高中数学(必修二)专题复习二---空间几何体的表面积与体积
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C
D
C'
A
B'A'
D'高中数学（必修二）专题复习二
---空间几何体的表面积与体积
★热点考点题型探析
【例1】有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）
A.24πcm 2，12πcm 3
B.15πcm 2，12πcm
3
C.24πcm 2
，36πcm
3
D.以上都不正确
侧视图
变式：已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出 的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积为________cm 3.
【例2】长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A. 202π
B. 252π
C. 50π
D. 200π
变式：某正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 .
【例3】有一根长为π3cm ，底面半径为2 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 厘米.
变式1：有一根长为π5cm ，底面直径为3cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 厘米.
变式2：如图是长宽高分别为3、2、1的长方体，有一蜘蛛潜伏在A 处，C 1处有一小虫被蜘蛛网粘住，则蜘蛛沿正方体表面从A 点爬到C 1点 的最短距离为（ ）
A 、31+
B 、102+
C 、23
D 、32
★抢分练习
1.制作一个圆柱形无盖水桶，计算用多少铁皮，是求( )；计算存放这只水桶用多少空间，是求( ). A. 圆柱的侧面积 B. 圆柱的底面积 C. 圆柱的表面积
D. 圆柱的体积（容积）
E. 圆柱的侧面积＋1个圆柱的底面积 2.一个圆柱体的高不变，底面半径扩大3倍，它的体积( ). A. 扩大3倍
B. 扩大6倍
C. 扩大9倍
D. 扩大27倍
3.一个直角三角形，两条直角边分别长3厘米和5厘米，如果分别以这两条直角边为轴所在直线旋转一周后可以得到两个圆锥，这两个圆锥的体积( )
A. 以3厘米直角边为轴得到的圆锥体积大
B. 一样大
C. 以5厘米直角边为轴得到的圆锥体积大
D. 无法比较
4.柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等，如果圆柱体体积是30立方厘米，圆锥体体积是( )立方厘米；如果圆锥体体积是30立方厘米，圆柱体体积是( )立方厘米. A. 10
B. 15
C. 30
D. 60
E. 90
5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9
6. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A.
3 B. 32 C. 33 D. 34
7．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A B 2 C ．23 8.正四棱锥的高为6，侧棱长为8，则棱锥的底面边长为（ ）
A. B. D.
9.已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是圆心角为
3
2π
的扇形，则圆锥的底面半径为（ ） A.
2
a
π B.
ππ2a C. ππa D. π
πa 10.若一个球的半径扩大2倍时，则球的表面积扩大______倍，体积扩大_____倍.
11.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_______厘米.
12.若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm 的正六边形，则这个六棱锥的体积为 . 13.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成︒60角,则圆台的侧面积为_______.
14.四边形ABCD 中，)0,0(A ，)0,1(B ，)1,2(C ，)3,0(D ，
绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_______.
★能力提高
1.(1)若一个长方体的共顶点的三个面的面积分别为3,5,15，则它的体积为________；
(2)若一个长方体的共顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是______.
2.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ）
A ．3∶4
B ．9∶16
C ．27∶64
D ．都不对
3.已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 中点，E 为AC 中点，则四棱锥S —BCED 的体积为_______.
4.三棱柱111C B A ABC 的侧棱垂直于地面，其高为cm 6，底面三角形的边长分别为cm cm cm 5,4,3，以上，下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的体积.
5.如图，在底半径为2，母线长为4的圆柱，求圆柱的表面积.
6.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m ，高4m ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m (底面直径不变).
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？
3
3 2
正视图 侧视图
俯视图
链接高考
1.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h= cm.
第1题 第2题 第3题
2.已知，某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积是（ ）
3π B.
3π C.23
π5π 3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. 942π+
B. 3618π+
C. 9
122
π+ D. 918
2
π+
4.某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均为矩形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的侧面积为 ．
第4题 第5题 第6题 第7题
5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（ ）
A ．4 B. 233
6.圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.
