比较无理数大小的几种方法(第1讲)
2.4估算
巩固练习
5、小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8米高的 墙头上，他请爸爸帮他取，爸爸搬来梯子，将梯 子稳定摆放(梯子底端离墙的距离约为梯子长度 1 的 )，此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小
3
明梯子的长度有没有5米？你能帮小明一起算算吗？
3. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 .如
2 2
555
n个5
n个4
n个3
利用你发现的规律试写出 4444 3333 的结果。
2 2
5555
试一试 已知按一定规律排列的一组数，1，
1 3
1 2
，……，
，
1 19
1 20
如果从中选出若干个数使它们的和大于3， 那么至少要选出几个数？
1 0.707 0.577 0.5 0.477 3.261
，
至少需选5个数。
解： ( 5)2 5, 22 4
1 5 1 通过估算，比较 与 的大小。 2 2
52
5 1 1
5 1 1 2 2
依据：同分母分数，分子越大，分数值就越大
巩固练习 4、通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) (2)
3 1 1 与 ； 2 2 5 1 5 与 . 2 8
0.0662 0.004356(Biblioteka )3900 96;
(3 900)3 900
963 884736
3
0.43 0.066
900 96
(3)
2536 60.4.
( 2536)2 2536
60.4 3648 .16
2
精确计算
2356 60.4
议一议 Ⅳ、下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
知识点估算无理数的大小
解答题1．写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．考点：估算无理数的大小。
分析：（ 1）由于 16＜ 17＜25，9＜ 11＜ 16．由此得到﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣ 5 和 4 之间的整数即可；（2）由于 16＜ 18＜25，所以 4＜＜5．只需写出绝对值小于 5 的所有整数即可．解答：解：（ 1）∵ 16＜ 17＜ 25，9＜ 11＜ 16，∴﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数：﹣4，± 3，± 2，± 10，；（2）∵ 16＜ 18＜ 25，∴4＜＜5，∴绝对值小于的所有整数：± 4，± 3，± 2，± 10，．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．2．（ 1）如图 1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．考点：估算无理数的大小；平方根。
分析：（ 1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．解答：解：（ 1）边长 =cm；（ 2 分）（2）大的正方形的面积=32+32=18；（ 3 分）边长 =，∴边长不是整数，（4分）∵（5 分）∴4≤．（6 分）点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．设的小数部分为a，的倒数为b，求 b﹣ a2的值．考点：估算无理数的大小。
估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 22 4,32 9 ∴2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.72 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 ∵ 2.642 6.9696,2.652 7.0225 ∴ 2.64 7 2.65 ∵ 2.6452 6.996025,2.6462 7.001316 ∴ 2.645 7 2.646
解：∵ 23 8 ，33 27 8 10 27
且
2 3 10 3
∴
3 10
∴ 的整3 1数0 部2 分是2，小
数部分是
所以 7 2.65 （精确到0.01)
总结：同课本P42估算 2的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 42 19 52 ∴ 取值范围
例1. 3 10的整数部分是________，小数部分是______ .
