02-2晶体结构参数
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材料科学基础2.2金属的晶体结构
间隙原子与最近邻原子
间距离：
四面体边长：
a 3/4
a/ 2
112 1 4 4
8
fcc Octahedron 八面体间隙大小
r 2 1 0.414 R
2r
a 2 2R
体中心和棱的中间
Rr a 2
fcc
C
D
Tetrahedron 四面体间隙大小
rin
3 4
a
R
f cc ,
R fcc
2a 4
bcc 八面体间隙大小
4R 3a bcc
rin
a/4
Rbcc
a/2
1
23
r aR R R
2 in
bcc
3
bcc
bcc
rin 2 3 1 0.155
Rbcc
3
(3) A3: hcp
Octahedral sites:6个
a/ 2
C
hcp
Tetrahedral sites
2 6 2 1 2 3 12 3
2.2.2 晶体的原子堆垛方式和间隙
1.密排面和密排向 晶体晶格中原子密度最大的晶面、晶向
密排六方结构A3(hcp) 0001和 1120
C
C
中间层相对底层错动
110 1 0
3
面心立方结构A1 (ABCABC…)
111和 110
1
8
9
7
3
2
6
4
5
密排面的堆积：(ABCABC…)
1
7 2
8 3
4 第二层相对于第一层错动
FCC
BCC HCP
三种典型晶体中的间隙
八面体间隙
第二章 晶体学基本理论
第四十一页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
倒易点阵： 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间，与a.b.c描
述的正空间互为倒易
倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2)
第四十二页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶 面，用{hkl}表示
例如：立方晶系中
{ 1 0 0 } ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
{ 1 1 1 } ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
第二十八页，共55页
晶向指数的确定
由原点o指向任意一个倒易结点所连接的矢量hakblchkl为整数倒易矢量的方向垂直正点阵的hkl面或平行于晶面的法线hkl晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系立方晶系倒易点阵示意图立方晶系倒易点阵100110010001011021020120121101102uvw倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示272倒易点阵的性质则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示273倒易点阵的几何意义正点阵中的一组平行晶面hkl相当于倒易点阵中的一个该组晶面间距的倒数
上还有一个阵点，
阵点坐标 000 ， 110,101,011
22 2 2 22
第十七页，共55页
强调：晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14中类型
晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或 分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的 排列，实际存在的晶体结构是无限的
2.7.1 倒易点阵定义
倒易点阵： 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间，与a.b.c描
述的正空间互为倒易
倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2)
第四十二页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶 面，用{hkl}表示
例如：立方晶系中
{ 1 0 0 } ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
{ 1 1 1 } ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
第二十八页，共55页
晶向指数的确定
由原点o指向任意一个倒易结点所连接的矢量hakblchkl为整数倒易矢量的方向垂直正点阵的hkl面或平行于晶面的法线hkl晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系立方晶系倒易点阵示意图立方晶系倒易点阵100110010001011021020120121101102uvw倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示272倒易点阵的性质则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示273倒易点阵的几何意义正点阵中的一组平行晶面hkl相当于倒易点阵中的一个该组晶面间距的倒数
