2014 高等弹性理论-09-非线性弹性
第三章 弹性理论
第三章弹性理论
弹性理论是力学领域的一个分支，研究物体在受力作用下的形变和应力关系。
在工程和科学领域中，弹性理论被广泛应用于设计和计算结构的稳定性和安全性。
弹性理论中有两个主要的概念：应力和应变。
应力描述了物体内部的力分布，可以用来计算物体的强度和承受能力。
它通常用符号σ表示，单位为帕斯卡。
应变描述了物体受力后的形变程度，是物体相对尺寸的变化。
它通常用符号ε表示，没有单位。
根据弹性理论的基本假设，当受力作用消失时，物体将回到其初始状态，不会留下任何永久形变。
这就是弹性形变。
当物体的形变超过一定程度时，将会进入塑性形变，这会导致永久性变形。
弹性理论还研究材料在不同条件下的弹性参数，如弹性模量、泊松比等。
这些参数可以用来计算物体的应力和应变，并预测其行为。
在工程设计中，弹性理论被广泛应用于杆件和结构件的计算。
通过计算材料受力状态下的应力和应变，设计者可以确定合适的尺寸和材料，以保证结构的安全和稳定性。
结构力学中的弹性理论分析
结构力学中的弹性理论分析弹性力学是力学的一个重要分支，研究的是物体在受力作用下的变形及其对应的应力分布。
弹性力学在工程学、地质学、物理学、地球物理学等领域都有着广泛的应用。
其中，弹性理论是一种重要的理论分析方法，可用于研究各种结构的受力情况和变形规律。
一、弹性理论的基本假设弹性理论的基本假设是：物体在作用力的作用下，其材料内部存在一种弹性应变能，当作用力消失时，这种应变能将物体恢复到原来的形状和尺寸。
弹性理论假设物体内部的弹性应变能只由物体的应变状态所决定，与作用力的历史无关。
这种假设在实际问题中具有很大的适用范围。
二、弹性理论的基本方程弹性理论的基本方程是：应力-应变关系、平衡方程和边界条件。
（1）应力-应变关系应力-应变关系是弹性理论的基本方程之一，它描述了物体中的应力与应变之间的关系。
杨氏模量、泊松比和切变模量是弹性体特性的重要参数，它们与应力、应变的关系描述了物体的本质特性。
（2）平衡方程平衡方程是弹性理论的基本方程之一，它表述了物体受到的力与物体本身所受的内力之和为零。
平衡方程可用来分析物体的力学平衡状态。
（3）边界条件边界条件是弹性理论的基本方程之一，它描述了边界上的应力和位移情况。
确定合理的边界条件是解决实际问题的关键之一。
三、弹性理论在工程中的应用弹性理论在工程领域中应用广泛。
在力学中，弹性力学是力学的一个重要分支，通过弹性理论的基本方程对实际工程问题进行分析，可以确定各种结构在受力和变形作用下的响应及其特征。
常见的工程问题都有基于弹性理论的解决方法，如梁的挠曲、拉伸、扭曲等问题，还有薄板、圆筒等结构的问题。
在实际工程中，可能会出现一些非常规形状的结构，这时弹性力学的理论可衍生出其相应的基本方程，用于分析这些结构的强度和变形行为。
此外，弹性理论在非线性动力分析和接触问题的研究中也有一定的应用。
总体来说，弹性理论在工程中是必不可少的。
弹性体的变形与力学能量
弹性体的变形与力学能量弹性体是一种特殊的物质，具有具有恢复力和弹性形变的能力。
其特性使得我们在生活和工程中都会频繁地接触到弹性体。
弹性体的变形与力学能量是一个相互关联的主题，本文将围绕这一主题展开讨论，探索弹性体的变形和与力学能量之间的关系。
弹性体的变形是其受到外力作用后的表现。
当弹性体受到力的作用时，其会发生形变，但一旦外力消失，弹性体会恢复到原来的形状。
这种能够恢复到原始形状的能力被称为弹性。
弹性体的变形可以分为弹性线性变形和弹性非线性变形两种。
弹性体的线性变形是指当外力作用较小时，变形与外力成正比。
例如，当我们将一根弹簧拉伸时，可以观察到弹簧的长度随着拉力的增加而线性增长。
这种线性关系可以用胡克定律来描述，该定律表明弹簧的形变与外力成正比。
胡克定律的数学表达式为力 F 等于弹簧劲度系数 k 与弹簧变形 x 的乘积，即 F = -kx。
其中，负号表示力的方向与变形的方向相反。
胡克定律在描述弹性体的线性变形时十分有用，可以帮助我们预测和理解力学系统的响应。
然而，当外力作用较大时，变形与外力的关系将变得非线性。
此时，弹性体的变形将不再符合胡克定律。
弹性非线性变形是指弹性体在受到较大外力作用时，变形与外力不成正比。
例如，我们在日常生活中常见的弹力球就是一个典型的弹性非线性变形的例子。
当我们压缩弹力球时，其变形呈现出一定的非线性特点。
弹力球的形变与受到的压力不是简单的线性关系，而是由材料本身的特性和结构所决定的。
弹性体的变形与力学能量之间存在密切的关系。
当外力作用于弹性体时，外力会对弹性体做功将能量输入到弹性体的系统中。