7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
2
2 （正视图）
2
2
（俯视图）
2
⋅
（侧视图）。
人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积和体积(教师版)
空间几何体的表面积和体积能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．二、特殊几何体的定义1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．正棱锥的性质：（ 1）正棱锥的侧棱相等；（ 2）侧面是全等的等腰三角形；（ 3）侧棱、高、底面构成直角三角形．4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．正棱台的性质：（ 1）正棱棱台的侧棱长相等（ 2）侧面是全等的等腰三角形；（ 3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．三、侧面积与表面积公式1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式（1）设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式： S 直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．（2）设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧＝= . 即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．（3）设正 n 棱台下底面边长为 a、周长为 c，上底面边长为 a′、周长为 c′，斜高为h′，则正 n 棱台的侧面积公式： S 正棱台侧＝ (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积 )等于底面积与侧面积的和，即 S 表＝S 底＋ S 侧.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1) S 圆柱侧＝ (r 为底面半径， l 为母线长 )． (2) S 圆锥侧＝ (r 为底面圆半径， l 为母线长 )．(3) S 圆台侧＝ (R 、r 分别为上、下底面半径， l 为母线长 )．(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S 表＝S 底＋ S 侧.(5) 若圆锥底面的半径为 r ，侧面母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 则， r360 3. 由球的半径 R 计算球表面积的公式： S 球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍．四、体积1.长方体的体积： 长方体的长、宽和高分别为 a 、 b 、 c ，长方体的体积 V 长方体＝ abc 2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体＝ Sh. (2)底面半径是 r ，高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体 (棱锥、圆锥 )的底面积为 S ，高是 h ，那么它的体积 V 锥体＝ Sh. (2)如果圆锥的底面半径是 r ，高是 h ，则它的体积是 V 圆锥＝5．球的体积：如果球的半径为 R ，那么球的体积 V 球 ＝ . 6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等．7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度。
空间几何体的表面积与体积 高中数学人教A版2019必修第二册
体积
V= S底h
1
S
底h
3
V=
1
V= 3(S 上+S 下+ S上 S下 )h
V=
4 3
πR
3
微思考柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?
提示
3 2
例 1.如图,在长方体 ABCD-A1B1CID1 中,AB=1,BC= 3,CC 1=
,动点 M 在棱
2
CC1 上,连接 MA,MD1,则 MD1+MA 的最小值为( C )
3
3
3 2
4 2
故 V3 V正方体 V1 V2 VE KNCF VE KFAG 8 2 2 2 .
3 3
即 V3 V1 V2 ， 2V3 3V1 ，本题答案选择 C、D .
关键在于如何正确、快速的求出V3 的值.
（方法 5 ）如图 7，由题意知，可建立空间直角坐标系 D xyz ，取 AB 2 ，则
2 x 2 y 0
AC n 0
平
面
A
C 的E
距
离
为
h
1
1 1
V3 S EAC h 2 2 6 3 2 .
3
3 2
即 V3 V1 V2 ， 2V3 3V1 ，本题答案选择 C、D .
| EF n |
|n|
3
3
3
，
故
关键在于如何转化直接得到V3 与V1 或V2 的关系，实现以证代求
可得 2V3 3V1 ，而 V1 : V2 2 : 1 ，所以 V3 V1 V2 ，本题答案选择 C、D .
