2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(一)(解析版)
专题02 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(原卷版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数1iz i-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -2．已知集合{}2230A x x x =--<，{}2log 0B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}12x x <<B ．{}02x x <<C ．{}13x x <<D ．{}01x x <<3．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）（ ）A ．上半年的平均月收入为45万元B ．月收入的方差大于月支出的方差C ．月收入的中位数为70D ．月结余的众数为304．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（ ） A ．65斤 B ．43斤 C ．32斤 D ．54斤 5．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 6．如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+u u u vu u u vu u u v，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．237．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，1M 为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M 、A 、B 在正视图上的对应点分别为1M 、1A 、1B ，在此几何体中，平面α过点M 且与直线AB 垂直.则平面α截该几何体所得截面图形的面积为（ ）A 6B 6C 3D 38．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =u u u v u u u v，则||MN =（ ） A ．212B ．323C ．10D ．119．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．2m nm+ B ．2m nn+ C ．24m nm+ D ．22m nn+ 11．已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．13,53⎛⎫⎪ ⎪⎝ B ．(5,13)C ．131,(5,)⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭UD ．(1,5)(13,)+∞U12．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2BAC π∠=，Q 为PA 中点，下列说法中（1）PBA PCA BPC π∠+∠+∠=；（2）记二面角,P BC A Q BC A ----的平面角分别为1212,,2θθθθ>;（3）记,,ABC QBC PBC V VV 的面积分别为220120221,,,4S S S S S S +≤; （4）cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠, 正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第II 卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若实数x ，y 满足约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最小值为__________.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，且441S a =-，则公比q =__________.15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答) 16．关于函数()cos(2)cos(2)36f xx x ππ=-++，有下列说法： ①()y f x =的最大值为2；②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =在区间(13,2424ππ)上单调递减；④将函数2cos 2y x =的图象向左平移24π个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若25sin CAD ∠=4=AD ，求CD 的长．18．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=o ，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦,PA PB 分别与椭圆C 交于点,A B ，求点P 到直线AB 距离的最大值. 20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别 第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用水范围（吨）(]0,12 (]12,16 ()16,+∞为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下： 居民用水户编号12345678910用水量（吨）7889101113141520（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.21．已知函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =--∈.（1）当1a =-时，设1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，证明：()()123ln2f x f x +<--； （2）设1x ，2x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12123f x x x x +<+-.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos {sin x y ϕϕ=+=（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ+=OM ：3πθ=与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥.。
冲刺演练05-冲刺2020年高考数学全真模拟演练(北京专版)(解析版)
冲刺2020年高考数学全真模拟演练07卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】复数z 满足(1)2z i ⋅+=，则21iz =+，由复数除法运算化简可得 ()()()2121111i z i i i i -===-++-，由复数模的定义及运算可得z == B. 2．已知集合{}|14M x x =-<<，{}2|60N x x x =--≤，则M N =I （）A ．{}13x x -<< B ．{}13x x -<≤C ．{}12x x -<<D ．∅【答案】B【解析】集合{}{}2|60|23N x x x x x =--≤=-≤≤，{}|14M x x =-<<，{}{}{}|23|14|13M N x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-<<=-<≤，故选B.3．下列函数中，在(0,)+∞上为减函数的是（） A ．1y x =+ B ．2x y =C ．12log y x =D ．2(1)y x =--【答案】C【解析】由基本初等函数的单调性可知，其中y =x +1，2xy =，在（0，+∞）上是增函数，()21y x =--的对称轴为x =1，所以在（1，+∞）上是减函数．只有12log y x =在（0，+∞）上是减函数．故选：C ．4．若点,A B 在圆22:4O x y +=上，弦AB 的中点为(1,1)D ，则直线AB 的方程是（） A ．0x y -= B ．0x y +=C ．20x y --=D ．20x y +-=【答案】D【解析】因为直线OD 的斜率为1OD k =，所以由垂径定理得直线AB 的斜率为1AB k =-，直线AB 的方程是1(1)y x -=--，20x y +-=，选D ．5．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是（）A ．13B ．16C ．19D ．112【答案】B【解析】三张写有“中”、“国”、“梦”的卡片随机排序,所有可能如下:(中国梦), (中梦国),(国中梦),(国梦中),( 梦中国),(梦国中).所以得到(中国梦)的概率为16P =故选:B 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．272π B ．27πC ．πD π 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为=4π×22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝27π.故答案为：B. 7．函数()xf x x x=+的图象是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】依题意得()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，当0x >时，作出直线1y x =+，并取y 轴右侧的部分； 当0x <时，作出直线1y x =-，并取y 轴左侧的部分.故选：C.8．已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()π3cos 212g x x ϕϕ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭的图象的对称轴完全相同，则下列关于()g x 的说法正确的是( )A ．最大值为3B ．在π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心D ．π6x =-是它的一条对称轴 【答案】D【解析】()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 和()()3cos 212g x x πϕϕ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭的图象的对称轴完全相同， ∴周期相等2,2ππωω==，()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令262x k πππ-=+，得223x k ππ=+， 由2x m ϕπ+=，得2x m πϕ=- 所以23k m πππϕ+=-,,k m Z ∈且2πϕ<，得3πϕ=，()3cos 213g x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最大值为4，A 错误；5,412x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，572,366x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 不是单调函数，B 错误；,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭Q 不在()y g x =图象上，∴不是其对称中心，C 错误； 因为46g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭为函数的最大值，所以6x π=-是对称轴，D 正确，故选D.9．设a 1,a 2,⋯,a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1,a 2,⋯,a n 成等比数列；q ：(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】对命题p ：a 1,a 2,⋯,a n 成等比数列，则公比且；对命题，①当时，(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2成立；②当时，根据柯西不等式，等式(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2成立，则，所以a 1,a 2,⋯,a n 成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
【精品高考数学】2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(五)+答案
