椭圆曲线公钥密码加密方法的C语言实现
椭圆曲线密码(ECC)加解密算法的实现
毕业论文论文题目椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现学生姓名学号院别数学与信息科学学院专业信息与计算科学班级指导教师完成时间 2011 年 04 月椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现摘要本文首先介绍椭圆曲线密码体制(ECC)；并简明地给出了椭圆曲线的定义；接着以ElGamal公钥体制的ECC加解密的实现为例具体说明了其实现流程；最后分析了实现结果，安全性能和概述了ECC的发展现状，并对其未来的发展作了展望.关键词椭圆曲线密码；公钥密码，数字签名1引言随着政府部门和行业对网络环境和网络资源依赖程度的增强,涉及国家安全和社会公共安全的所有重大问题都在网络上表现出来. 为了确保信息的保密性，完整性，可用性，可控性，避免国家或个人的信息受到非法获取，破坏，篡改等形式的威胁，人们便提出了用密码技术来保障以电子形式保存或传送的数据. 1985年，N. Koblitz和V. Miller分别独立提出了椭圆曲线密码体制 (ECC)，这是一种高安全性，高效率的公钥密码体系，它在密钥强度，加解密的处理速度和存储开销上都有着明显的优势. 采用椭圆曲线密码技术使密钥协商协议可充分利用椭圆曲线密码的优势，在更小密钥量下提供了更大的安全性，所需带宽明显减少，而且还大大降低了用户端的计算负担和存储要求.2椭圆曲线密码体制2.1密码体制的含义密码体制分为对称密码体制和非对称密码体制．非对称密码体制是指在加密过程中，密钥被分为一对．这对密钥中的任何一个密钥都可以作为公开密钥通过非保密方式向他人公开, 而另一把作为私有密钥加以保存. 这对密钥具有这样一个特点: 当知道密钥对中的一个密钥时, 要检测出另一个密钥, 在计算上是不可能的. 公开密钥用来对信息进行加密, 则私有密钥用来对信息进行解密, 反之亦然. 在这个系统中, 每个通信实体都有一个加密密钥和一个紧密相关的解密密钥．通信的双方只要知道对方的公钥，就可以进行安全的通信．2.2 椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制，即基于椭圆曲线离散对数问题的各种公钥密码体制. 最早由Miller和Koblitz [1] 于1985年分别独立地提出. 它是利用有限域上椭圆曲线的有限点群代替基于离散对数问题密码体制中的有限循环群所得到的一类密码体制. 对于椭圆曲线密码系统（ECC）的安全性，其数学基础是计算椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性[2] . 一般来说，ECC没有亚指数攻击，所以它的密钥长度大大地减少，256bit的ECC密码体制成为目前已知公钥密码体制中每位提供加密强度最高的一种体制.3.椭圆曲线的定义所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯 (Weierstrass)方程:所确定的平面曲线[1]．若F是一个域,满足方程的数偶称为域F上的椭圆曲线 E的点. F域可以是有理数域, 也可以是复数域, 还可以是有限域. 椭圆曲线通常用 E 表示.4.ECC算法的设计思想设, 称为Weierstrass多项式. 当在任意点P成立, 则椭圆曲线称为光滑的或非奇异的. 若E是定义在有限域Fq上的椭圆曲线且其(p为素数), 这样的p称为有限域Fq的特征值. E中恰好有一个Z坐标为0的点(0, 1, 0), 我们称它为椭圆曲线的无穷远点, 用O表示. 椭圆曲线上有理点的个数称为该椭圆曲线的阶, 若亦表示椭圆曲线的阶, 则由(其中), 即Hasse定理. 如果椭圆曲线E定义在域Fq上, 其特征值不等于2和3, 则E 的Weierstrass等式可以简化, 做变换, 进而Weierstrass等式变换为, 其中, 判别式, 此式为椭圆曲线的一般形式. 若令, 则等式变为.根据椭圆曲线进行加密通信的过程：1) 用户A选定一条椭圆曲线，并取椭圆曲线上一点, 作为基点G.2) 用户A选择一个私有密钥k, 并生成公开密钥.3) 用户A将和点K, G传给用户B.4) 用户B接到信息后, 将待传输的明文编码到上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r ( r < n ).5) 用户B计算点.6) 用户B将C1、C2传给用户A.7) 用户A接到信息后，计算, 结果就是点M, 即明文.因为再对点M进行解码就可以得到明文. 密码学中，描述一条上的椭圆曲线，常用到六个参量：,其中p、a、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分[3].5. 椭圆曲线参数的选取和基点的确定5.1 选取参数和确定基点的理论分析在基于椭圆曲线的加解密和数字签名的实现方案中，首先要给出椭圆曲线域的参数来确定一条椭圆曲线. 但并不是所有的椭圆曲线都适合加密，是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类. 下面我们就选用作为我们的加密曲线. 这条曲线定义在Fq上: 两个满足下列条件的小于p (p为素数) 的非负整数a、b:则满足下列方程的所有点，再加上无穷远点∞，构成一条椭圆曲线.其中 x, y属于0到p - 1间的整数，并将这条椭圆曲线记为.参数p的选取：p当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求，我们将p取为200比特位的素数.参数a、b的选取: 先随机产生小于p - 1的正整数作为参数a, 然后依据条件，判断随机产生的小于p - 1的正整数是否适合作为参数b.