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16，即 3 10 4。
知识点035 估算无理数的大小(选择)
选择题：1．（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：估算无理数的大小。
分析：本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．解答：解：a、b均为正整数，且，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a+b的最小值4．故选B．点评：本题主要考查了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键．2．（2011•资阳）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q考点：估算无理数的大小；实数与数轴。
专题：应用题。
分析：先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．解答：解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在数轴上表示实数的点可能是点P．故选C．点评：本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．3．（2011•徐州）估计的值（）A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．解答：解：9＜=11＜16，故3＜＜4；故选B．点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．4．（2011•天津）估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．解答：解：∵＜＜，∴3＜＜4，故选：C．点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．5．（2011•台湾）如图数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一线段上（）A．OA B．AB C．BC D．CD考点：估算无理数的大小；实数与数轴。
中考数学比较两个数大小的六种技巧
中考数学比较两个数大小的六种技巧
中考数学比较两个数大小的六种技巧
在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。
怎样比较数与数之间的大小呢？下面介绍一些常用的方法供大家参考。
一．求差法
求差法的基本思路是：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b 0时，a0时，a b。
”来比较a与b的大小。
二. 求商法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的.商，再根据“当时，ab。
”来比较a与b的大小。
三.倒数法
倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当时，a 当时，a b,”来比较a与b的大小。
四．估算法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，，先估算出a、b两数中某部分的取值范围，再进行比较。
五．平方法
平方法的基本思路是：先将要比较的两个数分别平方，再根据“在时，可由得到”来比较大小。
这种方法常用于比较无理数的大小。
六．移动因式法
移动因式法的基本思路是：当时，若要比较形如 r的两数的大小，可先把根号外的因数a与c平方移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
两个实数大小的比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
【中考数学比较两个数大小的六种技巧】
1/ 1。
关于无理数的比较大小
无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。
无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。
但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。
这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。
一、平方法：两个数分别平方，再比较。
例1：比较的大小与711513++。
解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。
二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。
例2：比较2-5与52-5的大小。
解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。
这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。
例3：比较6-7与5-6的大小。
解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。
这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。
例4：比较62-112与65的大小。
解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。
五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。
例5：比较3-7与2-6的大小。
解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。
北师大版八年级上册第二章 24 估 算 教案
2.4估算教学目标知识与技能：1.能通过估算检验计算结果的合理性.2.能估计一个无理数的大致范围.3.通过估算比较两个数的大小.过程与方法：通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.情感态度与价值观：掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.教学重难点重点：估计一个无理数的大致范围.难点：通过估算比较两个数的大小.教学准备教师准备：梯子模型.学生准备：复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.教学过程一、导入新课导入一:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?导入二:自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)导入三:“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为.【提示】v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.二、构建新知（1）引例探究[过渡语]通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得x·2x =400000,2x2=400000,x=.那么=?【问题】(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)【问题解决】(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为202100平方米,大家估计一下,哪个数的平方是202100?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.[设计意图]从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.[过渡语]我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?【问题】(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.①≈0.066;②≈96;③≈60.4.(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)【问题解决】(1)这些结果都不正确.(2) ≈10.[设计意图]同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.