高中数学必修二知识点梳理
高中数学必修二知识点梳理第一章空间几何体的表面积和体积公式总结1.表面积（1）.棱柱S = 2 S底+ S侧（2）.棱锥S = S底+ S侧（3）.棱台S = S上底+ S下底+ S侧（4）.圆柱S= 2 πr 2 +2πr l =2πr ( r + l )（5）.圆锥S = S底+ S侧=πr 2 +πr l =πr ( r + l )（6）.圆台S = S上底+ S下底+ S侧=π(r2 + r´2 + rl +r´l) （7）.球 S= 4πR22.体积（1）.柱体V = S h（2）.锥体V = S h/3（3）.台体V =( S + √S ´S + S´) h/3（4）.球V = 4/3πR3第二章点直线平面之间位置关系的判定,性质及其推论1.直线与平面平行的判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行2.平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行推论如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行3.直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行4.平面与平面平行的性质如果两个平面平行，两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行推论夹在两个平行平面间的平行线段相等5.直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直6.平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直7.直线与平面垂直的性质垂直与同一平面的两条直线平行8.平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另外一个平面垂直推论如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内一．直线方程(一).两条直线1.l1∥l2 => k1 = k2或k1 k2不存在2. k1 = k2 => l1∥l2或l1 l2重合3.A,B,C三点共线 k AB = k AC（k存在）4. l1⊥l2 => k1 · k2 = -1 或k1 k2有一不存在，有一为05. k1 · k2 = -1 => l1⊥l2（二）.直线方程1.点斜式方程： y–y0 =k (x–x0)２．两点式方程：（ｙ–ｙ１）/（ｙ２–ｙ１）＝（ｘ–ｘ１）/（ｘ２–ｘ１）３．截距式方程：x/a +y/b = 14 .斜截式方程：y= k x + b5.一般式方程： Ax + By + C = 0二．距离公式1.两点之间距离公式：d = √【(x2 –x1)2 + (y2–y1)2】2.点到直线的距离公式：d = ∣Ax0 + By0 + C∣/√(A2 + B2)3.两条平行线间的距离公式： d =∣C2– C1∣/√(A2 + B2)]一．圆的方程1.圆的标准方程（x - a）2 +（y - b）2 = r2 (圆心坐标（a ，b），半径为r)2.圆的一般方程x2 + y2 + Dx +Ey +F = 0 => (x+D/2)2+(y+E/2)2 = (D2+E2-4F)/4(1). D2+E2-4F > 0 ,圆心（-D/2 ，- E/2）半径√(D2+E2-4F)/2(2). D2+E2-4F = 0 表示一点(3). D2+E2-4F < 0 不表示任何图形二．直线，圆位置关系1.直线与圆的位置关系(1).直线与圆无公共点⇔ d > r ⇔相离⇔联立方程无解(2).直线与圆只有一个公共点⇔ d = r ⇔相切⇔联立方程有一解(3).直线与圆有两个公共点⇔ d < r ⇔相交⇔联立方程有两解2.圆与圆的位置关系(1).外离⇔ d>R+r(2).外切⇔ d = R+r(3).相交⇔∣R-r∣ < d < R+r(4).内切⇔ d =∣R-r∣(5).内含⇔ d<∣R-r∣。
高二数学必修2空间几何体的表面积和体积
S圆 整理课锥 ＝ 件 S 侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 9 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
整理课件
49
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可
知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解：
RtB1D1D中: B1D 2R，B1D 2a
(2R)2 a2 ( 2a)2,得 ：R 3 a 2
堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
V 3122 61 03.1 4(1)0 210
4
2
295(6mm3)
2.95(6cm3) 所以螺帽的个数为 5 .8 10 (7 0 .8 0 2 .9) 5 2 6 （5 个2 ） 答：这堆螺帽大约有252个．
6/24/2021整8:理14课:08件PM 云在漫步
24
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
20cm
15cm
S15 21 51 52 015 1.52 15cm
2 2 2 2
999(cm2)
答：花盆的表面积约是999 cm 2 ．
高中数学必修2复习资料
必修2数学复习资料第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1、 三视图： 正视图：从前往后； 侧视图：从左往右； 俯视图：从上往下。
2、 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2、圆柱的表面积3、圆锥的表面积2r rl S ππ+=4、圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5、球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1、柱体的体积 h S V ⨯=底2、锥体的体积 h S V ⨯=底313、台体的体积h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4、球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母γβα、、等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈∈∈L L B L A B A 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，222r rl S ππ+= D CBAαC · B· A·LA· α使.,,ααα∈∈∈C B A公理2作用：确定一个平面的依据。
高中数学必修二立体几何笔记整理
高中数学必修二立体几何笔记整理一、空间几何体。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类。
- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
- 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质。
- 侧棱都平行且相等。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类。
- 按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。
- 性质。
- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台等。
- 性质。
- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，且对应边互相平行。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
- 性质。
- 圆柱的轴截面是全等的矩形。
- 圆柱的侧面展开图是矩形。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