而弹性体受到外力时，也会产生内部能量的变化。
例如，当我们将一根橡皮带拉伸时，我们施加的拉力对橡皮带做功，将能量输送到橡皮带中，使其发生形变。
当我们释放拉力时，橡皮带恢复到原始形状，并将其吸收的能量释放出来。
这一过程中，能量的输入和输出可以通过计算弹性体的势能和动能来描述。
势能是弹性体在形变中储存的能量。
非线性弹性橡胶弹性.ppt
将(2),(3)代入(1)得到dU TdS PdV fdl (4)
由泊松比知,橡胶在伸长过程中体积几乎不变,dV 0 dU TdS fdl或者fdl dU TdS
f
U l
T ,V
S l
T
,V
(5)
上式表明f 的作用可分为两部分 : 一部分用于体系内能的
4.0
=1.42
3.0
300
320
340
TK
图5 天然橡胶在不同拉伸比下的张力-温度关系
由图可得到如下的结果:
(1)不同拉伸比的直线的斜率并不相同,拉伸比增大时,斜
率也增大.表明形变增大时,张力的温度敏感性变大.同时
由于
f S T l,V l T ,V
顺丁橡胶 天然橡胶 丁苯橡胶 丁基橡胶 乙丙橡胶 丁腈橡胶 氯丁橡胶
其他还有氟橡胶, 聚氨酯橡胶属于弹性体
Rubber Products
The definition of rubber
• 施加外力时发生大的形变，外力除去后可以回复的
弹性材料
• 橡胶、塑料、生物高分子在Tg~Tf间都可表现出一定
的高弹性
所以在形变增大时,单位长度增加所引起的熵下降也变大.
(2)不同拉伸比所得到的直线外推至0K时,截距几乎都为0.
U l
T ,V
0
即 U 0 l T,V
有f T f T S (8)
T l,V
l T,V
这就是说在外力作用下，橡胶的分子链由原来的蜷曲状 态（S1）变为伸展状态（S2），熵值由大变小 △ S ＝ S1－ S2 > 0 说明形变终态是个不稳定的体系，当外力除去后，就会 自发的回复到初态，这说明为什么橡胶的高弹形变可恢 复。同时说明高弹性主要是由橡胶内熵的贡献
弹性力学的非线性理论与应用
弹性力学的非线性理论与应用弹性力学是研究物体变形和应力分布之间关系的力学分支。
在通常情况下，物体的形变和应力之间的关系可以通过线性弹性理论来描述。
然而，当物体受到较大的应力时，材料的弹性性质可能会发生非线性变化，此时需要使用非线性弹性力学理论来解释。
非线性弹性力学理论是建立在线性弹性力学理论基础上的，它考虑了物体在变形过程中的非线性效应。
非线性效应通常来自于材料的本构关系，即材料的应力-应变关系不再是线性的。
下面将介绍几种常见的非线性效应及其应用。
1. 大应变效应在一些工程领域，如土木工程和岩土工程中，物体受到的应力可能非常大，从而导致大应变效应的出现。
大应变效应是指材料在受到极端应力时，其应变与应力之间的关系不再保持线性。
这种效应常常需要考虑材料的非线性本构关系，并采用复杂的力学模型进行分析。
2. 塑性变形塑性变形是一种常见的非线性现象，指的是材料在受到一定强度的应力后会发生不可逆的形变。
与弹性变形不同，塑性变形后材料不会完全恢复到初始的形状。
塑性变形理论常用于金属材料的力学分析和设计，以确保结构在受到负载时能够保持稳定。
3. 疲劳破坏疲劳破坏是指材料在受到循环负载后发生断裂的现象，它是一种典型的非线性失效模式。
疲劳破坏会导致材料的力学性能下降，甚至在较小的负载下出现破坏。
疲劳破坏的研究不仅有助于预测结构的寿命和安全性，还可以指导材料的选择和设计。
4. 超弹性超弹性是指材料在受到应力后会发生可逆的形变，但其应力-应变关系不满足胡克定律。
超弹性材料常常表现出良好的恢复性能和耐久性，因此在一些特殊领域，如医疗器械、弹簧和阻尼器等方面得到广泛应用。
5. 损伤与断裂当材料受到较高应力时，可能会发生损伤或断裂。
这些现象涉及到材料内部的微观结构和缺陷，需要使用非线性理论来描述和分析。
研究材料的损伤与断裂行为有助于预测结构的寿命，并指导工程设计和材料改进。
综上所述，弹性力学的非线性理论对于理解和分析具有非线性效应的物体变形和应力分布具有重要意义。
非线性弹性力学
