟ 2 ⎝ −1⎠ ⎛1⎞ 电子自旋初态为 χ (0) = ⎜ ⎟ ，按 ( 7 ) 式和 ( 5 ) 式，t 时刻自旋态为 ⎝0⎠ χ (t ) = a+ e − iωLt ϕ+ + a− eiωLt ϕ− ⎛ cos ωL t ⎞ 1 − iωLt iωL t (e ϕ+ + e ϕ− ) = ⎜ = ⎟ （16） 2 ⎝ −i sin ωL t ⎠
在内的一组力学量完全集 F 的共同本征态记为 ψ n ( n 标记一组完备的 量子数 )。设体系初始时刻处于 当外界作用 H ′(t ) 加上之后，
并非完全集 F 中所有的力学量都能保持为守恒量，因而体系不能保持 在原来的本征态，而将变成 F 的各本征态的叠加，
安
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H = H 0 + H ′(t )
U (t ) = e −iHt ψ (0) 表成
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（2）
∂t = 0) ，则体系能量为守恒
（3）
ψ (t ) = U (t )ψ (0) = e −iHt ψ (0)
是描述量子态随时间演化的算符。如采取能量表象，把
ψ (0) = ∑ anψ n
an = (ψ n ,ψ (0))
n
解1 令
⎛ 0 1⎞⎛ a ⎞ d ⎛a⎞ i ⎜ ⎟ = ωL ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 0 ⎠⎝ b ⎠ dt ⎝b⎠ ⎝
得 两式相加、减，得
a = −iωLb ,
b = −iωL a
d d (a + b) = −iωL (a + b) , (a − b) = iωL (a − b) dt dt
所以
a (t ) + b(t ) = [ a(0) + b(0) ] e − iωLt , a (t ) − b(t ) = [ a(0) − b(0) ] eiωLt
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1 ⎛ 1⎞ ϕ+ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1⎠
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（15）
与 ( 14 ) 式相同。
说明：
⎛1⎞ 1 1 a+ = (ϕ + , χ (0)) = ϕ χ (0) = (1 1) ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝0⎠ ⎛1⎞ 1 1 † a− = (ϕ − , χ (0)) = ϕ − χ (0) = (1 −1) ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝0⎠
理 物 Quantum Transition 学 大 徽 安
第11章 量子跃迁
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第11章 量子跃迁
11.1 量子态随时间的演化 11.1.1 Hamilton量不含时的体系
11.1.2Hamilton量含时的体系，Berry绝热相 11.2 量子跃迁几率，含时微扰论 11.3 量子跃迁理论与不含时微扰论的关系 11.4 能量-时间不确定关系
两式相加、减，得
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（13）
a (t ) = cos ωL t , b(t ) = −i sin ωL t
即
⎛ cos ωL t ⎞ χ (t ) = ⎜ ⎟ −i sin ωL t ⎠ ⎝
（14）
解2 体系的能量本征态，即σ x 的本征态，本征值和本征态分别为 ( 参阅第 8 章，习题1 )
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= 0, 则 Pk ′k = 0,
②
′ 利用 H ′的厄密性，H k ′k
′* = H kk ′ ，可以看出，在一级近似下，
从 k 态到 k ′态的跃迁几率 P ′k ，等于从 k
k ′态到 k 态的几率(k ′ ≠ k ) 。但
应注意，由于能级一般有简并，而且简并度不尽相同，所以不能一般地 讲：从能级 Ek 到能级 Ek ′的跃迁几率等于从能级 Ek ′到能级
（11）
(0)
Ck(0) (t ) = δ k ′k ′k
(t ) = δ nk 。
′ i Ck(1) = eiωk′k t H k ′k ′k
积分，得
（12）
1 C (t ) = i
(1) k ′k (0) k ′k (1) k ′k
∫
t
0
′ eiωk′k t H k ′k d t