基点的确定：随着参数a, b, p确定，这条曲线就定下来了. 先随机产生0到p - 1间的整数作为基点x坐标，计算的结果再开方就得出基点y坐标.5.2 选取参数和确定基点的具体程序实现具体程序实现如下：……{//GetPrime(b,40); //先随机产生一个参数Bmp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break; //满足条件跳出循环}}//, 随机产生X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30); // 随机产生30比特长的X坐标mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1); // 得到Y坐标……私钥的确定：随机选取1到P - 1之间的素数作为私钥d.公钥的确定：由d 乘我们所确定的基点得到公钥K，即.6. 椭圆曲线密码的算法6.1 椭圆曲线密码算法的特点6.1.1 离散性密码算法需要的是离散值的定点运算，而不是连续值的浮点运算，在密码算法中不允许舍入.6.1.2 大数运算密码算法往往是大数运算，椭圆曲线密码体制要求160位的大数运算，但现有微机的CPU最多只支持64位的运算.1) 要求大容量的数据存储.密码运算通常都要利用大容量的数据表，即用空间来换取时间上的加速. 这就要求运算部件具有大容量的存储.2) 包含大量的并行性.6.2 椭圆曲线密码体制中的有关计算6.2.1 椭圆曲线密码体制中的运算类型作为公开密钥算法的一种，椭圆曲线密码体制要用到点乘、点加、模乘、模加、模逆、模幂这些基本运算，它们的执行速度直接决定着椭圆曲线的加密速度. 为了提高它们的速度，可从以下两方面考虑：(1) 采用高速的算法.(2) 实现算法的并行性(以便在硬件设计中利用多处理器进行并行运算):1) 大数乘、大数取模属于整数域上的运算;2) 模加、模乘、模逆、模幂属于有限域上的运算;3) 点加和点乘属于椭圆曲线的点加群上的运算.6.2.2 简述椭圆曲线的点加和纯量乘法由于本人能力有限，短时间内很难做出一些深层次的研究和探讨，因此只能在这里做一点表面文章. 所以本文在这一部分就结合前面对有关大数计算算法进行的阐述，做一些力所能及的事情. 对于一般的椭圆曲线方程,设点,和的坐标.的计算公式如下:,,其中.当P ≠ Q时，.当P = Q时, 对于椭圆曲线方程, 上述的公式变为:,,其中当P ≠ Q时,.当P=Q时, 由上述运算公式, 可以得出点积mP的运算, 即mP = P + P + … + P, 共m个P相加, 这里m∈N.6.3椭圆曲线的点积的具体程序算法设m的二进制表示为，其中, Q = P, 从左到右依次计算:for( i = n - 2 to 0){ Q = 2Q;if(==1) Q=Q+P；}则Q=mP.Return;函数原形为：bool Ecc_points_mul(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px, mp_int*py, mp_int*d, mp_int *a,mp_int *p)成功返回true.int Two_points_add(mp_int*x1, mp_int*y1, mp_int*x2, mp_int*y2, mp_int*x3, mp_int *y3, mp_int *a, bool zero, mp_int*p)成功返回1.7.加密文件的读入与输出7.1椭圆曲线的加密体制在Diffe-Hellman公钥系统体制中,具体的椭圆曲线、曲线上点P及P的周期大素数N都是公开信息.A和B要进行通讯,首先得到椭圆曲线E、点P及素数N. 然后用户A将[1, N-1]中随机选取的整数a作为私钥, A将作为自己的公钥传送给用户B, 与此同时B将 [1, N-1]中随机选取的整数b作为私钥, 并将作为自己的公钥传送给A. A、B各自将自己的私钥点乘于对方传过来的公钥得到, 这样就完成了密钥的交换过程．当用户A需要将待传数据m传送给用户B时, A 利用m和生成, 当用户B得到后, 利用密钥交换过程自己生成的和从用户A处得到的加密数据生成数据m.见下图[5]：7.2加密文件的读入与输出的具体程序实现mp_digit只用28比特，因此一个单元最多可存放三个半字节. 为充分利用存取空间，采用一个单元放三个半字节.7.2.1函数putin()的实现函数putin()的实现的作用: 将明文的二进制比特串赋给mp_int数a. 主要循环部分及说明如下：// chlong为要存入的字符数组长for(j=0; j<<="(mp_digit)CHAR_BIT;" *temp 存入字符 255); 左移8位存入高8位并向左移8位，以便放入下一个字符 temp跳过前一个单元，先存入后一单元 *++temp 每次跳七个字符 i + ="7"; 的两个单元中以7个字符为单元循环，把七个字符放入的mp_int 7; j++){(>> 4); //存放被切分的字符的高四位，temp跳回前一个单元//存入第一单元*temp |= (mp_digit) (ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位yy=(mp_digit)15;*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //向左移8位，以便放入下一个字符*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);//存放被切分的字符的低四位，temp跳到后一个单元temp++; //再向后跳一单元，这样和下次的++temp实现每次循环跳两个单元}函数原型为：int putin(mp_int*a, char*ch, int chlong)成功返回0．