椭圆曲线公钥密码体制(ECC)
基于FPGA的椭圆曲线密码(ECC)算法硬件设计
关 键词 ： Ｅ Ｃ Ｃ Ｆ Ｐ Ｇ Ａ 加密
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ —０ ８ ０ ｘ ． ２ ０ １ ３ ． ０ １ ． ０ １ ７
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｃ ｒ ｙ ｐ ｔ ｏ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ （ Ｅ Ｃ Ｃ）ｉ ｓ ａ ｐ ｕ ｂ ｌ ｉ ｃ ｋ ｅ ｙ ｅ ｎ ｃ ｒ ｙ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｍ ｏ ｓ ｔ ｓ ｅ ｃ ｕ ｒ ｅ ｕ ｎ ｉ ｔ ｋ ｅ ｙ
Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｃ ｏ ｍ ｍ ｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 豳豳圆
基于 Ｆ Ｐ Ｇ Ａ 的椭 圆 曲线 密 码 【 Ｅ Ｃ Ｃ）
算 法 硬 件 设计 术
Ｈａ ｒ ｄ ｗａ ｒ ｅ Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ Ｅｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃ Ｃｕ ｒ ｖ ｅ Ｃｒ ｙ ｐ ｔ ｏ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｙ
圆曲线群上 离散代数 问题 的公 钥 密码 体制—— 椭 圆 曲 软件 实现 的椭 圆曲线加 密／ 解密体 制 ， 在有限域Ｇ Ｆ （ ２ ）
线 密码 体制 （ 简记 为 Ｅ Ｃ Ｃ ） 。Ｅ Ｃ Ｃ与 Ｒ Ｓ Ａ相 比具 有 上 的硬 件实 现可 以提 供更 高 的 安全 性 和更 快 的速度 。
全性 。Ｅ Ｃ Ｃ是 目前所有 公钥密 码 系统 中单 位密 钥安 全 Ｉ Ｓ Ｅ １ ０ ． １ 环 境 下使 用 Ｖ ｅ ｒ ｉ ｌ ｏ ｇ硬 件描述 语言 和原理 性最 高 的密码 系 统。 由于 Ｅ Ｃ Ｃ 的密 钥较 短 ， 并且 运 算 图输 入设 计法 ， 构造 实现 加 密算 法 。实 验 结果 表 明 该
基于椭圆曲线密码(ECC)的数字签名技术
基于椭圆曲线密码（ECC）的数字签名技术作者：任艳芳来源：《硅谷》2013年第12期摘要椭圆曲线密码（ECC）基于椭圆曲线离散对数问题，它是有限域上椭圆曲线有理点群的一种密码系统，既可以用于文件传输中的数据加密又可用于文件或密码的数字签名。
和其它公钥密码体制相比，它具有可用的攻击算法少、把明文转化为密文的任务小、处理速度快、密钥>=3、计算所需参数少以及带宽要求低等优点。
本文简略介绍了数字签名技术，主要内容是基于椭圆曲线的数字签名技术。
关键词椭圆曲线；数字签名；签名；验证中图分类号：TN918 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2013）12-0051-031 何为数字签名技术电子签名（Electronic Signature）泛指所有以电子形式存在，依附在电子文件并与其逻辑相关的一种签名，它以密码技术加密文件，辨别文件签署者身份，保证文件的完整性，并表示签署者认可电子文件所陈述事项的内容。
目前最成熟的电子签名技术就是“数字签名（Digital Signature）”，它由两种形式，一种是以公钥及密钥的”非对称型”密码技术制作的电子签名，还有一种是对称的密码技术电子签名，即只有公钥无需密钥。
由于数字签名技术采用的是单向不可逆运算方式，即文件明文用密钥加密得到的密文进行传输，如果不知道密钥，要有密文推导出明文几乎不可能。
并且传输时是以乱码的形式显示的，他人无法阅读或篡改。
因此，从某种意义上讲，使用数字签名的电子文件，甚至比使用签字盖章的书面文件安全得多。
数字签名机制应用在电子网络环境下，可提供四重的安全保证：1）完整性（integrity）：文件接收者通过数字签名核对可确保文件完整性。
2）不可否认性（non-repudiation）：只有文件发送者知道自己的密钥，而且文件具有发送者的数字签名附据，使其无法否认发送事实。