上还有一个阵点，
阵点坐标 000 ， 110,101,011
22 2 2 22
第十七页，共55页
强调：晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14中类型
晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或 分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的 排列，实际存在的晶体结构是无限的
工程材料02(金属与合金的晶体结构)
金属材料的性能特点一般地，金属材料与非金属材料相比，金属材料具有良好的力学性能，而且工艺性能也较好。
即使都是金属材料，不同成分和不同状态下的性能也会有很大的差异。
造成这些性能差异的主要原因是材料内部结构不同，因此掌握金属与合金的内部结构特点，对于合理选材具有重要意义。
金属材料是靠原子间金属键结合起来的。
金属键——金属材料内部，呈一定规律排列的正离子与公有化的自由电子靠库仑力结合起来，这种结合力即为金属键。
（正离子+公有电子云、无方向性、非饱和性）金属材料的性能特点：1、良好的导电、导热性。
2、正的电阻温度系数3、良好的塑性4、不透明、有金属光泽第一节晶体的基本知识金属材料一般都是晶体，具有晶体的特性。
一、晶体——内部原子呈规则排列的物质。
晶体材料（单晶体）的特性：①具有固定的熔点。
②具有规则的几何外形。
③具有“各向异性”。
二、晶格、晶胞和晶格常数1、晶格——描述晶体中原子排列规律的空间点阵。
将原子的振动中心抽象为一几何点，再用直线的连接表示原子之间的相互作用。
2、晶胞——由于晶格排列具有周期性，研究晶格时，取出能代表晶格特征的最小基本单元即称为晶胞。
3、晶格常数——用来描述晶胞大小与形状的几何参数。
三条棱长：a、b、c三条棱的夹角：α、β、γ对于简单立方晶胞：棱长a=b=c 夹角α= β= γ= 90°第二节纯金属的晶体结构一、典型的晶格类型各种晶体由于其晶格类型和晶格常数不同，往往呈现出不同的物理、化学及力学性能。
除少数金属具有复杂晶格外，大多数晶体结构比较简单，典型的晶格结构主要有以下三种：1、体心立方晶格（bcc）2、面心立方晶格（fcc）3、密排六方晶格（hcp）1、体心立方晶格（bcc ）晶格常数： a = b = c ；α=β=γ= 90°密排方向（原子排列最紧密的方向）：立方体的对角线方向原子半径：属于bcc 晶格的金属主要有：α-Fe 、Cr 、W 、Mo 、V 等ar 432、面心立方晶格（fcc ）晶格常数： a = b = c ；α=β=γ= 90°密排方向：立方体表面的对角线方向原子半径：属于fcc 晶格的金属主要有：γ-Fe 、Cu 、Al 、Au 、Ag 等。
晶体解析参数-概述说明以及解释
晶体解析参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述晶体解析是化学和物理学领域中一项重要的实验技术，它是通过分析晶体的结构和特性来获取关于原子排列、键长、键角等信息的过程。
晶体解析参数是指在晶体解析过程中所使用的参数，这些参数可以帮助我们确定晶体结构的各种性质。
在晶体解析过程中，研究者通常会使用一些仪器设备，如X射线衍射仪或电子显微镜，来获取晶体的衍射图像。
通过分析这些衍射图像，我们可以推断出晶体的空间群、晶胞参数以及晶体中原子的位置等信息。
这些晶体解析参数的准确性和可靠性对于确定晶体结构具有重要意义。
在晶体解析参数中，最基本的是晶胞参数。
晶胞参数指的是晶体中单个晶胞的尺寸和形状，它由晶胞的晶胞常数和晶胞的晶胞角度组成。
晶胞常数是指晶胞在三个相互垂直的晶胞轴上的长度，而晶胞角度则是指相邻晶胞轴之间的夹角。
通过测量晶体的衍射图案，我们可以计算出晶胞参数的数值，并以此来确定晶胞的尺寸和形状。
此外，晶体解析参数还包括了晶体中原子的位置和排列方式。
晶体中原子的位置可以通过衍射数据的分析得到，它们的分布决定了晶体结构的对称性和稳定性。
通过分析原子之间的距离和角度，我们可以确定晶体中原子的种类和连接方式，从而得到晶体分子的结构和化学键的性质。
综上所述，晶体解析参数对于研究晶体结构和性质具有重要意义。
通过仔细分析晶体的衍射图像和计算晶胞参数，我们可以确定晶体的尺寸、形状以及原子的位置和排列方式，从而揭示晶体的结构和性质。
晶体解析参数的准确性和可靠性对于进一步理解晶体的特性和应用具有重要的参考价值。
1.2 文章结构文章结构:本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了本文的主题——晶体解析参数，并阐述了文章的目的和意义。
正文部分包括了四个要点的介绍：2.1 第一个要点：详细讨论晶体解析参数的概念、作用和重要性，介绍晶体解析参数的分类和常见的解析方法。
2.2 第二个要点：探讨晶体解析参数的影响因素，包括温度、压力、结晶条件等。
Chapter 2-2 硅晶体结构和微观力学解析
2.27