7.2.2函数chdraw( )的实现函数chdraw()实现将mp_int数a中的比特串还原为字符串并赋给字符串ch： chdraw和putin是相反过程，将putin存入字符的过程反过来取出字符.函数原型为：int chdraw(mp_int* a, char*ch)成功返回0．8.密文的存取和读入此过程难点是如何保证存入文件后，再从文件中读取密文并存入mp_int型数后，和原存放密文的mp_int型数不能有一个比特位的改变.存取时先存 *mp->dp的最高8位，再依次往下存后面3个8位. 依据 *mp->dp的特点，最高8位为0000xxxx，因此，可将255作为一个密文段的结束标志，把前一密文段和后一密文段区分开. 这样在密文文件中，密文的存取结构为：0000xxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|0000xxxx|……|11111111|0000xxxx|xxxxxxxx|…..0字节 1字节 2字节 3字节 4字节 4x字节下一加密段 x为1或0利用fgetc每次读取一个字符，并赋值给一个字符数组. 当a[i]=255，且i%4=0时截止.读出之后赋值就简单了.存密文：int chmistore(mp_int*a, FILE*fp) 成功返回0把密文赋给mp_int型数a: int miwendraw(mp_int*a, char*ch, int chlong) 成功返回0.9. ECC加密的实现9.1 ECC加密实现的理论依据加密时因P长度取值为200比特，所以所取明文长度应在0到199比特之间，另外需要一个附加的标志字节char(255)，所以一次取明文最大长为191比特. 在本程序中一次取20字节. 和RSA不同，ECC运算是基于点的运算. 一个点有两个参数，一个X坐标，一个Y坐标. 所以取明文时需一次取两段，前一段做X坐标，后一段做Y坐标. 因此，一次加密明文为40字节. 由于每次加密要取两段，引发了另外一个问题：当加密文件末尾所剩明文长度小于20字节时的处理. 在本程序中，我们的解决是将剩余明文取作X，而将Y取作0，且不加标志字节char(255)，这样解密时，程序在Y中找不到标志字节char(255)，就不会往解密文中存任何东西.取得明文后，产生一个随机整数r, 计算点；. 将点、坐标,,,依次存入密文文件[6].9.2 ECC加密的具体程序实现for(i=0; i 0) // Residue为剩余字符数{if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1, Residue, fp); //读入字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1); //文件存入mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp); //读入字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp); //读入字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1); //文件存入putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1); //文件存入}//加密Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p); //C2=rGEcc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p); // rKTwo_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p); // C1=M+rK//保存密文chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}函数原型为：void Ecc_encipher(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px,mp_int*py, mp_int*a, mp_int*p);10.ECC解密的实现10.1ECC解密实现的理论依据解密时，依据存密文时放入的结束标志255，读入密文. 依次取4段, 调用miwendraw将密文存入mp_int型数中，还原为加密时存入的点C1和C2坐标c1x, c1y, c2x, c2y. 依据. 计算(d为私钥)，得到明文点坐标,. 其中两点减的计算可如下：；计算完毕后调用chdraw取出mp_int中的明文比特串，依次存入解密文件中，完成解密[6].10.2 ECC解密的具体程序实现while(!feof(fp)){//取C1点X坐标i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;}i++;}L1: miwendraw(&, stemp, i); //取其他坐标Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &, &, k, a, p); // 计算mp_neg(&tempy, &temp); // -Q=（X，-Y）Two_points_add(&,&, &tempx, &temp, &, &, a, zero, p);int chtem;chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(int kk=0;kk < chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(kk=0; kk < chtem; kk++){fprintf(fq, "%c", stemp[kk]);}}函数原型为：void Ecc_decipher(mp_int*k, mp_int*a, mp_int*p);11. 