非线性粘弹流体的本构方程
《流变学》 第四章 第二部分
速率型本构方程
• 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可 以用一些力学模型，如Maxwell模型、 Voigt模型及它们的恰当组合进行描述。 用三维张量形式描述Maxwell方程 σ+λ1σ=2η0d 式中λ1=η0/G 称为松弛时间，单位为s；σ为应力张量 中的偏应力张量；d为速度梯度张量中的形变率张量； 为应力σ对时间的一般偏微商。 L为速度梯度张量 注意：这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式， 并无深刻的物理意义。式中系数2的出现是由于采用了张量描述 的缘故.
本构方程概念
• 本构方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性 相关的力学响应规律的方程。 • 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：
如理想气体的本构方程为 PV=nRT 牛顿流体的本构方程实质方程为 0
非牛顿流体的本构方程为
Kr
a
a
n
(1 b r ) c
胡克弹性体的本构方程为
需要指出的是，我们必须建立随流坐标系和固定的空间坐标 系中各种物理量之间的转换关系，因为我们所有的实验仪器 都是安装在固定的空间坐标系中，所有对流体性质的测量也 都是在空间坐标系中进行的。只有建立起随流坐标系和固定 的空间坐标系中各种物理量之间的转换关系，我们才能将随 流坐标系中讨论的结果转换到实验室系中加以验证，以确定 本构方程的优劣。
• White-Metzner推广经典的Maxwell模型，其方法就是采 用对应力张量求Oldroyd随流微商代替一般偏微商。 • 为检验White-Metzner模型的说明能力，将该模型用于 描述稳态简单剪切流场： 1 r x2 2 3 0
• 首先考察偏应力张量σ的 Oldroyd随流微商的具体表达式。 由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项 i j 0 t 注意：这儿将偏应力张量分量σij代替了原公式中Tij。又 因为v2=v3=0,偏应力分量σ12沿x1方向无变化，故有
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
第10章 粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)
第10章 粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）1．概述a ）基本的典型模型（根据流变学分类法）弹性：没有记忆（与历史无关，没有耗散），可逆的，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。
塑性：有记忆（与历史有关，有耗数），不可逆，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关，比拟元件粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效，比拟元件多数的工程材料，可用上述三者之一，或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下）。
b ）粘弹性材料该材料既有粘性，又有弹性。
变形=瞬时效应+随时间而变化的变形（后效变，滞后部分）（弹性）（粘性流动） c ）两种典型的特性试验弹性：E / ,00σεσσ==，若,10=σ 则 F E ==/1ε（柔度）0 ,εσεεE ==0，若 10=ε，则 E =σ（模量）粘弹性：)() ,t E t 00=(=σεσσ （由于)t (ε增加，则)(t E 减小，材料软化）)() ,10t F t =(=εσ蠕变柔量松驰实验：0)()( ,εσεεt E t ==0)() ,10t E t =(=σε 松驰模量线性粘弹性本构方程，用叠加原理。
有三种表述形式：微分算子型，积分型——遗传积分，复数型（本次不介绍）。
2．微分算子型：（a ）两个基本的比拟模型（非其正的材料模型，用于定性的说明） ①Maxwell 模型γγεησεσ == e e E 为元件的本构方程 系统的本构方程：（σ与ε的关系）γγεεεσσσ====e e γγεεεεησεσ +===e e E , , 则： ησσε+=E （接近于粘弹性流体） ② Kelvin （V oigt ）模型元件的本构方程：γγεησεσ == e e E γγεεεσσσ==+=e e系统的本构方程：则：εηεσ +=E （接近于粘弹性固体） （b ）推广到一般情况：定义：0d :d P r pr r p t =∑ 0d :dt Q rpr r q =∑[)][)]P Q t t σε(=(为微分算子型本构方程。