2.70 7.90 8.9 5.30
1.00
0.942 0.47 0.386 0.35
0.014
2.36 0.329 3.93 0.50
(hkm) = 代表一个平面;
<hkm> = 与指定平面垂直的平面. （这样就可以指定立方晶体 中的三个平面）
● 注: 在硅晶体中，a = b = c = 1
立方晶体中三个不同平面
z
z
z
y
y
x
y
x 图a
x
图b
图c
顶面： Plane (001) 右面： Plane (010) 前面： Plane (100)
MEMS材料的力学和热物理性能
屈服强度 杨氏模量 质量密度 比热容 3 9 2
Si SiC Si3N 4 (g/cm ) (10 N/m ) (1011 N/m 2 ) 7.00 1.90 2.30 21.00 14.00 7.00 3.85 3.20 3.10 (J/g- o C) 0.70 0.67 0.69
z
(z)<010>
The (111) group
z
y
y
x
x
硅晶体的三个主要平面
0.543 nm 0.768 nm 0.768 nm
0.768nm
(100)面
(110) 面
(111) 面
●主平面特征：
对角线面
倾斜面
(1) (100) 面包含最少的原子数→ 最薄弱的面→最易加工
(2) (110) 面提供了微制造中最清洁的面
热导率 (W/cm- oC) 1.57
3.50 0.19
热膨胀系数 熔点 (10-6/oC) (oC) 2.33 3.30 0.80 1400 2300 1930
ch2-2 金属的晶体结构
（4）致密度
0.74 (74%)
（5）空隙半径 ●四面体空隙半径: r四=0.225r原子 ●八面体空隙半径: r八=0.414r原子
（6）配位数 12
3. 密排六方晶格(胞) ( HCP 晶格) 12个金属原子分布在六方体的12个角 上, 在上下底面的中心各分布1个原子, 上下底面之间均匀分布3个原子。 具有这种晶格的金属有镁(Mg)、镉 (Cd)、锌(Zn)、铍(Be)等。
1.晶胞中的原子数 立方结构
Nc N=Ni 2 8
Nf
面心立方结构：n=8×1/8+6×1/2=4 体心立方结构：n=8×1/8+1=2 密排六方结构：n=12×1/6+2×1/2+3=6
2.2 金属的晶体结构
2.点阵常数与原子半径 若把原子看成等径的刚性小球， 其半径r称为原子半径。
对于1g碳，当它为金刚石结构时的体积
(cm3)
当它为石墨结构时的体积
(cm3) 故由金刚石转变为石墨结构时其体积膨胀
E.g. Mn的同素异构体有一为立方结构，其晶格常 数为0.6326nm，ρ为7.26g/cm3，r为0.112nm，问 Mn晶胞中有几个原子，其致密度为多少？ Solution：
每单位晶胞内20个原子
单胞原子数 摩尔质量 单胞体积 阿佛伽德罗常数
例题:计算晶格常数为0.2866nm的BCC铁的密度.
对于BCC铁单胞, 单胞原子数= 2
a0 = 0.2866nm = 2.866×10-8cm 摩尔质量 = 55.847g/mol 单胞体积 = a03 = 23.54×10 -24cm3/cell 密度：
plane indices
BCC
FCC
第二章 晶体结构ppt课件
1-1 晶向指数 [u v w]
建立步骤： ①建立坐标系。以某一阵点为坐标原点，三个棱边为 坐 标轴，并以点阵常数(a、b、c)作为各个坐标轴的单位长度； ②作 OP // AB ； ③确定P点的三个坐标值（找垂直投影）； ④将坐标值化为互质的最小整数，并放入到[ ] 中，则 [uvw]即为所求；
1.晶体结构与空间点阵（续）
1-4 晶胞 ①定义：在空间点阵中，能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞通常是平行六面体，将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点 阵。 ②晶胞的选取原则：
几何形状与晶体具有同样的对称性； 平行六面体内相等的棱与角的数目最多； 当平行六面体棱间有直角时，直角数目最多； 在满足上述条件下，晶胞的体积应最小。
o o a a a c , 9 0 , 1 2 0 1 2 3
菱方：简单菱方 o a b c , 9 0
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0
o
三斜：简单三斜
a b c ,
9 0
第二章 晶体结构
第一节 晶体的特征
各项异性 晶体由于具有按照一定几何规律排列的内 部结构，空间不同方向上原子排列的特征不同， 如原子间距及周围环境，因而在一般情况下， 单晶体的许多宏观物理量（如弹性模量、电阻 率、热膨胀悉数、折射率、强度及外表面化学 性质等）的大小是随测试方向的不同而改变的， 这个性质称为各项异性。晶体断裂的解理性就 是晶体具有各项异性的最明显例子。
晶体具有确定的熔点
熔点是晶体物质的结晶状态与非结晶状态互相转 变的临界温度，晶体熔化时发生体积变化。 晶体有一些其他共同特征：晶体中存在不完整性， 晶体内原子排列并不是理想的有序排列，而是有 缺陷的；晶体的原子周期排列促成晶体有一些共 同的性质，如均匀性、自限性和对称性等。
02第二章 金属的晶体结构与结晶