测试结果及分析为验证系统的加密解密功能,对系统进行了如下测试:测试环境Intel p4; CPU 1.5G; 256M RAM; Windows XP DEV - C++测试结果利用系统对文本文件、BMP、WORD、EXCEL、EXE等文件进行加密，然后解密. 验证结果表明,给定的明文经系统加密后再解密的结果完全一致, 没有一个比特的偏差，较好的实现了ECC的功能.12．结束语目前，国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是 1985年 Koblitz和Miller分别独立提出的建立在椭圆曲线上的离散对数难题基础上的椭圆曲线密码体制（ECC）. 经过长期的理论研究和科学实践，ECC得到了迅猛的发展. 现在椭圆曲线密码体制不仅是一个重要的理论研究领域，而且已经从理论研究转化为实际可用的密码算法，促使民用安全技术走向产业化. 当前，国内外很多生产密码产品的公司都在致力于ECC产品的开发. 椭圆曲线加密算法ECC的安全性，是基于计算有限域上椭圆曲线点集所构成的可交换群上定义的离散对数的困难性. 该算法具有安全性能高，计算量小，处理速度快，存储空间占用小和带宽要求低等特点，已在强调速度的领域如PDA，手机，智能卡等方面得到应用.参考文献：[1] 杨超, 高海燕. 椭圆曲线密码体制理论与其安全性研究[J]电脑知识与技术, 2006,(17).[2] 孙跃刚. 椭圆曲线密码体制中若干问题的研究[D]. 吉林大学 2009. [3] 于彬. 椭圆曲线密码算法的研究与实现[D]. 沈阳工业大学.[4] 王庆先. 有限域运算和椭圆曲线数乘运算研究[D]. 电子科技大学2006.[5] 李学俊. 基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码及其算法研究[D].[6] 杨君辉, 戴宗铎, 杨栋毅, 刘宏伟. 关于椭圆曲线密码的实现[J]通信技术,2001(06).On the Realization of the Elliptic Curve Encryption Algorit hmYan MeitingAbstract: In this paper, we first introduce the elliptic curve encryption algorithm, then give the definition of the elliptic curve briefly. The ElGamal public encryption system is based on the elliptic curve theory, and we analyze the process and the security of this encryption system. At last we realize it in c++ and offer the source code.Keywords: elliptic curve encryption algorithm; public-key password, digital signatures。
ECC算法详解及硬件实现
ECC算法详解及硬件实现ECC（Elliptic Curve Cryptography，椭圆曲线密码学）是一种基于椭圆曲线上的点运算实现的公钥加密算法。
相对于传统的RSA和DSA等算法，ECC具有更高的安全性和更小的密钥长度，使得它成为当前广泛应用于各种加密场景的密码学算法之一椭圆曲线上的加法是一种封闭和交换的运算，如果点P和点Q在椭圆曲线上，它们的和点（P+Q）也在曲线上。
椭圆曲线上的乘法是一种重复添加点自身的运算，即kP=P+P+...+P。
通过选择合适的曲线方程和基点G，椭圆曲线群的运算可以实现很多复杂的密码学操作。
在实际应用中，ECC算法通常涉及到大整数运算和有限域上的数学运算。
为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器。
这些硬件加速器通常采用并行运算的方式，利用硬件并行性，加快椭圆曲线上点运算的速度。
硬件加速器通常包括椭圆曲线点坐标转换模块、点加法模块和点乘法模块等功能模块。
椭圆曲线点坐标转换模块用于将输入的坐标转换为内部表示形式，点加法模块用于执行点的加法运算，而点乘法模块用于执行点的乘法运算。
在点乘法模块中，通常采用加法链和蒙哥马利算法对点乘法进行优化。
加法链是一种预先计算并存储在查找表中的点的序列，可以在计算中减少加法操作的次数。
蒙哥马利算法利用模n的同态性质，通过对曲线上的点进行映射，将大整数运算转化为模n的小整数运算，大大加快了点乘法的速度。
除了基本的功能模块，硬件加速器还需要处理输入输出数据和控制信号的接口。
通常采用高速串行接口来与主机进行数据传输，并配备统一的控制器进行流程管理。
总之，ECC算法是一种基于椭圆曲线点运算的公钥加密算法，具有较高的安全性和较小的密钥长度。
为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器，利用并行运算和优化算法来加快点运算速度。
随着技术的发展和硬件性能的提升，ECC算法在各种加密场景中得到了广泛应用。
椭圆曲线加密算法的研究与实现
椭圆曲线加密算法的研究与实现椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于数论的加密算法，可用于保护数据的机密性和完整性。