- 性质。
- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 圆锥的侧面展开图是扇形。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
- 性质。
- 圆台的轴截面是等腰梯形。
- 圆台的侧面展开图是扇环。
7. 球。
- 定义：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
- 性质。
高考数学《空间几何体的表面积与体积》专项复习
空间几何体的表面积与体积【课标要求】会计算基本几何体的表面积与体积，会计算组合体的表面积与体积. 【学习目标】（1）知道基本几何体表面积的求法；（2）记住基本几何体体积公式；（3）会利用三视图求几何体的表面积和体积.【重难点】基本几何体体积公式，已知几何体三视图求几何体的表面积与体积. 【知识回顾】1、柱体的表面积与体积表面积=侧面面积+上下底面的面积对于圆柱与直棱柱：表面积=底面周长×高+上下底面面积 体积=底面积×高（高为上下底面之间的距离） 2、锥体的表面积与体积表面积=侧面面积+底面面积对于圆锥：S=2r rl ππ+（r 为底面圆的半径，l 为圆锥的母线长）体积=31底面积×高（高为棱锥顶点到底面的距离）3、台体的表面积与体积 表面积=各个面面积之和对于圆台：表面积=π)212221l r l r r r +++（体积=)(312121S S S S h ++其中21r r 、为圆台上下底面圆的半径，l 为圆台的母线长，21S S 、为台体上下底面的面积，h 为台体的高. 4、球体的表面积与体积24r S π= 334r V π=【随堂练习一】1．一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么该几何体的侧(左)视图的面积是( )A ．2 3B ．3C ．4D ．22．已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于( ) A ．4π B ．6π C ．8π D ．9π 3．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则正方体的棱长为( )A ．2B ．2C ．4D ．22 5．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A ．6a 2 B ．12a 2 C ．18a 2 D ．24a 2 6．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( ) A ． 2 B ．3 C ．62D ．2337．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65 C ．56＋12 5D ．60＋1258．(2016·全国卷Ⅰ文，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 9．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2D ．4：310．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1、S 2，则( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＝2S 2C ．S 1＝3S 2D ．S 1＝4S 2 11．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________. 12．若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________.13．如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是________cm 2.14．若球的表面积为16π，则与球心距离为3的平面截球所得的圆面面积为________.已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)判断该几何体形状；(2)求该几何体的侧面积S．15.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？16．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2a的正三角形，俯视图是边长为a的正六边形，求该几何体的表面积.【随堂练习二】1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A ．1B ．13C ．16D ．232．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为( ) A ．1 B ．12 C ．32 D ．343．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π34．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( )A ．955πB ．955C ．355πD ．3555．(2016·山东文，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π6．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 A ．6π B ．43π C ．46π D ．63π 7．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( ) A ．S 球>S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球<S 正方体D ．不能确定 8．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323 cm 3D ．403cm 39．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位： cm)，可得这个几何体的体积是________.10.将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________. 11．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________. 12、(2016·北京文，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.13、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.14．如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长、宽分别是4 cm 、2 cm ，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形.(1)求该几何体的全面积； (2)求该几何体的外接球的体积．。
第七篇立体几何(必修2)第2节空间几何体的表面积与体积word版含解析_最新修正版