1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们 应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新 开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。 1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在 非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有 限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是 非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线 性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用 张量这一数学工具。
变形描述
变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）现时构形，在其上取笛卡儿坐标。
由方程 对于有单值逆变换的情形，存在 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 其中u是该物质点的位移矢量,它在和中的坐标分别记为和。 必须区分使用和坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。 描述物体变形的量有变形梯度，在中，其定义为： 其中为克罗内克符号；为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中 分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变(又称芬格应变)和右柯西-格林 应变(又称格林变)。而在中有逆应变(称为皮奥拉应变)和(称为柯西应变)。
弹性理论基础
弹性理论基础1. 弹性理论概述弹性理论是固体力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的变形和恢复能力。
弹性理论基于两个基本假设： 1. 物体在受力作用下具有可逆的变形。
2. 变形仅仅取决于受力的大小和方向，而与受力的作用时间和路径无关。
弹性理论可以应用于各种材料和结构的力学分析中，尤其在工程设计和材料科学中非常重要。
本文将介绍弹性理论的基本概念、方程和应用。
2. 线弹性理论线弹性理论是根据胡克定律，假设应力与应变之间呈线性关系的弹性理论。
根据这个理论，应力与应变之间的关系可以用弹性模量（Young’s modulus）来描述，即：Stress = Young's modulus × Strain弹性模量是一个材料的特性参数，反映了该材料的刚度。
常见的弹性模量有弹性模量、剪切模量和体积模量。
线弹性理论在许多工程问题中被广泛应用，可以用于计算材料的应力分布、变形情况以及结构的稳定性等问题。
3. 弹性参数在弹性理论中，有一些重要的弹性参数需要了解。
除了上文提到的弹性模量外，还有泊松比、剪切模量和体积模量。
泊松比（Poisson’s ratio）是描述材料在拉伸或压缩过程中侧向收缩或扩张程度的参数。
它可以通过应变沿着拉伸或压缩方向与侧向应变之间的比值来计算。
剪切模量（Shear modulus）是描述材料在受到切割作用时的抵抗能力的参数。
它反映了材料的刚度，与弹性模量之间有一个可以通过泊松比计算的关系。
体积模量（Bulk modulus）是描述材料在受到体积压缩作用时的抵抗能力的参数。
它反映了材料的刚度，与弹性模量之间有一个可以通过泊松比计算的关系。
4. 非线性弹性理论尽管线弹性理论在很多情况下足够准确，但在一些材料和结构上，它的应用存在一定的限制。
例如，当应力超过材料的弹性极限时，材料将发生塑性变形，并且无法回复到初始状态。
为了解决这个问题，非线性弹性理论应运而生。
非线性弹性理论通过引入非线性的应力-应变关系，能够更准确地描述材料的变形和恢复能力。
天大14秋《弹性理论》在线作业一答案
《弹性理论》在线作业一
单选题
一、单选题（共20 道试题，共100 分。
）
1. 弹性力学平面问题又（）个基本方程）。
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10
-----------------选择：C
2. 对于应力边界问题，满足平衡微分方程和应力边界条件，必为正确应力力分布。
A. 正确
B. 错误
-----------------选择：B
3. 解答弹性力学问题必须从( )、几何方程、物理方程三个方面来考虑。
A. 相容方程
B. 应力方程
C. 平衡方程
D. 内力方程
-----------------选择：C
4. 弹性力学研究物体在外因作用下，处于( )阶段的应力、应变和位移
A. 弹性
B. 塑性
C. 弹塑性