2020年高考数学金榜冲刺卷（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}11B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{}0,2B ．{}2,3C ．{}1,0,2-D ．{}0,1,22．已知复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则1z =（ ） ABC ．2D3．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（ ）A ．4B ．2C．D4．己知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12120f x f x x x -<-，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37b f log =，()30.8c f =-，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A．23B．12C．13D．16．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（）A．18π+16B．20π+16C．22π+16D．24π+167．如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f（x）的图象大致是下面图中的（）A．B．C．D．【答案】A8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 图象关于直线4πx =-对称 C ．其当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上（ ）A ．()f x 与()g x 都是递增函数B ．()f x 与()g x 都是递减函数C ．()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D ．()f x 是递减函数，()g x 是递增函数二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．双曲线2222123y x -=的渐近线方程为______，两顶点间的距离等于______.12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．13．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =被抛物线截得的弦的中点坐标为_________.14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款 元．15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =r，(,)b p q =r ，令 a b mq np *=-rr ，给出以下四个命题：①若a →与b →共线，则0a b *=r r ；②a b b a *=*r r r r ；③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ*=*r r r r ；④()()2222a ba ba b *+⋅=⋅rr r r r r （注：这里a b →→⋅指a →与b →的数量积）其中所有真命题的序号是____________三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长；（2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 17．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB DC P ，AB BC ⊥，PAB ∆和PBC ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点.（1）证明：OE P平面PCD.（2）在线段DP上是否存在一点Q，使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为3？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题14分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．19．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >> ）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴端点与焦点构成四边形的面积为. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(10)-， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，当14OA OB k k ⋅=时，试求直线l 的方程.20．（本小题14分）已知函数()()2xf x x e =-，()()21g x a x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.21．（本小题14分）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，1211112nn na a a a a a a ---+++=+++L L .2020年高考数学金榜冲刺卷（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}11B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,3C ．{}1,0,2-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】{}{}[]11|1110,2B x x x x =-≤=-≤-≤=，所以{}0,2A B =I .故选：A.2．已知复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则1z =（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】因为复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，则122(2)(12)22(4)12(12)(12)5z ai ai i a a i z i i i +++-++===--+ 因为12z z 为纯虚数，所以2201a a -=∴=此时112z i z =+∴==故选D3．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（ ）A ．4B ．2C ．D【答案】C【解析】圆222150x y x +--=的标准方程为：()22116x y -+=，圆心到直线3413x y +=的距离为：1025d ==，所以被圆222150x y x +--=截的弦长为l === 故选：C4．己知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12120f x f x x x -<-，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37b f log =，()30.8c f =-，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】由题意:Q 对任意1x ,()20,x ∈+∞,()()12120f x f x x x -<-()f x ∴在()0,∞+上为减函数；Q 函数()f x 是偶函数()f x ∴关于y 轴对称；()()330.80.8c f f =-=,(3233333322a f f log f log f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33370.82log log >>>Q ,b a c ∴<< 故选:C.5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别记为123,,a a a ,田忌的三匹马分别记为123,,b b b ， 齐王与田忌赛马，其情况有：()()()()()()()()()111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中则齐王获胜的概率为：3162p ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（ ）A ．18π+16B ．20π+16C ．22π+16D ．24π+16 【答案】A【解析】几何体为34个圆柱，底面半径为r ，高为2r ，所以体积为34πr 2⋅2r =12π,r =2, 因此表面积是34×2πr ×2r +34×2×πr 2+2×2r ⋅r =18π+16. 选A . 7．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f （x ）的图象大致是下面图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意得()1,0123,1244515,2422x x xf x x x x ⎧<<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩，分段函数图像分段如下：故选：A8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 图象关于直线4πx =-对称 C ．其当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】C【解析】因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到()2sin 2()2cos 266x g x x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，所以函数()g x 是偶函数；函数()g x 图象关于点(,0)4π-对称；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[12]-，；函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，不是增函数， 故选C9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当“{}n a 为常数列”时，数列1n a a =，前n 项和1n n S na na ==.当“*n ∀∈N ，n n S na =”时，当1n =时，11111a S a a ==⨯=，当2n ≥时，由n n S na =得()111n n S n a --=-，两式相减得()11n n n a na n a -=--，化简得()()111n n n a n a --=-，由于11n -≥，所以1n n a a -=（2n ≥），所以数列{}n a 为常数列.综上所述，“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的充分必要条件 故选：C10．若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上（ ）A ．()f x 与()g x 都是递增函数B ．()f x 与()g x 都是递减函数C ．()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D ．()f x 是递减函数，()g x 是递增函数【答案】A【解析】根据题意，f （x ）+g （x ）＝2x ，则f （-x ）+g （-x ）＝2x -又由y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则-f （x ）+g （x ）＝2x -可得：f （x ）=()2222,22x x x xg x ---+=易知f （x ）=222x x--为增函数，又任取120,x x >> 则()()()12121212122122222x x x x x x g x g x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为120,x x >>则121222,221x x x x>>，故()()12g x g x >，即()g x 是递增函数 故选：A ．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．双曲线2222123y x -=的渐近线方程为______，两顶点间的距离等于______.【答案】230x y ±= 4【解析】Q 双曲线2222123y x -=,∴ 2,3a b ==根据渐近线方程为ay x b=±∴ 渐近线方程为23y x =±,即230x y ±=根据有两顶点间的距离为2a∴两顶点间的距离等于4故答案为:230x y ±=,4.12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________． 【答案】2-【解析】等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列， 则32134a a a =+，由等比数列通项公式可知111234a a q q a =+，所以2340q q --=，解得4q =或1q =-（舍），所以由对数式运算性质可得234245()()log a a log a a +-+34245a a log a a +=+23113412121q a a q q q lo q g log a a +==+ 2124log ==-， 故答案为：2-.13．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =被抛物线截得的弦的中点坐标为_________. 