相较于传统的RSA和DSA等加密算法，ECC在提供相同的安全性的情况下，使用更短的密钥长度，计算速度更快，适用于资源受限的环境，如移动设备和物联网。
1.参数选择：选择一条合适的椭圆曲线，确定椭圆曲线上的基点以及有限域的大小。
2.密钥生成：随机选择一个私钥，计算公钥。
3.加密：选择一个随机数作为加密密钥，将原始数据转换成椭圆曲线上的点，使用公钥和随机数进行数乘运算得到加密后的点，并将其转换为密文。
4.解密：使用私钥对密文进行解密，即进行数乘运算得到明文点，并将其转换为原始数据。
5.密钥交换：两个通信方通过交换公钥来协商密钥。
在实际应用中，ECC已被广泛应用于数字签名、密钥交换、公钥加密等方面。
比如，ECC在TLS/SSL协议中的使用可以提供安全的通信。
以及在密码芯片等硬件设备中，也广泛使用ECC算法来提供安全的数据存储和通信。
对于椭圆曲线加密算法的实现，需要考虑如下几个方面：1.参数选择：选择合适的椭圆曲线参数，如曲线方程、取模素数、基点等。
2.有限域运算：实现有限域上的点加法和数乘运算，包括点相加的算法、点相乘的算法。
3.密钥生成：实现私钥的生成以及公钥的计算。
4.加密和解密：实现明文数据到椭圆曲线上的点的转换，以及椭圆曲线上的点到密文数据的转换，同时实现数乘运算。
5.密钥交换：实现公钥的传递和协商密钥的过程。
对于实现椭圆曲线加密算法，可以选择使用编程语言提供的大数运算库来处理大整数运算，这样可以方便地进行椭圆曲线上的运算。
常用的编程语言，如C++、Java、Python等都有相应的大数运算库可供使用。
总结而言，椭圆曲线加密算法是一种高效且安全的加密算法，其在多个领域具有广泛的应用前景。
实现椭圆曲线加密算法需要对椭圆曲线的数学原理有深入理解，同时需要实现各种运算和参数选择的算法。
大素数域上椭圆曲线密码体制的软件实现
（ ａｏａ Ｋ ｙＬｂ Ｉ ｅｒｔ ｅｖｒ ｅ ｏ ｓ ｉ ａ ｎ ． Ｘ ｌ ７０ ７ ，Ｃ ｉａ Ｎ ｔｎｌ ｅ ａ ． ｎ ｇａ ｄＳｒ ｔ ｒ ，Ｘｄ ｎＵ ｉ ， ｉ ｌ １０ １ ｈｎ） ｉ ｔ ｅ ｅＮ ｗ ｋ ｉ ｖ ａ
大 素 数 域 上椭 圆 曲线 密 码 体 制 的软 件 实 现
王 晖 ， 张 方 国 ， 王 育 民
（ 西安 电子科技 大学 综合 业务 网 国家重 点实验 室， 陕西 西安 ７０ ７ ） １０ １
摘 要 ：椭 圆曲线密码体制 已成为公钥 密码研 究 的主流 ． 讨论 了大 素数域 上 椭 圆曲线 密码体 制 的软件 实 现 问题 ， 以寻找 的安全椭 圆曲线为基础 ， Ｐｎ ｕ １３０】 微处理器 上， 用标准 Ｃ语 言和 汇编 语 并 在 ｅｔ ｍ １ ５ Ⅷ ｉ 利 言实现 了椭 圆 曲线 密码体 制 ． 时间结果显示 。２ ｂｔ ２４ ｉ的椭 圆 曲线数字签名 需要 １６ｎ， ． Ｉ 验证 需要５ ６Ｉ ． ｓ ．—ｓ Ｉ 关键词 ：椭 圆 曲线密码体 制； 素数域 ； 大 实现 中图分类号 ：Ｎ １． Ｔ ９ ８２ 文献标识 码 ： Ａ 文 章编号 ：０ １ ４ ０２０ ）３０２ －３ １０． ０ （０ ２０ —４６０ ２
用 于计 算 能力 和集成 电路 空间 受 限 （ Ｓ ａｔ卡 、 宽 受 限 （ 无 线 通 信 和 某 些 计 算 机 网 络 ） 要 求 高速 实 现 如 ｍｒ ） 带 如 、
维普资讯
２Ｏ ０ ２年 ６月 （ 自然 科学版 ）
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实现椭圆曲线密码算法
实现椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography, ECC）涉及到椭圆曲线数学理论以及相关的加密技术。
这是一种公钥加密系统，与传统的 RSA 算法相比，它具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，因此在安全通信和数据保护领域得到了广泛应用。
下面是一个简单的示例，展示了如何使用 Python 实现椭圆曲线密码算法：from cryptography.hazmat.backends import default_backendfrom cryptography.hazmat.primitives import serializationfrom cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import ec# 生成椭圆曲线密钥对private_key = ec.generate_private_key(ec.SECP256R1(), default_backend()) public_key = private_key.public_key()# 将密钥序列化为字节串private_key_bytes = private_key.private_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PrivateFormat.TraditionalOpenSSL,encryption_algorithm=serialization.NoEncryption())public_key_bytes = public_key.public_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PublicFormat.SubjectPublicKeyInfo)# 打印密钥print("Private key:")print(private_key_bytes.decode('utf-8'))print("\nPublic key:")print(public_key_bytes.decode('utf-8'))在这个示例中，我们使用 Python 的cryptography库生成椭圆曲线密钥对，并将密钥序列化为字节串。
