最新13椭圆曲线密码体系
椭圆曲线密码(ECC)加解密算法的实现
毕业论文论文题目椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现学生姓名学号院别数学与信息科学学院专业信息与计算科学班级指导教师完成时间 2011 年 04 月椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现摘要本文首先介绍椭圆曲线密码体制(ECC)；并简明地给出了椭圆曲线的定义；接着以ElGamal公钥体制的ECC加解密的实现为例具体说明了其实现流程；最后分析了实现结果，安全性能和概述了ECC的发展现状，并对其未来的发展作了展望.关键词椭圆曲线密码；公钥密码，数字签名1引言随着政府部门和行业对网络环境和网络资源依赖程度的增强,涉及国家安全和社会公共安全的所有重大问题都在网络上表现出来. 为了确保信息的保密性，完整性，可用性，可控性，避免国家或个人的信息受到非法获取，破坏，篡改等形式的威胁，人们便提出了用密码技术来保障以电子形式保存或传送的数据. 1985年，N. Koblitz和V. Miller分别独立提出了椭圆曲线密码体制 (ECC)，这是一种高安全性，高效率的公钥密码体系，它在密钥强度，加解密的处理速度和存储开销上都有着明显的优势. 采用椭圆曲线密码技术使密钥协商协议可充分利用椭圆曲线密码的优势，在更小密钥量下提供了更大的安全性，所需带宽明显减少，而且还大大降低了用户端的计算负担和存储要求.2椭圆曲线密码体制2.1密码体制的含义密码体制分为对称密码体制和非对称密码体制．非对称密码体制是指在加密过程中，密钥被分为一对．这对密钥中的任何一个密钥都可以作为公开密钥通过非保密方式向他人公开, 而另一把作为私有密钥加以保存. 这对密钥具有这样一个特点: 当知道密钥对中的一个密钥时, 要检测出另一个密钥, 在计算上是不可能的. 公开密钥用来对信息进行加密, 则私有密钥用来对信息进行解密, 反之亦然. 在这个系统中, 每个通信实体都有一个加密密钥和一个紧密相关的解密密钥．通信的双方只要知道对方的公钥，就可以进行安全的通信．2.2 椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制，即基于椭圆曲线离散对数问题的各种公钥密码体制. 最早由Miller和Koblitz [1] 于1985年分别独立地提出. 它是利用有限域上椭圆曲线的有限点群代替基于离散对数问题密码体制中的有限循环群所得到的一类密码体制. 对于椭圆曲线密码系统（ECC）的安全性，其数学基础是计算椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性[2] . 一般来说，ECC没有亚指数攻击，所以它的密钥长度大大地减少，256bit的ECC密码体制成为目前已知公钥密码体制中每位提供加密强度最高的一种体制.3.椭圆曲线的定义所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯 (Weierstrass)方程:所确定的平面曲线[1]．若F是一个域,满足方程的数偶称为域F上的椭圆曲线 E的点. F域可以是有理数域, 也可以是复数域, 还可以是有限域. 椭圆曲线通常用 E 表示.4.ECC算法的设计思想设, 称为Weierstrass多项式. 当在任意点P成立, 则椭圆曲线称为光滑的或非奇异的. 若E是定义在有限域Fq上的椭圆曲线且其(p为素数), 这样的p称为有限域Fq的特征值. E中恰好有一个Z坐标为0的点(0, 1, 0), 我们称它为椭圆曲线的无穷远点, 用O表示. 椭圆曲线上有理点的个数称为该椭圆曲线的阶, 若亦表示椭圆曲线的阶, 则由(其中), 即Hasse定理. 如果椭圆曲线E定义在域Fq上, 其特征值不等于2和3, 则E 的Weierstrass等式可以简化, 做变换, 进而Weierstrass等式变换为, 其中, 判别式, 此式为椭圆曲线的一般形式. 若令, 则等式变为.根据椭圆曲线进行加密通信的过程：1) 用户A选定一条椭圆曲线，并取椭圆曲线上一点, 作为基点G.2) 用户A选择一个私有密钥k, 并生成公开密钥.3) 用户A将和点K, G传给用户B.4) 用户B接到信息后, 将待传输的明文编码到上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r ( r < n ).5) 用户B计算点.6) 用户B将C1、C2传给用户A.7) 用户A接到信息后，计算, 结果就是点M, 即明文.