【答案】(6,6)--【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，所以联立方程212y xx y=⎧⎨=-⎩，变形可得2120x x += ， 解得0x =或12x =-，所以两个交点坐标分别为00x y =⎧⎨=⎩和1212x y =-⎧⎨=-⎩，故由中点坐标公式可知弦的中点坐标为(6,6)--.故答案为: (6,6)--14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款 元． 【答案】520【解析】设商品价格为x ，实际付款为y ；则⎪⎩⎪⎨⎧>-+⨯≤<≤<=500),500(7.09.0500500200,9.02000,x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<=500,7.010*******,9.02000,x x x x x x ； 1001802009.0>=⨯Θ，A ∴商品的价格为100；4505009.0=⨯Θ，B ∴商品的价格为500；令600500100=+=x 时，5206007.0100=⨯+=y ，即若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款520元.15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =r，(,)b p q =r ，令 a b mq np *=-rr ，给出以下四个命题：①若a →与b →共线，则0a b *=r r ；②a b b a *=*r r r r ；③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ*=*r r r r ；④()()2222a ba ba b *+⋅=⋅rr r r r r （注：这里a b →→⋅指a →与b →的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】因为若a r与b r共线，则mq np =，故①正确；因为*a b mq np =-r r ，*b a pn qm =-r r，故②错误；因为()()**a b mq np a b λλλλ=-=r rr r ，故③正确；因为*a b mq np =-r r ，a b mp nq ⋅=+rr ，则()()2222*a ba ba b +⋅=⋅r r r r r r 化简为：()()()()222222mq np mp nq m n pq -++=++，等式左右两边相等，故④正综上，正确的序号为：①③④；三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长；（2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2AB =（2）cos 614C π⎛⎫-=⎪⎝⎭【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos 14B =，所以02B π<<，所以sin 14B ==， 又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin sin cos cos sin 333C A B A B B B B ππππ⎛⎫=-+=+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 由正弦定理，sin sin AB AC C B =，所以sin 2sin ACAB C B=•=. （2）因为A B C π++=，所以()()cos cos cos cos 3C A B A B B ππ⎛⎫=-+=-+=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin sincos cos337B B ππ=-=，所以cos cos cos sin sin 66614C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 17．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB DC P ，AB BC ⊥，PAB ∆和PBC ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点.（1）证明：OE P 平面PCD .（2）在线段DP 上是否存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当13DQ DP =时，直线BQ 与平面PCD . 【解析】（1）证明：设F 为DC 的中点，连接AF ，PF ，则CF AB =.∵AB BC ⊥，AB BC =，AB DC P ， ∴四边形ABCF 为正方形.∵O 为AC 的中点，∴O 为BF ，AC 的交点， ∴O 为BF 的中点，即OE 为三角形BPF 的中位线 ∴OE PF P .∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴OE P 平面PDC .（2）∵PA PC 2==，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥.∵AC =，∴1AO AC 2==∴PO ==1BO AC 2==. 在ΔPBO 中，222PO BO PB 4+==，∴PO BO ⊥. 又∵AC BO O ⋂=，∴PO ⊥平面ABCD .又因为AB BC ⊥，所以过O 分别作AB ，BC 的平行线，分别以它们作为x,y 轴， 以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()B 1,1,0-，()C 1,1,0，()D 3,1,0-，(P .假设线段DP 上存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD设()DQ λDP 0λ1=≤≤u u u v u u u v ，则BQ BD DQ BD λDP =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()()BQ 4,2,03λ,λ3λ4,2λ=-+-=--u u u v . 设平面PCD 的一个法向量为()n x,y,z =v ，则n CD 0n CP 0⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即400x x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 取z 1=，得平面PCD的一个法向量为()n =v.设直线BQ 与平面PCD 所成角为θ，令sin θ3=，3=，化简并整理得23λ7λ20-+=，解得λ2=（舍去），或1λ3=. 所以，当1DQ DP 3=时，直线BQ 与平面PCD . 18．（本小题14分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：1人、3人、6人（2）37（3）分布列见解析，Eξ=45【解析】（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50500=110、150500=310、300500=610．2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：110×10=1人、310×10=3人、610×10=6人; 4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为C 62⋅C 42C 104=37; 6分（3），的可能取值为． 7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为， 8分所以，随机变量服从二项分布，即～． 9分，，，，．即的分布列为：11分的数学期望为：Eξ=np =4×15=45． 12分考点：分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布，考生读取图表、数据处理的能力．19．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >> ）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴端点与焦点构成四边形的面积为. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(10)-， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，当14OA OB k k ⋅=时，试求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）210x y ++= 或210x y -+= .【解析】（1）依题意，bc =又2c e a == ，∴2c a = ，∴222214b a c a =-= ，∴12b a = ，∴2a = ，1b =故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，1A ⎛- ⎝⎭，1B ⎛- ⎝⎭， ，14OA OB k k ⋅≠ ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =+ ，联立方程组()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得：()2222148440k x k x k +++-= 设()12A x y ， ，()22B x y ， ，则2122814k x x k +=-+ ，21224414k x x k-=+()21212121OA OBk x x x x k k x x +++⋅=2222222844114144414k k k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭=-+ ()222228441444k k k k k -+-++=-22344k k -=- ∴2231444k k -=- ，即214k = ，∴12k =± ∴直线方程为()112y x =±+ ，即210x y ++= 或210x y -+= .20．（本小题14分）已知函数()()2xf x x e =-，()()21g x a x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.【答案】（1）20x y -+=（2）当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点. 【解析】（1）()()()'21xxxf x e x e x e =-+-=-，且()'01f =，()02f =，所以切线方程为：2y x =+，即20x y -+=.（2）令()()()F x g x f x =-，()()()'12xF x x e a =-+，①当0a =，则()()2xF x x e =-，()F x 只有一个零点；②当0a <，由()'0F x =得1x =或()ln 2x a =-.若2ea ≥-，则()ln 21a -≤ 故当()1,x ∈+∞时，()'0F x >，因此()F x 在()1,+∞上单调递增.当x →+∞时，()0f x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点.若2ea <-，则()ln 21a ->，故当()()1,ln 2x a ∈-时，()F'0x <； 当()()ln 2,x a ∈-+∞时，()'0F x >.因此()F x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.当x →+∞时，()0F x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点. ③当0a >，则当(),1x ∈-∞时，()F'0x <；当()1,x ∈+∞时，()'0F x >， 所以()F x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 又()1F e =-，()2F a =，取b 满足0b <且ln2a b <， 则()()()22321022a F b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭， 故()F x 存在两个零点.综上：当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点.21．（本小题14分）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，1211112nn na a a a a a a ---+++=+++L L . 【答案】(1) 数集{1,3,4}不具有性质P ,数集{1,2,3,6}具有性质P .(2)见解析.【解析】（1）由于34⨯与43均不属于数集{1,3,4}， 所以数集{1,3,4}不具有性质P .由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66，都属于数集{1,2,3,6}， 所以数集{1,2,3,6}具有性质P .（2）因为{}12,,n A a a a =⋅L 具有性质P ，所以n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<L ，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉。
金考卷—百校联盟—领航高考冲刺卷(理数答案)
平”的原则.