高分子材料流变学教
高分子材料流变学Polymer rheology一、课内学时：40学时；学分：2学分二、使用专业：高分子化学与物理、材料学、材料加工工程、高分子机械设计三、预修课程：高分子化学、高分子物理学、高分子结构与性能、高分子加工原理、场论四、教案目的：《高分子材料加工原理》是高分子材料与工程专业本科生的必修课，课程设置的目的是：1．使学生对高分子材料加工过程的基本原理，主要包括高分子材料在成型加工过程中的基本流变学原理和传热学原理有比较全面的认识。
结合高分子物理学、材料加工工艺学、加工机械及模具设计，理解高分子材料的流变性质、传热性能与材料的结构、性能、制品配方、加工工艺条件、加工机械及模具的设计和应用之间的关系。
2．掌握高分子材料的基本流变学性质和传热学性能；了解研究高分子材料流变性质、传热性能的基本数学、力学方法；掌握测量、研究高分子材料流变性质、传热性能的基本实验方法和手段。
为进一步学习《聚合反应工程学》、《材料成型加工工艺学》、《材料成型加工机械》、《模具设计》等课程打下基础。
3．讨论典型高分子材料成型加工过程的流变学、传热学原理，讨论多相聚合物体系（复合材料）的流变性质和传热性能，为分析和改进生产工艺、指导配方设计、开发和应用高分子材料提供一定的理论基础。
本课程属一门多学科交叉，理论性与实践性均很强的新兴学科，国内目前尚无统一大纲和教材。
鉴于目前介绍关于高分子材料传热性能的书籍比较混乱，本大纲暂时先拟定讲授高分子材料流变学的基本内容和要求。
以后条件成熟时，再补充高分子材料传热学方面的内容。
高分子流变学要求的教案时数为32学时，高分子传热学要求的教案时数为16学时，总计教案时数为48学时。
关于高分子材料流变学部分，本大纲遵循基本理论与生产实践相结合，既有一定广度，又有一定深度、新度，材料宏观性质与微观结构分析相结合，唯象性讨论与建立数学模型相结合的特点，按照少而精的原则，设置了七章二十节内容，教案时数为32学时。
流变学第四章第二部分ppt课件
• White-Metzner推广经典的Maxwell模型，其方法就 是采用对应力张量求Oldroyd随流微商代替一般偏微商。
• 为检验White-Metzner模型的说明能力，将该模型用 于描述稳态简单剪切流场： 1 r x2 2 3 0
• 首先考察偏应力张量σ的 Oldroyd随流微商的具体表达式。 由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项
速率型本构方程
• 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可 以用一些力学模型，如Maxwell模型、 Voigt模型及它们的恰当组合进行描述。
用三维张量形式描述Maxwell方程
σ+λ1σ=. 2η0d
式中λ1=η0/G 称为松弛时间，单位为s；σ为应力张量中
的偏应力张量；d为速度梯度张量中的形变率张量；
i j 0
t
注意：这儿将偏应力张量分量σij代替了原公式中Tij。又因 为v2=v3=0,偏应力分量σ12沿x1方向无变化，故有
D
Dt
i
j
tk
i j
3
k
k 1
xk
ij
D t
i
j
0
t
i
j
D Dt
i
j
(i
xk
) k
j
( j
xk
) ik
于是偏应力张量σ的Oldroyd随流微商写成：
ij
D
Dt t
式中等号右边 第一项为μ对时间t的一般偏导数，第二项表示
为两个矢量的点积， 其中的矢量算符称作哈密尔顿算子，定
义为：
3
ej
j 1
x j
e1
x1
e2
x2
e3
x3
非线性本构理论及方程
非线性本构理论及方程非线性本构理论及方程是构成工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文将介绍非线性本构理论及其相关方程，包括非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
首先，介绍非线性本构模型。
非线性本构模型是描述材料性质的基本概念，它涉及材料物理本质，模型可以用来研究材料在加载过程中的全局响应，以及材料力学和结构力学性质。
常见的非线性本构模型有弹性-塑性模型、扭转模型、粘弹性模型等。
其次，介绍非线性本构方程。
非线性本构方程是描述材料性质的基本方程，它涉及材料物理本质，可以用来研究材料在加载过程中响应的性质和行为规律。
常见的非线性本构方程有Jaumann函数、等因式能量函数、Rice-Salamon函数等。
再次，介绍压缩圆柱模型。
压缩圆柱模型是用来描述材料性质的一种模型，它是一种压缩材料的流变特性模型，可以用来描述材料在压缩方向的性质，同时也可以用来分析材料的非线性行为。