因为再对点M进行解码就可以得到明文. 密码学中，描述一条上的椭圆曲线，常用到六个参量：,其中p、a、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分[3].5. 椭圆曲线参数的选取和基点的确定5.1 选取参数和确定基点的理论分析在基于椭圆曲线的加解密和数字签名的实现方案中，首先要给出椭圆曲线域的参数来确定一条椭圆曲线. 但并不是所有的椭圆曲线都适合加密，是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类. 下面我们就选用作为我们的加密曲线. 这条曲线定义在Fq上: 两个满足下列条件的小于p (p为素数) 的非负整数a、b:则满足下列方程的所有点，再加上无穷远点∞，构成一条椭圆曲线.其中 x, y属于0到p - 1间的整数，并将这条椭圆曲线记为.参数p的选取：p当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求，我们将p取为200比特位的素数.参数a、b的选取: 先随机产生小于p - 1的正整数作为参数a, 然后依据条件，判断随机产生的小于p - 1的正整数是否适合作为参数b.基点的确定：随着参数a, b, p确定，这条曲线就定下来了. 先随机产生0到p - 1间的整数作为基点x坐标，计算的结果再开方就得出基点y坐标.5.2 选取参数和确定基点的具体程序实现具体程序实现如下：……{//GetPrime(b,40); //先随机产生一个参数Bmp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break; //满足条件跳出循环}}//, 随机产生X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30); // 随机产生30比特长的X坐标mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1); // 得到Y坐标……私钥的确定：随机选取1到P - 1之间的素数作为私钥d.公钥的确定：由d 乘我们所确定的基点得到公钥K，即.6. 椭圆曲线密码的算法6.1 椭圆曲线密码算法的特点6.1.1 离散性密码算法需要的是离散值的定点运算，而不是连续值的浮点运算，在密码算法中不允许舍入.6.1.2 大数运算密码算法往往是大数运算，椭圆曲线密码体制要求160位的大数运算，但现有微机的CPU最多只支持64位的运算.1) 要求大容量的数据存储.密码运算通常都要利用大容量的数据表，即用空间来换取时间上的加速. 这就要求运算部件具有大容量的存储.2) 包含大量的并行性.6.2 椭圆曲线密码体制中的有关计算6.2.1 椭圆曲线密码体制中的运算类型作为公开密钥算法的一种，椭圆曲线密码体制要用到点乘、点加、模乘、模加、模逆、模幂这些基本运算，它们的执行速度直接决定着椭圆曲线的加密速度. 为了提高它们的速度，可从以下两方面考虑：(1) 采用高速的算法.(2) 实现算法的并行性(以便在硬件设计中利用多处理器进行并行运算):1) 大数乘、大数取模属于整数域上的运算;2) 模加、模乘、模逆、模幂属于有限域上的运算;3) 点加和点乘属于椭圆曲线的点加群上的运算.6.2.2 简述椭圆曲线的点加和纯量乘法由于本人能力有限，短时间内很难做出一些深层次的研究和探讨，因此只能在这里做一点表面文章. 所以本文在这一部分就结合前面对有关大数计算算法进行的阐述，做一些力所能及的事情. 对于一般的椭圆曲线方程,设点,和的坐标.的计算公式如下:,,其中.当P ≠ Q时，.当P = Q时, 对于椭圆曲线方程, 上述的公式变为:,,其中当P ≠ Q时,.当P=Q时, 由上述运算公式, 可以得出点积mP的运算, 即mP = P + P + … + P, 共m个P相加, 这里m∈N.6.3椭圆曲线的点积的具体程序算法设m的二进制表示为，其中, Q = P, 从左到右依次计算:for( i = n - 2 to 0){ Q = 2Q;if(==1) Q=Q+P；}则Q=mP.Return;函数原形为：bool Ecc_points_mul(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px, mp_int*py, mp_int*d, mp_int *a,mp_int *p)成功返回true.int Two_points_add(mp_int*x1, mp_int*y1, mp_int*x2, mp_int*y2, mp_int*x3, mp_int *y3, mp_int *a, bool zero, mp_int*p)成功返回1.7.