组织。
放大100∼2000倍的组织称高倍组织或显微组织。 在电子显微镜下放大几千∼几十万倍的组织称精细组织或电镜组
织。
显微组织实质上是指在显微镜下观察到的金属中各相或各晶粒的
形态、数量、大小和分布的组合。
二、合金的相结构
1、固溶体 合金组元通过溶解形成一种成分和性能均匀的，且结构与组元之
理工艺的重要依据。
根据组元数, 分为二元相图、三元相图和多元相图。
Fe-C二元相图
三元相图
1. 二元相图的建立
几乎所有的相图都是通过实验得到的，最常用
的是热分析法。
二元相图的建立步骤为：[以Cu-Ni合金(白铜)为例] 1、配制不同成分的合金，测出各合金的冷却曲线，找出曲线 上的相变点（停歇点或转折点）。 2、在温度-成分坐标中做成分垂线，将相变点标在成分垂线上 3、将这些相变点连接起来，即得到Cu-Ni相图。
因而细晶粒无益。但晶粒太粗易产生应力集中。因而
高温下晶粒过大、过小都不好。
2.细化晶粒的方法
晶粒的大小取决于晶核的形成速度和长大速度。
单位时间、单位体积内形成的晶核数目叫形核率(N)。
单位时间内晶核生长的长度
叫长大速度(G)。
N/G比值越大，晶粒越细小。 因此，凡是促进形核、抑制长 大的因素，都能细化晶粒。
第二章 金属的晶体结构 与结晶
不同的金属具有不同的
力学性能，主要是由于材 料内部具有不同的成分、
组织和结构。
第一节 金属的晶体结构
一、晶体与非晶体
晶体是指原子呈规则排列的固体。常态下金属
主要以晶体形式存在。晶体具有各向异性。 非晶体是指原子呈无序排列的固体。在一定条 件下晶体和非晶体可互相转化。
T= T0 –T1
放大100∼2000倍的组织称高倍组织或显微组织。 在电子显微镜下放大几千∼几十万倍的组织称精细组织或电镜组
织。
显微组织实质上是指在显微镜下观察到的金属中各相或各晶粒的
形态、数量、大小和分布的组合。
二、合金的相结构
1、固溶体 合金组元通过溶解形成一种成分和性能均匀的，且结构与组元之
理工艺的重要依据。
根据组元数, 分为二元相图、三元相图和多元相图。
Fe-C二元相图
三元相图
1. 二元相图的建立
几乎所有的相图都是通过实验得到的，最常用
的是热分析法。
二元相图的建立步骤为：[以Cu-Ni合金(白铜)为例] 1、配制不同成分的合金，测出各合金的冷却曲线，找出曲线 上的相变点（停歇点或转折点）。 2、在温度-成分坐标中做成分垂线，将相变点标在成分垂线上 3、将这些相变点连接起来，即得到Cu-Ni相图。
因而细晶粒无益。但晶粒太粗易产生应力集中。因而
高温下晶粒过大、过小都不好。
2.细化晶粒的方法
晶粒的大小取决于晶核的形成速度和长大速度。
单位时间、单位体积内形成的晶核数目叫形核率(N)。
单位时间内晶核生长的长度
叫长大速度(G)。
N/G比值越大，晶粒越细小。 因此，凡是促进形核、抑制长 大的因素，都能细化晶粒。
第二章 金属的晶体结构 与结晶
不同的金属具有不同的
力学性能，主要是由于材 料内部具有不同的成分、
组织和结构。
第一节 金属的晶体结构
一、晶体与非晶体
晶体是指原子呈规则排列的固体。常态下金属
主要以晶体形式存在。晶体具有各向异性。 非晶体是指原子呈无序排列的固体。在一定条 件下晶体和非晶体可互相转化。
T= T0 –T1
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（a）
（b） （c） （d） 旋转反映轴的图解
（e）
3/16/2014 2:01 PM 34
洛阳师范学院
3. 群和群阶 晶格对称性的精确数学描述，采用群论的方法。 群的概念—— 群代表一组具有特殊运算规则的数学‚元素‛ 的集合，G {E, A ,B, C, D ……} ，这些‚元素‛被赋予一定 的‚乘法法则‛，群中元素的个数，称作群阶。群满足下列性 质：100] ⊥（100）
3/16/2014 2:01 PM 12
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立方晶系中的｛100｝、｛111｝晶面族
• 立方晶系中的｛100｝、｛111｝晶族
晶面族指数：用晶面族 中某个最简便的晶面指 数填在大括号{ } 。
3/16/2014 2:01 PM 13
洛阳师范学院
(5) 晶面间距 一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点越密
3/16/2014 2:01 PM
23
洛阳师范学院
（2）对称面
概念：一个通过晶体中心的假想平面，能将晶体平分为 互为镜象的两个相等部分，以符号m表示。
3/16/2014 2:01 PM
24
洛阳师范学院
对称面的特点： ● 垂直于对称面作任意直线，位于直线两侧等距离的两点 是性质完全相同的对应点； ● 晶体中如果存在有对称面，则必定通过晶体的几何中心 并将晶体分为互成镜像反映的两个相同部分； ● 晶体上可没有对称面，也可有一个或几个m，最多有9 个，写作9m。
3/16/2014 2:01 PM
6
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A: [100] B: [111] C: [1 2 2]
3/16/2014 2:01 PM
7
洛阳师范学院