D. 非线性
-----------------选择：A
5. 将两块不同材料的金属板焊在一起，便成为一块
A. 连续均匀的板
B. 不连续也不均匀的板
C. 不连续但均匀的板
D. 连续但不均匀的板
-----------------选择：D
6. 体力作用在物体内部的各个质点上，所以它属于内力。
A. 正确
B. 错误
-----------------选择：B
7. 设有平面应力状态σx＝ax十by，σy＝cx十dy)，σz＝一dx一ay一γx，其中a，b，c，d 均为常数，γ为容重。
该应力状态满足平衡微分方程，其体力是( )
A. X=0,Y=0
B. X≠0,Y=0
C. X≠0,Y≠0。
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复合材料非线性本构模型
复合材料非线性本构模型
T.W.Chou模型
非线性的应力应变关系处理为：
基于Euler系统的橡胶复合材料非线性弹性本构关系（假定应变能 函数)
T.W.Chou模型 2 e1 s111 s11112 s1111 13 s122 s1666
2 3 2 e2 s222 s2222 26 s22222 s122 2s2266 3 2 e6 s666 s6666 6 2 6 2s16616 2s2266
研究对象：平面应力状态下正交各向异性的橡胶复合材料 特点：较为完备的，考虑了双轴变形，剪切轴向耦合变形 缺点：实验条件要求苛刻
S11，S22，S12和S66由线性变形确定 S1111，S2222，S6666用于确定材料的非线性性能 S111和S222由轴向和横向的双轴行为确定 S166，S2266表示主方向和剪切变形的耦合
1 4 1 4
本构方程、几何方程都是线性的 本构方程和能量原理都是按变形前的状态列出来的 小变形问题的材料非线性问题(只是本构方程不同)
非线性效应仅由应力应变的非线性引起，位移分量仍然假定 为无限小量，仍然可以采用工程应力和工程应变描述，仅为 材料非线性问题。
Possion‘sratio、
0.46 0.44 0.42 0.4
•
X L dA L x i
•
Euler坐标描述，应力是作用在变形后的截面上单位 面积上的内力，随空间坐标变量变化而变化。 作用在变形构架上的实际面积 真实应力
dT L da
体积的变化
J
dV dV 0
J
x i x i x j x k e ijk X J X 1 X 2 X 3
研究对象：刚性复合材料 特点：相对简单易用，变形较小时准确 缺点：未考虑垂直于增强帘线方向的横向变形的
非线性关系，不够准确
非线性的应力应变关系
1 2 6
27
S 11 S 12 0
S 12 S 22 0
28
1 0 2 4 S 6666 6 S 66 6 0
[( IB U I ,B )S BA )] FI 0 X A
x i S BA N A Pi K X A
•
9
非线性弹性本构关系
•
实验与数据处理
Kirchhoff应力张量表示的本构关系
S IJ W (E IJ ) E IJ
单向拉伸时数据点采集
试件 试验 点1 25, 1 15, 4 8, 2.4 11.5, 5 试验 点2 40, 2 20, 6 13, 4.4 25, 15 试验 点3 50, 3 30, 9 24, 9.4 34, 25 试验 点4 70, 5 36, 11 33, 14.4 42, 35 试验 点5 100, 9 60, 26 41.5, 19.4 49, 45 试验 点6 150, 17 75, 36 64.5, 39.4 54, 50 试验 点7 200, 27 108.5, 66 82.5. 59.4 68, 70 试验 点8 250, 36 140, 96 98, 79.4 75, 80 113.5, 99.4 81, 100 试验 点9 300, 50
本构方程的具体形式
本构方程的一般形式为
ij f ij （变形历史、温度历史）
f ij 要求是二阶对称张量
19
取决于函数中独立变量的选取，这种选取往 往需要依据事实。 例如在等温过程的有限弹性理论中，假定 f ij 是变形梯度xi / a j 的分量的函数， f ij 独立变量一经选定, 它的可能形式就要 受到本构理论的一般原理的约束。
•
Cauchy应力张量表示的本构关系
ij
dV 0 W F jN dV FiN
大变形
尺寸 KC15 KC30 KC45 KC90 2.44, 0.262 2.43, 0.26 2.432, 0.276 2.396, 0.276
12
2
实验与数据处理