椭圆曲线密码学算法原理与实现
椭圆曲线密码学算法原理与实现椭圆曲线密码学算法是当前计算机安全领域中广泛使用的一种加密算法。
与传统的RSA算法相比，椭圆曲线密码学算法具有较高的安全性和更短的密钥长度，同时也更加适用于小型设备和无线通信领域。
本文将对椭圆曲线密码学算法的原理、优势以及实现进行介绍。
一、椭圆曲线密码学算法原理椭圆曲线密码学算法是基于椭圆曲线运算的一种加密算法。
在椭圆曲线上，可以定义加法和乘法等运算操作，从而构建出密钥系统。
具体来讲，椭圆曲线密码学算法使用的是离散对数问题，即找到一个整数k，使得G=kP，其中G和P是椭圆曲线上的点，k是密钥。
在使用椭圆曲线密码学算法时，有两个关键要素，分别是公钥和私钥。
公钥是任何人都可以获得的，而私钥只有信息发送者才能获得。
当信息发送者需要发送加密信息时，会使用接收者的公钥对信息进行加密，接收者收到信息后再使用自己的私钥进行解密。
这种方法可以保证信息在传输过程中不被他人窃取。
二、椭圆曲线密码学算法的优势椭圆曲线密码学算法相对于传统的RSA算法，有以下的优势：1. 更高的安全性。
使用椭圆曲线密码学算法时，需要使用的密钥长度较短，但是却具有比较高的安全性。
这是因为椭圆曲线操作比传统的大数因子分解更难以破解。
2. 适用于小型设备和无线通信领域。
使用传统的RSA算法时，需要较长的密钥，这在小型设备和无线通信领域会造成很大的问题。
而椭圆曲线密码学算法可以使用更短的密钥长度，可以在小尺寸的设备上使用，如智能卡和移动设备等。
3. 更高的运算速度。
相比传统的RSA算法，使用椭圆曲线密码学算法进行加密和解密的运算速度更快，可以更加高效地完成加密解密操作。
三、椭圆曲线密码学算法的实现椭圆曲线密码学算法的实现涉及到一系列的数学运算，包括椭圆曲线上的点的加法、乘法、求逆以及扩域操作等。
下面简单介绍一下椭圆曲线密码学算法的实现过程。
1. 密钥的生成。
在使用椭圆曲线密码学算法时，需要生成一对公钥和私钥。
生成公钥时，需要选择一个椭圆曲线和基点，然后随机选取一个整数作为私钥。
椭圆曲线公钥密码的理论与实现
研 究的 热点 。以 椭圆 曲线加 密 系统为研 究 对 象．对椭 圆 曲线公钥 密码 （ｌｐｉ ｒｅ Ｅｌ ｔ Ｃｕｖｒ ｉ ｃ Ｃｒｐｏ ｒｐ ｙＥ ｙ ｔｇａｈ ，ＣＣ） ￣理 论和 椭 圆曲线及 参数 的 选择进 行 深入 分析 ． 并对 椭 圆曲线 的选 择 算法和倍 点运 算算法加 以研 究 ， 最后 给 出 实现过 程。 关键 词 ：公钥 密码 体制 ；椭 圆曲线加 密 ；加密 算法
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研ｓ受 究拜
解 ： 为 ｔ １０ ＝ ３ ３ ＂ ２ 因 此 ｔ １ ＋ １ １ ＋ 因 ＝ ０５ １＋ １３ ． 一 ３ ３ ＝２
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机选 取 椭 圆 曲线 ， 再确 定 其 阶 。 阶没有 大 的素 数 因 若 子 ， 舍弃 该 曲线 ， 重 新选 择椭 圆 曲线 ； 则 并 否则 ， 确定 阶为 大素数 的点 。后 一种算 法具 有较 好 的随机性 ． 因 而得 到了广 泛的应 用 ． 它的算法 如下 ：
的余数 ， 从而得 到最后 的结果 。除法的速度 一般 比较
没有亚指数 时间的求解算法 ． 以椭圆曲线公钥密码体 所 制有着其他公钥密码体制所无法 比拟 的优点 ． 如在相同
慢， 因此 对 于 一 般 的 素 数 Ｐ来 说 ． 限 域 中 乘 法 的 速 有
度 比较慢 。 但是这可 以通过选择特 殊形式的素数 Ｐ 来
择 而 造 成 的安 全性 隐 患 。 此 ， 实 际 应 用 中 ． 往 选 因 在 往
择适合 于软件 实现 的素 数 ｐ 。一般 来说有 两种选择 ，
如 ２± ． 。
即 Ｐ形 如 ２± ． Ｐ形 如 ２± ｌ 和 ２ 。本 文 主要 研 究 Ｐ形 ±
程： ０ ，ｎ 产 ， ＋２＋￣ ａ所确定的平面曲线。其 ＋ ａ ｘ ６ ｘａ＋
ECC底层算法的C语言位级并行实现
Ａ ｓｒｃ ： ｈｓ ａｅ ａ ｚｓ ｈ ａｉ ａ ｏｉ ｍ ｆ ｌｐｉ Ｃ ｒｅ ｒ ｔ ｙｔ （ Ｃ ）ａｄｄ ｓ ｎ ａａｓ ｕｔｒ ｐｅ ｅｔ ｂ ｔａｔ Ｔ ｉ ｐｐ ｒ ｎ ｌ ｅ ｅｂ ｓ ｌ ｒ ｓｏ ｌ ｔ ｕｖｓＣ ｙ ｅ ｓ ｍ Ｅ Ｃ ｎ ｅｉ ｓ ｄ ｔ ｔ ｃ ｅｔ ｉ ｌｍ ｎ ａ ｙ ｔ ｃ ｇ ｔ ｈ Ｅｉｃ ｐｓ ｅ ｇ ａ ｒ ｕ ｏ ｍ
ｔ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｔ ｏ ｕ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｆ ｃ ｌ ｅ ｄ ｋ ｙ ｐ ｉ ｔ ｏ ｇ ｒ ｈ ｄ ｐ ｅ ｅ ｔ ｒ ｇ ａ ｈ ｏ ｈ ．Ｉ ｆ ｃ ｓ ｓ ｏ ｈ ｉ ｕ ｔ ｓ ａ ｅ ｏｎ ｓ ｆ ａ ｏ ｔ ｍ ａ ｒ ｓ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｔ ａ ｉｕ ｒ ｌ ｉ ｉ ｉ ｎ ｌ ｉ ｓ ｎ ｎ ｐ ｒａ ｈ ｓ Ｉ ｖ ｒ ｓ ｗｏ ｄ— ｌ ｏ ｗ ｄ ｈ ａ ｄ ｌ ｇ ａ ｅ ｃ ｄ ｓｂ ｉ ｉ ｌｍｅ ｔ ｔａｓ ｅ ｔ ｈ ｕ ｎｎ ｍｅ ｏ ｔｅ ｐ ｏ ｒｍ ｈ ｎ ｔ ｅ ｗ ｒ ｉ ｔ ａ ｕ ｇ ｏ ｅ ｙ ８ ｂ ｔ ｍｐ ｅ ｎ ．Ｉ ｌｏ ｔ ｓ ｔ ｅ ｒ ｎ ｉ ｇ ｔ ｈ ｒ ｇ ａ ｗ ｅ ｏ ｄ—ｗ ｄｈ ｉ ． ｎ ｎ ｓ ｉ ｆ ｈ ｉ ｔ ｓ８ Ｋｅ ｒ ｓ ｌ ｐ ｉ Ｕ Ｖ ｒｐ ｏ ｙ ｔｍ ；ｂ ｉ ｇ ｒ ｍ ｍｐｅ ｎ ；ｔ ｓ ｏ ｅ ｒ ｎ ｉ ｇ ｔ ｒ ｇ ａ ；ｂ ｔ ａ ａｌｌ ｙ ｗｏ ｄ ￣ｅ ｌ ｔ Ｃ ｒ ｅ ｅ ｙ ｔ ｓ ｓ ｉ ｃ ｓ ｅ ｓ ａ ｃ ａ ｏ ｔ ｓ ｉ ｌｍｅ ｔ ｅ ｔｆ ｔ ｕ ｎ ｎ ｍｅ ｏ ｐ ｏ ｒｍ ｌ ｉ ｈ ｈ ｉ ｆ ｉ —ｐ ｒ ｌ ｅ
