行列式的定义
行列式的定义
−1
例1 解: 计算三阶行列式 按对角线法则， 按对角线法则，有
6 0 1
7 9 5
D = 4 2
D = (−1) × 0 × 5 + 4 × 1× 7 + 2 × 9 × 6
− 7 × 0 × 2 − 1× 9 × (−1) − 5 × 4 × 6
= 25
二、n阶行列式 阶行列式
定义 一阶行列式为 |a11|= a11. 它等于 a11 本 一阶行列式为|a 11. 它等于a 其值可正可负。 身，其值可正可负。
1 1 2
例 在 3 2 4 中，4的余子式是Μ23 = 2.
8 9 5 4的 数 子 是 23 = (−1) 代 余 式 Α
2+3
1 1 8 9
1 1 M23 = −M23 = − 8 9 1 2 2 4
8 代 余 式 Α31 = (−1) M31 = M31 = 的 数 子 是
3+1
定义 行列式的值等于其任一行（列）元素与其 行列式的值等于其任一行（ 对应的代数余子式乘积的和。 对应的代数余子式乘积的和。即
L L L L
an 1 a2n L ann
称为n阶行列式。 叫做行列式的元素。 称为n阶行列式。aij叫做行列式的元素。 行列式简记为|a 行列式简记为|aij|。
行列式定义推导
行列式定义推导
行列式是一个数学概念，通常用于线性代数中。
它最初是由数学家莱布尼茨在17世纪提出的，用于解决线性方程组的问题。
行列式的定义和性质在矩阵理论、线性变换、微分方程等多个领域都有广泛的应用。
行列式的定义有多种方式，其中一种常见的是通过排列和逆序数的概念来定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。
按照定义，|A|是所有取自A的n个不同行、n个不同列的元素的乘积的代数和，其中每个元素的符号由它所在的行号和列号共同决定。
具体来说，对于A中的元素a_ij（i为行号，j为列号），它的符号是(-1)^(i+j)，即当i+j 为奇数时符号为负，为偶数时符号为正。
在推导行列式的定义时，我们可以从二阶行列式开始，逐步推广到n阶行列式。
对于二阶行列式，它只有两个元素，所以定义相对简单。
当推广到n阶行列式时，我们通常使用拉普拉斯展开式或递归定义来计算。
拉普拉斯展开式是将行列式按照某一行或某一列展开，得到一系列低阶行列式的和。
递归定义则是通过行列式的性质，如行列式的转置性质、行列式的行列性质等，来逐步计算出行列式的值。
行列式的定义和性质具有很多重要的应用。
例如，在解线性方程组时，行列式可以用于判断方程组的解的情况；在矩阵理论中，行列式可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的逆等；在微分方程中，行列式可以用于判断线性微分方程组的解的存在性和唯一性等。
因此，行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它的定义和性质值得我们深入学习和理解。
行列式原始定义
行列式原始定义行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述一个矩阵的性质和特征。
行列式的原始定义是通过矩阵的元素进行计算的。
它是一个标量值，可以用来衡量矩阵的体积、面积或者某种特定性质。
在介绍行列式的原始定义之前，我们先来了解一下什么是矩阵。
矩阵是线性代数中的一个基本概念，它由m行n列的数按一定顺序排列而成。
矩阵可以用来表示一组线性方程的系数或者表示一个线性变换。
行列式的原始定义可以通过递归的方式来构造。
对于一个2x2的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b \\c &d \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = ad - bc\]其中，a、b、c、d分别为矩阵A的元素。
这个定义可以很直观地理解为矩阵的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。
对于一个3x3的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\]其中，aei、bfg、cdh分别为矩阵A的三个主对角线上的元素的乘积，ceg、bdi、afh分别为矩阵A的三个副对角线上的元素的乘积。
可以看出，随着矩阵的大小增加，行列式的计算变得越来越复杂。
因此，我们需要一种更简洁的方法来计算行列式。
这就引出了行列式的性质和定理。
行列式有许多重要的性质和定理，它们可以用来简化行列式的计算。
其中最重要的性质是行列式的线性性质。
对于一个n阶矩阵A，如果将它的第i行的元素乘以一个数k，并加到第j行上，得到一个新的矩阵B，那么两个矩阵的行列式之间有以下关系：\[det(B) = det(A) + k \cdot det(C)\]其中C是将A的第i行的元素乘以k之后得到的矩阵。
行列式定义
a1n
D det A A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a21
n ( 1)1+ja1 j a31
j 1
an1
a2( j1) a3( j1)
a2( j1) a3( j1)
a a n( j1) n( j1)
为方便起见,引进记号
a11
a1( j1)
a1( j1)
(2.4)
a11 a12 a13
定义三阶矩阵
A
a21
a22
a23
的行列式为
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a11 a12 a13
记作 D detA A a21 a22 a23
则也称 A 为系数行列式.