实验与数据处理
格林应变，应力定义为第二类皮奥拉克希荷夫应力
单向拉伸时格林应变为 E11 欧拉应力为
u1 1 u1 2 u 1 u 2 ( ) ( ) L0 2 L0 X 1 2 X 1
Eij
1 u j u i u k u k [ ] 2 X i X j X i X j
S lm J
X l X m ij xi x j
L0
实验与数据处理
KC45 ? 3 Stress (MPa) Cauchy-Euler curve 2
变泊松比问题
假定拉伸状态时材料变形前后的体积不变 J0 1 变形后试件的长宽厚分别为
l d l0 (1 x ) w1d w10 (1 x ) w2 d w20 (1 x )
S dT K dA
dT L dA
dT L da
dT
K
F 1 dT
da JF T dA
变形前力矢量除于变 形前的作用面积
dT da
da JF T dA
T J F T
S F 1 J F T 1 1 S IJ JFIi FJj ij
13
Ti dT P A dA w w (1 u ) 2 1 2 L0
雅可比矩阵为
J e123
x1 x2 x3 u u 2 (1 )(1 ) X 1 X 2 X 3 L0 L0
第二类皮奥拉克希荷夫应力为
S11 J
14
X 1 X 1 P 11 = u x1 x1 ) w1w2 (1
V JVd Vd
1
Green-Kirchhoff curve
V0 L0 w10 w20 Vd Ld w1d w2 d
50%
(1 x )(1 x ) 2 1
1 x (1 x ) 2 x (1 x )
1
10%
20%
格林应变克希荷夫应力与柯西应变－欧拉应力 实验曲线对比
dA为da在未变形时所对应的面积， dTL为da平面上的力矢量
1
应力张量的描述
•
应力张量的描述
•
Lagrange应力张量
• •
Kirchhoff应力张量
•
dA为da在未变形时所对应的面积 dTL为da平面上的力矢量
T
dA为da在未变形时所对应的面积，dTL为da平面上 的力矢量，dTk为dA平面上的虚拟力矢量
非线性的应力应变关系处理为：
T.Hahn和S.W.Tsai剪切非线性模型
四阶的弹性余能密度函数， 构造剪切的非线性应力应变关系 主应力应变关系仍为线性
四阶的弹性余能密度函数
W* 1 1 1 1 2 2 4 S11 12 S 22 2 S12 1 2 S 66 6 S 6666 6 2 2 2 4
材料非线性问题的特点：
大变形问题的材料非线性问题（双重非线性问题） 应变能密度函数 应力应变直接关系
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Greenstrain
应力应变关系
泊松比与格林应变的变化关系
17
18
3
非线性本构模型
非线性本构模型
材料本构关系 定义：
本构方程旨在描述质点作用力和变形历史及 温度历史的联系 力学量和运动学量之间的关系称为本构关系
橡胶材料的应力响应
几何关系非线性
线元、面元与体元的变换
•
应力张量的描述
•
线元 dx F dX
dx i
x i dX J X J
Cauchy应力张量
•
dX F 1 dx
•
dX I
X I dx j x j
1
面元的变化
•
da JF T dA dai JFLi dA L J
30% Strain
40%
泊松比随工程应变变化的关系 随格林应变变化的泊松比
1 (1 2 E x ) (1 (1 2 E x ) 4 )
1 4 1
变泊松比问题
0.5 0.48
非线性本构模型
小变形线性的特点：
1 (1 2 E x ) (1 (1 2 E x ) )
20
非线性本构模型
非线性本构模型
A.
本构方程的研究
物理相容性原理
所有本构方程必须满足基本的物理定律，质量守 恒、动量守恒、动量矩守恒，能量守恒，熵原理 等等
一方面立足于试验观察，通过试验确定本构 方程的待定函数、常数。利用有限的实验数 据建立经验公式来描述实际工况下的材料性 质 另一方面通过对本构理论的一般原理研究， 能够对本构方程的可能形式有更深刻的理解 。
应力张量的描述
非线性问题的平衡方程
•
Kirchhoff 应力的物理意义： 可以计算得到真应力（考虑质量守恒定律） a a j kl S ij 0 i x k xl 方便确定边界条件和材料关系(定义在初始 构型上)
Euar描述Cauchy应力张量表示的平衡方程 ij , j f i 0 Lagrane描述Kirchhoff应力张量表示平衡方程
上一讲主要内容：能量原理
高等弹性理论-09
非线性弹性问题