压缩圆柱模型的一般形式为：σ=K_0*[1+e~(-K~2*ε)]^(-n)其中，K_0是已知的参数，e~(-K~2*ε)是可以计算的，n是未知的参数，σ是应力，ε是压缩应变。
最后，介绍等因式能量函数。
等因式能量函数是用来描述材料性质的常用方程，它是建立材料屈服条件的重要函数，可以用来表征材料在上下线性段之间的行为规律。
等因式能量函数的一般形式为：W=K_1ε^2*(1+K_2ε^n)其中，K_1、K_2和n是未知参数，W是能量，ε是应变。
综上所述，非线性本构理论及其相关方程是工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文介绍了非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
将本构理论和方程应用到工程设计中，将有助于更好地使用材料以解决工程问题。
开尔文模型
速度矢量：流体元的位移矢量的时间变化率。因为要针对 一个具体的流体元求速度，所以应当采用物质描述, 一个具 体流体元的物质坐标XR是常数，所以速度矢量等于：
第二节、空间描述法和物质描述法
物质描述法
观察者的视点集中于一个具体的 流体元及其邻域所发生的事件， 研究它在不同时刻所处的位置， 以及它的速度，加速度等，与通 常力学中集中于一个质点的方法 相同。 拉格朗日描述法
空间描述法
观察者的。
0
0 d 2 0
2 0 0
0 0 0
将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得 到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：
12 21 0 r 23 32 13 31 0 11 22 0 22 33 0
简单剪切流场中由于流场是稳定的， 因此该点的应力状态不随时间变化， 故有：
0 t 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为
0 d 2 0
2 0 0
0 0 0
代入式中得到：
11 12 21 22 31 32 0 r / 2 0 13 23 2 0 r/ 2 0 0 0 33 0 0
t=τ 时， σ (t) = σ0 /e
d 0 dt 1 d 0 E dt
d
《流变学》 第四章 第一部分解析
理想的体型高聚物蠕变曲线仅有普弹和高弹形变，回 复曲线最终能回复到零，不存在永久变形，所以说，交联 是解决线型高弹态高聚物蠕变的关键措施。 但是实际上交联橡胶不能满足上述条件，即使是充分 交联的橡胶，也总有一定的蠕变量。这是因为分子链的末 端链段基本上没有被交联的网络所束缚，再加上网络本身 不完善，所以完全不产生蠕变是不可能的，不过，只要非 常小的交联就能大大减小蠕变。
第四章 粘弹性及本构方程
线性粘弹性理论：蠕变、应力松弛、boltzmann叠 加原理、maxwell模型、Voigt模型。 非线性粘弹性理论：物质描述与空间描述、随流 坐标、微分型本构方程（广义maxwell方程）、积 分型本构方程（ maxwell 模型的积分形式、 lodge网络理论-类橡胶液体理论）、高分子流变 本构方程的分子理论。 输运过程的基本方程：连续性方程（质量守恒律） 运动方程（动量守恒律） 能量方程（能量守恒律）
所以高聚物常称为粘弹性材料，这是聚合物材料的 又一重要特征。
线性粘弹性理论
如果高聚物的粘弹性是由理想固体的弹性和理想液体 的粘性组合起来的，则称为线性粘弹性，否则称为非线性 粘弹性。
粘弹性高分子材料，其力学性能受到力、形变、温度和时间 等几个因素的影响，在我们研究高聚物粘弹性中，往往固定两 个因素以考察另外两个因素之间的关系。
c.塑性形变(大分子的滑移)：如果分子间没有化学交联， 当外力作用时间与整个分子链的运动的松弛时间有相同的 数量级时，则分子间将发生相对滑移，发生塑性形变，用 ε3表示。
不可回复
高聚物的总形变
典型的线型非晶态高聚物在Tg附近的蠕变曲线和回复曲线
T1
T2
思考题：交联高聚物的蠕变及回复曲线？
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第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
4）最后也是最重要的一条，即实验事实（实验数据）是判断一个本构方程优劣的出发点和归宿。
实践是检验真理的唯一标准。
本章重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹流体建立的本构方程。
分子论方法在第四章介绍。