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四是认真研究如何高效的组织课堂教学， 把优秀课件与传统教学 手段相互整合， 有效地进行课后答疑， 研究多媒体条件下改善考试考 核方式等， 从而提高教学水平。
拒的相对于 ＲＳＡ 的优越性， 将会成为未来采用的潮流。基 于 这 种 情
况， 本文在简单论述了椭圆曲线的加密算法的原理的基础上， 用 Ｃ 语
言编程实现了该加密方法。本设计是以 Ｔｕｒｂｏ Ｃ３．０ 为编译系统的。程
序运行时， 从键盘输入一段字符， 由程序进行加密与解密， 输出的结果
是加密后的密文和解密后的明文。多次实验结果验证了程序的正确
关键词： 信息安全； 加密； 椭圆曲线密码； Ｃ 语言 Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ａｓ ｔｈｅ ｒａｐｉｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｕｒｇｅｎｔｌｙ． Ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｅｎｃｒｙｐｔ． Ｔｈｉｓ ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｏｎ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖｅ Ｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍ （ＥＣＣ） ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ． Ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｏｆ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖｅ Ｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ＥＣＣ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｍｙ ｍａｉｎ ｊｏｂ ｉｓ ｕｓｉｎｇ Ｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｔｏ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｃｕｒｉｔｙ， ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ， Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖｅ Ｃｒｙｐｔｏｓｙｓ
首先是选取一个有限域 Ｆｐ， 在设计过程中， 我选取 ｐ＝１２７（ 此处未
定义一个大素数） ， 确定了有限域后就是选取合适的曲线。由于椭圆曲
线公钥密码的安全性基于椭圆曲线上离散对数问题的难解性， 所以一
条 曲 线 应 满 足 下 列 条 件 ［３］： １．曲线的阶 ｕ＝＃Ｅ（Ｆｐ）应该被一个大素数 ｒ 整除。
一 是 现 代 教 育 技 术 教 学 应 遵 循 “学 生 为 主 体 ， 教 师 为 主 导 ”的 原 则。应用现代教育技术教学其目的就是提高教学效率， 提高学生学习 效果， 所以应以学生理解和掌握知识为目的。
二是现代教育技术的应用主体是软件， 建议广大教师认真学习， 结 合 自 己 所 教 学 科 和 学 生 实 际 努 力 提 高 软 件 的 开 发 与 应 用 水 平 。但 同 时应该注意课件的制作和使用应以实现最终教学目的为宗旨， 应避免 出现重形式轻内容的不良现象。
主 导 国 民 经 济 和 社 会 发 展 的 过 程 。 但 是 随 着 信 息 化 、网 络 化 的 迅 速 推
进， 信息安全问题已成为急需解决的重大问题。如何对网络中传输的
数 据 进 行 保 密 、保 密 性 高 不 高 关 系 到 个 人 隐 私 和 利 益 、商 业 秘 密 、国 家
机密等。在与日俱增的网络活动中， 人们越来越关心信息安全这个问
图 ５ 曲线选取
２．ｕ＝＃Ｅ（Ｆｐ）≠Ｐ， 保证 Ｅ 不是“反常曲线”。 ３．对 ｖ＝１， ２， ３， …， １０， Ｐｖ－ １ 不能够被大素数 ｒ 整除。 我是采取随机法选取的， 该算法的流程图如下图 ５。 ３．３ 密钥的生成 系统生成后， 每个使用者（包括 Ａ 和 Ｂ）都要执行下列步骤计算： （１）在区间［１，ｎ－ １］随机选取一个整数 ｄ， 这个随机数作为私有密钥， 不公开。 （２）计算点 Ｑ＝ｄＰ， Ｑ 点是公开密钥， 连同 Ｐ 点及其阶 ｎ 一起公开。 完成了求解曲线 的 阶（曲 线 的 点 数）， 基 点 的 阶 ， 椭 圆 点 的 加 法 、加 倍和 ｎ 倍以后， 下面就是利用椭圆曲线来加密的过程了。 ３．４ 加密过程：用户要发送的信息存储在一个 字 符 数 组 中 ， 加 密 过
性。
２．椭圆曲线公钥密码体制