(4) 晶面指数的确定： 用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶面指数，数字hkl是 晶面在三个坐标轴上截距（r, s, t)倒数的互质整数比。 确定步骤： ● 按晶体定向原则进行晶体定向； ● 求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距pa、qb、rc，得截距 系数p、q、r ； ● 取截距系数的倒数比1/p：1/q：1/r = h：k：l（为最小整 数比）； ● 写为(h k l)。
3/16/2014 2:01 PM 8
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例 1： 如图晶面hkl，在X、Y、Z轴上的截距分别为2a、3b
、6c ，截距系数为2、3、6 ，其倒数比1/2：1/3：1/6 ，
化整得3：2：1 ，去掉比号并以小括号括起来，(321)即 为该晶面的所求米勒指数。
晶面符号图解
3/16/2014 2:01 PM 9
a
P1、P2为对称面，AD不是
b
立方体的九个对称面（3个+6个）
3/16/2014 2:01 PM 25
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(3)对称轴 概念：通过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转 一定角度，可使相等部分重复出现，记为Cn 。 吊扇叶片每旋转一周就重复3次,相 应的对称轴为三次对称轴
3/16/2014 2:01 PM
A B
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元
3/16/2014 2:01 PM
2
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2. 晶胞：晶胞是平行六面体对应的实际晶体中相应的范围 晶胞代表晶体的基本重复单位，包括大小、形状和内容。
a、b、c : 确定晶胞大小 、、 : 确定晶胞形状
2m
3/16/2014 2:01 PM 30
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3 次倒转轴S3 相当于旋转120后再对中心反 演而图形不变。 该图形显然具有一个对称中心 3 次倒转轴相当于一条 3 次旋 转轴加上一个对称中心
3 3i
3/16/2014 2:01 PM
31
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4 次倒转轴S4 相当于旋转90后再对中心反 演而图形不变。 这是一个独立的对称操作。 它既没有 4 次旋转轴也没有 对称中心，不能分解成其他 基本对称要素的组合。 注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
3/16/2014 2:01 PM
22
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对称中心的特点：
通过对称中心作任意直线，在此直 线上位于对称中心两侧等距离的两点 是性质完全相同的对应点。
在晶体中，如果存在有对称中心， 则对称中心肯定位于晶体的几何中心。
对称中心图形 晶体中可没有对称中心，或仅有一 个对称中心(宏观对称性）。
3/16/2014 2:01 PM 28
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1次倒转轴S1
相当于旋转360后再对中心 反演而图形不变。 1 次倒转轴也就是对称中心。
1 i
3/16/2014 2:01 PM
29
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2 次倒转轴S2
相当于旋转180后再对中心 反演而图形不变。
2 次倒转轴就是对称面
3/16/2014 2:01 PM
20
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晶体中的宏观对称元素和对称操作：
对称中心 对称面 旋转轴 倒转轴 (象转轴)
倒反 (反演) 反映 旋转 旋转反演
3/16/2014 2:01 PM
21
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（1）对称中心 概念：晶体中心的一个假想定点，过此点任意直线的等 距离两端，可找到晶体的相同部分，用i表示。
对称轴及其垂直该轴切面的示意图
3/16/2014 2:01 PM 27
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（4）旋转反伸轴Sn（倒转轴）
● 概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定 角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出现。 ● 对称操作是旋转＋反演的复合操作。 ● 轴次只有: 1, 2, 3, 4, 6