2．速率型本构方程2．1经典的线性粘弹性模型——Maxwell模型已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如Maxwell模型、Voigt 模型及它们的恰当组合进行描述。
其中Maxwell 模型由一个虎克型弹簧和一个牛顿型粘壶串联而成（图3-1）。
由于形变时粘壶不受弹簧约束，可产生大形变。
原则上Maxwell 模型可用于描述液体流动的性质。
图3-1 Maxwell 模型设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。
对弹簧有 11γσG =对粘壶有 202γησ = 因为串联，总应力 21σσσ==总应变 σησγγγ02111+=+= G 所以有 γησλσ 01=+ （3-1） 式中 G /01ηλ= 称松弛时间 ，单位为秒； （3-2）t∂∂=σσ 为应力σ（3-3） 将（3-1）式推广写成三维形式，以张量表示，则有d 012ηλ=+σσ （3-4）式中：σ为偏应力张量； d 为形变率张量()2/T L L d += （3-5）L 为速度梯度张量。
注意这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式，并无深刻物理意义。
公式中系数2的出现是由于采用了张量描述的缘故。
例1 Maxwell 模型用于描述稳态简单剪切流场。
简单剪切流场形式见图2-3，其中速度场方程见公式（2-46）。
我们在固定坐标系中考察流场中某一确定点上材料流过时的应力状态。
由于流场是稳定的，因此该点的应力状态不随时间变化，故有 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000002/02/0γγ d （3-6）代入（3-4）式，得到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211σσσσσσσσσ=20η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000002/02/0γγ这是一个由九个方程组成的方程组。
由此解得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=-======000332222113113322302112σσσσσσσσγησσ （3-7） 结果表明，采用Maxwell 模型确实能描述材料在稳态简单剪切流场中的流动，但是模型的描述能力很有限。
实际上它只能描述具有常数粘度η0的牛顿型流体的粘性行为，高分子液体在剪切速率极低情况下（γ→0）的流动状态（具有常数粘度）也可用该模型近似描述。
对于非牛顿型流体在一般流场中的非线性粘弹行为，Maxwell 模型无能为力。
既不能描述高分子液体典型的剪切变稀（即结构粘性）行为，也不能描述流动中存在法向应力差（即具有弹性）的事实。
（3-7）式中给出的两个法向应力差值均等于零。
分析可知，Maxwell 模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。
（3-1）式中描述的应力变化的导数形式σ 是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。
对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对应力张量的导数形式审慎定义和推广。
另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。
为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典Maxwell 模型的推广。
2．2 空间描述法和物质描述法流体力学中，在固定的空间坐标系描写一个材料元的流动有两种不同方法：一是物质描述法，观察者的视点集中于一个具体的流体元及其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，以及它的速度，加速度等，与通常力学中集中于一个质点的方法相同。
这种方法又称拉格朗日描述法。
在该方法中一般以流体元在参考构型中的物质坐标X R (R=1,2,3) 为自变量，以便区别不同的材料元。
另一个方法称空间描述法，观察者的视点集中于坐标空间某一特殊点及其邻域所发生的事件，不针对一个具体的流体元。
这种方法又称欧拉描述法。
在该方法中，往往以固定坐标系的空间坐标x i (i=1,2,3) 为自变量。
流场中的任一物理量u 都是时间t 和空间坐标x i (i=1,2,3)的函数，记成()321,,,x x x t u 。
当求u 的时间导数时，应当区分两种情况。
一是固定空间坐标x i (i=1,2,3)不变（空间描述法），只对时间t 求偏导数，称一般偏导数。