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本题考查三角恒等变换｀三角函数的图象和性质’考
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14垫［考查目标］ 本题主要; α厕ˉl≠0,所以α″ˉα″ˉ｜＝1,又易知αl＝1 ’故数列｛α鹏｝是首项和公
本题主要考 查双曲线的离心率,考查了分析
一
差都为l的等差数列,故α,＝＂｀s＂＝÷″（″＋l） ’则b＂＝ 2
模
问题和解决问题的能力。
（—］）,警二（—］）馏（←击） ,则数列｜h鹏｜的煎2022项和
考生的逻辑椎理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑椎
面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可。
≤沪 ［解析］ 如图所示,设AB＝α,连接CF,根据
题意可知乙CEF＝90°’乙CFE＝45°,EF＝
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÷』则cF＝粤α;正八边形的面积为α2＋4×
理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
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2020年北京市高考数学试卷-解析版
2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。
A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。
历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。
【精品高考数学】2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(三)+答案
2020年高考数学金榜冲刺卷（三）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，{}3,6B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}3B ．{}6C ．{}1,3,4,6D ．{}2,3,5,62．212(1)ii +=-（） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(0,2]B ．[0,2)C ．[0,2]D ．(0,2)4．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =5．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a cb ac +-=，则角B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为( )A ．23B ．1C ．2D ．48．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为（ ） A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2⋃+∞D ．1(,1)(2,)2⋃+∞9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123B ．112C ．12127D ．12110．（东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.依此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为中国古代的算筹数码A ．B ．C ．D ．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______. 12．设向量()12a =r，，()31b =r ，，则a b +r r 的坐标为________，a b ⋅r r =____________13．设F 1,F 2为双曲线x 2a2−y 22=1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且∠F 1PF 2=π3，若此双曲线的离心率等于√62，则点P 到y 轴的距离等于__________． 14．下列四个命题：①函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭与()3cos 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象相同； ②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；③函数()2cos f x x x =的图象关于直线x π=对称；④函数()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数． 其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）15．定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程2320a f x bf x c ++=(())()恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB .（2）求二面角A EC D --的余弦值.17．（本小题14分）若{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 均在函数y ＝23122x x -的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和 n T .18．（本小题14分）为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数x ，样本方差2s （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （ⅰ）利用该正态分布，求(185.03229.94)P Z<<；（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记X 表示这100件螺帽中质量指标值位于区间()185.03,229.94的件数，利用（ⅰ）的结果，求()E X .14.97≈.若()2,ZN μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=.19．（本小题15分）已知函数31()3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有三个单调区间，求实数a 的取值范围.20．（本小题14分）给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O,C的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长MN 为定值.21．（本小题14分）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}Mq =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．（Ⅰ）当2q =，2n =时，用列举法表示集合T ；（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…Ü，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；②100112020ii a==∑．证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）10021ii a=∑为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．2020年高考数学金榜冲刺卷（三）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，{}3,6B =，则()UA B =U ð（ ）A ．{}3B ．{}6C ．{}1,3,4,6D ．{}2,3,5,6【答案】C【解析】因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，所以{}1,4,6U A =ð，又因为{}3,6B =，所以有()UA B =U ð{}1,3,4,6.故选：C2．212(1)ii +=-（） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【解析】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(0,2] B ．[0,2)C ．[0,2]D ．(0,2)【答案】A【解析】由题意可得，020x x >⎧⎨-≥⎩, 解得02x <≤. 故选：A .4．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C【解析】A.2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B.y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .5．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=【答案】A【解析】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A.6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a cb ac +-=，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π【答案】B【解析】∵222a cb ac +-=，∴由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，结合(0,)B π∈，可得3B π=．故选B ．7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为( )A ．23B ．1C ．2D ．4【答案】C=2，又该“堑堵”的高为2， ∴该“堑堵”的体积1222V ==， 故选：C ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为（ ） A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2⋃+∞ D ．1(,1)(2,)2⋃+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2⋃+∞，故选C9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123B ．112C ．12127D ．121【答案】D【解析】∵数列{}n a 是等比数列，253433a a a a a ==，∴3413a a q ==．∵4a 与79a 的等差中项为2，∴()34749194a a a q +=+=，解得13q =，181a =．∴55181[1()]3121113S ⨯-==-．故选：D ． 10．（东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.依此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为中国古代的算筹数码A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______.【答案】±【解析】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p +=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，∴2244m =⨯⨯，∴m =±故答案为：±12．设向量()12a =r ，，()31b =r ，，则a b +r r 的坐标为________，a b ⋅r r=____________ 【答案】()43，5 【解析】向量()12a =r ，，()31b =r ，，则由向量加法的坐标运算可得()43a b +=r r ，， 由数量积的坐标运算可得13215a b ⋅=⨯+⨯=r r ，故答案为：()43，；5 13．设F 1,F 2为双曲线x 2a 2−y 22=1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且∠F 1PF 2=π3，若此双曲线的离心率等于√62，则点P 到y 轴的距离等于__________．【答案】2√2【解析】依题意，由{b =√2c a =√62c 2=a 2+b 2，解得a =2,c =√6，根据双曲线焦点三角形面积公式有S =2tan π6=12⋅2√6⋅|y|，解得|y|=√2，代入双曲线方程解得|x|=2√2.14．下列四个命题： ①函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭与()3cos 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象相同；②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π； ③函数()2cos f x x x =的图象关于直线x π=对称； ④函数()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数． 