● 各类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称 操作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、对称面、旋 转轴的组合。
2 2 2
四方晶系： d hkl
1 h2 k 2 l a2 c
2
立方晶系： d hkl
a
h2 k 2 l 2
1 4 h 2 hk k 2 l 2 3 a c
2
六方晶系： d hkl
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的 影响。
对称操作：使物体相等部分重复出现的操作，如旋转、反映、 反伸及其联合动作等。 对称元素：进行对称操作时借助的几何要素,如点、线、面等。
晶体的对称性：指的是物体在经过一定的操作之后其空间构 型能够完全复原的性质。这种‚一定的操作‛称为对称操作。 点对称操作：在进行对称操作时，如果物体中至少有一个点 保持不动，那么相应的对称操作就称为点对称操作，也叫宏观 对称操作。 说明：对称操作一定与某一个几何图形相联系。换句话说， 进行对称操作都必须凭借于一定的几何要素，这些几何要素可 以是点、也可以是直线或者平面。进行对称操作所凭借的几何 要素称为对称元素。
晶体的宏观对称性是微观对称性的反应
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1. 对称性基本概念 对称性：物体相等部分有规律的重复。 观察对称性：① 在物体上可以找到相同的部分； ② 相同的部分重复出现有规律。
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2. 对称操作和对称元素
a
b
(100)
(110)
(210) (4-10)
(130)
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晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下 列关系： 正交晶系：
d hkl
1 h k l a b c
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例2：
• 晶面A：r、s、t =1、1、1，其倒数为1、1、1，则晶面指数 记为（111）； • 晶面B，r、s、t=1、2、，其倒数为1、1/2和0，化为互质 的整数比为2:1:0，则晶面指数记为（210）； • 晶面C：晶面过原点（0，0，0），沿y轴平移一个晶格参数 （平移后代表同一晶面）使其在y轴截距为-1，则r、s和t分 别为、-1和，其倒数为0、-1和0，则晶面指数记为 (0 1 0)， 其中的负号写在数字上面。
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对称轴的特点： ● 旋转一周重复的次数称为轴次n， ● 重复所旋转的最小角度称为基转角α，α = 360°／n。 ● 轴次高于2的C3、C4、C6 称高次轴。 ● 一次轴C1没有意义；不存在五次轴C5和高于六次的对称轴 ● 晶体中可没有对称轴，也可有一种或几种对称轴同时存在 。书写时，三个四次轴记为3C4。
——晶体点阵在任何方向上分解为相互平行的结点平面
称为晶面。
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(3) 晶向指数的确定：
1.选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位； 2.平移晶向（棱）直线过原点（过原点O作 一直线 OP，使其平行于待定晶向）； 3.确定任一点P在X、Y、Z轴的三个截距； 4.将这三个坐标值化为最小整数比u，v，w ，加上方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向 指数。
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6 次倒转轴S6
相当于旋转60后再对中心反 演而图形不变。
该图形显然具有一个对称面 6 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋 转轴加上一个对称面
6 3 m
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(5)旋转反映轴Lsn（映转轴） ● 概念：过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转 一定角度，再对过中心且垂直此直线的平面反 映，可使晶体相等部分重复。 ● 对称操作为旋转＋反映的复合操作。 ● 轴次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。 ● 没有独立的对称要素，均可用其它要素表示： Ls1=P =Li2, Ls2=C =Li1, Ls3=L3 +P =Li6, Ls4 =Li4, Ls6 =L3+C =Li3。