第二节空间几何体的表面积与体积应用能力提升朮壬此t片［巾【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积2,5,7,9空间几何体的体积1,3,11,13与球有关的问题6,10,12,14折叠与展开问题 4综合应用8,15基础巩固（时间:30分钟）1.（2017 •北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为解析：由三视图知，该三棱锥的高为4,底面是直角边长为3和5的直角三角形,(A)60 (B)30 (C)20 (D)101所以V= X3x52 X 4=10.选D.«（左'桃閔2.（2016 •全国I 卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 ,则它的表面积是（71s 卫• 4n ・氏+3 • N n 氏=17兀,故选A.3.（2018 •全国I 卷）在长方体 ABCDAiBGD 中,AB 二BC=2,AC 与平面 BBGC 所成的角为30° ,则该长方体的体积为（C ）解析：如图，连接AG,BC i ,AC.C,因为AB 丄平面BBCC, 所以/ ACB 为直线AC 与平面BBCC 所成的角, 所以/ AGB=30° . 又 AB=BC=2,(A)17 n (B)18 n (C)20 n (D)28 n解析:1 4E 3 n(A)8 (B)6k/2 (C)8 謂 (D)8% 靑28反n ,所以R=2.O在Rt △ ABC中,AG=$ 加呵=4, 在Rt △ ACC中,CC=jMf - 4%訥2 - + 巧=2 謂, 所以V长方体二AB- BC- CG=2X2X 2^二肿.故选C.4.（2018 •全国I卷）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（B ）O(A)2U 谆(B)2 岳(C)3 (D)2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.iV圆柱的侧面展开图及M,N的位置（N位于0P的四等分点）如图②所示, 连接MN则图中MN即为M到N的最短路径.1O N S X 16=4,OM=2,所以MN阿页£氏邛=2石故选B.5.（2017 •福建南平模拟）如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形（含一条对角线）,则该几何体的侧面积为（B解析：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示SB 二SD=2,CD 丄 SD,CBI SB,所以 S 侧=S A SAB +S\ SAD +S^ SCB +S A SCD=2S\ SAB +2S\ SCB1 1=2x2X 2+2X 2X 2X 2^ =4+4\2故选B.AC=£B C 丄AD,则该三棱锥的外接球的表面积为（B ）(A)8(1+ 备同 (B) 4(1+农) (C)2(1+ 血)(D)1+%闿底面为正方形,AB=AD=2棱锥的高为 SA=2.6.（2018 •福建模拟）已知三棱锥D-ABC 中,AB=BC=1,AD=2,BD=I,(A)岡n (B)6 n(C)5 n (D)8 n解析：由勾股定理易知AB1 BC,因为DA1BC,所以BJ平面DAB.所以CD T肿+ E芒二風所以A C+A D=C D.所以DA1AC.取CD的中点0,由直角三角形的性质知0到点A,B,C,D的距离均为2 ,其即为三棱锥的外接球球心.故三棱锥的外接球的表面积为 4 nX JB (2)2=6n .7.已知圆锥的母线长为2,高为占,则该圆锥的侧面积是解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为（启F=1,所以圆锥的侧面积为S 侧=n rl— nX 1 X 2=2 n .答案：2 n 8.（2018 •六安模拟）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十解析：因为圆台的轴截面为等腰梯形，上底为2.8尺,下底为1.2尺,1.2 +2.B所以中位线为—2 —=2,所以盆中积水的上底面半径为1尺,所以盆中积水为nX 1.96=0.588 n .又盆口面积为S=nX 1.42=1.96 n .V所以平地降水量为=0.3尺=3寸.答案：3能力提升（时间：15分钟）9.（2016 •全国m卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（B ）(A)18+36 亚(B)54+18^^解析：由三视图知此多面体是一个斜四棱柱，其表面积S=2X (3 X 3+3X 6+3X 37丐) =54+18 国.1 1vWh(S 上+S下+^?7)=3 X 0.9( nX 0.6 2+ nX 12+'jrx0//x jrx)=0.3 (C)90 (D)811G| (A)亍 11n (B) 2 n故选B.10.（2018 •合肥模拟）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥 S-ABCD 该四棱锥的体积为3 ,则该半球的体积为（A ）64<2(C) 3 n (D) 3 nAB =BC =CD =D A R ,所以其体积卿R 宵，贝J 戌=2圍，于是球的体积为 V=1 4农*n 戌=3 n ,则半球的体积为2 V=311.（2018 •日照一模）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）(A)〒 n (B)解析：设所给半球的半径为R,则棱锥的高 h=R,底面正方形中有解析:该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个4圆锥,然后挖掉一1个相同的习圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由题图可知，216菲—■C球的半径为2,则V= n r 3二H .故选A.12.（2018 •全国m 卷）设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 9「巳则三棱锥DABC 体积的最大值为(A)12 綺(B)18 占(C)24 亦(D)54 占 解析：由等边△ ABC 的面积为9巨可得咗A B=9®所以AB=6, 所以等边^ ABC 的外接圆的半径为r=m AB=23 设球的半径为 R,球心到等边△ ABC 的外接圆圆心的距离为 d,则df iR? - /=彳16』12 =2.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为2+4=6,1所以三棱锥D-ABC 体积的最大值为M x 9气X 6=18闿.故选B.13.（2018 •全国n 卷）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB 互相垂直,SA 与 圆锥底面所成 角为30° ,若^ SAB 的面积为8,则该圆锥 的体积1解析：在 Rt △ SAB 中 ,SA 二SB,S SA = • SA=8, 解得SA=4.设圆锥的底面圆心为0,底面半径为r,高为h, 在 Rt △ SA0中, /17(C)T 3Sn (D) 6 nSAO=30 ,所以r=2kA h=2,所以圆锥的体积为P n r2• h^ nX （2%你），2=8 n .答案：8 n 14.（2017 •全国I卷）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球0的球面上,SC是球0的直径.若平面SCAL平面SCB,SA=AC,SB=BC,棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面积为解析:0为球心，△ SBCASAC为等腰直角三角形，/ SAC=^ SBC=90 .ACL SC.BOL SC.所以/ AOB为二面角A-SC-B的平面角,又因为平面SCAL平面SCB, 所以/ AOB=90 ,且SC!平面AOB,1设球的半径为r,S △ Ao=r2,1=2x B X2X r2x r所以T=9,所以r=3.所以球的表面积为S球=4n r2=36n .答案:36 n 15.（2018 •兰州模拟）已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心0到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点，过点E作球0 的截面,则截面面积的最小值是解析：由题意知，正三角形ABC勺外接圆半径为M页亍込因为球心0在^ ABC内的投影为^ ABC的重心,所以5 2 AB=q所以AB=3,过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面32 I积S min=nX (2)=片.答案：示。
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
高中数学空间几何体的表面积与体积知识总结+练习
