公钥密码体制及典型算法-椭圆曲线密码体制.
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第4章公钥密码体制
密钥
为公钥。 不再需要， 以n，e为公钥。私密钥为d。(p, q不再需要， 可以销毁。 可以销毁。)
RSA算法在计算上的可行性
加密和解密
无论是加密还是解密都需要计算某个整数的模n 整数次幂，即C=Me mod n、M=Cd mod n。但不 、 需要先求出整数的幂再对n取模，而可利用模运 算的性质： (a mod n) * (b mod n)= (a*b) mod n 对于Me mod n，可先求出M1 mod n，M2 mod n， M4 mod n……，再求Me mod n
RSA算法 RSA算法
RSA Algorithm
概况
MIT三位年轻数学家, 1979年发现了一种用数 论构造双钥的方法，称作MIT 体制 MIT体制 MIT 体制，后来被 广泛称之为RSA体制 RSA体制 RSA体制。 它既可用于加密、又可用于数字签字。 RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的 困难性。 迄今为止理论上最为成熟完善的公钥密码体 制，该体制已得到广泛的应用。
公钥密码体制有4个组成部分
明文：算法的输入，它们是可读信息或数据，用M 表示； 密文：算法的输出。依赖于明文和密钥，对给定的 消息，不同的密钥产生密文不同。用E表示； 公钥和私钥：算法的输入。这对密钥中一个用于加 密，为Ke，此密钥公开；一个用于解密，为Kd，此 密钥保密。加密算法执行的变换依赖于密钥； 加密、解密算法
选p=7，q=17。 求n=p×q=119，φ(n)=(p-1)(q-1)=96。 取e=5，满足1<e<φ(n)，且gcd(φ(n),e)=1。确 定满足d·e=1 mod 96且小于96的d，因为 77×5=385=4×96+1，所以d为77。 因此公开钥为{5，119}，秘密钥为{77，119}。 设明文m=19，则由加密过程得密文为 C=195 mod 119≡2476099 mod 119=66 解密为6677mod 119=19
公钥密码体制公钥密码体制
首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
❖ 当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； ❖ 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
❖ 加密和解密使用两个不同的密钥 公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密 密钥
3.优点
❖ 密钥管理
加密密钥是公开的； 解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。 新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
❖ 数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
加密与解密由不同的密钥完成； 知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的； 两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算 法； 目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。
实际应用中的加密方式
❖ 混合加密技术 对称密码体制：密钥分发困难 公钥体制：加解密效率低 将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保 密功能相结合 利用对称加密算法加密传输数据 利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
椭圆曲线加密算法及实例分析
ｐ
果有，就有两个满足平方根运算的ｙ值（除非这个值是单个的ｙ值 零）。这些（ｘ，ｙ）值就是Ｅ （ａ，ｂ）中的点。
ｐ
（２）椭圆曲线上点的周期计算 ①选取椭圆上一点ｑ（ｘ ，ｙ ）；
００
②计算 ｑ＋ｑ＋…＋ｑ，使得 ｎｑ＝０ 成立的最小值 ｎ，若 ｙ ＝０，则 ０
此点无周期。 （３）检测 ｎ 是否是素数，如果不是，再回到第（２）步。 采用Ｍｉｌｌｅｒ－Ｒａｂｉｎ随机性素数测试算法：
56
