统计学经典例题(暨南大学出版社)

例1：某公司下属各店职工按工龄分组情况

（1）

（年）

（2）

例2：水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：

（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？ （2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？

（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？ （4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？ （1）

（2）

（3） （4）

例3：自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？

例4：某牛群不同世代的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头，3世代190头，4世代210头。试求其平均规模。 例5：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。

75

.64

15

5.75.31=+++=

=

∑

n

x

一店平均工龄)

(425.320

5.681

36101

1535.765.3101年五店平均工龄==+++?+?+?+?=

=

∑∑f

xf )

/(38.11667

.232

15

.111131元公斤==

++=

=

∑

n

n

H )

/(38.10833

.145.195

.6215.65

.115.6115.65.65.61元公斤==

?+

?+

?++=

=

∑

∑f

x

f H )

/(24.183

.461

2125

.113111231元公斤==

?+

?+

?++=

=

∑

∑f

x

f H 元）

（公斤/5.13

2

5.11=++=

=

∑n

x

x )

/(2.2581

.23600

200

2012002812003012002002001小时公里==?+

?+

?++==∑

∑f

x f H )

/(266

1562

22220228230f

xf x 小时公里==

++?+?+?=

=

∑∑111111

5200

2202101902101

205()()H ==++++头1.5 2.5(1)100%

1)100% 3.43%

G +=-?=-?=该地平均储蓄年利率

例1：从10000盒火柴中,随机抽取50盒,算得样本平均数为49根,样本均方差为2根.求其抽样平均误差。

例2：从10000颗螺丝钉中,随机抽取100颗,经检测有5颗不合格.求其抽样平均误差.

例3：从一批灯泡中,随机抽取200个,经测算得平均寿命为

4800小时,样本标准差为300小

例4：一批罐头中随机抽查300瓶.已知过去几次同样调查所得合格率分99%,98%.求合格率的抽样平均误差.

例5：例：某企业生产A 产品的工人有1000人，某日采用不重复抽样从中随机抽取100人调查他们的当日产量，得人均产量为35件，标准差为4.5件。请以95.45%的置信度估计该日人均产量的置信区间。 解：①计算抽样平均误差

②计算抽样极限误差

③确定置信区间

估计区间下限：35－0.8538＝34.15(件) 估计区间上限：35＋0.8538＝35.85(件) 故，可以95.45%的置信度断言，该日人均产量在34.15～35.85件之间 。

0.2821()x μ=

≈=

=根0.02179

p μ=≈

=

=0.021686

p μ=

=()件4269

.010*********

5

.412

2

≈??? ?

?

-=??

? ??-=

N n n s

x μ2

9545.012

1=→=--ααZ （件）

8538.04269.022

1=?==?-

x x Z

σα

例6：某进口公司出口一种茗茶，为检查其每包规格的重量，抽取样本100包，检查结果如下表所示。按规定这种茶叶每包规格重量应不低于150克，试以99.73%的概率对这批茶叶

②计算抽样平均误差

③计算抽样极限误差

④确定置信区间

估计区间下限：150.3－0.2629＝150.0(克) 估计区间上限：150.3＋0.2629＝150.6(克) 故，该批茶叶平均重量在150.0－150.6克之间，可靠保证程度为99.73% 。

第8章

例1：某厂生产的电子元件，根据以前的资料，其平均使用寿命为1000小时。现从一批采用新工艺生产的该种电子元件中随机抽出25件，测得其样本平均使寿命为1050小时。已知总体标准差为100小时，试在0.05的显著性水平下，检验： 1、这批电子元件的使用寿命与采用新工艺前是否有显著性差异？

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量z

第三步：给定显著性水平，确定临界值 第四步：根据样本数据计算统计量的值。

第五步：将统计量的值与临界进行比较

;3.150100

150301

1（克）==

=

∑

∑==k

i i

k

i i

i

f f x

x ()7677

.01

10000.761

1

1

2

2

=-=

--=

∑

∑==k

i i k

i i

i

f f x x

s )

(08762.0100

7677.02

2

克==

≈

=

n

s

n

x σ

μ39973.0121=→=--ααZ

（克）

2629.008762.032

1

=?==?-

x x Z

μα

1

H H 10001000≠=μμx z =()~0,1z N 251645Z Z α=?>=?∴ 拒绝原假设

2、这批电子元件的使用寿命与采用新工艺前是否有显著性提高？

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量Z

第三步：给定显著性水平，确定临界值

由于单侧概率要求α=0.05，双侧概率应为2×0.05=0.1

F(Z α)=1-0.1=0.9，查概率表得到Z α=1.645 @=0.05 第四步：根据样本数据计算统计量的值。 =2.5

,故有显著提高

例2：某电池厂生产的某号电池，历史资料表明平均发光时间为1000小时，标准差为80小时，在最近生产的产品中抽取100个电池，测得平均发光时间为990小时，给定显著性水平为0.05，问新生产在电池 发光时间是否有明显的降低？ 这是总体平均数的左单侧检验问题。

解：第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量

Z

第三步：给定显著性水平，确定临界值

@=0.05

第四步：根据样本数据计算统计量的值。 第五步：将统计量的值与临界进行比较

例3

：某装置的工作温度x 服从正态分布,据厂商说它的平均工作温度是

80度.今从一个由16台装置构成的样本中得出平均工作温度是83度,标准差为2.5度.试在0.05的显著性水平下，检验平均工作温度与厂商所说的是否有显著差异? 解：由题得：x=83度 n=16 s=2.5

题中所问:平均工作温度与厂高所说是否有显著性差异,实际上就是要我们利用由16台装置构成的样本所得出的平均工作温度来检验该厂商说它的平均工作温度是80度这句话是否可信,也就是检验@=80 是否为真.