（2）例题讲解[过渡语]学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?例题：生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?〔解析〕梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=, 因为5.62=31.36<32,所以>5.6,因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.（3）比较无理数的大小【问题】比较与的大小.【问题解决】与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.[知识拓展]1.确定无理数近似值的方法(估算法).(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72= 388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.2.比较无理数大小的方法.(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.另外还有倒数法、作商法.比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.三、课堂总结1.确定无理数近似值的方法——估算法.2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.四、课堂练习1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.2.比较-1与1.5的大小.解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.五、板书设计2.4估算1.引例探究.2.例题讲解.3.比较无理数的大小.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材第34页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第34页习题2.6第1,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结果正确吗?请说明理由.(1)≈60.4;(2)≈351;(3)≈35.1;(4)≈10.6.2.通过估算,比较下面各组数的大小.(1) 与;(2)与3.1.【能力提升】3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120210000 m2.(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)5.设a =,b =,c =2,则a,b,c之间的大小关系是 ()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.(+1)(-1)=1,()(-)=1,()(-)=1,()(-)=1……(1)根据上面的规律,计算下列式子.+…+·(+1).(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.【拓展探究】7.先填写下表,通过观察后再回答问题.a…0.000001 0.00010.011 100 100001000000………(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?(3)试比较与a的大小.【答案与解析】1.解:(1)错误.因为显然小于60. (2)错误.因为显然小于100. (3)正确.因为35.12=1232.01. (4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2+(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2=39,x2=3,x=.所以长为3x=3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120210000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m. (2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m. (3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.5.D(解析:∵a2=2021+2,b2=2021+2,c2=4004=2021+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2021.(2)∵,,又,∴,∴--.7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位. (2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000. (3)当0<a<1时,>a;当a=1或0时,=a;当a>1时,<a.教学反思这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.教材习题答案随堂练习(教材第34页)1.解:(1)≈3.7. (2)≈9.2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.习题2.6(教材第34页)1.提示:(1)≈6. (2)≈5.1.2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以. (2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.4.解:(1)不正确.因为显然大于10. (2)不正确.因为显然小于100.5.提示:约为4 m.6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.素材例1：估计+1的值在()A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间〔解析〕利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.例2：已知a,b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=. 〔解析〕因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.。
估算与二次根式
估算知识点一:方根的估算估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法,很多情况下需要估算无理数的近似值,估算的一般步骤 （1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数)之间 （2）确定无理数的整数（3）按要求估算,一般地，开平方估算到一位小数,开立方估算到整数 例1:估算下列数的大小）（精确到0.132733453（精确到1)知识点二：比较无理数的大小１．估算法:用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时,一般先采用分析的方法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较 例２:比较 的大小与4143-102.求差法b a b a >>-则若,0;b a b a <<-则若,0；b a b a ==-则若,03.平方法:当比较两个带根号的无理数的大小时，可用如下结论:若b a b a b a 33,0>>≥>则，若题型一：估算是现实生活中一种常用 的解决问题的方法,如有一片长方形小树林，长是宽的3倍,而对角线的长为21０米,若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树?这片长方形小树林的长大约是多少米？(精确到1米）知识清单全练知识点一：方根的估算对方根进行估算,平方根一般精确到____＿＿______，立方根一般精确到___＿＿＿＿_____＿_基础闯关全练知识点一:方根的估算１. 0．0０057的算术平方根在 ( )A.0.05与０.0６之间B.0.02与0.03之间 Ｃ．0．03与0.04之间 D.0.２与0.3之间 2.估算结果的误差最小的是 ( )A.5.312≈ Ｂ.10300≈ C.1012343≈ D.01.06.0≈3.一个正方体的体积为28360立方厘米,则这个正方体的棱长估计为 （ )A.22厘米 B ．２7厘米 C.３0.5厘米 D.4０厘米 4.