加密文件的读入与输出7.1椭圆曲线的加密体制在Diffe-Hellman公钥系统体制中,具体的椭圆曲线、曲线上点P及P的周期大素数N都是公开信息.A和B要进行通讯,首先得到椭圆曲线E、点P及素数N. 然后用户A将[1, N-1]中随机选取的整数a作为私钥, A将作为自己的公钥传送给用户B, 与此同时B将 [1, N-1]中随机选取的整数b作为私钥, 并将作为自己的公钥传送给A. A、B各自将自己的私钥点乘于对方传过来的公钥得到, 这样就完成了密钥的交换过程．当用户A需要将待传数据m传送给用户B时, A 利用m和生成, 当用户B得到后, 利用密钥交换过程自己生成的和从用户A处得到的加密数据生成数据m.见下图[5]：7.2加密文件的读入与输出的具体程序实现mp_digit只用28比特，因此一个单元最多可存放三个半字节. 为充分利用存取空间，采用一个单元放三个半字节.7.2.1函数putin()的实现函数putin()的实现的作用: 将明文的二进制比特串赋给mp_int数a. 主要循环部分及说明如下：// chlong为要存入的字符数组长for(j=0; j<<="(mp_digit)CHAR_BIT;" *temp 存入字符 255); 左移8位存入高8位并向左移8位，以便放入下一个字符 temp跳过前一个单元，先存入后一单元 *++temp 每次跳七个字符 i + ="7"; 的两个单元中以7个字符为单元循环，把七个字符放入的mp_int 7; j++){(>> 4); //存放被切分的字符的高四位，temp跳回前一个单元//存入第一单元*temp |= (mp_digit) (ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位yy=(mp_digit)15;*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //向左移8位，以便放入下一个字符*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);//存放被切分的字符的低四位，temp跳到后一个单元temp++; //再向后跳一单元，这样和下次的++temp实现每次循环跳两个单元}函数原型为：int putin(mp_int*a, char*ch, int chlong)成功返回0．7.2.2函数chdraw( )的实现函数chdraw()实现将mp_int数a中的比特串还原为字符串并赋给字符串ch： chdraw和putin是相反过程，将putin存入字符的过程反过来取出字符.函数原型为：int chdraw(mp_int* a, char*ch)成功返回0．8.密文的存取和读入此过程难点是如何保证存入文件后，再从文件中读取密文并存入mp_int型数后，和原存放密文的mp_int型数不能有一个比特位的改变.存取时先存 *mp->dp的最高8位，再依次往下存后面3个8位. 依据 *mp->dp的特点，最高8位为0000xxxx，因此，可将255作为一个密文段的结束标志，把前一密文段和后一密文段区分开. 这样在密文文件中，密文的存取结构为：0000xxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|0000xxxx|……|11111111|0000xxxx|xxxxxxxx|…..0字节 1字节 2字节 3字节 4字节 4x字节下一加密段 x为1或0利用fgetc每次读取一个字符，并赋值给一个字符数组. 当a[i]=255，且i%4=0时截止.读出之后赋值就简单了.存密文：int chmistore(mp_int*a, FILE*fp) 成功返回0把密文赋给mp_int型数a: int miwendraw(mp_int*a, char*ch, int chlong) 成功返回0.9. ECC加密的实现9.1 ECC加密实现的理论依据加密时因P长度取值为200比特，所以所取明文长度应在0到199比特之间，另外需要一个附加的标志字节char(255)，所以一次取明文最大长为191比特. 