２００４．１１
加 密 技 术
２．１ 椭圆曲线密码体制思想
选取基域 Ｆ ，选择一条椭圆曲线（ａ，ｂ，ｐ值给定），在Ｅ（Ｆ ）中
ｑ
ｑ
选一个周期很大的点，如选了一个点 Ｇ＝（ｘ ， ｙ ），它的周期为一
Ｇ
Ｇ
个很大的素数 ｎ，记为∏（ｐ）＝ｎ（ｎ 为素数）。在椭圆曲线密码体制
①将 ｎ－１ 表示为二进制形式 ｂ ｂ …ｂ ；
④依据 Ｂｏｂ 的公钥计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＧ（ｋ 个 Ｇ 相加）；
１
１
⑤计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＱ，如果 ｘ ＝０，则回到第③步；
２
２
２
⑥计算 Ｃ＝ｍ＊ｘ ； ２
⑦传送加密数据（ｘ ， ｙ ，Ｃ）给Ｂｏｂ。
１
１
（２）Ｂｏｂ的解密过程
（阶）。经过计算得 ｎ＝２２３。 经过上面算法的验证，得知 ｎ＝２２３ 是一个素数，所以点 ｖ 可
在用序列密码对媒体流加密时，网络数据包的大小可以根据 网络的需要来设定，与分组加密不同，这里需要考虑的仅仅是网 络传输的需求。
整个加密过程是：播放过程一旦开始，密钥流生成器就不断 地产生出密码序列，服务器也周期性地发送网络数据包。在数据 流化的过程中，将随机数序列与数据包中的明文序列进行逐位
果有，就有两个满足平方根运算的ｙ值（除非这个值是单个的ｙ值 零）。这些（ｘ，ｙ）值就是Ｅ （ａ，ｂ）中的点。
ｐ
（２）椭圆曲线上点的周期计算 ①选取椭圆上一点ｑ（ｘ ，ｙ ）；
００
②计算 ｑ＋ｑ＋…＋ｑ，使得 ｎｑ＝０ 成立的最小值 ｎ，若 ｙ ＝０，则 ０
此点无周期。 （３）检测 ｎ 是否是素数，如果不是，再回到第（２）步。 采用Ｍｉｌｌｅｒ－Ｒａｂｉｎ随机性素数测试算法：
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２００４．１１
加 密 技 术
２．１ 椭圆曲线密码体制思想
选取基域 Ｆ ，选择一条椭圆曲线（ａ，ｂ，ｐ值给定），在Ｅ（Ｆ ）中
ｑ
ｑ
选一个周期很大的点，如选了一个点 Ｇ＝（ｘ ， ｙ ），它的周期为一
Ｇ
Ｇ
个很大的素数 ｎ，记为∏（ｐ）＝ｎ（ｎ 为素数）。在椭圆曲线密码体制
①将 ｎ－１ 表示为二进制形式 ｂ ｂ …ｂ ；
④依据 Ｂｏｂ 的公钥计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＧ（ｋ 个 Ｇ 相加）；
１
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⑤计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＱ，如果 ｘ ＝０，则回到第③步；
２
２
２
⑥计算 Ｃ＝ｍ＊ｘ ； ２
⑦传送加密数据（ｘ ， ｙ ，Ｃ）给Ｂｏｂ。
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１
（２）Ｂｏｂ的解密过程
（阶）。经过计算得 ｎ＝２２３。 经过上面算法的验证，得知 ｎ＝２２３ 是一个素数，所以点 ｖ 可
在用序列密码对媒体流加密时，网络数据包的大小可以根据 网络的需要来设定，与分组加密不同，这里需要考虑的仅仅是网 络传输的需求。
整个加密过程是：播放过程一旦开始，密钥流生成器就不断 地产生出密码序列，服务器也周期性地发送网络数据包。在数据 流化的过程中，将随机数序列与数据包中的明文序列进行逐位
椭圆曲线公钥密码体制(ECC)
F2m上椭圆曲线的点的加法逆元
• P = (xP, yP)的加法逆元 -P = (xP, xP + yP) • P + (-P) = O • P+O=P
F2m上椭圆曲线不同的点的加法运算
P = (xP, yP) 。如果 P和 Q是不同的点并且P不等于 -Q, 则P + Q = R
s = (yP - yQ) / (xP + xQ) xR = s2 + s + xP + xQ + a yR = s(xP + xR) + xR + yP
F上的椭圆曲线 2m
定义： 对于曲线
y2 +xy= x3 + ax2 + b b不为0，a,b 属于 F2 m
的解的集合构成
F2m 上的椭圆曲线群。记为 E ( F m )
2
F2m上的椭圆曲线举例