二是采用物质描述法，紧盯着一个材料元求时间导数。
由于材料元的坐标也在变化（为时间t 的函数），因此求导时不仅要对t 求，也要对x i (i=1,2,3)求，这种导数称物质导数，()Dtt D ,x u 记成。
展开来写，有()∑∑==∂∂⋅+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=3131,i ii i i i i x u v t u t x x u t u Dt t x Du （3-16） 也称u 对时间求全导数。
（3-16）还可记成以下矢量形式：u v u u ∇∙+∂∂=tDt D （3-17） 2． 3 广义Maxwell 模型考虑将经典的Maxwell 模型进行推广。
推广的方法是唯象的。
在唯象方法中，强调建立描述应力分量与形变分量或形变率分量间正确关系的方程，而对材料的物质结构和其他性质不作深究。
下面介绍几种广义Maxwell 模型。
2．3．1 White-Metzner 模型该模型的主要特点是在Maxwell 模型方程（3-4）中，采用对应力张量求Oldroyd 随流微商代替一般偏微商。
convected frame of reference ）。
对于纯粘性流体，由于无记忆特性，应力只依赖于形变速率的瞬时值，因此采用固定空间坐标系计算是方便的。
对于粘弹性流体，其应力不仅依赖于即时形变，还依赖于形变历史，流体元有“记忆”能力，因此采用固定空间坐标系描述就很麻烦。
另外在固定坐标系中考察流动时，材料元的形变往往总与平动、转动牵扯在一起，讨论也不方便。
为此，人们采用一种镶嵌在所考察的材料元上，随材料元一起运动的这种参照系最初是由Oldroyd 提出的。
由于在随流坐标系中定义的任何形变的度量总是针对同一个材料元的，可摆脱平动和转动速率的影响，故讨论流体元的形变问题有明显的优越性。
重要的是，我们必须建立随流坐标系和固定空间坐标系中各种物理量之间的转换关系。
因为所有的实验仪器都安装在固定坐标系中，所有对流体性质的测量也都在固定坐标系中进行，只有建立起随流坐标系和固定坐标系中各物理量之间的转换关系，才能将随流坐标系中讨论的结果转换到实验室系中加以验证，以确定本构方程的优劣。
随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故采用随流坐标对流体元的描述为物质描述。
同样在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。
Oldroyd 随流微商即其中一种，记作tδδ。
按照上面的讨论，这种随流微商需要转换到固定的空间坐标系中。
二阶应力张量T ij 的Oldroyd 随流微商转换到固定坐标系后的形式为:ik k j kj k i ij ij T x v T x v T Dt D T t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=δδ （3-20） 式中等号右边第一项为∑=∂∂+∂∂=31k ij k k ij ij T x v T t T Dt D （3-21） 即二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定坐标系中观察者见到的某一材料元的应力张量对时间的变化率。
第二、三项中含有速度梯度⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂k i x v 的影响，速度梯度中含有形变率张量d 和旋转速率张量ω两部分，它描述了材料元对于固定坐标系的有限形变和旋转运动。
White-Metzner 推广经典的Maxwell 模型，其方法就是在方程(3-4)中采用对应力张量求Oldroyd 随流微商代替一般偏微商。
White-Metzner 模型的方程形式为：d 012ηδδλ=+tσσ (3-22) 此公式在形式上虽然与方程(3-4)相仿，但物理意义不同。
在这儿应力张量的时间变化率是在随流坐标系中计算的，它与在固定的空间坐标系中所求的一般偏微商以及物质微商都不相同。
2．3．2 DeWitt 模型另一种广义Maxwell 模型—DeWitt 模型，是在Maxwell 方程中对应力张量求时间微商这一项，用共旋随流微商（Jaumann 微商）代替一般偏微商。
二阶应力张量的共旋随流微商变换到固定坐标系后的形式为：t D Dik jk jk ik ij ij T T T DtD T ωω--= （3-28） 式中等号右边第一项ij T Dt D 的意义 同（3-21）式，为二阶张量T ij 在固定坐标系中的物质微商；第二、三项含有旋转速率张量ik ω，其值为：)(21ik k i ik x v x v ∂∂-∂∂=ω （3-29） 它代表了材料元对于固定坐标系的有限旋转。