在本程序中一次取20字节. 和RSA不同，ECC运算是基于点的运算. 一个点有两个参数，一个X坐标，一个Y坐标. 所以取明文时需一次取两段，前一段做X坐标，后一段做Y坐标. 因此，一次加密明文为40字节. 由于每次加密要取两段，引发了另外一个问题：当加密文件末尾所剩明文长度小于20字节时的处理. 在本程序中，我们的解决是将剩余明文取作X，而将Y取作0，且不加标志字节char(255)，这样解密时，程序在Y中找不到标志字节char(255)，就不会往解密文中存任何东西.取得明文后，产生一个随机整数r, 计算点；. 将点、坐标,,,依次存入密文文件[6].9.2 ECC加密的具体程序实现for(i=0; i 0) // Residue为剩余字符数{if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1, Residue, fp); //读入字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1); //文件存入mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp); //读入字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp); //读入字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1); //文件存入putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1); //文件存入}//加密Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p); //C2=rGEcc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p); // rKTwo_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p); // C1=M+rK//保存密文chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}函数原型为：void Ecc_encipher(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px,mp_int*py, mp_int*a, mp_int*p);10.ECC解密的实现10.1ECC解密实现的理论依据解密时，依据存密文时放入的结束标志255，读入密文. 依次取4段, 调用miwendraw将密文存入mp_int型数中，还原为加密时存入的点C1和C2坐标c1x, c1y, c2x, c2y. 依据. 计算(d为私钥)，得到明文点坐标,. 其中两点减的计算可如下：；计算完毕后调用chdraw取出mp_int中的明文比特串，依次存入解密文件中，完成解密[6].10.2 ECC解密的具体程序实现while(!feof(fp)){//取C1点X坐标i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;}i++;}L1: miwendraw(&, stemp, i); //取其他坐标Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &, &, k, a, p); // 计算mp_neg(&tempy, &temp); // -Q=（X，-Y）Two_points_add(&,&, &tempx, &temp, &, &, a, zero, p);int chtem;chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(int kk=0;kk < chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(kk=0; kk < chtem; kk++){fprintf(fq, "%c", stemp[kk]);}}函数原型为：void Ecc_decipher(mp_int*k, mp_int*a, mp_int*p);11. 