由于#未知.所以无法用 统计量进行检验.

因此考虑用样本方差S

# ,从而构成t 统计量,来进行此类问题的检验.

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量t

10H H 1000

1000

μμ≤>x Z =()~0,1N 0.05 1.645Z Z α==x Z =

251645Z Z α=?>=?∴ 拒绝原假设

01

::H H 10001000X X ≥

()

~0,1N 0.05 1.645, 1.645Z Z Z αα==-=-即临界值1.25x Z ===-1251645

z Z α=-?>=-?∴ 接受原假设

x Z =

1

0H H 8080

≠=μμ()~1x t t n =-

第三步：给定显著性水平，确定临界值 第四步：根据样本数据计算t 统计量的值。

@=0.05 第五步：将t 统计量的值与临界值进行比较

例4：某化工厂生产一种化学试剂，据经验这种化学试剂中杂质的含量服从均值为2.3％的正态分布。某日开工后，抽检5瓶，其杂质含量（单位：％）分别为： 2.23 2.15 2.2 2.18 2.14

试问该日产品质量在显著性水平α=1％下是否有显著性提高？

解：设 若H0为真，则统计量 对于给定的显著性水平α=1％，查-t0.01(4)=-3.7469，由样本得：

拒绝原假设

例5：北京某购物中心欲通过购物指南报作一则广告以吸引更多的顾客。但前提是至少有50%喜爱逛购物中心的顾客订阅该报纸，才在该报上作广告。他们在几家购物中心采用问卷形式随机调查了64名顾客，其中40名顾客订阅这种报纸。问按显著性水平=0.01计算，能否根据调查结果认为这种比率超过50%。

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量Z

第三步：给定显著性水平，确定临界值

第四步：根据样本数据计算统计量的值。

P=40/64=0.625

第五步：将统计量的值与临界进行比较

即认为订阅这种报纸的顾客比率不超过50%。

()()1315215102502

?==-?t n t α8380

482.54x t ==

-=?()()

00252

4821315115t t n t α

?=??=-=∴ 拒绝原假设接受备择假设

01: 2.3: 2.3H X H X ≥<(4)

x t t = 1

2.180.03286

n i

i x

x n

s ==

==

=∑0.012.18 2.37.303(4) 3.7469

0.01643

x t t -=

=

=-<-=-1

0H H 05

05P P ≤?>?()n P P P p Z --=1()~0,1N 010?=α332010?==?Z Z α()()2645

01505062501=?-??-?=--=n P P P p Z 0010223305

Z Z H ?=<=?∴≤? 接受原假设

例6：某零件按要求其长度的方差不能超过0.16，今从一批产品中随机抽取25件，得样本方差 =0.25。试以1%的显著性水平检验其长度的方差是否明显降低。 第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量

#大于等于0.16

#小于0.16 第三步：给定显著性水平，确定临界值

第四步：将 统计量的值与临界进行比较

所以接受原假设。即该批零件长度方差没有显著性降低

第9章

相关关系的测度（相关系数计算例）

【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y ，把人均国民收入记为x 。我们收集到1981～1993年的样本数据(x i ，y i)，i =1,2,…，13，数据见表8-1，计算相关系数。

? R=（详见书籍）=0.9987 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9987

第10章

例1：某企业2000年上半年的月平均增加值的计算如下

例2：例：某专业学生星期一至星期五出勤人数资料如下表 。

2

S 1

H H ()

21.418.623.539.235.728.2166.6

27.866

+++++===月平均增加值万元

由计算可知，该专业学生本星期平均每天出勤人数为158人。

例3：某企业4月1日职工有300人，4月11日新进厂9人，4月16日离厂4人，则该企业4月份平均职工人数为

例4：某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试计算该地区全年的生猪平均存栏数量。

例5：由相对数时间数列计算序时平均数

解：

160156162158154

158()5

a

a n

++++=

=

=∑人()3001030953051530410515af a f

?+?+?=

==++∑∑人472424414134

3456564513332

2

2

2

2

2

40.125

13332

a +++++?+

?+

?+

?+

?=

=++++()

500612832

5006128323500600800500600800

3

1944 1.023102.32%1900

c ++++=

=

++++=

=

注：1995年末社会劳动者人数为：67947万人

先算国内生产总值

再算平均劳动力：

最后计算：

例7：根据下表数据，计算我国居民消费水平的增长量和平均增长量

解：居民消费水平的年平均增长量为：

例8：2003年我国发电量为3514亿度，1997年为2234亿度，求此间的平均发展速度和平均增长速度：

例9：1992年我国人口总数为10亿，如果今后每年人口的自然增长率控制在12‰，推算2010年我国人口总数可达到多少亿？

67884.674462.679395.7

3

73914.3()

a ++=

=亿元6794769957688506960022369134()

b +++

=

=万人625

.2318

18538

271

209212259166138193405==+++++++___

___

1.078

1 1.07810.078X X =

=

==-=-=平均增长速度___

0______00

18

10, 1.012,18,10 1.01212.39()

n

n

n n a X n a X X

a a X

a ====

=

==?=亿亿

例10：1994年我国国内生产总值43800亿元，如果今后每年增长8%，达到100000亿元需要多少年？

___

______

___

43800, 1.08,100000

lg lg

,

lg

lg10000lg438005 4.6415

10.73()

lg1.080.03342

n

n

n n

a X a

a a a

X X n

a

X

===

-

===

--

===

亿元亿元

年