例
如二阶方阵A
2 6
3
8
,
则 二阶行列式
A
2 6
3 2
8
若记
D a11 a12 , a21 a22
D1
b1 b2
a12 , a22
D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 则式(2.2)可简便地记作 b1 a12
x1
b1a22 a12b2 a11a22 a12a21
D1 D
b2 a11
a21
a22 , a12 a22
a11 b1
x2
a11b2 b1a21 a11a22 a12a21
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
1.1 行列式的定义
a11 0 M 0
a12 L a1n a22 L a2 n = a11a22 L ann M M 0 L ann
②下三角形行列式 主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形 主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形 行列式, 行列式 即
a11 a21 M a n1
0 a22 M
L L
0 0 = a11a22 L ann M
二阶行列式
D = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n = ∑ a1 j A1 j
j =1
n
其中 A1 j 为元素 a1 j 的代数余子式 的代数余子式.
2.几种特殊的行列式 2.几种特殊的行列式 几种特殊的
⑴ 三角形行列式 ①上三角形行列式 主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角 主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角 形行列式, 形行列式 即
A13 = ( −1)
1+ 3
由行列式的定义计算得: 由行列式的定义计算得
D = 1 × ( −21) + ( −1) × ( −30) + 0 × 22 = 9
二.n 阶行列式的定义
1.n 1. 阶行列式的定义
定义3 个元素组成的一个算式， 定义 由n2 个元素组成的一个算式，记为 D a11 a12 L a1n
a
b
c d
= ad − bc
并称之为二阶行列式. 并称之为二阶行列式. a , b , c , d 称为二阶行列式 二阶行列式 的元素；横排称为行，竖排称为列 的元素；横排称为行，竖排称为列. 左上角到右下角的对角线称为主对角线;左下角 左上角到右下角的对角线称为主对角线; 主对角线 到右上角的对角线称为次对角线 到右上角的对角线称为次对角线. 次对角线
行列式相乘规则
行列式相乘规则行列式相乘规则是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵运算和方程求解中有着广泛的应用。
本文将介绍行列式的基本概念和相乘规则，并通过一些具体的例子帮助读者更好地理解和应用这一规则。
1. 行列式的定义和性质行列式是一个方阵的一个重要的特征值，它用来描述方阵线性相关性、可逆性以及空间变换效果。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，表示为：det(A) = |a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|2. 行列式的乘法规则若A、B分别为n阶和m阶的矩阵，且n=m，则A和B的乘积AB是一个n阶方阵。
行列式相乘的规则可以表示为：det(AB) = det(A) * det(B)这一规则的推导可以通过展开式和代数余子式的概念来进行。
由于篇幅限制，我这里就不展开详细的推导过程了，感兴趣的读者可以查阅相关资料深入学习。
3. 相乘规则的应用举例为了更好地理解和应用行列式相乘规则，让我们通过一些具体的例子来说明。
例子一：考虑两个2阶方阵A和B：A = |1 2||3 4|B = |5 6||7 8|首先计算A和B的行列式：det(A) = 1 * 4 - 2 * 3 = -2det(B) = 5 * 8 - 6 * 7 = -2然后计算AB得到的方阵：A *B = |1 2| * |5 6| = |-4 -6||3 4| |-10 -12|由于det(A) = -2，det(B) = -2，所以根据行列式相乘规则，det(AB) = det(A) * det(B) = (-2) * (-2) = 4。
例子二：考虑一个3阶方阵C：C = |2 1 3||0 -1 4||1 2 5|首先计算C的行列式：det(C) = 2 * (-1) * 5 + 1 * 4 * 1 + 3 * 0 * 2 - 3 * (-1) * 1 - 1 * 0 * 3 - 2 * 4 * 2 = -6然后考虑C的平方C^2：C^2 = C * C = |2 1 3 | * |2 1 3 | = |-3 0 13 ||0 -1 4| |4 5 22||1 2 5 | |9 12 54|同样地，根据行列式相乘规则，det(C^2) = det(C) * det(C) = (-6) * (-6) = 36。
线性代数1.1行列式的定义
交换一下，（注：这里并不是排列的对换，只是元素乘积
顺序的改变）得到 a1 4a3 1a2 3a5 6a4 2a6 5（2）。
我们注意到交换（1）中这两因素的位置，其行标排列
p1 ps 1 pt p 1 s pt pn （4）
再对排列（4）中的数码 pt 依次与 ps pt 1…… ps 1 这t-s数
码进行t-s次相邻对换得到排列
p1 pt ps 1 pt p 1 s pn （5）
这样排列（3）共经过 （ t-s-1 ）+（ t-s）=2(t-s)-1 这奇数 次相邻两数码对换完成了在（3）中对换 ps 与 pt 的目的得
同理在对（2）中交换因数 a2 3与 a3 1位置得到的 a1 4a2 3a3 1a5 6a4 2a6 5（3）中仍有
1 N 132546 N 413625
1 N 123546 N 431625
在交换（3）因数 a5 6与 a3 1 位置后得到的
a1 4a2 3a3 1a4 2a5 6a6 5（4）中有
a a a a N 4 2 3 1 14 22 33 41
- 1 N 1 3 2 4 1 4 2 3 3 2 4 1
a a a a - = a1 1a2 2a3 3a4 4
11 23 32 44
a a a a - a1 4a2 2a3 3a4 1
14 23 32 41
又
- 1 N 432516 N 213645
线性代数
•
变量之间的依存关系如果是一次
幂的关系，那么就称为线性关系，这种关
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