椭 圆 曲 线 公 钥 密 码 的 安 全 性［２］基 于 椭 圆 曲 线 离 散 对 数 问 题 的 难 解
性。这是因为椭圆曲线 Ｅ（Ｆｐ）中所有点按点的加法规则组成一个有限
Ａｂｅｌ 群， 因此， 在椭圆曲线点群上存在下面的离 散 对 数 问 题 ： Ｐ 是 Ｅ
（Ｆｐ）上一个点， 假设点 Ｑ 是 Ｅ（Ｆｐ）上为 Ｐ 的倍数的点， 即存在整数 ｘ＞０，
ｍｗ１．ｃ＝（ｍ１＊ｐ２２．ｘ）％ｆｑ； ｍｗ１．ｘ＝ｐ１１．ｘ； ｍｗ１．ｙ＝ｐ１１．ｙ； ｒｅｔｕｒｎ ｍｗ１； ｝ ３．５ 解密过程：Ｂ 接收到 Ａ 发过来的密文后执行解密。 用 Ｃ 语言实现解密的过程如下 函数 ｄｅｃｏｄｅｃ （ ）实现逐个字符的解密， 参数是密文和密钥，返回值 是字符。 ｃｈａｒ ｄｅｃｏｄｅｃ （ｓｔｒｕｃｔ ｃｏｄｅ ｍｗ１，ｉｎｔ ｄ１） ｛ ｓｔｒｕｃｔ ｐｏｉｎｔ ｐ１，ｐ２； ｃｈａｒ ｍ； ｉｎｔ ｉ； ｐ１．ｘ＝ｍｗ１．ｘ； ｐ１．ｙ＝ｍｗ１．ｙ； ｐ２＝ｍｕｌ＿ｐ （ｐ１，ｄ１）； ｍ＝（ｍｗ１．ｃ／ｐ２．ｘ）％ｆｑ； ｉｆ （（ｍｗ１．ｃ％ｐ２．ｘ）！ ＝０）
｛ｋ＝ｒａｎｄ （ ）％ｎ１；
ｐ１１＝ｍｕｌ＿ｐ （ｐ，ｋ）；
ｐ２２＝ｍｕｌ＿ｐ （ｑ，ｋ）；
（ 下转第 １１ 页）
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科技信息
○科教视野○
ＳＣ ＩＥ Ｎ Ｃ Ｅ ＩＮ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ ＩＯ Ｎ
２００７ 年 第 １０ 期
础和严谨的板书， 凭借着扎实的教学功底在课堂上传授着知识， 学生 在台下聚精会神的听着、看着， 积极地思维着， 可以将一些概念记得更 牢固， 也时常能从上中得到启示。
题。信息安全中最核心的技术是密码技术， 基本上可分为三类［１］： （１）序
列密码。（２）对称密码（ 又称分组密码） ， 如 ＤＥＳ， ＡＥＳ。（３）非对称密码（ 又
称 公 钥 密 码 ） ， 如 ＲＳＡ， 椭 圆 曲 线 密 码 （Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖｅ Ｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍ）
ＥＣＣ。ＲＳＡ 是目前较为流行的公钥算法， 但 ＥＣＣ 有着许多让人无法抗
用 Ｃ 语言实现加密的过程如下
函数 ｃｏｄｅｃ （ ）实现逐个字符的加密， 参 数 是 明 文 字 符 和 基 点 的 阶
ｎ。
ｓｔｒｕｃｔ ｃｏｄｅ ｃｏｄｅｃ （ｃｈａｒ ｍ１，ｉｎｔ ｎ１）
｛ｓｔｒｕｃｔ ｃｏｄｅ ｍｗ１；
ｓｔｒｕｃｔ ｐｏｉｎｔ ｐ１１，ｐ２２；
ｉｎｔ ｋ；
ｗｈｉｌｅ （１）
现代教育技术与传统教学的运用应注意： 多媒体教学不是万能 的， 不可以取代一切传统的手段。教学方法和手段是为教学服务的， 达 到教学目标是最重要的。有些可以用传统的手段解决的问题， 就不必 要为用而用， 这样反而有哗众取宠之嫌。在运用现代教育技术手段教 学的过程中， 传统的手段亦非常重要， 比如板书就有一定总结价值。即 使没有在黑板上留下痕迹， 也必须留下电子板书。在一些多媒体课件 中， 忽视了老师的主导作用和学生的主体作用。有的老师可能只是充 当一个放映员， 有的课件则不适合常规课堂教学。有些软件， 教师无法 根据课堂情况及时调控， 从而限制了教师的主观能动性的发挥。
参考文献 ［ １］ 尹俊华． 教育技术导论［ Ｍ］ ． 北京：高等教育出版社， １９９６． ［ ２］ 钟启泉． 现代教育学基础［ Ｍ］ ．上海：上海教育出版社， ２００３． ［ ３］ 袁振国． 现代教育学［ Ｍ］ ． 北京：教育出版社， ２０００．
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（ 上接第 ５４ 页） ｉｆ （ｐ２２．ｘ！ ＝０） ｂｒｅａｋ； ｝
｛ｆｏｒ （ｉ＝０；ｉ＜ｆｑ＆＆（ｍｗ１．ｃ！ ＝（ｐ２．ｘ＊ｉ）％ｆｑ）；ｉ＋＋）； ｍ＝ｉ； ｝ ｒｅｔｕｒｎ ｍ； ｝ ３．６ 结果分析：在程序调试是添加主函数 ｍａｉｎ （ ）即可。 例 １： 从键盘输入“Ｉ ａｍ ａ ｓｔｕｄｅｎｔ”， 基点是（３，４４）， 加密得到的密文 是： （２９，１７，Ω） （２９，１７，!） （２９，１７，!） （２９，１７，"） （２９，１７，!） （８８，９８，Ｓ） （８８，９８， ▲） （２９，１７，￠） （２９，１７，∑） （２９，１７， █ ） （２９，１７，Ｊ） （８８，９８，７） （８８，９８，ｗ） （２９，１７， ∑） 解密后输出的结果是： Ｉ ａｍ ａ ａｔｕｄｅｎｔ。结果证明， 本程序是正确 的， 可以用于加密和解密。 ４．结论 本设计达到了预期的基本功能， 但在程序设计中依然存在不少问 题。以下是本程序需要改进的地方。 （１）程 序 设 计 时 的 有 限 域 的 选 取 并 未 按 要 求 取 大 素 数 ， 而 是 小 素 数。 （２）求 椭 圆 点 的 倍 数 及 计 算 曲 线 的 阶 的 实 现 不 理 想 ， 因 为 若 是 选 取大素数时， 使用该程序需要较长的计算时间， 在算法的时间度上需 要改进。 （３）随机数的选取是直接利用标准 Ｃ 中的库函数 ｒａｎｄ（）。该函数产 生的是有规律的伪随机数， 不是真正的随机。若要随机选取一个数， 则 需用户写一个随机数产生函数。科
使得 Ｑ＝ｘＰ， 则椭圆曲线离散对数问题就是由给定的 Ｐ 和 Ｑ 确 定 出 ｘ。
这是非常困难的。
３．椭圆曲线加密算法的 Ｃ 语言实现
３．１ 准备工作
用 Ｃ 语言实现椭圆曲线密码时应包括如下的基本运算： 求曲线的
阶（ 曲线的点数加上无穷远点） ， 基点的阶， 椭圆点的加法， 椭圆点的加