椭圆曲线公钥在网络安全密码体系中的应用
计算机时代２０１３年第８期 ・ ２５ ・
椭圆曲线公钥在网络安全密码体系中的应用★
高建明
（浙江越秀外国语学院国际商学院，浙江绍兴３１２０００）
摘要：移动设备和无线设备的大量使用需要一种新的公钥密码方案，来适应这些设备在计算能力和带宽方面的限制，
同时要满足安全性级别的要求。椭圆曲线密码体制作为一种新兴的加密及身份认证技术，以其自身的多项特点，已从学
术理论研究阶段逐步走向实际应用阶段，成为目前最有前途的一种公钥密码体系，极有可能成为现存公钥密码体系ＲＳＡ
的替代者。椭圆曲线密码算法具有高安全性、低消耗、运算速度快的特点，具有良好的应用前景。文章对椭圆曲线方程、
算法的原理、加密算法、安全性进行了分析，实现了椭圆曲线公钥在网络Ｄｉｆｉｅ．Ｈｅｌｌｍａｎ密钥交换中的应用。
关键词：椭圆曲线；密码学；编码；密钥；安全性
中图分类号：ＴＰ３１ １ 文献标志码：Ａ 文章编号：１ ００６—８２２８（２０１ ３）０８—２５—０３
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｐｕｂｈｃ ｋｅｙ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｃｏｄｅ ｓｙｓｔｅｍ
Ｇａｏ Ｊｉａｎｍｉｎｇ
（Ｚｈｅｆｉａｎｇ Ｙｕｅｘｉｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｆｏｒｅｉｇｎ Ｌａｎｇｕａｇｅｓ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ，Ｓｈａｏｇｘｉｎｇ，Ｚｈｅｆｉａｎｇ ３１２０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｕｓｅ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ａｎｄ ｗｉｒｅｌｅｓｓ ｄｅｖｉｃｅｓ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａ ｎｅｗ ｐｕｂｌｉｃ ｋｅｙ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃ ｓｃｈｅｍｅ ｔｏ ａｄａｐｔ ｔｏ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｄｅｖｉｃｅｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ａｎｄ ｂａｎｄｗｉｄｔｈ，ａｎｄ ｔｏ ｐｒｏｖｉｄｅ ａｎ ａｄｅｑｕａｔｅ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｓｅｃｕｒｉｔｙ．Ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｎｒｖｅ ｃｏｄｅ ｓｙｓｔｅｍ，ａｓ ａ ｎｅｗ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ａｎｄ ａｕｔｈｅｎｔｉｃａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｈａｓ ｇｏｎｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｃａｄｅｍｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｓｔａｇｅ ｔｏｗａｒｄ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｓｔａｇｅ，ａｎｄ ｂｅｃｏｍｅｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｐｒｏｍｉｓｉｎｇ ｐｕｂｌｉｃ ｋｅｙ ｃｏｄｅ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ｒｅｐｌａｃｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ＲＳＡ ｐｕｂｌｉｃ ｋｅｙ ｃｉｐｈｅｒ ｓｙｓｔｅｍ．ＥＣＣ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｓｅｃｕｒｉｔｙ，ｌｏｗ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ，ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ａｎｄ ａ ｇｏｏｄ ｐｒｏｓｐｅｃｔ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｌｅｖｅｌｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．
Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｐｕｂｌｉｃ ｋｅｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｄｉｆｉｅ—Ｈｅｌｌｍａｎ ｋｅｙ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｉｓ ｒｅａｌｉｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ；ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ；ｅｎｃｏｄｉｎｇ；ｋｅｙ；ｓｅｃｕｒｉｔｙ
０引言
目前，大多数使用公钥密码学进行加密和数字签名的产品
和标准都使用ＲＳＡ算法。为了保证ＲＳＡ在使用中的安全性， 最近这些年来密钥设置的位数一直在增加，这对使用ＲＳＡ的应
用是一个很重的负担，近年来，出现了一种具有较强竞争力的
椭圆曲线密码学（ＥＣＣ），它对ＲＳＡ提出了挑战ｎ 。ＥＣＣ突出的
优点是可以使用比ＲＳＡ短得多的密钥，但却能得到相同的安全
性，因此在应用上可以大大减少运行负荷。
１椭圆曲线方程概述
１．１椭圆曲线方程
一般地说，椭圆曲线是由方程Ｙ ＋ｄｘｙ＋ｅｙ＝ｘ。＋ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ定义
的曲线，其中定义ａ，ｂ，Ｃ，ｄ，ｅ为系数，从数学上讲，椭圆曲线的
形状并非椭圆，之所以被称为椭圆曲线，是因为该方程右边的
多项式ｘ ＋ｒｄＸ。＋ｂｘ＋ｃ与椭圆曲线的积分有关。
现分析以下椭圆曲线类方程
ｙ２＝ｘ。＋ｂｘ＋ｃ。４ｂ ＋２７ｃ ≠０ 令Ｋ（ｂ，ｃ）为式（１）的椭圆曲线上所有（ｘ，Ｙ）的不同点组成的
集合。 这类椭圆曲线的特征是曲线上的点具有加法性质，一般可
用于构造交换群，交换群（Ｍ，＋）满足以下５个性质的代数结构，
其中Ｍ为集合，集合上元素的加法运算用符号“＋”表示。
（１）对任意Ｘ，Ｙ Ｍ，ｘ＋ｙ∈Ｍ，则满足集合上的封闭性。
（２）对任意Ｘ，Ｙ，ｚＥＭ，ｘ＋（ｙ＋ｚ）＝（ｘ＋ｙ）＋ｚ），则满足集合上的
结合性。 （３）单位元：存在０∈Ｍ，使得对任意Ｘ∈Ｍ，则ｘ＋０＝０＋ｘ＝０。
（４）逆元素：对任ｘ∈Ｍ，显然存在元素ｘ’∈Ｍ使ｘ＋ｘ’＝ｘ 十 ｘ。将ｘ’记为一Ｘ，并将ｘ＋（一ｙ）记为Ｘ—Ｙ。
（５）对任意Ｘ，Ｙ∈Ｍ，ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ，则满足集合上交换性。
在交换群中单位元称为零元。现令ｘ，Ｙ为椭圆曲线上的
任意一点，则有以下两种情形：
（１）当ｘ≠Ｙ时，可令Ｌ为连接这两个点的直线。若Ｌ不垂
直，则可以推出Ｌ一定与曲线上第三点相交，并且睢一。 （１） （２）当Ｘ：Ｙ时，可令Ｌ为曲线在点ｘ的切线。若Ｌ不垂直，
收稿日期：２０１３—５一ｏ３
基金项目：浙江省教育厅２０１ １年基金资助项目（ｙ２０１ １２２７２８） 作者简介：高建明（１９７５一），男，浙江绍兴人，硕士，讲ｔ３Ｎ／Ｎ络工程师，组要研究方向：计算机网络，网络安全，神经网络。
・ ２６ ・ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｒａ Ｎｏ．８ ２０１３
则Ｌ一定与曲线上的另一个点相交，且惟一。
在上面两种情形中，如果当Ｌ为垂直线时，则Ｌ和曲线不相
交。引进一个虚拟点Ｐ，假设它在无穷远处与Ｌ线相交。虚拟点
Ｐ设定为单位元的角色，称为零点，定义ｌ（．（ｂ，ｃ）＝Ｋ（ｂ，Ｃ）Ｕ｛Ｏ 。
对集合ｌ（Ｉ（ｂ，ｃ）上的点可以定义一个加法运算“＋”如下：
（１）对任意的Ｋ’（ｂ，Ｃ），令Ｘ＋０＝Ｘ。
（２）对任意的ｘ，ＹＥＫ（ｂ，Ｃ），如果ｘ≠Ｙ，若它们的ｘ坐标
相同，则根据椭圆曲线的性质，则ｘ和Ｙ与ｘ轴互为映像，即
ｘ＝（ｘ，Ｙ），Ｙ＝（ｘ，一ｙ）。令Ｘ＋Ｙ＝０，因此，一ｘ＝（ｘ，ｙ）。
（３）对任意ｘ，Ｙ Ｋ（ｂ，Ｃ），如果ｘ坐标不相同，定义Ｌ为经
过这两个点的直线，若Ｌ不是曲线的切线，则Ｌ必定与Ｋ（ｂ，ｃ）上
的惟一的第三点ｚ相交，设ｘ＋Ｙ—Ｚ，则Ｘ＋Ｙ是ｚ在ｘ轴上的映
像。如果Ｌ为点ｘ上的切线，可令ｘ＋Ｙ—Ｘ。如果Ｌ为在点Ｙ
上的切线，则可令ｘ＋Ｙ—Ｙ。
（４）对任意ｘ Ｋ（ｂ，Ｃ），令Ｌｘ为曲线在点ｘ上的切线，令Ｙ
为Ｌｘ与曲线相交的另一点，令ｘ＋ｘ—Ｙ。
可以证明（１（．（ｂ，Ｃ），＋）是一个交换群。为便于将传送的明
文编码，通常只考虑Ｋ（ｂ，ｃ）上的格点（ｘ，ｙ），通常也称为整数点，
即ｘ、Ｙ都是整数。
１．２离散椭圆曲线 令Ｐ为素数，设ＺＰ＝｛０，ｌ，…，ｐ—ｌ｝。如果（４ａ％２７ｂ ）ｒｏｏｄ
Ｐ≠Ｏ。 令Ｋｐ（ｂ，ｃ）：Ｋ（ｂ，ｃ）ｎ｛（ｘ，ｙ）ｌｘ∈Ｚ ，Ｙ∈Ｚ ），Ｋ’（ｂ，ｃ）＝Ｋｐ（ｂ，
Ｃ）Ｕ｛０｝。 在Ｋ ’（ｂ，ｃ）上定义一个加法运算“＋”，它的前两项分别与在