3）可鉴别（authentication）：文件接收者可确认文件发送者的身份。
椭圆曲线密码总结大全
椭圆曲线密码概述：椭圆曲线密码学（ECC, Elliptic curve cryptography ）是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码的方法。
1985年，Neal Koblitz 和Victor Miller 分别独立提出了椭圆曲线密码体制(ECC)，其依据就是定义在椭圆曲线点群上的离散对数问题的难解性。
引言：ECC 被广泛认为是在给定密钥长度的情况下，最强大的非对称算法，因此在对带宽要求十分紧的连接中会十分有用。
ECC 的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA ——提供相当的或更高等级的安全。
ECC 的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil 对或是Tate 对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。
不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长。
国家标准与技术局和ANSI X9已经设定了最小密钥长度的要求，RSA 和DSA 是1024位，ECC 是160位，相应的对称分组密码的密钥长度是80位。
NIST 已经公布了一列推荐的椭圆曲线用来保护5个不同的对称密钥大小(80, 112, 128, 192, 256)。
一般而言，二进制域上的ECC 需要的非对称密钥的大小是相应的对称密钥大小的两倍。
椭圆曲线密码学的许多形式有稍微的不同，所有的都依赖于被广泛承认的解决椭圆曲线离散对数问题的困难性上，对应有限域上椭圆曲线的群。
引理及有关概念：（1） 无穷远元素（无穷远点，无穷远直线）平面上任意两相异直线的位置关系有相交和平行两种。
引入无穷远点，是两种不同关系统一。
AB ⊥L1， L2∥L1，直线AP 由AB 起绕A 点依逆时针方向转动，P 为AP 与L1的交点，如图1。
Q=∠BAP →π /2则AP → L2，可设想L1上有一点P ∞，它为L2和L1的交点，称之为无穷远点。
直线L1上的无穷远点只能有一个（因为过A 点只能有一条平行于L1的直线L2，而两直线的交点只能有一个）。
椭圆曲线加密算法
椭圆曲线加密算法椭圆曲线密码学（英语：Elliptic curve cryptography，缩写为 ECC），一种建立公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。
椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。
ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA 加密算法——提供相当的或更高等级的安全。
ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。
不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长1.椭圆曲线在数学上，椭圆曲线（英语：Elliptic curve，缩写为EC）为一代数曲线，被下列式子所定义y2=x3+ax+b其是无奇点的；亦即，其图形没有尖点或自相交。
满足此条件的a b满足：4a3+27b2≠0图1在基础上需要定义一个无穷远的点，将此点作为零点：此时椭圆曲线定义为：{(x,y)∈ℝ2|y2=x3+ax+b,4a3+27b2≠0}∪{0}在椭圆曲线中的群的运算律：1. 所有的点都在椭圆曲线上2. 0点作为群上的单元点即P+0=P3. P点关于X轴的对称点为P点的逆即P+(−P)=04.对于位于同一条直线上的三个点P,Q,R.则有P+Q+R=0图2P+Q+R=0（无限远点P Q R三个点的位置是任意的，他们满足加法的结合律，因为这个群是一个阿贝尔群。