大于17-3且小于103的整数有＿___＿＿__＿＿＿＿个知识点二:比较无理数的大小 5.将757575，，三数按从小到大的顺序排列为______＿_＿_＿_______＿__ 6.比较大小51171+）（ 与109（2） 5.124与三年模拟全练 一：选择题1.将2,，，525这三个数用“>”连接正确的是（ )A.5252>> B ．5225>> C.2525>> D.2255>>2.一个正方形的面积是1２，估计它的边长大小在（ ）Ａ．2与３之间 B.3与4之间 C.４与５之间 D,5与6之间 3.估计6+1的值在( )A.２与３之间B.3与4之间 C ．4与５之间 D,５与6之间 二：填空题4.若m 是13的整数部分,其小数部分为n ，则ｎ的值为__＿_＿__＿＿＿5.比较大小:4＿＿＿＿23 五年中考全练１.a,b 是两个连续整数,若b a <<7,则a,b 的分别是__＿_________＿２.下列无理数中，在-2与-1之间是( ）A.5- B ．3- C.3 D,5 3.大于的整数是且小于52＿__________4.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______＿＿______二次根式知识点一:二次根式，最简二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数2.最简二次根式:同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数中不含分母;(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例1．在个中，最简二次根式有，，，_____21862知识点二:二次根式的性质 1.性质:（1){002≥≤-==a a a a a a（2))0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积(３）)0,0(>≥=b a ba b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2.化二次根式为最简二次根式的一般步骤:（1)把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数（2)被开方数是整数或是整式,先将它分解因式或因式,然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（３)化去分母中的根号或根号内的分母(4）约分 例2:化简3283知识点三:二次根式的运算1.在实数范围内,可以进行加,减,乘,除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立2.二次根式的乘除运算公式)0,0(≥≥•=b a b a ab)0,0(>≥=b a ba b a 3.二次根式加减运算步骤：（1）把二次根式化成最简二次根式（2）找出同类二次根式（被开方数相同）,并合并 例３：计算下列各式 6332⨯ 12-31））（（121-2+练习:）（18-212 ）（）（5-62322+ 632-5520⨯+ 题型二：利用二次根式计算几何问题例2：如图，每个小正方形的边长为1,求∆AB Ｃ的面积和周长实数知识清单全练:知识点一:二次根式,最简二次根式的概念1.一般地,形如___＿____（a 》0）的式子叫做二次根式,ａ叫做___＿_____2.最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含_＿_______＿的因数或因式（2）被开方数的因数是＿_________＿，因式是_＿＿_________＿ 知识点二：二次根式的性质 3.二次根式的性质（1）()0_________2≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a（2）()()()0________0_________0________2<=>==a a a a a 或或（3）()0,0______≥≥=b a ab（4）()0,0_________>≥=b a ba知识点三：二次根式的运算4.二次根式的加减运算:先化成_____＿_＿_____二次根式，再合并___________二次根式5.二次根式的乘法运算：)0,0(__________≥≥=•b a b a ;)0,0________(>≥=b a ba基础闯关全练知识点一：二次根式，最简二次根式的概念 1.下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）)1(1)6()31()5(8)4(1-33-23122>--+x x x ）（）（ 2.下列二次根式中，最简二次根式是( ） A.23a Ｂ.31Ｃ.152 D ．143 3.使式子2-m 的意义的ｍ的最小整数值是__＿___＿_＿_____ 知识点二：二次根式的性质4.若______20的最小值是是整数，则正整数n n5.化简:530.22211-1321知识点三：二次根式的运算6.如果bab a b a ab =<+>）那么下面各式：（1,0,0(2)b b a ab a b b a -=÷=•)3(1其中正确的是____＿＿7.下列二次根式中,不能与合并的是（）2Ａ.21Ｂ.8 C.12 D.18 8．按如图所示的程序计算,若开始输入的ｎ值为2，则最后输出的结果是_＿______＿_______9.化简）（222-8+=＿＿＿_______10.计算1052-40⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 361-24÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31227+18-2148+ ()()16-3-737+()()()2-551-5-22+。
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比较无理数大小的几种方法
比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
下面举例说明。
一、直接法
直接利用数的大小来进行比较。
例1.33380，-
解：因为393=>，所以33
> 因为89<，所以83< 所以380->
二、隐含条件法
根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例2.a a --213 解：因为a -2成立
所以a -≥20，即a ≥2
所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113， 所以a a ->-213
三、同次根式下比较被开方数法
例3.4554 解：因为4516580=⨯=
54254100=⨯= 所以80100<，即4554<
例4.323 解：因为3393266==
228
366== 所以9866>，即323>
四、作差法
若a b ->0
，则a b > 例5.3662
-- 解：因为(
)3662--- =--+=-3662
526 662525252<==... 所以5260-> 即3662
->-
五、作商法
a b >>00，，若a b
>1，则a b >。
例6.a a a a ++++1
2
23 解：因为a a a a ++÷++1223 =
++⨯++=++++<a a a a a a a a 123243441 所以
a a a a ++<++1223
六、找中间量法
要证a b >，可找中间量c ，转证a c c b >>，。
例7.103
102252253
++++ 解：因为10310211252253
++>>++， 所以
103102252253
++>++ 七、平方法
a b >>00
，，若a b 22>，则a b >。
例8.511
610++ 解：因为()51152551116255
2+=++=+ ()610626010162602+=
++=+ 所以511610+<
+
八、倒数法 若()1100a b
a b >>>，，则a b <。
例9.322
32-- 解：因为()()
1322322322322322-=+-+=+ ()()
132********-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-<-
九、有理化法
可分母有理化，也可分子有理化。
例10.
165275--
解：因为()()
16565656565-=+-+=+ ()()()
275275757575-=+-+=+ 所以6575+<+ 所以
165275
-<- 十、放缩法
欲证a b <，可转证a c b
<<。
例11.()
32352- 解：因为()3233233333233252-=+<+==< 所以()32352
-<。