Ｋ’（ｂ，ｃ）上定义加法运算的前两项相一致，但在第３项和第４项
有一些区别ｍ 。这是因为曲线的交点与直线不一定是格点，对
于后两项的定义作如下的改动：
对于任意ｘ，Ｙ∈Ｋ （ｂ，ｃ），若它们的ｘ的坐标不同，则可以令
ｘ＋Ｙ＝（ｘ。，Ｙ。），其中Ｘ３＝（§ 一Ｘ］－Ｘ ）ｒｏｏｄ Ｐ，Ｙ３＝（§（ＸＩ—ｘ ）－ｙ ）
ｐＩ§： 删ｐ。
对于任意的ｘ：（ｘ，Ｙ）∈Ｋｐ（ｂ，Ｃ），令ｘ＋ｘ＝（ｘ ，Ｙ’），其中ｘ’＝
（§ 一２ｘ）ｍｏｄ ｐ，ｙ （§（ｘ－ｘ＇－ｙ）ｍｏｄ ｐ，§：兰 ｍｏｄ ｐ。 ｙ 从上式中可以证明（Ｋ ’（ｂ，Ｃ），＋）是一个交换群 。
如令ｐ＝２３，ｂ＝ｌ，ｃ＝０，则 。’（１，０）＝（１１，１０），（１１，１３），（１３，５），
（１３，１８），（１５，３），（１５，２０）。
２椭圆曲线的编码定义
用椭圆曲线将明文进行加密首先需要将明文Ｍ编码，使它
成为椭圆曲线上的一个整数点，从这个点上可惟一推算出明文
Ｍ 。但到目前为止仍不知道这种编码能否被多项式时间算法
所产生。不过，这种编码可以用概率算法产生，且速度较怏，尽
管概率算法不一定能保证总能生成一个编码，但可以证明这种
情况发生的几率是很小的 。
假设Ｎ是比Ｐ小的多的正整数。先令ｘ＝Ｎ，然后检查 ＋ ｂＮ＋ｃ是否等于模Ｐ下的整数平方 。如果不是，在Ｎ的末尾加
入和修改一些数字而得到一个新的整数Ｎ．，并且检查Ｎ。＋ＢＮ＋Ｃ 是否为模Ｐ下的整数平方，下面是一个概率编码的算法。
令 ＞０为一个非常小的数，使得（Ｎ＋１）￡＜ｐ，其中￡＝［一１０ｇ
］，现令ｘ＝Ｎ￡＋ｊ，其中０≤ｊ＜￡，Ｊ为整数。对每一个这样的整
数Ｊ（按从小到大的顺序）计算Ｙｊ＝ｘ／（Ｘ。＋ｂｘ＋ｃ）ｍｏｄＰ。若Ｙ＿是
整数，则用Ｐ ＝（ｘ，ｙ ）作为Ｎ的编码。否则对下一个Ｊ重复运算，
直到找到这样的Ｙ＿或￣ｌＪｊ＝￡为止。如果ｊ＝￡，则此算法失败ｍ 。
因为对于每个Ｊ，ｘ ＋ｂｘ＋ｃ不是整数平方的概率约为１／２。
因此，可以知道算法失败的概率为ｅ，给定Ｐｍ＝（Ｘ，ｙ），容易看出
Ｎ＝［ｘ／￡］，并称Ｙ为椭圆曲线编码参数。
女口令ｐ＝１７９，ｂ＝３，ｃ＝３４，￡＝ｉ５，贝０（４ｂ ＋２７ｃ ）ｍｏｄ ｐ＝１７４≠０。
从（Ｍ＋１）￡＜１７６得ｌ≤Ｍ≤１２，令Ｍ＝１０，则ｘ＝Ｎ￡＋１＝１５０＋
ｊ＝１５０＋ｊ，０≤Ｎ≤１５，当ｊ＝０时，得ｘ＝１５０，且（Ｘａ＋ｂｘ＋ｃ）ｍｏｄ ｐ＝
（１５０ ＋３．１５０＋３４）ｍｏｄ１７９＝８１＝９ 。 所以ｙ＝９，即Ｐ （１５０，９）是Ｎ＝１０在集合 （３，３４）上的编
码（这里设￡＝１５），因为［１５０／１５］＝１０，所以从点（１５０，９）可推算
出Ｎ＝１０［…。
３椭圆曲线加密算法的应用
３．１椭圆曲线加密算法
通常将椭圆曲线加密和解密算法分别简称为ＥＣＣ加密和
ＥＣＣ解密。
令Ｋ为任意大于ｌ的整数。对任意Ｘ∈Ｋ’（ｂ，Ｃ），令ｋＸ＝ｘ＋
（ｋ－１）ｘ，椭圆曲线对数问题指的就是从给定ｋ×Ｘ和Ｘ∈Ｋ’（ｂ，Ｃ）
求Ｋ的值，通常认为椭圆曲线对数问题没有快速算法，这个问
题就是研究椭圆曲线公钥体系的基础。
与Ｄｉｆｉｅ—Ｈｅｌｌｍａｎ密钥交换体系类似，椭圆曲线公钥体系
要求用户共享同一参数，首先选取参数Ｂ，Ｃ，Ｐ并构造模Ｐ下的
离散椭圆曲线Ｋｐ（ｂ，ｃ），然后在Ｋ （ｂ，ｃ）上选取一个Ｇ并选取编
码参数￡，共享参数是（ （ｂ，Ｃ），Ｇ，￡）ｎ 。
假设甲方拟设立椭圆曲线公钥体系的公钥和私钥，则甲方
椭圆曲线密码体制在VPN中的应用研究
第２４卷第３期
２００７年３月 计算机应用与软件
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｖ０１．２４．Ｎｏ．３
Ｍａｒ．２Ｏｏ７
椭圆曲线密码体制在ＶＰＮ中的应用研究
金兰芳 朱艳琴
（苏州大学计算机科学与技术学院江苏苏州２１５００６）
摘 要 先介绍了椭圆曲线密码体制，基于椭圆曲线密钥短、安全性高的特点，分析了椭圆曲线密码体制在ＶＰＮ中的应用，提出 了一种使用椭圆曲线数字签名（ＥＣＤＳＡ），还利用椭圆曲线密钥建立协议（ＥＣＫＥＰ）ＶＰＮ安全通道的方案，并给出了相应的算法。
关键词 椭圆曲线密码体制 ＶＰＮ ＩＰＳｅｃ 数字签名 密钥协商
ＳＴＵＤＹ ｏＮ ＡＰＰＬＩＣＡＴＩｏＮ ｏＦ ＥＬＬＩＰＴＩＣ ＣＵＲＶＥ ＣＲＹＰＴｏＧＲＡＰＨＹ ＩＮ ＶＰＮ
Ｊｉｎ Ｌａｎｆａｎｇ Ｚｈｕ Ｙａｎｑｉｎ
（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｓｏｏｃｈｏｗ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ Ｊｉａｎｇｓｕ ２１５００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖｅ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ（ＥＣＣ）ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｆｉｒｓｔｌｙ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｋｅｙ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｓｅｃｕｒｉｔｙ
ｏｎ ＥＣＣ，ｉｔ ａｎａｌｙｓｅｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ ｉｎ ＶＰＮ，ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｍａｋｉｎｇ ｓｅｃｕｒｅ ＶＰＮ ｃｈａｎｎｅｌｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ＥＣＤ—
ＳＡ ａｎｄ ＥＣＫＥＰ ｐｒｏｔｏｃｏｌ，ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ ＶＰＮ ＩＰＳｅｃ Ｄｉｇｉｔａｌ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｋｅｙ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法
密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，它涉及到加密、解密、认证和数据完整性等方面。在密码学中，数学方法被广泛应用于设计和分析各种加密算法。本文将介绍密码学中常用的数学方法，包括模运算、离散对数、椭圆曲线密码学等内容。
一、模运算
模运算是密码学中常用的数学方法之一。在模运算中，我们将一个数除以另一个数得到的余数作为结果。例如，对于整数a和b，a
mod b的结果就是a除以b的余数。模运算在密码学中被广泛应用于加密算法中，特别是在对称加密算法和公钥加密算法中。
在对称加密算法中，模运算常用于生成密钥流或伪随机数序列。这些密钥流或伪随机数序列可以用来对消息进行加密，从而保护信息安全。在公钥加密算法中，模运算则用于实现数字签名和密钥交换等功能，确保通信的安全性。
二、离散对数
离散对数是密码学中另一个重要的数学方法。在离散对数问题中，给定一个素数p、一个整数a和一个整数b，我们需要找到一个整数x，使得a^x ≡ b (mod p)。离散对数问题被广泛应用于公钥加密算法中，如RSA算法和Diffie-Hellman密钥交换算法。 在RSA算法中，离散对数问题被用来实现公钥加密和数字签名功能。RSA算法的安全性基于大整数分解和离散对数两个数学难题的困难性。在Diffie-Hellman密钥交换算法中，离散对数问题则用来实现双方在不安全信道上协商一个共享密钥的过程。
三、椭圆曲线密码学
椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学结构的密码学方法。椭圆曲线密码学具有很高的安全性和效率，因此被广泛应用于公钥加密算法和数字签名算法中。椭圆曲线密码学的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性。
在椭圆曲线密码学中，公钥由一个点P和一个基点G生成，私钥则由一个整数d生成。通过椭圆曲线上的点加法和标量乘法运算，可以实现加密和解密的过程。椭圆曲线密码学在移动设备和物联网等资源受限环境中具有很高的适用性。
椭圆曲线密码学算法原理与实现
椭圆曲线密码学算法原理与实现
椭圆曲线密码学算法是当前计算机安全领域中广泛使用的一种加密算法。与传统的RSA算法相比，椭圆曲线密码学算法具有较高的安全性和更短的密钥长度，同时也更加适用于小型设备和无线通信领域。本文将对椭圆曲线密码学算法的原理、优势以及实现进行介绍。
一、椭圆曲线密码学算法原理
椭圆曲线密码学算法是基于椭圆曲线运算的一种加密算法。在椭圆曲线上，可以定义加法和乘法等运算操作，从而构建出密钥系统。具体来讲，椭圆曲线密码学算法使用的是离散对数问题，即找到一个整数k，使得G=kP，其中G和P是椭圆曲线上的点，k是密钥。
在使用椭圆曲线密码学算法时，有两个关键要素，分别是公钥和私钥。公钥是任何人都可以获得的，而私钥只有信息发送者才能获得。当信息发送者需要发送加密信息时，会使用接收者的公钥对信息进行加密，接收者收到信息后再使用自己的私钥进行解密。这种方法可以保证信息在传输过程中不被他人窃取。
二、椭圆曲线密码学算法的优势
椭圆曲线密码学算法相对于传统的RSA算法，有以下的优势：
1. 更高的安全性。使用椭圆曲线密码学算法时，需要使用的密钥长度较短，但是却具有比较高的安全性。这是因为椭圆曲线操作比传统的大数因子分解更难以破解。
2. 适用于小型设备和无线通信领域。使用传统的RSA算法时，需要较长的密钥，这在小型设备和无线通信领域会造成很大的问题。而椭圆曲线密码学算法可以使用更短的密钥长度，可以在小尺寸的设备上使用，如智能卡和移动设备等。