• 作为一个简单的例子, 考略 F2 4 , 其上的不可约多项式为 f(x) = x4 + x + 1. • 元素g = (0010)是生成元. • g的幂为: g0 = (0001) g1 = (0010) g2 = (0100) g3 = (1000) g4 = (0011) g5 = (0110) g6 = (1100) g7 = (1011) g8 = (0101) g9 = (1010) g10 = (0111) g11 = (1110) g12 = (1111) g13 = (1101) g14 = (1001) g15 = (0001)
例题
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 点P=(g6,g8) 求点R=2P
信息安全技术 SM2椭圆曲线公钥密码算法 第4部分：公钥加密算法
算法参数与辅助函数 综述
1
公钥加密算法规定发送者用接收者的公钥将消息加密成密文， 接收者用自已的私钥对收到的密文进 行解密还原成原始消息。 3.2 椭圆曲线系统参数 椭圆曲线系统参数包括有限域 Fq 的规模 q(当 q = 2m 时，还包括元素表示法的标识和约化多项式)； 定义椭圆曲线 E(Fq)的方程的两个元素 a、b ∈Fq；E(Fq)上的基点 G = (xG, yG) (G ≠ O)，其中 xG 和 yG 是 Fq 中的两个元素；G 的阶 n 及其它可选项(如 n 的余因子 h 等)。 椭圆曲线系统参数及其验证应符合 SM2 椭圆曲线公钥密码算法第 1 部分第 4 章的规定。 3.3 用户密钥对 用户 B 的密钥对包括其私钥 dB 和公钥 PB=[dB]G。 用户密钥对的生成算法与公钥验证算法应符合 SM2 椭圆曲线公钥密码算法第 1 部分第 5 章的规定。 3.4 辅助函数 3.4.1 概述 本部分规定的椭圆曲线公钥加密算法涉及到三类辅助函数： 密码杂凑算法、 密钥派生函数和随机数 发生器。这三类辅助函数的强弱直接影响加密算法的安全性。 3.4.2 3.4.3 密码杂凑算法 密钥派生函数 本部分规定使用国家密码管理局批准的密码杂凑算法，如 SM3 密码杂凑算法。 密钥派生函数的作用是从一个共享的秘密比特串中派生出密钥数据。 在密钥协商过程中， 密钥派生 函数作用在密钥交换所获共享的秘密比特串上，从中产生所需的会话密钥或进一步加密所需的密钥数 据。 密钥派生函数需要调用密码杂凑算法。 设密码杂凑算法为 Hv( )，其输出是长度恰为 v 比特的杂凑值。 密钥派生函数 KDF(Z, klen)： 输入：比特串 Z，整数 klen(表示要获得的密钥数据的比特长度，要求该值小于(232-1)v)。 输出：长度为 klen 的密钥数据比特串 K。 a)初始化一个 32 比特构成的计数器 ct=0x00000001； b)对 i 从 1 到 ⎡klen / v ⎤ 执行： b.1)计算 Hai=Hv (Z || ct)； b.2) ct++； c)若 klen/v 是整数，令 Ha!⎡klen / v ⎤ = Ha ⎡klen / v ⎤ ， 否则令 Ha!⎡klen / v ⎤ 为 Ha ⎡klen / v ⎤ 最左边的 (klen d)令 K = Ha1 || Ha2 || ! || Ha ⎡klen / v ⎤−1 || Ha!⎡klen / v ⎤ 。 3.4.4 随机数发生器 本部分规定使用国家密码管理局批准的随机数发生器。 4 加密算法及流程
密码学中常用数学知识
定义Z 为小于n的所有非负整数集合 定义 n为小于 的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
4.1.4 费尔玛定理和欧拉定理
费尔玛定理： 费尔玛定理： 是素数， 是正整数且gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1， 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p • 证明： 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。 则 × 又因为a× 所以a× 又因为 ×0≡0modp,所以 ×(Zp-{0})=Zp-{0} 所以 即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1} (a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p × 因此： 因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp (p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p 与 互素 所以乘法可约律， 互素，