2.椭圆曲线加法当P和Q不相等时(x P≠x Q)由于是在阿贝尔群上可以将P+Q+R=0改写为P+Q=−R所以在椭圆曲线上的加法定义为P Q 两点加法为P,Q两点连线与曲线的交点R的关于X轴对称点−R图2-3P+Q=-RP Q两点的直线的斜率为：m=y P−y Q x P−x Q这条线与曲线的交点为：R=(x R,y R)x R=m2−x P−x Qy R=y P+m(x R−x P)因此(x P,y P)+(x Q,y Q)=(x R,−y R)如果在图上表示即为上述的P+Q=−R当P 和Q 不相等时(x P =x Q )( y P =−y q )因为p +(−p )=0图 3 P Q 两点相同时直线的斜率为m =3x P 2+a 2y P 经计算的m =3x P 2+a 2y P x R =m 2−x P −x Q y R =y P +m(x R −x P )图 43.椭圆曲线标量乘法通过上面的加法运算我们可以得出其标量乘法运算可以得出nP=P+P+⋯+P⏟n times从上式可以看出当我们计算nP的时候需要做n次加法，如果n有k位那么的计算时间复杂度变为O(2k),这显然不是快捷的方式。
椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答
标题:【原创】椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答[7月16日更新到第7部分]作者:readyu时间: 2012-06-25,19:00:18链接: /showthread.php?t=152615说明：我曾经写过ECCTool用于学习和研究椭圆曲线加密在软件上的应用。
椭圆曲线密码学工具 ECCTooL v1.04原帖年代久远不再更新。
v1.05版本我放在本帖3#。
FLexLM ECC是椭圆曲线签名的一个典型应用，不可不察。
我整理了一下FLEXLM ECC方面的研究心得，准备把它完全写出来。
后面会有算法描述的例子代码。
FLEXLM ECC问答 (1)readyu 2012.61. FLEXLM是个虾米东西？FLEXlm是应用广泛的License管理工具。
宣称数千家EDA工具采用它管理授权。
FLEXlm对厂商来说，它的优点是证书管理功能强大，支持平台众多。
对最终用户来说，它的缺点是不够友好，比如Windows下，经常由于某些原因，flexlm服务启动错误。
对于破解者来说，它有着为数众多的教本。
维基百科上的条目为：/wiki/FLEXlmFLEXLM本来属于GLOBEtrotter。
Macrovision曾经收购GLOBEtrotter。
2006年的时候，FLEXLM原来的开发组跑路，另起灶头，产品叫RLM。
/index.php2008年Macrovision把FLEXLM卖了。
现在叫FlexNet Publisher。
/products/flexnet-publisher.htm2. FLexLM 的ECC（椭圆曲线加密）怎么来的？早期的flexlm采用的常规加密，不安全，能被做出lic。
这样的教程是很多的。
flexlm的安全性完全得不到保障，所以，自 v8(大约2001-2002)版本引入了公钥加密算法：椭圆曲线加密。
从此，它一直是flexlm的金钟罩。
包括v9(2003-) , v10(2004-) , v11(2007-), 到最新的版本 v11.10 (2012) 。
椭圆曲线密码体制
椭圆曲线密码体制
椭圆曲线 有限域上的椭圆曲线 椭圆曲线上的密码算法 椭圆曲线密码体制的安全性
椭圆曲线
椭圆曲线方程的一般形式是
y2 axy by x3 cx2 dx e
式
其中，a,b,c,d,e是满足一些简单条件的实数。椭圆曲线 的图形并非椭圆，只是其方程与计算椭圆周长的方程类似。 椭圆曲线除了所有满足曲线方程的点之外还包括一个特殊的 点，即无穷远点，记为O。
A选小于n的整数nA作为秘密钥，并计算PA=nAG作为公钥。 B类似选取自己的秘密钥nB和公开钥PB=nBG。 A和B分别计算K=nAPB和K=nBPA产生共享的秘密钥。
椭圆曲线上的密码算法
ECC实现ElGamal密码体制
选取一条椭圆曲线，得到Ep(a,b)，将明文消息通过编码嵌入曲线上得到点pm。 取Ep(a,b)的生成元G，Ep(a,b)和G为公开参数。设用户A的秘密钥为nA，公开 钥为PA=nAG
椭圆曲线密码体制
椭圆曲线 有限域上的椭圆曲线 椭圆曲线上的密码算法 椭圆曲线密码体制的安全性
有限域上的椭圆曲线
定义 椭圆曲线上的加法：如果椭圆曲线上的三个点位于同一直线上，
那么它们的和为O。从本定义导出一系列椭圆曲线上点的加法规则。