3. 更高的运算速度。相比传统的RSA算法，使用椭圆曲线密码学算法进行加密和解密的运算速度更快，可以更加高效地完成加密解密操作。
三、椭圆曲线密码学算法的实现
椭圆曲线密码学算法的实现涉及到一系列的数学运算，包括椭圆曲线上的点的加法、乘法、求逆以及扩域操作等。下面简单介绍一下椭圆曲线密码学算法的实现过程。
1. 密钥的生成。在使用椭圆曲线密码学算法时，需要生成一对公钥和私钥。生成公钥时，需要选择一个椭圆曲线和基点，然后随机选取一个整数作为私钥。公钥就是基点乘以私钥所得到的结果。在实际实现中，可以通过随机数生成器生成私钥。
ecdsa算法原理
ecdsa算法原理
ECDSA（Elliptic Curve Digital Signature Algorithm，椭圆曲线数字签名算法）是一种基于椭圆曲线的公钥密码学算法，用于生成和验证数字签名。它在安全性、效率和资源需求方面具有很大优势，被广泛应用于现代密码体系中。
ECDSA的原理可以概括为以下步骤：
1.选择椭圆曲线：首先需要选择一个合适的椭圆曲线，这个曲线通常由一个有限域上的方程定义。常用的椭圆曲线有NIST、SECG等。
2.生成公钥和私钥：接下来，需要生成一个随机的私钥，并使用椭圆曲线上的离散对数运算生成对应的公钥。私钥是用户保密的，而公钥是公开的。
3.签名生成：当需要对一些消息进行签名时，首先需要计算消息的哈希值。然后，随机选择一个整数k，并计算椭圆曲线上的乘法k*G，其中G是椭圆曲线的基点。将乘法运算结果中的x坐标记为r。计算私钥和哈希值的乘积，并与r相加，然后对椭圆曲线阶数取余得到s。
4.签名验证：对于接收到的签名，需要验证签名的有效性。首先，需要计算消息的哈希值。然后，计算s的逆元r'。计算两个椭圆曲线上的点r*G和s*Q，并将它们相加得到一个点P。将P的x坐标与r进行比较，如果相等，则签名有效。
ECDSA的安全性基于椭圆曲线离散对数问题的困难性，即在有限域上寻找椭圆曲线上的点的离散对数是困难的。这意味着，即使知道公钥和签名，也很难找到对应的私钥，从而泄露签名者的身份。此外，ECDSA还具有较短的密钥长度和高效的运算速度，使其成为一种理想的数字签名算法。 ECDSA的应用非常广泛，例如在区块链技术中用于比特币和以太坊等加密货币的交易验证，确保交易的真实性和完整性。此外，ECDSA还可用于安全通信协议中的数字签名认证、身份验证和密钥交换等场景。
尽管ECDSA具有许多优点，但也存在一些潜在的安全风险。例如，使用弱曲线可能会导致私钥被轻松猜测出来。因此，在使用ECDSA时，选择合适的椭圆曲线参数和密钥长度非常重要。
椭圆曲线机制在移动电子商务安全认证中的应用
椭圆曲线机制在移动电子商务
安全认证中的应用
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◆ 章武媚 、２丁荣涛３（１、浙江工业大学杭州 ３１００２７ ２、浙江同 济科技职业学院 杭州 ３１ １２３１ ３、浙江商业职业技术学院 杭州 ３１（】（１５３） 中图分类号：Ｆ７２４．６ 文献标识码：Ａ 内容摘要：通过对椭圆曲线密码体系 结构和原理的研究，发现把椭圆曲线 密码体制和数字签名应用于移动电子 商务安全认证，就能进一步改善移动 终端资源有限、处理能力低、存储空间 小的局限，并在开发基于椭圆曲线机 制的移动电子商务安全认证模拟平台 上得到验证，取得了较好地效果。 关键词：椭圆曲线数字签名 移动电 子商务 随 着无线网络技术的发展，移动电子商务也得到了快速发展。在无线环境里，由于空中接口的开放， 若没有足够安全的措施和保障，商务活动 就很难进行开展。在移动电子商务环境中， 加密体系是由有线网络的公开密钥体系 ＰＫＩ（Ｐｕｂｌｉｃ Ｋｅｙ Ｉｎｆｒａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ）发展而来 的ＷＰＫＩ（Ｗｉ ｒｅＩ ｅ ｓ ｓ Ｐ ＵｂＩｉ Ｃ ＫｅＹ Ｉ ｎｆｒａｓｔｒｃｔｕｒｅ）技术，这些技术一般都对主 机（终端）资源有较高的要求，但移动电子 商务的无线终端却往往资源有限，处理能 力低，存储空间小，所以如何更好地处理 两者之间的矛盾，对移动电子商务活动的 顺利开展。就显得至关重要。 目前，对于信息的传输安全，主要采用 加密技术来保证。在多种加密方法中，大 整数因子分解系统（代表性的有ＲＳＡ）和椭 圆曲线离散对数系统（ＥＣＣ）被认为是目前 比较安全和有效的安全系统。但从密钥的 简单性、成本的低廉性、管理的简易性、算 法的复杂性、保密的安全性以及计算的快 速性等几个方面考察密码算法。椭圆曲线 密码体制是一种能适应未来通信技术和信 息安全技术发展的公开密码体制，它在运 算速度和存储空间方面占有很大的优势， 已成为目前应用领域的一个研究热点。 椭圆曲线密码体制 １９８５年，Ｋｏｂｌｉｔｚ和Ｍｉｌｌｅｒ提出用椭圆 曲线上有理点的加法群可以构造公钥密码 系统。