的公因子。 由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。 和 ， ， 是 和 的公因子 a,b以及 以及b,a mod b公因子集合相同，故最大公因子也相同。 公因子集合相同， 以及 公因子集合相同 故最大公因子也相同。 gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11 gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
第4章 公钥密码
密码学中常用的数学知识 公钥密码体制的基本概念 RSA算法 椭圆曲线密码体制
4.1.1 群、环、域
<G,*>的定义 的定义: 群<G,*>的定义
*为乘法时，称为乘法群 逆元（a-1） 为乘法时， 逆元（ ） 为乘法时 *为加法时，称为加法群 逆元（-a） 为加法时， 逆元（ ） 为加法时
5-8椭圆曲线密码
U htA (PB x2RB ) h(d A x1rA )(dBG x2rBG)=h(d A x1rA )(dB x2rB )G=(xU , yU )
V htB (PA x1RA ) h(dB x2rB )(d AG x1rAG)=h(dB x2rB )(d A x1rA )G=(xV , yV )
KB KDF(xV || yV || Z A || ZB ,klen) SB Hash(0x02 || yV || HASH (xV || Z A || ZB || x1 || y1 || x2 || y2 )) S2 Hash(0x03|| yV || HASH (xV || Z A || ZB || x1 || y1 || x2 || y2 ))
若 S 是无穷远点则报错并退出 4: kPB (x2 , y2 ) 5: t KDF (x2 || y2 ,klen)
若t全0返回1 6: C2 M t 7: C3 Hash(x2 || M || y2 ) 8: 输出M的密文C C1 || C2 || C3
解密算法
1: 验证C1是否满足椭圆曲线方程 2: S hC1
R e' x1' mod n r'
SM2之密钥交换协议
A、B协商密钥， 计算ZA、ZB、w ( log2 n ) / 2 1
阶为n的基点G=(xG , yG)，h 余因子，（dA , PA ）为A的公私钥对，（dB , PB ）为B的公私钥对
A
rA [1..n 1] RA rAG (x1 , y1)
密码学原理
椭圆曲线密码
椭圆曲线离散对数问题
SM2之数字签名算法
CONTENT
信息安全技术SM2椭圆曲线公钥密码算法
信息安全技术SM2椭圆曲线公钥密码算法1 范围GB/T XXXXX 的本部分规定了SM2椭圆曲线公钥密码算法涉及的必要数学基础知识与相关密码技术，以帮助实现其它各部分所规定的密码机制。
本部分适用于基域为素域和二元扩域的椭圆曲线公钥密码算法的设计、开发、使用。
2 符号和缩略语B MOV 阈。
正数B ，使得求取B q F 上的离散对数至少与求取q F 上的椭圆曲线离散对数一样困难。
deg ( f ) 多项式f (x )的次数。
E 有限域上由a 和b 定义的一条椭圆曲线。
E (F q ) q F 上椭圆曲线E 的所有有理点(包括无穷远点O )组成的集合。
ECDLP 椭圆曲线离散对数问题。
F p 包含p 个元素的素域。
F q 包含q 个元素的有限域。
F q * 由F q 中所有非零元构成的乘法群。
m 2F 包含m 2个元素的二元扩域。
G 椭圆曲线的一个基点，其阶为素数。
gcd(x , y ) x 和y 的最大公因子。
h 余因子，h=#E (F q )/n ，其中n 是基点G 的阶。
LeftRotate ( ) 循环左移运算。
l max 余因子h 的最大素因子的上界。
m 二元扩域F 2m 关于F 2的扩张次数。
mod f (x ) 模多项式f (x )的运算。
若f (x )是二元域上的多项式，则所有系数执行模2运算。
mod n 模n 运算。
例如，23 mod 7=2。
n 基点G 的阶(n 是#E (F q )的素因子)。
O 椭圆曲线上的一个特殊点，称为无穷远点或零点，是椭圆曲线加法群的单位元。
P P = (x P , y P ) 是椭圆曲线上除O 之外的一个点，其坐标x P ，y P 满足椭圆曲线方程。
P 1+P 2 椭圆曲线E 上两个点P 1与P 2的和。
p 大于3的素数。
q 有限域F q 中元素的数目。
a, b q F 中的元素，它们定义q F 上的一条椭圆曲线E 。
r min 基点G 的阶n 的下界。