O为加法单位元，即对ECC上任一点P，有P+O=P。 1）设P1=(x,y)是ECC上一点，加法逆元定义为P2= -P1=(x,-y)。 2）P1,P2连线延长到无穷远，得到ECC上另一点O，即P1,P2,O三点共线，所以有 P1+P2+O=O，P1+P2=O，P2= -P1，O+O=O，O= -O。 3）设Q,R是ECC上x坐标不同的两点，Q+R定义为：画一条通过Q,R的直线与ECC交于 P1（交点是唯一的，除非做的Q,R点的切线）。由Q+R+P1=O，得Q+R= -P1。椭圆曲线 及Q+R的示意如图所示。
椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答
标题:【原创】椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答[7月16日更新到第7部分]作者:readyu时间: 2012-06-25,19:00:18链接: /showthread.php?t=152615说明：我曾经写过ECCTool用于学习和研究椭圆曲线加密在软件上的应用。
椭圆曲线密码学工具 ECCTooL v1.04原帖年代久远不再更新。
v1.05版本我放在本帖3#。
FLexLM ECC是椭圆曲线签名的一个典型应用，不可不察。
我整理了一下FLEXLM ECC方面的研究心得，准备把它完全写出来。
后面会有算法描述的例子代码。
FLEXLM ECC问答 (1)readyu 2012.61. FLEXLM是个虾米东西？FLEXlm是应用广泛的License管理工具。
宣称数千家EDA工具采用它管理授权。
FLEXlm对厂商来说，它的优点是证书管理功能强大，支持平台众多。
对最终用户来说，它的缺点是不够友好，比如Windows下，经常由于某些原因，flexlm服务启动错误。
对于破解者来说，它有着为数众多的教本。
维基百科上的条目为：/wiki/FLEXlmFLEXLM本来属于GLOBEtrotter。
Macrovision曾经收购GLOBEtrotter。
2006年的时候，FLEXLM原来的开发组跑路，另起灶头，产品叫RLM。
/index.php2008年Macrovision把FLEXLM卖了。
现在叫FlexNet Publisher。
/products/flexnet-publisher.htm2. FLexLM 的ECC（椭圆曲线加密）怎么来的？早期的flexlm采用的常规加密，不安全，能被做出lic。
这样的教程是很多的。
flexlm的安全性完全得不到保障，所以，自 v8(大约2001-2002)版本引入了公钥加密算法：椭圆曲线加密。
从此，它一直是flexlm的金钟罩。
包括v9(2003-) , v10(2004-) , v11(2007-), 到最新的版本 v11.10 (2012) 。
ecc256椭圆曲线密钥生成算法
椭圆曲线密码算法（ECC）是一种非对称加密算法，它通过椭圆曲线上的点来实现密钥的生成与交换。
ECC的安全性与RSA等传统非对称加密算法相当，但它所需的密钥长度较短，使得它在移动设备等资源受限环境下具有明显的优势。
而椭圆曲线密钥生成算法就是ECC中用来生成密钥对的重要算法之一。
椭圆曲线密码算法的安全性建立在椭圆曲线离散对数问题的困难性上。
也就是说，在已知一个点P和整数kP的情况下，要很难计算出整数k。
这一性质使得椭圆曲线密码算法成为一种非常有前景的加密算法，因为相较于RSA等算法，可以用更短的密钥长度实现同等级的安全性。
椭圆曲线密钥生成算法的过程可以分为如下几个步骤：1. 选择椭圆曲线参数首先需要选择一个合适的椭圆曲线来作为公开参数。
这个椭圆曲线的选择直接影响到了密钥对的生成过程以及算法的安全性。
一般来说，椭圆曲线的安全性和性能是一对矛盾体，需要在其中寻找一个平衡点。
2. 生成私钥选择一个随机数作为私钥，私钥的大小通常是根据椭圆曲线的位数来确定的。
在ECC中，私钥通常是一个整数，它是生成公钥的重要参数。
3. 计算公钥利用椭圆曲线参数和私钥，可以通过一系列计算得到对应的公钥。
公钥通常是一个椭圆曲线上的点，它将被用于加密和数字签名等操作中。
4. 密钥对生成完成私钥和公钥组成了一个完整的密钥对，可以用于加密通信和身份认证等操作。
椭圆曲线密钥生成算法的实现涉及到大量数论和代数运算，其中包括模运算、点乘、椭圆曲线点加等复杂运算。