其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）【答案】①②④ 【解析】对于①，3sin(2)3cos(2)442x x πππ+=+-，所以两个函数的图象相同，所以①对； 对于②，442222()sin cos (sin cos )(sin cos )f x x x x x x x =-=+- 22sin cos cos2x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期是T π=，所以②对；对于③，因为()2cos f x x x =，所以()00f =，()2f ππ=-，()24f ππ=，因为()()02f f π≠，所以函数()f x 的图象不关于直线x π=对称，所以③错， 对于④，()sin(2)sin(2)33f x x x ππ=-+=--， 当5[,]1212x ππ∈-时，2[,]322x πππ-∈-， 所以函数()sin(2)3f x x π=--在区间,]1212π5π[-上是减函数，所以④对， 故答案为①②④15．定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程2320a f x bf x c ++=(())()恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】12a <-【解析】∵函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，∴-1和1是()0f x '=的根，∴2()32f x ax bx c '=++，∴2113{113b a c a-+=--⨯=，∴0b =，3c a =-，∴3()3f x ax ax =-， ∴23(())2(())0a f x b f x c ++=，∴23(())30a f x a -=，∴2()1f x =，∴()1f x =±，∴(1)1{(1)1f f >-<-，即31{31a a a a ->-+<-，∴12a <-.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB .（2）求二面角A EC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =I，AD ∴⊥面PAB ，又PB ⊂Q 面PAB ，PB AD ∴⊥，又Q 在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点，AE PB ∴⊥，AD AE A ⋂=，PB ∴⊥面ADE ，AF ⊂面ADE ，AF PB ∴⊥.（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，设(),,n x y z =r 为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =u u u r ，()1,1,0AE =u u u r ，00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，200y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-r ，同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =u r .设向量m u r 与n r 的所成的角为θ，cos 7θ∴==， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为7.17．（本小题14分）若{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 均在函数y ＝23122x x -的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和 n T . 【答案】（1）32n a n =-（2）331n n + 【解析】（1）依题意可得23122n S n n =-， 当1n =时，1131122a S ==-=， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-223131(1)(1)2222n n n n =---+-32n =-， 又1n =也适合上式，所以32n a n =-.（2）3(32)(31)n b n n =-+113231n n =--+， 所以111111114477103231n T n n =-+-+-++--+L 1131n =-+331n n =+ 18．（本小题14分）为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数x ，样本方差2s （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（ⅰ）利用该正态分布，求(185.03229.94)P Z <<；（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记X 表示这100件螺帽中质量指标值位于区间()185.03,229.94的件数，利用（ⅰ）的结果，求()E X .14.97≈.若()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）200 224； （Ⅱ）（ⅰ）0.8185 （ⅱ）81.85.【解析】（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：x = 1700.051800.12⨯+⨯ 1900.182000.302100.19+⨯+⨯+⨯2200.102300.06200+⨯+⨯=2s = ()()22300.05200.12-⨯+-⨯ ()2100.1800.30+-⨯+⨯ 222100.19200.10300.06+⨯+⨯+⨯ 224=.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，()200,224Z N ~，从而(20014.9720014.97)P Z -<<+ 2(185.03200)0.6826P Z =<≤=，(185.03200)0.3413P Z <≤=，(20029.9420029.94)P Z -<<+ 2(200229.94)0.9544P Z =≤<=，(200229.94)0.4772P Z ≤<=，(185.03229.94)P Z << (185.03200)P Z =<≤+ (200229.94)0.8185P Z ≤<=， （ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间()185.03,229.94的概率为0.8185， 依题意知()100,0.8185X B ~，所以()1000.818581.85E X =⨯=.19．（本小题15分）已知函数31()3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有三个单调区间，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()3f x =极大值，2()3f x =-极小值.（2）(0,)+∞【解析】（1）当1a =时，则()313f x x x =-+， 即()2'1f x x =-+.当()'0f x =时，则1x =或-1.当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()'0f x <；此时()f x 在()(),11,-∞-+∞，递减， 当()1,1x ∈-时，()'0f x >. 此时()f x 在()1,1-递增，故()()213f x f 极大值==，()()213f x f =-=-极小值. （2）若函数有三个单调区间，则()2'0f x x a =-+=有两个不等实根.即40a ∆=>，解得0a >.故a 的取值范围是()0,+∞.20．（本小题14分）给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O,的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b = 所以椭圆的方程为22184x y +=， 卫星圆的方程为2212x y += (2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率， 因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是 2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， ∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-= ∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN21．（本小题14分）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}Mq =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．（Ⅰ）当2q =，2n =时，用列举法表示集合T ；（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…Ü，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；②100112020i i a==∑．证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）；（ⅱ）10021i i a=∑为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．【答案】（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解析】（Ⅰ）解：当2q =，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}． {}3,4,5,6T =．（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i a A ∀∈，201i a M -∈， 必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <剟，201i j a a +≠矛盾． 因此有201i a A -∈．（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-Q ．∴10010010022111(201)4024040100791940i i i i i i aa a ===--=-=∑∑∑． 1001002222211200201(4001)(201)122006i ii i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=∑∑， ∴100211200201(4001)(791940)26i i a =⨯⨯+=+∑为定值． （iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+--… 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+-111(1)1n n q q q q---=--- 10=-<．s t ∴<．。
2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题及答案解析
绝密★启用前2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．1010B ．5C ．5D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->则()R A B =I ð（ ）A ．{}1,3-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．278- B ．18- C ．18 D ．2784．函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．5．已知坐标原点到直线l 的距离为2,且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切,则满足条件的直线l 有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是（ ） A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60 8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9．已知1a =r ,则“()a a b ⊥+r r r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 10．已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是( )A ．存在x ,y ∈(0,1),E (ξ)>12B ．对任意x ,y ∈(0,1),E (ξ)≤14。
2020年北京市高考数学试卷-(答案与解析)
具有性质②；
(Ⅲ)解法一
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
20.(1)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
21.(Ⅰ) 不具有性质①；
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
解法二：
假设数列中的项数均为正数：
16.如图，在正方体 中，E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角 正弦值．
17.在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
