一元二次方程配方法_公式法_因式分解法
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
解一元二次方程的四种方法
解一元二次方程的四种方法在数学中，一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是已知的常数，而x是未知量。
解一元二次方程是求出满足方程的x的值。
本文将介绍解一元二次方程的四种常用方法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以直接通过因式分解的方法来求解。
具体步骤如下：1.将一元二次方程进行因式分解，将方程转化为两个一次方程的乘积形式。
2.令每个一次方程的乘积等于0，分别求解出x的值。
3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
因式分解法的优势在于速度快，但适用于一元二次方程能够进行因式分解的情况。
2. 完全平方公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式给出了一元二次方程的解的公式形式。
下面是求解步骤：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.根据完全平方公式，解得一元二次方程的两个解为：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
完全平方公式法适用于一元二次方程无法进行因式分解的情况，通过公式进行计算求解。
3. 直接开平方法直接开平方法是一种通过直接对一元二次方程进行开平方运算来求解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过移项将方程变形为x的平方等于一个已知常数。
3.对方程两边同时开平方，得到x的值。
4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
直接开平方法适用于一元二次方程能够通过开平方运算求解的情况，且结果是有理数。
4. 配方法配方法是一种通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，然后进行解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过配方法将方程转化为完全平方形式：(x + p)^2 + q = 0。
3.依据完全平方公式，解得一元二次方程的解为：x = -p ± √q4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
解一元二次方程的各种方法
解一元二次方程的各种方法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，且a不等于0。
解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍常见的三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
一、因式分解法因式分解法是解一元二次方程的最简单直观方法之一，它基于一个数学原理：若两个数的乘积等于0，则其中至少一个数为0。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 尝试将方程因式分解为一个一次因式和一个一元二次式的乘积。
即将方程的左边分解为两个乘积，形如(ax + m)(x + n)，其中m和n为待确定的数。
3. 比较方程两边的系数，得到两个等式：a(m + n) = b和mn = c。
4. 根据上述两个等式求解m和n的值。
5. 将m和n的值代入方程(ax + m)(x + n) = 0，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 若a不等于1，可以通过除以a将一元二次方程化为a(x^2 +(b/a)x + c/a) = 0。
3. 将方程的中间项(b/a)x进行配方，即加减一个常数d，并在方程两边同时加减同样的值，得到a(x^2 + (b/a)x + d^2) = d^2 - c。
4. 将方程的左边进行平方运算，并使用求平方根的性质将方程转化为完全平方的形式：(x + m)^2 = n，其中m为(b/2a)(b/2a) + d，n为(d^2 - c)。
5. 对完全平方形式的方程求解，得到方程的解。
三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法，通过使用一元二次方程的求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
锲而不舍，胆大心细让我们陪伴着你的成长！一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2χ210χ • 12 =O 的根？—4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 =a 2 2ab b 22 2 2(a - b) = a - 2ab b像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
2⑵ X 12X T5= 0根据公式完成下面的练习:解: 解：由已知，得： X 32=22方程两边同时除以3,得X直接开平方，得：X - 2即 X 3 = 2 , X 3 = - 2所以，方程的两根X 1 = -3 ∙・、2 , X 2 = -3 - I 2 2所以,2配方，得X49 36Q 2方程的两根×1=-- 6 6=2 , X 2(1) X 28X = 9让我们陪伴着你的成长!2(4) 3X 8x - 3 = 02(5)2X -9X 8=02⑹ X 2 -8X锲而不舍，胆大心细 让我们陪伴着你的成长！锲而不舍，胆大心细 练一练 一、选择题1•方程x x -1 =2的两根为（）.方程ax X -b ］亠∣b -X = 0的根是（若X 2 —4x + P =（x +q 2 ,那么p 、q 的值分别是（、填空题2 21 •如果X -81 =O ,那么X -81 =0的两个根分别是2. 已知方程5x +mx-6=0的一个根是X =3 ,贝U m 的值为 _______________________ .3. __________________________________________________ 方程（x+1 丫 + J2x （x+1）=θ ,那么方程的根 X i = ; X 2= ____________________________________________________ .24 •若8x -16 =0 ,则X 的值是 __________________ .5•如果方程2（x-3f =72,那么，这个一元二次方程的两根是 _________________________ .6.如果a 、b 为实数，满足∙√'3a+4+b 2 T2b+36 = 0 ,那么ab 的值是 ________________________ .三、综合提高题如果关于X 的一元二次方程 ax 2 bx ∙c = 0a=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.A . X 1 = 0, X 2 = 1B . X 1 =0,X 2C . X 1 = 1, X 2 = 2D . X 1 = -1, X 2 = 2A . x^b, X ? =aB . X 1 =b, X 2C . X 1 =a,X 2D . x 1 = a 2,x 2 =b 2已知X- -1是方程2axf a Cb b b ^0=().A . p=4,q=2B . p= 4,q ι-2C . P = -4, q = 2D . P = -4, q = -2A . 3B .- -3C . ± 3D .无实数根 26.用配方法解方程X2 一―X +1 =0正确的解法是（ ).3f 1Y8 1 2^2A .X — — I = -,X = 二— +BI 3丿 93 3x-1t-8 ,原方程无解 .3 9C .x1√5+ 2 - 3 -x2√5 - 2D . Ffr ι,χ^f,χ2xI= ______ ,x2= ________25 .方程3x ∙ 9 =0的根为().让我们陪伴着你的成长!一元二次方程公式法一元二次方程ax2∙ bx ∙ c = O a = O 的根由方程的系数 a 、b 、C 而定，因此：★ (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2 ∙ bx ∙ c = O a = O ,当b 2 - 4ac _ O 时，？将■ 2一 b 十b — 4aca 、b 、C 代入式子X就得到方程的根。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是一种常见的数学问题，它的解法有多种。