测试结果及分析为验证系统的加密解密功能,对系统进行了如下测试:测试环境Intel p4; CPU 1.5G; 256M RAM; Windows XP DEV - C++测试结果利用系统对文本文件、BMP、WORD、EXCEL、EXE等文件进行加密，然后解密. 验证结果表明,给定的明文经系统加密后再解密的结果完全一致, 没有一个比特的偏差，较好的实现了ECC的功能.12．结束语目前，国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是 1985年 Koblitz和Miller分别独立提出的建立在椭圆曲线上的离散对数难题基础上的椭圆曲线密码体制（ECC）. 经过长期的理论研究和科学实践，ECC得到了迅猛的发展. 现在椭圆曲线密码体制不仅是一个重要的理论研究领域，而且已经从理论研究转化为实际可用的密码算法，促使民用安全技术走向产业化. 当前，国内外很多生产密码产品的公司都在致力于ECC产品的开发. 椭圆曲线加密算法ECC的安全性，是基于计算有限域上椭圆曲线点集所构成的可交换群上定义的离散对数的困难性. 该算法具有安全性能高，计算量小，处理速度快，存储空间占用小和带宽要求低等特点，已在强调速度的领域如PDA，手机，智能卡等方面得到应用.参考文献：[1] 杨超, 高海燕. 椭圆曲线密码体制理论与其安全性研究[J]电脑知识与技术, 2006,(17).[2] 孙跃刚. 椭圆曲线密码体制中若干问题的研究[D]. 吉林大学 2009. [3] 于彬. 椭圆曲线密码算法的研究与实现[D]. 沈阳工业大学.[4] 王庆先. 有限域运算和椭圆曲线数乘运算研究[D]. 电子科技大学2006.[5] 李学俊. 基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码及其算法研究[D].[6] 杨君辉, 戴宗铎, 杨栋毅, 刘宏伟. 关于椭圆曲线密码的实现[J]通信技术,2001(06).On the Realization of the Elliptic Curve Encryption Algorit hmYan MeitingAbstract: In this paper, we first introduce the elliptic curve encryption algorithm, then give the definition of the elliptic curve briefly. The ElGamal public encryption system is based on the elliptic curve theory, and we analyze the process and the security of this encryption system. At last we realize it in c++ and offer the source code.Keywords: elliptic curve encryption algorithm; public-key password, digital signatures。
椭圆曲线密码体制在VPN中的应用研究
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ
Ｅ ｌ ｔ ｕ ｖ ｒｐｏｒｐ ｙ Ｅ Ｃ）ｉ ｉｔ ｄ ｃ ｄｆ ｓｌ ｎｔｉ ｐ ｐ ｒ ａｅ ｎｔｅｃ ａａ ｔｒ ｔ ｆｓｏｔ ｅ ｎ ｉｈｓｃ ｒｔ ｌ ｐｉ Ｃ ｒｅ Ｃ ｙ ｔｇａ ｈ （ Ｃ ｉ ｃ ｓ ｎｒ ｕ ｅ ｒｔ ｉ ｈｓ ａ ｅ ，ｂ ｓｄｏ ｈ ｈ ｒｃｅ ｓｉ ｏ ｈ ｒ ｋ ｙａ ｄｈｇ ｅ ｕ ｙ ｏ ｉ ｙ ｉ ｃ ｉ
了一种使用椭 圆曲线数 字签 名（ Ｃ Ｓ ， Ｅ Ｄ Ａ） 还利用椭 圆曲线 密钥建 立协议 （ Ｃ Ｅ ） Ｐ Ｅ Ｋ Ｐ Ｖ Ｎ安全通道 的方案， 并给 出了相应 的算法。
关 键 词 椭 圆 曲线 密码 体 制 Ｖ Ｎ ＩＳｃ 数 字 签 名 密钥 协 商 Ｐ Ｐ ｅ
ＳＴＵＤＹ ｏＮ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＩ ｏＮ ｏＦ ＥＬＬＩ ＰＴＩ ＣＵＲＶＥ Ｃ ＣＲＹＰＴｏＧＲＡＰＨＹ Ｎ Ｉ ＶＰＮ
椭 圆 曲线 密 码 体 制在 Ｖ Ｎ 中的 应 用 研 究 Ｐ
金兰芳 朱艳琴