2020年北京市高考数学试卷(解析版)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（ ）． A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】， 故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.在的展开式中，的系数为（ ）．{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = {1,0,1}-{0,1}{1,1,2}-{1,2}{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I z (1,2)i z ⋅=12i +2i -+12i -2i --z 12z i =+2iz i ∴=-52)-2xA. B. 5 C. D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，5-10-2x )52-()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-522r -=1r =2x ()()11522510C -=-⨯=-6+6+12+12+则其表面积为：. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.的()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭(3,4)C M O (),C x y 1=()()22341x y -+-=C (3,4)M ||1||OC OM +≥5==||514OC ≥-=C OM6.已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或.所以不等式的解集为：. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A. 经过点B. 经过点C. 平行于直线D. 垂直于直线【答案】B()21x f x x =--()0f x >(1,1)-(,1)(1,)-∞-+∞ (0,1)(,0)(1,)-∞⋃+∞2x y =1y x =+()21xf x x =--()0f x >21x x >+2x y =1y x =+(0,1),(1,2)21x x >+0x <1x >()0f x >()(),01,-∞⋃+∞O F l P O P PQ l ⊥Q FQ O P OP OP【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.【详解】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， x FQ P FQ ,F Q P PQ PF =FQ P {}n a 19a =-31a =-12(1,2,)n n T a a a n ==……{}n T 511925151a a d --+===--()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-123456701a a a a a a a <<<<<<=<< 50T <()06,i T i i N <≥∈()117,ii i T a i i N T -=>≥∈{}n T由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知，则“存在使得”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则； (2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．的1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-={}n T 263T =46315945T =⨯={}n T 4T ,R αβ∈k Z ∈(1)k k απβ=+-sin sin αβ=k Z ∈(1)kk απβ=+-k ()sin sin sin k απββ=+=k ()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦sin sin αβ=2m αβπ=+2m αβππ+=+m Z ∈()()12kk k m απβ=+-=()()121kk k m απβ=+-=+k Z ∈(1)kk απβ=+-k Z ∈(1)kk απβ=+-sin sin αβ=ππn 6n 6n 6n 2ππA. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ，则. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭6n 6n 2π6n 360606n n ︒︒=⨯302sin n︒6n 3012sin n n︒6n 302tann ︒3012tan n n︒303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6n 6n 1()ln 1f x x x =++(0,)+∞010x x >⎧⎨+≠⎩0x ∴>(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线.故答案为：.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13.已知正方形的边长为2，点P 满足，则_________；_________．【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，22:163x y C -=()3,0C C a =b =3c ==C ()3,0C y x =0x ±=C =()3,0ABCD 1()2AP AB AC =+ ||PD =PB PD ⋅=1-A AB AD x y P PD PB PD ⋅A AB AD x y则点、、、，，则点，，，因此，..【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，，解得，故可取. 故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、()0,0A ()2,0B ()2,2C ()0,2D ()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ()2,1P ()2,1PD ∴=- ()0,1PB =- PD ==()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-1-P ()sin()cos f x x x ϕ=++ϕ2π2,2k k Z ππ+∈()()f x x θ=+2=()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+2=sin 1ϕ=2ϕπ=2π2,2k k Z ππ+∈设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③()W f t =()()f b f a b a---[,]a b []12,t t 2t 3t [][][]112230,,,,,t t t t t []10,t ()()f b f a b a---[]12,t t [][][]112230,,,,,t t t t t []12,t t []12,t t 2t 3t【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体中，E 为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：1111ABCD A B C D -1BB 1//BC 1AD E 1AA 1AD E 2311ABC D 11//BC AD A AD AB 1AA x y z A xyz -1AA 1AD E在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面；（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）和的面积．1111ABCD A B C D -11//AB A B 11AB A B =1111//A B C D 1111A B C D =11//AB C D ∴11AB C D =11ABC D 11//BC AD 1BC ⊄ 1AD E 1AD ⊂1AD E 1//BC ∴1AD E A AD AB 1AA x y z A xyz -1111ABCD A B C D -2()0,0,0A ()10,0,2A ()12,0,2D ()0,2,1E ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩22020x z y z +=⎧⎨+=⎩2z =-2x =1y =()2,1,2n =-11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅1AA 1AD E 23ABC 11a b +=sin C ABC条件①：； 条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, . 【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得： 17,cos 7cA ==-19cos ,cos 816A B ==sin C =S =sin C =S =sin A sin C sin ,sin A B sin C 17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，7sin sin sin sin a c C A C C==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，sin A B ∴====6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）,（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+==11sin (116)622S ba C ==-⨯=0p 1p 0p 1p 1334133601p p <0p 1p 2001200+4003=该校女生支持方案一的概率为；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ）【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程：，即. （Ⅱ）显然， 因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，为3003300+1004=2121311313()(1()(13433436C -+-=01p p <2()12f x x =-()y f x =2-()y f x =(,())t f t ()S t ()S t 2130x y +-=32()212f x x =-()2f x x '=-()00,12x x -022x -=-01x =()1,11()1121y x -=--2130x y +-=0t ≠()y f x =()2,12t t-()()2122y t t x t --=--0x =212y t =+0y =2122t x t+=()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅0t >(0t <)()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20.已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点的直线l 交椭圆C 于点,直线分别交直线于点．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：.()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==()0S t '>2t >()0S t '<02t <<()S t ()0,2()2,+∞2t =()S t ()16162328S ⨯==2222:1x y C a b+=(2,1)A --2a b =(4,0)B -,M N ,MA NA 4x =-,P Q ||||PB BQ 22182x y +=0P Q y y +=()222210x y a b a b +=>>224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩2282a b ⎧=⎨=⎩22182x y +=(2)设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：. 直线MA 的方程为：， 令可得：， 同理可得：.很明显，且：，注意到： ， 而：，故.从而. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知是无穷数列．