如何高效地实现这些运算对于算法的性能和安全性都有很大的影响。
椭圆曲线密钥生成算法是一种重要的非对称加密算法，它在移动设备、物联网设备等资源受限环境下具有明显的优势。
加之它在相同安全级别下所需的密钥长度较短，因此在当前信息安全领域有着广泛的应用前景。
椭圆曲线密钥生成算法（ECC）是当今信息安全领域中备受瞩目的一种加密算法。
其独特的数学原理和高效的计算性能使得它成为了许多安全通信协议和应用中不可或缺的一部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F2m上椭圆曲线的点的加法逆元
• P = (xP, yP)的加法逆元 -P = (xP, xP + yP) • P + (-P) = O • P+O=P
F2m上椭圆曲线不同的点的加法运算
P = (xP, yP) 。如果 P和 Q是不同的点并且P不等于 -Q, 则P + Q = R
s = (yP - yQ) / (xP + xQ) xR = s2 + s + xP + xQ + a yR = s(xP + xR) + xR + yP
F上的椭圆曲线 2m
定义： 对于曲线
y2 +xy= x3 + ax2 + b b不为0，a,b 属于 F2 m
的解的集合构成
F2m 上的椭圆曲线群。记为 E ( F m )
2
F2m上的椭圆曲线举例
• 作为一个简单的例子, 考略 F2 4 , 其上的不可约多项式为 f(x) = x4 + x + 1. • 元素g = (0010)是生成元. • g的幂为: g0 = (0001) g1 = (0010) g2 = (0100) g3 = (1000) g4 = (0011) g5 = (0110) g6 = (1100) g7 = (1011) g8 = (0101) g9 = (1010) g10 = (0111) g11 = (1110) g12 = (1111) g13 = (1101) g14 = (1001) g15 = (0001)
例题
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 点P=(g6,g8) 求点R=2P
练习
已知 F(23）. 不可约多项式x3 + x + 1. 生成元 g = (010) 并且g1 = (010) g2 = (100) g3 = (011) g4 = (110) g5 = (111) g6 = (101) g7 = (001) = 1 1.方程 y2 + xy = x3 + g5x2 + g6是否定义了F(23)上的 一个椭圆曲 线? 2. 问点 P(g3, g6)和 Q(g5, g2) 是否位于F(23)上的椭圆曲线 y2 + xy = x3 + g2 x2 + g6 之上? 3. 求F(23)上的如下椭圆曲线的点的加法逆元? P(g3,g6) Q(g,0) R(0,g3) 4. F(23)上的椭圆曲线 y2 + xy = x3 + g2x2 + g6 , P = (g2,g6)， Q = (g5,g5)，求P+Q? 5. F(23)上的椭圆曲线 y2 + xy = x3 + g2x2 + g6, P = (g3, g4),求 2P?
例题
仍以E23(1,1)为例，设P=(3,10)，求2P
3 32 1 5 1 6 mod 23 2 10 20 4 x3 62 3 3 30 7 mod 23 y3 6(3 7) 10 34 12 mod 23
所以2P=(7,12)。
群
群(G, *)是由集合G和集合上的二元运算* 组成的代数系统，群应满足如 下的性质 : 1、封闭性 : 对于任意的 x,y ∈G，满足 x * y G
2、结合律 :对于任意的 x,y, z ∈G， 满足：
(x * y) * z = x * (y * z) 3、有单位元素 : 存在单位元素 e ∈ G ，满足：
有限域
有限域是指由集合 F 和F上的二元运算+ 和 * 组成的代数系统，有限域 应满足如下性质:
1. F 对于 +运算是abelian群. 2. F \ {0}对于*运算是abelian群.
3. 分配律对任意的 x ,y , z ∈ F，满足: x * ( y + z) = (x * y) + (x * z)
• 其中a，b，c，d，e是满足某些简单条件的实数 。
典型椭圆曲线
E : Y2 = X3 – 5X + 8
特点: 可以应用几何学使椭圆曲线上的点形成一个群.