空间中点、线、面间的位置关系点 共线的条件 线共点的条件确定平面的条件空间几何体的体积 棱柱圆柱的体积 棱台圆台的体积球的体积棱锥圆锥的体积 空间几何体的表面积 直棱柱的表面积 正棱锥的表面积 球的表面积正棱台的表面积空间几何体与平面的基本性质空间几何体的表面积与体积要求层次重难点球、棱柱、棱锥的表面积和体积A了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．（一） 知识内容1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长； 2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．例题精讲高考要求知识框架板块一：空间几何体的表面积空间几何体的表面积与体积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高； 1(')π(')2S c c l r r l =+=+正圆台侧，其中,'r r 分别是圆台上下底面的半径，l 为母线长；4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πS R =球，R 为球的半径．1．除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来．2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化．5．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7．台体（棱台，圆台）的体积公式：1(')3V h S S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8．球的体积：34π3V R =球，R 为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． 课本对柱体和锥体体积公式的推导过程： ⑴长方体的体积V Sh =；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等， 故柱体的体积为：V Sh =；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为13V Sh =；321C 1CB 1A 1A 1B 1CBA 1ABCA 1B 1C 1CBA⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1(')3V S S h =．（二）典例分析：【例1】轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积．【例2】轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积．【例3】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．【例4】底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．【例5】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多少？【例6】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为a，则三棱锥的全面积是多少？【例7】平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．20πB C．100πD．500π3【例8】正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积．【例9】将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．【例10】正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长．【例11】正四棱台的斜高为12，侧棱长为13，侧面积为720，求棱台上、下底的边长．【例12】 正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台的侧面积为，1O O ，分别为上、下底面正三角形的中心，1D D 为棱台的斜高，160D DA ∠=︒，求上底面的边长．【例13】 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）A ．316B ．916C ．38 D ．932【例14】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） AB ．1 C．1+ D【例15】 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中30BAC ∠=︒）．B【例16】 圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积．【例17】 圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．【例18】 圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12,r r （12r r <）．【例19】 已．求圆锥的表面积．【例20】 有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a ()0a >． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【例21】 若，则其外接球的表面积是 ．ABCD【例22】 正四面体棱长为a ，求其外接球和内切球的表面积．【例23】 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．【例24】 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120°BAC ∠=，则此球的表面积等于 ．【例25】 若A ，B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为2π，则此球的表面积为___________，A ，B 两点间的球面距离为__________．【例26】 已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，BC =，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1 BCD ．2【例27】 球面上有三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已知球的半径为R ，且A ，C 两点的球面距离为π2R ，A ，B 两点及B ，C 两点的球面距离均为π3R ，球心到这个截面的距离为6，求球的表面积．【例28】 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：⑴内接正方体的棱长； ⑵内切球的表面积．【例29】 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【例30】 一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==【例31】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【例32】 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则TS 等于（ ）A ．19B ．49C ．14D ．13【例33】 已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C三点．如果AB AC BC ===，则球心到平面ABC 的距离为（ ） A ．1BCD ．2【例34】 已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C三点．如果AB AC BC ===，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1 BCD ．2【例35】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A ．5π4B ．7π8C ．πD ．7π4OD CB AP俯视图侧(左)视图正(主)视图【例36】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．【例37】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 ．