给出两个性质：()11,M x y ()22,N x y MN ()4y k x =+22182x y +=()222448x k x ++=()()222241326480k x k x k +++-=2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++()111122y y x x ++=++4x =-()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++()()222142Q k x y x -++=+0P Q y y <P QPB yPQ y =()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+0,P Q P Q y y y y +==-1PQPB y PQy =={}n a①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①； 具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即，由①可知：存在，满足，存在，满足， {}n a ,()i j a a i j >{}n a m a 2i m ja a a ={}n a (3)n a n …{}n a ,()k l a a k l >2k n la a a =(1,2,)n a n n == {}n a 12(1,2,)n n a n -== {}n a {}n a {}n a 2231a a a =123,,a a a 1234,,,a a a a {}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q {}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q {}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q ()0*n a n N ≠∉{}0max |0n N n a =<01N =01230a a a a <<<<< 1m 12210m a a a =<2m 22310m a a a =<由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方面，，由数列单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（情况类似）由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**）由（**）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，的的01N =223211a a a a =23a a =02N ≥m 0210Nm a a a =<0N 0m N ≤000221NNm N N a a a a a a =>=0m N >0N 2231a a a =3n =()23k la a k l a =>0k l a a >>3kk k la a a a a =⋅>3k <2,1k l ==2231a a a ={}n a ()3k k ≥()111s s a a q s k -=≤≤10,1a q >>10,01a q <<<m 211k k m k k a a a q a a -==>11k m k a a q a +=≥s t >21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>1t s k <≤+()111s s a a qs k -=≤≤2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=211111ks t k a q a q a q ---≥>211k s t k ≥-->-注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即，即成等比数列，不妨设，然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知，在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，,,s t k 21k s t =--11kk a a q +={}n a 11n n a a q -={}n a 3n =()23k la a k l a =>0k l a a >>3kk k la a a a a =⋅>3k <2,1k l ==2231a a a =123,,a a a ()22131,1a a q a a qq ==>3,2i j ==224331121m a a q a a q a a q===31a q 341a a q =341a a q <4n =24k k k k l l a aa a a a a ==>4k <{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>24k l a a a =3,2k l ==2341k la a a q a ==3,1k l ==243411k la a a q a q a ==>2,1k l ==22413k la a a q a a ===,k l 341a a q <341a a q =同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 455161,,a a q a a q == {}n a {}n a。
冲刺演练06-冲刺2020年高考数学全真模拟演练(北京专版)(解析版)
冲刺2020年高考数学全真模拟演练06卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设集合{}(,)|0A x y x y =-=，{}2(,)|0B x y x y =-=，则A B ⋂的子集的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】 试题分析：由20{0x y x y -=-=，得00x y ==⎧⎨⎩或11x y =⎧⎨=⎩，即{}(0,0),(1,1)A B ⋂=，A 有两个元素，子集个数为4．故选D ． 2．已知复数1cos15sin15z i =+o o 和复数2cos 45sin 45z i =+o o ，则12z z ⋅=（）A ．12+B ．3-+C ．12-D ．1 【答案】A【解析】()()12cos15sin15cos 45sin 45z z i i ⋅=++o o o o()()cos15cos 45sin15sin 45sin15cos 45cos15sin 45i=-++o o o o o o o o()()cos 1545si 01cos 6sin 6145052n i i ==+=++++o o o o o o . 故选：A.3．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】由cos ()()22x x x x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x x x x f x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C. 5．设函数2sin21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则（）A ．T π=,1A =B ．2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A =【答案】A【解析】试题分析：由于三角函数的最小正周期，最大值为：Ａ＋Ｂ；所以函数2sin21y x =-的最小正周期，最大值：Ａ＝2－1＝1；故选Ａ．6．侧棱和底面垂直的三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，若△ABC 的等边三角形，C 1C =O 的表面积为A ．83πB ．163πC ．283πD ．643π 【答案】D的等边三角形，设其外接圆的半径为r ，由正弦定理可得02sin 603r ==，即3r =又由三棱柱的侧棱长为1CC =，所以三棱柱的外接球的半径R ==所以外接球的表面积为226444(33S R πππ==⨯=，故选D. 7．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）A ．2.1B ．2C ．0.9D ．0.63【答案】A【解析】分析：射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和数学期望.详解：由题意可知，射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以，射击3次得分(3,0.7)X B ~()30.7 2.1E X =⨯=故选A.8．已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(A ，则APF ∆周长的最小值为（）A ．(41B ．4+C ．2D 【答案】A【解析】易得点)F ,△APF 的周长l =AF AP PF ++2'AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需'AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l (2241AF a =+=+.故选A.9．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -= B ．2214864x y += C ．2214864x y -= D ．2216448x y += 【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+. 1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y += 故选：D10．已知函数232,31,()1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()()g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)2eB ．ln 31,3[e )C ．1(0,)e D ．ln 31,[32e) 【答案】B【解析】由于函数()()g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则方程0f x ax （）-=有三个根， 故函数y f x =（）与y ax =的图象有三个交点．由于函数()232,31,1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则其图象如图所示，从图象可知，当直线y ax =位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点A 能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除B C ，∴只能从,B D 中选，故只要看看选项,B D 区间的右端点是选1,e 还是选12e， 设图中切点B 的坐标为t s （，），则斜率1|x t k a lnx t（）==='=， 又t s （，）满足： 1s at s ln t ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，解得t e =， ∴斜率11k a t e===，故选B ．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．二项式6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的值为______. 【答案】240【解析】()()666163621()212r r r r r r r r T x x C xC ---+=-=-， 令630r -=，解得2r =．∴常数项的值是()24426651222402C ⨯-=⨯=， 故答案为240．12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则6a =_______【答案】32-【解析】当112,21n n n S a --≥=+，两式作差得12n n a a -=，故12n n a a -=，{}n a 为等比数列，又11a =-，561232a ∴=-⨯=-故答案为32-13．已知抛物线2y ax =的准线方程为1x =-，则a =______，若过点()4,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则124y y +的最小值为______．【答案】416【解析】抛物线2y ax =的准线方程为4a x =-，所以，14a -=-，解得4a =， 设直线AB 的方程为4x my =+，代入抛物线方程24y x =可得，24160y my --=，所以1216y y =-，即2116y y =，所以121164416y y y y +=+≥=，故当18y =，即18y =±时取到最小值，最小值为16.故答案为：4；16.14．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，ο60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为ο30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．【答案】3140米【解析】试题分析：设BC x =，则23404017AC x x =+⨯=+．在ABC ∆中，由余弦定理，可得222BC AB AC =+－2cos AB AC BAC ⨯∠，即2221100(40)2100(40)2x x x =++-⨯⨯+⨯，解得380x =，所以38040420AC =+=（米）．因为30HAC ∠=︒，所以903060AHC ∠=︒-︒=︒．在ACH ∆中，由正弦定理，得sin sin AC HC AHC HAC =∠∠，即420sin60sin30HC =︒︒，所以1420HC ⨯== 15．对于集合{}*12,,(2,)n A a a a n n =≥∈N L ，如果1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=+++L L ，则称集合具有性质P ，给出下列结论：①集合⎝⎭具有性质P ；②若1a ，2a ∈R ，且{}12,a a 具有性质P ，则124a a ⋅>；③若1a ，*2a ∈N ，则{}12,a a 不可能具有性质P ； ④当3n =时，若*(1,2,3)i a i ∈=N ，则具有性质P 的集合A 有且仅有一个.其中正确的结论是__________.【答案】①③④【解析】①111112222----+--=+=-，故①正确； ②不妨设1212a a a a t +=⋅=，则由韦达定理可知：1a ，2a 是方程20x tx t -+=的两个根，由>0∆，可得：0t <或4t >，故②错误；③不妨设A 中123n a a a a <<<<L ，由123123n n n a a a a a a a a na L L ⋅⋅⋅⋅=++++<，得：1231n a a a a n -⋅⋅⋅⋅<L ，当2n =时，12a <，∵*1a ∈N ，∴11a =，于是有1212221a a a a a a +=⇔+=，2a 无解，即不存在满足条件的集合A ，故③正确；④由③可知：当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，解得33a =，于是具有性质P 的集合A 只有一个，为{}1,2,3，故④正确．