椭圆曲线上的加密，它实际上是把 熟知的加密运算移植到椭圆曲线上。利用 椭圆曲线加密方法对传递的信息进行加密／ 解密，发送方首先要取得接收方的公开密 钥，利用公开密钥来对发送的信息进行加 密，接收方再利用自己的私钥来进行解密。 椭圆曲线密码（ＥＣＣ，Ｅ…ｐｔｉＣ ＣＵ ｒｙｅ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ）系统的安全性在于椭圆曲线 离散对教的难题，研究表明椭圆曲线离散 对数比乘法群上的离散对数问题更难，且 加法群上的运算比乘法群上的运算更快， 密钥长度比ＲＳＡ短得多。 假设Ｂ向Ａ传送信息。利用椭圆曲线 进行加密通信的过程如下： （１）用户Ａ选定一条椭圆曲线Ｅｐ（ａ， ｂ），并取椭圆曲线上一点，作为基点Ｇ。 （２）用户Ａ选择一个私有密钥ｋ，并生 成公开密钥Ｋ＝ｋＧ。 （３）用户Ａ将Ｅｐ（ａ，ｂ）和点Ｋ，Ｇ传给 用户Ｂ。 （４）用户Ｂ接到信息后，将待传输的明 文编码到Ｅｐ（ａ。ｂ）上一点Ｍ。并产生一个 随机整数ｒ（ｒ＜ｎ）。 （５）用户Ｂ计算点Ｃ１＿Ｍ＋ｒ Ｋ．Ｃ２＝ｒＧ。 （６）用户Ｂ将Ｃ１，Ｃ２传给用户Ａ。 用户Ａ接到信息后。计算Ｃ１一ｋＣ２，结 果就是点Ｍ。因为：Ｃ１一ｋＣ２＝Ｍ＋ｒＫ—ｋ（ｒＧ） ＝Ｍ＋ｒＫ—ｒ（Ｋ）＝Ｍ，再对点Ｍ进行解码就可 以得到明文。 根据ＥＣＣ系统具有加解密速度快，密 钥长度较短的特点，在提供同等安全性的 前提下，密钥长度较短、计算速度快、存 储空间占用少，能有效提高签名效率，减 小占用带宽。这些特点正好能够有效地解 决移动电子商务终端资源有限，处理能力 低，存储空间小和安全性能要求高的矛盾， 适合在移动电子商务中进行开发应用。 椭圆曲线数字签名方案 数据加密保证了文件的安全性，但对 发送人的身份却难以确定，那么怎样才能 确定这个安全传输的文件一定是所谓的发 传方传过来的，解决这个问题就需要数字 签名技术。数字签名是电子商务应用中最 重要的一个环节，能保证准确识别发送者 的身份。数字签名利用数学变换将把一份 明文信息映射成签名文件，是为了使接收 方能够向第三方证明其收到的信息的真实 性。数字签名是参与者身份的唯一证明，是 解决网络通信中安全问题的有效方法。数 字签名为防止第三方假扮通信的一方向另 一方发送信息，以及防止通信的一方伪造 信息并声称该信息不是自己发送的等问题 提供了有效的解决方案。基本协议是：用 户Ａ使用有其私钥的数字签名算法在信息 上签名；用户Ａ发文件给用户Ｂ；用户Ｂ使 用具有用户Ａ的公钥的数字签名算法来验 证签名。一个签名体制一般含有２个部分： 签名算法和验证算法，签名算法是保密的， 只有签名人掌握。验证算法公开。以便验 证。对任意长度的消息，经过散列函数 （ｈａｓｈ Ｊ处理。可以产生固定长度的散列 值。散列值可以称为信息的摘要（Ｄｉｇｅｓｔ）。 安全散列函数是（ＳＨＡ）是美国国家标准局 （ＮＩＳＴ）和国家安全局（ＮＳＡ）开发，用于数字 签名或其它需要对明文产生摘要的情况。 该算法的输入是长度小于２６４的消息，输 出是固定长度为１６０位的消息摘要，输入 消息以５１２位的分组为单位进行处理。然 后用签名算法对消息摘要进行签名。接收 方利用安全散列函数是（ＳＨＡ）计算接收到 的消息摘要。并与收到的摘要签名值进行 比较验证。 日匮圜 全国贸易经济类核心期刊
(完整版)椭圆曲线知识点总结(经典版)
(完整版)椭圆曲线知识点总结(经典版)
1. 椭圆曲线简介
椭圆曲线是一种特殊类型的曲线，可以用于加密和签名算法中。它的数学性质使得椭圆曲线加密成为一种强大且安全的加密方法。
2. 关键概念
2.1 椭圆曲线方程
椭圆曲线的方程一般形式为：y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是方程中的常数。
2.2 基点
基点是椭圆曲线上的一个固定点，用于构建密码算法中的公钥和私钥。
2.3 椭圆曲线运算
椭圆曲线运算包括点的加法和乘法操作。点的加法操作用于构建公钥，点的乘法操作用于构建私钥。
3. 椭圆曲线加密算法 3.1 密钥生成
在椭圆曲线加密算法中，首先需要生成公钥和私钥。公钥是基点经过多次乘法运算得到的点，私钥是一个随机生成的整数。
3.2 加密和解密
加密过程中，需要选择一个随机数作为加密的短期私钥，并使用公钥进行点乘操作。解密过程中，需要使用私钥进行点乘操作以还原加密文本。
4. 安全性和优势
椭圆曲线加密算法相较于其他加密算法具有更高的安全性和更小的密钥长度要求。其安全性取决于基点的选择和曲线参数的选取。
5. 应用领域
椭圆曲线加密算法广泛应用于网络通信、数字签名、支付系统等安全领域。
6. 总结 椭圆曲线是一种数学上的强大工具，其在加密和签名领域有着广泛的应用。了解椭圆曲线的基本概念和运算规则，可以帮助我们更好地理解和应用椭圆曲线加密算法。
椭圆曲线密码体制的应用和研究现状
第２１卷第１２期