（ 苏州大学计算机科学与技术学院 江苏 苏州 ２５ ０ ） １０ ６
摘 要
先介绍 了椭 圆 曲线密码体制 ， 基于椭 圆曲线 密钥短 、 安全性 高的特 点， 分析 了椭 圆 曲线 密码体 制在 Ｖ Ｎ中 的应用 ， 出 Ｐ 提
网的连接 ， 确保 对信息 的安全传输 和数据 的完整性 、 机密性 ， 提 高企业的运营效率 。 基于 ＩＳｃ的 Ｖ Ｎ技术 ， Ｐｅ Ｐ 提供 主机级身 份鉴别机制 和保密 机制。ＩＳｃ的身份鉴别机 制主要 有基 于共享 密钥和 基于 公钥 Ｐｅ 的身份 鉴别两种方案 ， 中基于 公钥 的身份鉴 别主要 用到 Ｒ Ａ 其 Ｓ
推荐使用 ３ ７ ０ ２比特 的 Ｒ Ａ密钥 ， Ｓ 而对 Ｅ Ｃ来说 ，５ Ｃ ２ ６比特就可
椭圆曲线密码总结大全
椭圆曲线密码概述：椭圆曲线密码学（ECC, Elliptic curve cryptography ）是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码的方法。
1985年，Neal Koblitz 和Victor Miller 分别独立提出了椭圆曲线密码体制(ECC)，其依据就是定义在椭圆曲线点群上的离散对数问题的难解性。
引言：ECC 被广泛认为是在给定密钥长度的情况下，最强大的非对称算法，因此在对带宽要求十分紧的连接中会十分有用。
ECC 的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA ——提供相当的或更高等级的安全。
ECC 的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil 对或是Tate 对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。
不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长。
国家标准与技术局和ANSI X9已经设定了最小密钥长度的要求，RSA 和DSA 是1024位，ECC 是160位，相应的对称分组密码的密钥长度是80位。
NIST 已经公布了一列推荐的椭圆曲线用来保护5个不同的对称密钥大小(80, 112, 128, 192, 256)。
一般而言，二进制域上的ECC 需要的非对称密钥的大小是相应的对称密钥大小的两倍。
椭圆曲线密码学的许多形式有稍微的不同，所有的都依赖于被广泛承认的解决椭圆曲线离散对数问题的困难性上，对应有限域上椭圆曲线的群。
引理及有关概念：（1） 无穷远元素（无穷远点，无穷远直线）平面上任意两相异直线的位置关系有相交和平行两种。
引入无穷远点，是两种不同关系统一。
AB ⊥L1， L2∥L1，直线AP 由AB 起绕A 点依逆时针方向转动，P 为AP 与L1的交点，如图1。
Q=∠BAP →π /2则AP → L2，可设想L1上有一点P ∞，它为L2和L1的交点，称之为无穷远点。
直线L1上的无穷远点只能有一个（因为过A 点只能有一条平行于L1的直线L2，而两直线的交点只能有一个）。
椭圆曲线密码体制的研究与实现
西安电子科技大学硕士学位论文椭圆曲线密码体制的研究与实现姓名：李德庆申请学位级别：硕士专业：电路与系统指导教师：李小平20080101第三章有限域算法的实现第三章有限域算法的实现素域结构简单，元素的表达也比较方便，在其上也有很多比较成熟的算法，比较适合软件实现。
在这样的域中，主要问题通常是模素数的大数运算。
而在有限域ＧＦ（２”）中，元素都是一定长度的Ｏ和１的比特串，特别符合硬件中对元素的表示，而当采用最优正规基来表示域元素的时候，可以充分地利用移位运算，元素的运算是十分高效的，所以，我们这里采用基于最优正规基的二进制有限域来实现椭圆曲线密码体制。
３．１加法运算有限域ＧＦ（２”）的加法运算，就是对元素的二进制表示序列按位进行异或运算。
输入数据：口，６ＥＧＦ（２”），输出数据为ｃ∈ＧＦ（２４），利用异或门来实现，利用ＶｃｒｉｌｏｇＨＤＬ描述就是简单的语句，ｎ船ｉ｛弘ｃ＝口“６；，生成运算模块如图３．１所示，其运算几乎不占用时钟周期。
因为对于域元素来讲，其加法逆元为其自身，所以减法运算等同于加法运算。
图３．１加法运算模块３．２平方运算用正规基来表述的域元素，最大的运算优势就是平方运算，这个在多项式基下比较费时和消耗资源的运算，转变为一个简单的循环移位操作。