-4-
椭圆曲线的加法
依据： 如果在椭圆曲线上有三个点存在于一条直线上，则 它们的和为无穷远点。 其中无穷远点记为○
点P和点-P相加
O
在无限远处增加点 O 点 O位于位于每个垂线上
所以P+Q=（17,20），仍为E23(1,1)中的点。
求点P的2倍
若P
= (xP , yP) 若 yP 不为 0 2P = R 按如下方法计算： λ = (3xP2 + a) / (2yP ) mod p xR = λ2 - 2xP mod p yR = -yP + λ(xP - xR) mod p
a = {am-1,..a1,a0} 和 b = {bm-1,..b1,b0} GF(2m)
• • 加法 : a + b = c = {cm-1,..c1,c0} 其中 ci = (ai + bi) mod 2. 乘法 : a . b = c = {cm-1,..c1,c0} 其中 c 是 a(x) . b(x) 除以一个m阶不可约多项式的余式， 同时c GF(2m) c GF(2m)
则存在满足条件的两个点。
椭圆曲线E23(1,0) 的点的构造
即y2
= x3 + x在有限域F23上的点的构造
椭圆曲线E23(1,0) 的点的构造
满足条件的23个点是: (0,0) (1,5) (1,18) (9,5) (11,10) (11,13) (13,5) (13,18) (15,20) (16,8) (16,15) (17,10) (18,10) (18,13) (19,1) (19,22) (20,19) (21,6) (21,17) (9,18) (15,3) (17,13) (20,4)
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0)的点的构 造 (1, g13) (1, g6) (g6, g14) (g6, g8) (0, 1) (g3, g13) (g3, g8) (g9, g13) (g9, g10) (g5, g11) (g5, g3) (g10, g8) (g12, g12) (g10, g) (g12, 0)
对于任意的x∈G，有 x * e = e * x = x
4: 有逆：对于任意的x∈G ,都存在y ∈ G ，满足： x*y=y*x=e 另外，如果满足交换律，即对于x, y ∈ G ，满足 x * y = y * x 则称群为 abelian group.
举例
1. 2. 3. 4. Z,+ 其中Z表示整数集 Z,×. Z,— R,×其中Z表示实数集
(x + y) * z = (x * z) + (y * z)
有限域的阶(order of the finite field)是指有限域的元素的个 数有限域也称为Galois域
有限域 F(p)
其中集合为整数集 {0,1,2,3….p-1} ， p是素数.
另外满足如下性质 :
1. 加法 : 对于 a, b F(p), 有a + b ≡ r mod p 为模加法
椭圆曲线公钥密码体制(ECC)
关于椭圆曲线
椭圆曲线问题的研究有150多年的历史 1985年 Washington 大学的Neal Koblitz IBM 的Victor Miller 把椭圆曲线应用于密码领域 目前，椭圆曲线和RSA算法是使用最广泛的公钥加 密算法
实数域上的椭圆曲线
• 椭圆曲线并非椭圆，之所以称为椭圆曲线是因为 它的曲线方程与计算椭圆周长的方程类似。一般 来讲，椭圆曲线的曲线方程是以下形式的三次方 程： • y2+axy+by=x3+cx2+dx+e
例题
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 点P=(g6,g8) 点Q=(g3,g13) 求点R=P+Q
F2m上椭圆曲线的点P的倍点运算
若 xP = 0, 那么 2P = O 假设 xP 不等于 0 2P = R s = xP + yP / xP xR = s2+ s + a yR = xP2 + (s + 1) * xR
2. 乘法 :对于a, b F(p), 有 a . b = s mod p
为模乘法
有限域 GF(2m)
二元有限域. 其中的集合为m个元素的集合 {m-1, …,1, 0}， 每个 i {0,1} ，都与任意的a GF(2m) a = m-1xm-1 + … + 1x + 0 同时满足如下性质 :
椭圆曲线群
椭圆曲线E：F(q)和椭圆曲线E:F(2m)对于点的加法运 算形成一个Abel群
阶(order)
椭圆曲线的阶是指椭圆曲线的点个数
椭圆曲线中的点P的阶是指满足kP=O的最小的整数k
练习
确定椭圆曲线T：( q=7, a=0, b=2 )的阶。 确定椭圆曲线T：( q=7, a=0, b=2 )的点(3, 6)的阶。
练习
1. Does the elliptic curve equation y2 = x3 + 10x + 5 define a group over F17? 2. Do the points P(2,0) and Q(6,3) lie on the elliptic curve y2 = x3 + x + 7 over F17? 3. What are the negatives of the following elliptic curve points over F17? P(5,8) Q(3,0) R(0,6) 4. In the elliptic curve group defined by y2 = x3 + x + 7 over F17, what is P + Q if P = (2,0) and Q = (1,3)? 5. In the elliptic curve group defined by y2 = x3 + x + 7 over F17, what is 2P if P = (1, 3)?