２００６年１２月 乐山师范学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｅｓｈａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖｏ１．２１，Ｎｏ．１２
Ｄｅｃ．２０ｏ６
椭圆曲线密码体制的应用和研究现状木
户占良张建林
（首都师范大学信息工程学院，北京１０００３７）
摘要：基于代数曲线的椭圆曲线密码体制具有最高的位安全强度，是目前流行的公钥密码体制。椭圆曲线密码体制
被认为是经典的ＲＳＡ系统的最佳代替者，其安全性是基于有限域上椭圆曲线离散对数问题。本文介绍椭圆曲线密码体制
及在密钥交换、加密和数字签名方面的应用，并讨论了椭圆曲线密码体制在椭圆曲线选取、快速算法和明文嵌入的研究现
状，对未来的发展作了展望。
关键词：椭圆曲线密码体制；离散对数；数字签名
中图分类号：ＴＰ３０１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：ｌｏ０９—８６６６（２００６）１２—００９９—０３
１引言
根据密钥类型的不同，现代密码技术分为两类：对称
加密系统和非对称加密（公开密钥加密）系统。对称加密系
统是加密和解密均采用同一把密钥。非对称加密系统采用
不同的加密密钥和解密密钥，两者是独立的。对于非对称
加密系统，由于加密钥匙是公开的，密钥的分配和管理就
很简单，比如对于具有ｎ个用户的网络，仅需要２ｎ个密
钥。除了信息的加密解密外，还需要通过数字签名证明发
送者的身份。发送者用自己的私有密钥加密数据传给接收
者，接收者用发送者的公开密钥解密数据后，就可确定消
息的来源，同时发送者对所发信息无法抵赖。
自公钥加密问世以来，提出了许多种公钥加密方法，
它们的安全性都是基于复杂的数学难题。根据所基于的数
学难题来分类，有以下三类系统被认为是安全和有效的：
大整数因
子分解系统、椭圆曲线离散对数系统和离散对数系统【ｌ１。
一般来说，从密钥的简单性、成本的低廉性、管理的简易
性、算法的复杂性、保密的安全性以及计算的快速性等方
面来考察密码算法，椭圆曲线密码体制是一种能适应未来
eccp原理
eccp原理
ECCP原理：保障信息传输安全的核心技术
一、引言
随着信息技术的迅速发展，人们对于信息传输安全的需求也日益增加。在网络通信中，为了保护数据的机密性、完整性和可用性，各种加密算法被广泛应用。其中，ECCP（Elliptic Curve
Cryptography Protocol）作为一种基于椭圆曲线的加密协议，具有高效、安全的特点，被广泛应用于网络通信领域。
二、椭圆曲线密码学的基本原理
ECCP是建立在椭圆曲线密码学基础上的一种加密协议。椭圆曲线密码学是一种非对称加密算法，其基本原理是利用椭圆曲线上的离散对数问题来实现加密和解密操作。在椭圆曲线上，每个点都有一个对应的私钥和公钥。私钥用于生成数字签名或加密数据，公钥用于验证签名或解密数据。
三、ECCP的优势
相较于传统的RSA算法，ECCP具有以下优势：
1. 安全性高：ECCP使用的离散对数问题难度较大，攻击者难以通过破解私钥来获取信息，从而保障了数据的安全性。
2. 算法效率高：由于椭圆曲线的特殊性质，ECCP在相同的安全性要求下，所需的计算量较小，加密、解密和签名速度都较快。 3. 存储空间占用小：ECCP所需的密钥长度相对较短，占用的存储空间较少，适合于资源受限的设备。
四、ECCP的应用领域
ECCP广泛应用于各个领域，包括但不限于：
1. 互联网通信：ECCP可用于保护网站的数据传输安全，防止信息被窃取或篡改。
2. 移动通信：ECCP可用于手机、平板等移动设备的数据加密，确保用户通信的机密性。
3. 电子支付：ECCP可用于保护电子支付过程中的敏感信息，防止支付信息被篡改或泄露。
4. 物联网：ECCP可用于物联网设备之间的安全通信，保护物联网系统的安全性和隐私性。
5. 电子政务：ECCP可用于政府机构的信息安全保障，防止政务信息的泄露和篡改。
五、ECCP的发展趋势
随着信息技术的不断进步，ECCP也在不断发展和完善。目前，一些新的ECCP算法已经提出，如基于超椭圆曲线的ECCP算法、基于哈密顿曲线的ECCP算法等，这些算法在安全性和效率上都有所提升。此外，随着量子计算机的发展，ECCP也面临一定的挑战。量子计算机可能会破解传统的非对称加密算法，因此，研究人员正在探索基于量子力学的ECCP算法，以应对未来的安全挑战。
椭圆曲线密码体制安全性分析
椭圆曲线密码体制安全性分析
李殿伟;王正义;赵俊阁
【摘 要】Elliptic curve cryptosystem has becoming the popular public-key
cryptosystem gradually,thus it is important for us to comprehend its
security state. Firstly, it has researched the definition of ECC and ECDLP.