输入数据：口∈ＧＦ（２“），输出数据为口２∈ＧＦ（２”），利用控制信号ｒｌＲｏＲ来控制循环移位，在实际工作中，一个时钟周期内完成运算，并稳定输出，生成运算模块见图３．２．２４椭圆曲线密码体制的研究与实现图３．２平方运算模块３．３乘法运算有限域的乘法运算具有无进位，无误差的特点，在纠错码、密码学、数字信号处理领域有着广泛的应用，本节在分析各种算法原理和硬件结构的基础上，给出了乘法矩阵的几种运算方法，并设计了满足所有基于Ｉ型或者Ⅱ型最优正规基的串并皆可的乘法器。
３．３．１乘法矩阵的构造根据式（２－７），乘法运算的核心部件为乘法矩阵，在最优正规基的情况下，该矩阵是一个稀疏矩阵，除第ｌ列只有一个ｌ外，其余各列都只有两个ｌ。
量子算法破解椭圆曲线离散对数问题
量子算法破解椭圆曲线离散对数问题传统密码学中，椭圆曲线密码算法（ECC）是一种常见且强大的加密技术，其安全性取决于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性。
然而，近年来量子计算机的发展引起了密码学界的关注，因为量子算法可能导致传统密码系统的破解。
本文将探讨量子算法如何破解椭圆曲线离散对数问题，并分析对密码学的潜在威胁。
1. 椭圆曲线密码算法简介椭圆曲线密码算法是一种基于数论的非对称加密算法，它利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和解密操作。
与传统的RSA算法相比，ECC具有更强的安全性和更小的密钥长度。
其安全性依赖于椭圆曲线上的离散对数问题的难解性。
2. 量子计算机的威胁量子计算机利用量子位（qubit）的并行计算能力，可以在相对较短的时间内破解传统密码系统。
经典计算机对于大整数的因式分解和离散对数问题的解决需要花费很长时间，而量子计算机则能够在较短时间内找到这些问题的解。
Shor算法是一种著名的量子算法，可以用来破解RSA算法和椭圆曲线密码算法。
3. 量子算法破解ECDLP问题在经典计算机上，破解ECDLP问题的最佳算法是基于数域筛选的椭圆曲线参数搜索攻击，其时间复杂度为O(2^n/2)。
然而，Grover的量子搜索算法可以将这个时间复杂度减少到O(2^n/2)。
这意味着，量子计算机用较短的时间就能够找到椭圆曲线上的秘密密钥，从而破解ECC加密。
4. 加强安全性的方法为了防止量子计算机对椭圆曲线密码算法造成的破解威胁，可以采取以下一些方法：4.1 增加密钥长度：通过增加密钥的长度，可以增加破解ECC密码的难度。
然而，密钥长度的增加会导致计算和通信的开销增加，因此需要权衡安全性和性能之间的平衡。
4.2 使用量子安全的密码：量子安全密码是指在量子计算机的攻击下依然安全的密码算法。
例如，基于代码的密码和量子密钥分发协议都可以抵抗量子攻击。
4.3 密钥更新：定期更新密钥可以增加密码系统的安全性。
一旦量子计算机破解了某个密钥，及时更换新的密钥可以防止被攻击者进一步利用。
椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答
标题:【原创】椭圆曲线加密分析：FLEXLM ECC问答[7月16日更新到第7部分]作者:readyu时间: 2012-06-25,19:00:18链接: /showthread.php?t=152615说明：我曾经写过ECCTool用于学习和研究椭圆曲线加密在软件上的应用。
椭圆曲线密码学工具 ECCTooL v1.04原帖年代久远不再更新。
v1.05版本我放在本帖3#。
FLexLM ECC是椭圆曲线签名的一个典型应用，不可不察。
我整理了一下FLEXLM ECC方面的研究心得，准备把它完全写出来。
后面会有算法描述的例子代码。
FLEXLM ECC问答 (1)readyu 2012.61. FLEXLM是个虾米东西？FLEXlm是应用广泛的License管理工具。
宣称数千家EDA工具采用它管理授权。
FLEXlm对厂商来说，它的优点是证书管理功能强大，支持平台众多。
对最终用户来说，它的缺点是不够友好，比如Windows下，经常由于某些原因，flexlm服务启动错误。
对于破解者来说，它有着为数众多的教本。
维基百科上的条目为：/wiki/FLEXlmFLEXLM本来属于GLOBEtrotter。
Macrovision曾经收购GLOBEtrotter。
2006年的时候，FLEXLM原来的开发组跑路，另起灶头，产品叫RLM。