本文将介绍三种常用的求解一元二次方程的方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
通过这些方法，我们可以轻松解决一元二次方程，并找到它们的根。
1. 因式分解法一元二次方程一般形式为：ax²+ bx + c = 0。
当我们将方程化简后，可以尝试使用因式分解法求解。
例如，对于方程x² + 5x + 6 = 0，我们可以尝试将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
这样，我们就可以得到两个根分别为x = -2和x = -3。
2. 配方法如果无法通过因式分解法求解一元二次方程，我们可以尝试使用配方法。
该方法的核心思想是通过添加一个适当的常数使方程能够进行因式分解。
以方程x² + bx + c = 0为例，我们可以通过添加一个常数m，使得方程变为x² + bx + c + m = (x + p)² = 0的形式。
然后，我们可以通过p = b/2和p² = c + m的关系求解出m的值，并将其带入方程中求解x的值。
3. 求根公式法求根公式法是一元二次方程求解的基本方法之一。
一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根可通过求根公式得到。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)根据方程的三个系数a、b和c，我们可以直接将求根公式带入计算，找到方程的根。
总结：通过因式分解法、配方法和求根公式法，我们可以解决一元二次方程，并找到它们的根。
当方程可以通过因式分解法求解时，我们可以直接因式分解得到方程的根。
当无法因式分解时，我们可以尝试使用配方法，通过添加适当的常数来进行求解。
而求根公式法是一种基本的求解方法，适用于所有的一元二次方程。
根据方程的系数，我们可以直接带入求根公式，求得方程的根。
以上就是三种常见的求解一元二次方程的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
例2：解方程：
解：由已知，得： 解：方程两边同时除以3，得
直接开平方，得： 配方，得
即 ， 即 ， ，
所以，方程的两根 ， 所以，方程的两根 ，
像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
练一练：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
一、选择题
1．用公式法解方程 ，得到（）。
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）。
A． B． C． D．
3． ，则 的值是（）。
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二、填空题
1．一元二次方程 的求根公式是_______，条件是________．
2．当 ______时，代数式 的值是﹣4．
一元二次方程的根
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1：下面哪些数是方程 的根？
—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
则 的取值范围是（）．
A． B． C． D． 为一切实数
三、填空题
1．已知方程 有两个相等的实数，则 与 的关系是________．
2．不解方程，判定 的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知 ，不解方程，试判定关于 的一元二次方程 的根的情况是________．
3．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的值是_____．
三、拓展题
某数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题。若使方程为一元二次方程， 是否存在？若存在，求出 并解此方程．
根据求根公式判别一元二次方程根的情况
方程
的值
的符号
的关系（填相等、不等或不存在）
求根公式： 。
（1）当 时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元二次方程 的 ，即有两个不相等的实根，即 。
（2）当 时，根据平方根的意义 ，所以一元二次方程 的 ，即有两个相等的实根，即 。
（3）当 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程 没有实数解。
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1） （2） （3） （4）
分析：不解方程，判定根的情况，只需用 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
6．如果 为实数，满足 ，那么 的值是_______．
三、综合提高题
如果关于 的一元二次方程 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证： 必是该方程的一个根．
一元二次方程公式法
一元二次方程 的根由方程的系数 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将 代入式子 就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）
四、综合提高题
1．不解方程，判别关于 的方程 的根的情况．
2、若关于 的一元二次方程 没有实数解，求 的解集（用含 的式子表示）．
一元二次方程因式分解法
解下列方程。
方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：
两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是 ，所以
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
A． B． ，原方程无解
C． D．
二、填空题
1．如果 ，那么 的两个根分别是 =________， =__________．
2．已知方程 的一个根是 ，则m的值为________．
3．方程 ，那么方程的根 =______； =________．
4．若 ，则 的值是_________．
5．如果方程 ，那么，这个一元二次方程的两根是________．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程．
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
解：
练一练：用公式法解下列方程．
（1） （2） （3） （4）
2．方程 的根是________．
3．二次三项式 分解因式的结果为________；如果令 ，那么它的两个根是_________．
二、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
(1) (2) (3) (4)
2．已知 ，求 的值．
说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
巩固练习
一、不解方程判定下列方程根的情况:
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
二、选择题
1．以下是方程 的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵ ，∴方程有解B．∵ ，∴方程无解
C．∵ ，∴方程有解D．∵ ，∴方程无解
2．一元二次方程 的两实数根相等，则 的值为（）．
A． B． C． D．
用因式分解法解方程
(1) (2) (3)
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A． ，∴ ，∴
B． ，∴ ，∴
C． ，∴
D． 两边同除以 ，得
一、填空题
1． 因式分解结果为_______； 因式分解的结果是______．
练一练
一、选择题
1．方程 的两根为（）．
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）．
A． B． C． D．
3．已知 是方程 的根，则 =（）．
A．1 B．－1 C．0 D．2
4．若 ，那么 的值分别是（）．
A． B． C． D．
5．方程 的根为（）．
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
6．用配方法解方程 正确的解法是（）．