俯视图左视图主视图【例38】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．左视图主视图俯视图【例39】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A．B． C．24+D．24+【例40】 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．243【例41】 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．12S S ，的大小关系不能确定【例42】 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．1S ，2S 的大小关系不能确定左视图俯视图主视图232（一） 知识内容1．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；2．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；3．台体（棱台，圆台）的体积公式： 1('')3V h S SS S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；4．球的体积：34π3V R =球，R 为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． 课本对柱体和锥体体积公式的推导过程： ⑴长方体的体积V Sh =；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等， 故柱体的体积为：V Sh =；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为13V Sh =；321C 1CB 1A 1A 1B 1CBA 1ABCA 1B 1C 1CBA⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1('')3V S SS S h =．（二）典例分析：【例1】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体积是________； 【例2】 已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_______．【例3】 6，则球的表面积和体积的比为______．板块二：空间几何体的体积【例4】 直三棱柱111ABC A B C -各侧棱和底面边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连结1A B ，BD ，1A D ，AD ，则三棱锥1A A BD -的体积（ ）A ．316aB3 C3 D ．3112a【例5】，则该正四棱柱的体积等于 ．【例6】 已知三棱台111ABC A B C -中25ABC S ∆=，111A B C S ∆9=，高6h =．⑴求三棱锥1A ABC -的体积1A ABC V -⑵求三棱锥111B A B C -的体积111B A BC V -⑶求三棱锥11A BCC -的体积11A BCC V -【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为45︒角，则此三棱柱的体积为（ ）AB ．CD ．【例8】 在体积为15的斜三棱柱111ABC A B C -中，S 是1C C 上的一点，S ABC -的体积为3，则三棱锥111S A B C -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3 【例9】 直三棱柱111ABC A B C -各侧棱和底面边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连结1A B ，BD ，1A D ，AD ，则三棱锥1A A BD -的体积（ ）A ．316aB3C3D ．3112a CAA 1B 1C 1DC 1B 1A 1CBA【例10】 正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若，A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．【例11】 在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC ，A ，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为 ．【例12】 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）AB． C． D．【例13】 平行六面体1111ABCD A B C D -中，在从B 点出发的三条棱上分别取其中点,,E F G ，则棱锥B EFG -的体积与平行六面体体积的比值为________．【例14】 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ） ABCD．【例15】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V ，2V 的两部分，那么12:V V = ．【例16】 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．（等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥）【例17】 如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，135ADC ∠=︒，5AB =，CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．V 2V 1A 1B 1C 1FEC BAABCD【例18】如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底2cmAD=，下底10cmBC=，底角60ABC∠=︒，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．lABC DEF60︒【例19】在ABC∆中，2AB=，32BC=，120ABC∠=︒（如图所示），若将ABC∆绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．9π2B．7π2C．5π2D．3π2【例20】在体积为的球的表面上有A，B，C三点，1AB=，BC=A，C两点的球面距离，则球心到平面ABC的距离为．【例21】图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球，求证：在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱全面积的23．【例22】正四棱锥S ABCD-S、A、B、C、D都在同一球面上，则该球的体积为_______．DCBAOHDCBAS【例23】 如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3hh h =，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为22.h h ，求C【例24】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【例25】 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ） A ．12S S < B ．12S S > C ．12S S =D ．12S S ，的大小关系不能确定【例26】 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4AD =，13AA =，分别过BC ，11A D 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112EBE A FCF D V V -=，11113B E B C F C V V -=，若123::V V V 1:4:1=，则截面11A EFD 的面积为 ．