/index.php2008年Macrovision把FLEXLM卖了。
现在叫FlexNet Publisher。
/products/flexnet-publisher.htm2. FLexLM 的ECC（椭圆曲线加密）怎么来的？早期的flexlm采用的常规加密，不安全，能被做出lic。
这样的教程是很多的。
flexlm的安全性完全得不到保障，所以，自 v8(大约2001-2002)版本引入了公钥加密算法：椭圆曲线加密。
从此，它一直是flexlm的金钟罩。
包括v9(2003-) , v10(2004-) , v11(2007-), 到最新的版本 v11.10 (2012) 。
椭圆曲线公钥密码的理论与实现
研 究的 热点 。以 椭圆 曲线加 密 系统为研 究 对 象．对椭 圆 曲线公钥 密码 （ｌｐｉ ｒｅ Ｅｌ ｔ Ｃｕｖｒ ｉ ｃ Ｃｒｐｏ ｒｐ ｙＥ ｙ ｔｇａｈ ，ＣＣ） ￣理 论和 椭 圆曲线及 参数 的 选择进 行 深入 分析 ． 并对 椭 圆曲线 的选 择 算法和倍 点运 算算法加 以研 究 ， 最后 给 出 实现过 程。 关键 词 ：公钥 密码 体制 ；椭 圆曲线加 密 ；加密 算法
．
维普资讯
研ｓ受 究拜
解 ： 为 ｔ １０ ＝ ３ ３ ＂ ２ 因 此 ｔ １ ＋ １ １ ＋ 因 ＝ ０５ １＋ １３ ． 一 ３ ３ ＝２
／
机选 取 椭 圆 曲线 ， 再确 定 其 阶 。 阶没有 大 的素 数 因 若 子 ， 舍弃 该 曲线 ， 重 新选 择椭 圆 曲线 ； 则 并 否则 ， 确定 阶为 大素数 的点 。后 一种算 法具 有较 好 的随机性 ． 因 而得 到了广 泛的应 用 ． 它的算法 如下 ：
的余数 ， 从而得 到最后 的结果 。除法的速度 一般 比较
没有亚指数 时间的求解算法 ． 以椭圆曲线公钥密码体 所 制有着其他公钥密码体制所无法 比拟 的优点 ． 如在相同
慢， 因此 对 于 一 般 的 素 数 Ｐ来 说 ． 限 域 中 乘 法 的 速 有
度 比较慢 。 但是这可 以通过选择特 殊形式的素数 Ｐ 来
择 而 造 成 的安 全性 隐 患 。 此 ， 实 际 应 用 中 ． 往 选 因 在 往
择适合 于软件 实现 的素 数 ｐ 。一般 来说有 两种选择 ，
如 ２± ． 。
即 Ｐ形 如 ２± ． Ｐ形 如 ２± ｌ 和 ２ 。本 文 主要 研 究 Ｐ形 ±
程： ０ ，ｎ 产 ， ＋２＋￣ ａ所确定的平面曲线。其 ＋ ａ ｘ ６ ｘａ＋
ECC算法的详细说明
ECC算法的详细说明椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线数学的公钥密码体制，它提供了一种安全、高效的加密和数字签名解决方案。
在现代密码学中，ECC已经成为一种重要的加密算法，被广泛应用于各种领域。
ECC的安全基于椭圆曲线离散对数问题，该问题难以在有效的时间内求解。
椭圆曲线是由一个定义在有理数域上的非椭圆曲线选择的有限域上的点所构成的，该有限域的阶数为质数。
在ECC中，使用的是素数域上的椭圆曲线，其方程为y^2 = x^3 + ax + b。
其中，a和b是常量，且4a^3 + 27b^2 != 0。
ECC的加密与解密过程分别依赖于两个密钥，称为公钥和私钥。
公钥是椭圆曲线上的一个点，私钥是一个随机选取的大整数。
具体过程如下：1.密钥生成：选择一条合适的椭圆曲线和一个基点G（通常是椭圆曲线上的一个固定点），私钥为一个随机数d，公钥为P=dG。
2.加密：对于明文M，选择一个随机数k，并计算点C1=kG和C2=M⊕kP。
其中，⊕表示异或操作。
3.解密：使用私钥d计算点D=dC1，并计算明文M=C2⊕DP。
ECC算法的安全性主要依赖于椭圆曲线离散对数问题的难解性。
目前来看，相较于传统的RSA算法，ECC在提供相同安全性的情况下，使用更短的密钥长度，从而减小了存储和运算开销。
此外，ECC的运行速度也比RSA更快，这使得ECC成为许多嵌入式设备和移动设备上的首选加密算法。
除了加密和解密外，ECC还具有数字签名的功能。
数字签名是一种用于验证公共信息的完整性和真实性的技术，可以防止信息被篡改或伪造。
ECC数字签名的过程如下：1.密钥生成：与加密解密类似，选择椭圆曲线和基点G，选择一个私钥d，并计算公钥P=dG。
2. 签名：对于消息M，选择一个随机数k，并计算点R = kG和s = (hash(M) + dR) / k。
其中，hash(M)是消息M的哈希值。