And then according to the selecting of elliptic curve as well as the
application and the disverfied attacks of elliptic curve cryptosystem, the
security analysis of elliptic curve cryptosystem was proposed in detail.
Compared with other public-key cryptosystem,conclude that elliptic curve
cryptosystem wiil be popularity in the future for the characters of short key,
high security, fast encryption, little computation and small storage space.
Therefore elliptic curve cryptosystem has important theoretical value and
wide application prospect.%椭圆曲线密码体制已成为当前最流行的公钥加密体制.为明确椭圆曲线密码的当前总体安全形势,首先研究椭圆曲线的定义及椭圆曲线离散对数问题,然后分别从安全椭圆曲线的选择方法、椭圆曲线密码的应用和针对椭圆曲线密码的攻击等几个方面,着重分析了椭圆曲线密码的安全性问题.根据与其它公钥密码体制的安全强度分析比较表明:椭圆曲线密码体制具有许多优点,主要包括密钥短、安全强度高、加密快、运算量小、占用存储空间少等.因此椭圆曲线密码体制的研究具有重要的理论价值和广阔的应用前景.
椭圆曲线密码体制的研究与应用
第２４卷第３期 ２０１０年９月 山西师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．３ Ｓｅｐｔ．２０１０
文章编号：１００９－４４９０（２０１０）０３－００１３－０５
椭圆曲线密码体制的研究与应用
户占良
（菏泽学院现代教育技术中心，山东菏泽２７４０１５）
摘要：自１９８５年Ｋｏｂｌｉｔｚ Ｎ和Ｍｉｌｌｅｒ各自独立提出了椭圆曲线密码体系以来，椭圆曲线密码体系逐步 成为一个令人十分感兴趣的密码分支．在椭圆曲线上实现各种已知的密码体制已是公钥密码学领域的
一个重要课题．与其他公钥密码体制相比椭圆曲线密码体制具有密钥短、强度高、参数少等优势．椭圆曲 线密码体制在密钥交换、加密、数字签名、电子商务和ＰＫＩ／ＣＡ认证方面的应用越来越广泛，椭圆曲线密 码体制有望成为取代ＲＳＡ的下一代公钥密码体制． 关键词：椭圆曲线密码体制；ＥＣＤＳＡ；ＰＫＩ；ＣＡ 中图分类号：ＴＰ３９３．０８ 文献标识码：Ａ
ｌ 椭圆曲线密码数学基础
１．１椭圆曲线数学理论 １．１．１ 椭圆曲线概念椭圆曲线密码体制的数学原理涉及到群、环、域概念．椭圆曲线的研究来源于椭圆
积分：
ｆ— （１） Ｅ（ ） 这里，Ｅ（ ）是 的二次多项式或四次多项式．这样的积分不能用初等函数来表达，为此引入了所谓椭圆函
数．
椭圆曲线是由三次方程维尔斯特拉斯（Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ）方程 Ｅ：）， ＋ ｌ戈ｙ十ａ３ｙ＝戈 ＋Ｏ，２Ｘ ＋ＣＩ．４．Ｔ，＋口６ （２）
所确定的平面曲线． 是一个域，可以是有理数域或复数域，还可以是有限域¨ ．０ ∈Ｋ， ＝１，２，…，６，且
△≠０，△是Ｅ的判别式，具体定义如下： △＝一ｄ２２ｄ８—８ｄ 一２７ｄ：＋９ｄ２ｄ４ｄ６
其中，ｄ２：０ ＋４口２，ｄ４＝２ａ４＋０１口３，ｄ６＝口；＋４ａ６，ｄ８＝。２１。６＋４ａ２ｎ６一口１口３口４＋０２０ 一ｎ ．