E 1F 1FEDC AA 1D 1B 1C 1【例27】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．⑴求该几何体的体积V；⑵求该几何体的侧面积S．【例28】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为______．【例29】如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．【例30】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，3AB BC CD DA====，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A．B．C．D．【例31】如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为，求四面体的体积．【例32】已知正三棱锥S ABC-，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120．⑴求正三棱柱的高；⑵求正三棱柱的体积；⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．【例33】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【例34】将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）AB．2C．4D【例35】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．【例36】⑴给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．图3图2图1【例37】两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个【例38】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为．【例39】已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于（）A．BCD图12图【例40】 球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【例41】 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2【例42】 直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A ．5B ．15C ．25D ．125【例43】 一平面截一球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离4，求该球的表面积与体积．【例44】 已知一个球的直径为d ，一个正方体的棱长为a ，如果它们的表面积相等，则（ ）A ． d a >且V >球V 正方体B ． d a >且V <球V 正方体C ． d a <且V >球V 正方体D ． d a <且V <球V 正方体【例45】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，201010202020主视图左视图俯视图可得这个几何体的体积是_______．【例46】 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________．【例47】 已知正三棱锥的侧面积为cm 2，高为3cm ． 求它的体积．【例48】如图，在等腰梯形ABCD中，22,60AB DC DAB︒==∠=，E为AB的中点，将ADE∆与BEC∆分别沿,ED EC向上折起，使,A B重合于点P，则三棱锥P DCE-的外接球的体积（）DE CBAA B C D【例49】已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30︒，求正四棱锥的全面积与体积．【例50】将圆心角为120︒，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【例51】正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，求此三棱柱的体积．【例52】一平面截一球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离4，求该球的表面积与体积．【例53】如图，在等腰梯形ABCD中，22,60AB DC DAB︒==∠=，E为AB的中点，将ADE∆与BEC∆分别沿,ED EC向上折起，使,A B重合于点P，则三棱锥P DCE-的外接球的体积（）DECBAA B C D【例54】 正六棱锥-P ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥-D GAC 与三棱锥-P GAC 体积之比为（ ） A ．11∶B ．12∶C ．21∶D ．32∶【例55】 如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A ．12VV >B ．22VV <C ．12V V >D ．12V V <【例56】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【例57】 若 ）A B C D ．23【例58】 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m ，高4m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m （底面直径不变）．⑴分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； ⑵分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； ⑶哪个方案更经济些？【例59】已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30︒，求正四棱锥的全面积与体积．【例60】有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．【例61】正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，求此三棱柱的体积．【例62】将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）AB．2C．4D【例63】如图，已知球O的球面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB BC⊥，DA AB BC===则球O点体积等于__________DC BA 【例64】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．8π3BC．D．32π3【例65】一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为．【例66】 一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ． 【例67】 如图，在等腰梯形ABCD 中，22,60AB DC DAB ︒==∠=，E 为AB 的中点，将ADE ∆ 与BEC∆分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积（ ） A ．43πB ．6π C ．6π D ．6πDECBA【例68】 正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（ ） A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【例69】 （08年重庆9）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A ．12VV >B ． 22VV <C ．12V V >D ．12V V <【例70】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．左视图俯视图主视图232。