综上所述，正确的结论是：①③④．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）如图，在三棱锥P -AB C 中，12PA PB AC ==，PA PB ⊥，AC ⊥平面P AB ，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且//DE 平面P A B ．（1）求证//AB 平面PDE ；（2）若D 为线段A C 中点，求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）15【解析】（1）因为//DE 平面PAB ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面PAB AB =，所以//DE AB .因为AB ⊂/平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE .（2）因为平面PAB ⊥平面ABC ，取AB 中点O ，连接,PO OE .因为PA PB =，所以PO AB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.不妨设2PA =，则4AC =，AB =则(P ，()C ，()(),0,2,0D E ，则(),PC DE ==u u u r u u u r ，(0,2,PE =u u u r .设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则20n DE n PE y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u uv v ，令1y =，则z =，所以(n =r .设直线PC 与平面PDE 所成角为θ，则sin n PC n PCθ⋅===⋅r u u u r r u u ur 所以直线PC 与平面PDE所成角的正弦值为15.17．（本小题14分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x的大小关系？（只写出结果）【答案】（1）35（2）见解析，1．（3）12x x ＞． 【解析】【分析】（1）根据图象安全得分大于90分的景点有3个，即可求得概率； （2）ξ的可能取值为0，1，2，依次求得概率，即可得到分布列； （3）根据图象中的点所在位置即可判定平均分的大小关系.【详解】（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35． （2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）343615C C ==，P （ξ＝1）21423635C C C ⋅==，P （ξ＝2）12423615C C C ⋅==， ∴ξ的分布列为：∴E （ξ）＝015⨯+135⨯+215⨯=1． （3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞．18．（本小题14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和1516k T >，若存在，求出k 的最小值：若不存在，说明理由.从①4=20S ，②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，将13,b b 用2,b q 表示，建立q 的方程，求解得出4b ，即为1a ，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，得到n a 的通项公式，进而求出n S ，用裂项相消法求出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和，然后求解不等式1516k T >即可. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，则138,8b b q q==， 于是8384q q-⨯=.即2620q q +-=，解得12,23q q ==-(舍去). 若选①：则1441432,4202a b S a d ⨯===+=. 解得2d = 所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，1111(1)1n S n n n n ==-++ 于是121111111111122311k k T S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 令1151116k ->+解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. 若选②：则142a b ==，()11323222a d a d ⨯+=+，解得12a d ==. 下同①.若选③：则()()14112,3238a b a d a d ==+-+=，解得43d =于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， 1313112(2)42n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭于是3111111114324112k T k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 311114212k k ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭93118412k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭令1516k T >，得111124k k +<++， 整理得25100k k -->，52k >或52k < 注意到k 为正整数，所以7k ≥，k 的最小值为7.19．（本小题15分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P y y x ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）3322-<<m . 【解析】（Ⅰ）将x c =代入22221x y a b+=中，由222a cb -=可得422b y a =，所以弦长为22b a，故有2222212b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设点()00,P x y ()00y ≠，又())12,F F ，则直线12,PF PF的方程分别为(1000:0l y x x y -++=；(2000:0l y x x y -=.=由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以220014x y +=，=因为m <<，022x -<<，0022=034=m x 因此，3322-<<m . 20．（本小题14分）已知函数()ln()(0)f x a x a a =-<，21()2g x x x =-. （1）若()f x 在(1,(1))f 处的切线与()g x 在11(,())22g 处的切线平行，求实数a 的值；（2）若()()()F x f x g x =-，讨论()F x 的单调性；（3）在（2）的条件下，若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+． 【答案】(1) 1a =- (2)见解析（3）见解析【解析】（1）因为()a f x x a '=-，所以()11a f a '=-；又1122g ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭。
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1 2020年高考数学金榜冲刺卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．在复平面内，复数
1
1i的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D
【解析】11111(1)(1)22iiiii的共轭复数为1122i对应点为11(,)22，在第四象限，故选D. 2．集合
2,AxxxR，2230Bxxx，则ABI（ ）
A．(3,) B．(,1)(3,)U C．(2,) D．(2,3) 【答案】A 【解析】2230,13,Bxxx，2,AxxxR，故(3,)ABI.
故选：A. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间
()0,+?上单调递增的是（ ） 2
A．yx B．sinfxxx C．
2fxxx D．1yx
【答案】C 【解析】A：yx为非奇非偶函数，不符合题意； B：sinfxxx在0,上不单调，不符合题意； C：
2yxx
为偶函数，且在0,上单调递增，符合题意；
D：1yx为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 4．已知直线l过点2,0P，当直线l与圆
222xyx有两个交点时，其斜率k的取值范围为（ ）
A．22,22 B．22,44 C．
2,2 D．11,88
【答案】B 【解析】直线l为20kxyk，又直线l与圆222xyx有两个交点，
故2211kkk，∴2244k，故选B． 5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任
取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A．
310 B．15 C．110 D．1
20
【答案】C 【解析】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为
1
10，故选C. 3
6．已知函数
44cossinxxfx
,下列结论中错误的是( )
A．cos2fxx B．函数fx的图象关于直线0x对称 C．fx的最小正周期为
D．fx的值域为2,2
【答案】D 【解析】由442222()cossin(cossin)(cossin)cos2fxxxxxxxx，故A正确； 由定义可知()cos2fxx为偶函数，故B正确；由周期公式可得()fx的最小正周期为：22T，故C正确；由余弦函数的性质可得()cos2fxx的值域为[1，1]，故D错误；故选：D． 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，
上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格
纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 【答案】A 【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 4
则三棱柱的体积𝑉
1=12×3×2×2=6， 四棱锥的体积𝑉2
=13×1×3×2=2，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴𝑉=𝑉1+2𝑉2
=10立方丈=10000立方尺．故选A．
8．如图：在正方体
1111ABCDABCD中，点P是1BC的中点，动点M在其表面上运动，且与平面11
ADC
的距离保持不变，运行轨迹为S，当M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与11lMAMCMD之间满足函数关系lfx，则此函数图像大致是（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图象如图所示,由于平面1//BAC平面11ADC,故三角形1ABC即M点的运行轨迹.以D为坐标原点建立空间直角坐标系,故111,0,1,0,1,1AC.当M在11,1,22P时,0
232l,当M在
11,1,1B
是,1032ll,由此排除,AC两个选项.根据图象的对称性可知,当M在1PB和1BQ上运动时,图象应该对称,故排除B选项.所以选D.
9．“数列
na既是等差数列又是等比数列”是“数列na是常数列”的（ ）． 5
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】数列na既是等差数列又是等比数列，则可知na是常数列，所以充分性成立； 若na是0na常数列，则na不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列na既是等差数列又是等比数列”是“数列na是常数列”的充分不必要条件，故选A． 10．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图
案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．
3fxx
可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数
sinyx
可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数yfx是“优美函数”的充要条件为函数yfx的图象是中心对称图形 【答案】D 【解析】对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；
对于B：因为函数3fxx图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3fxx是该6
圆的“优美函数”，故选项B正确； 对于C：将圆的圆心放在正弦函数sinyx的对称中心上，则正弦函数sinyx是该圆的“优美函数”，故选项C正确；
对于D：函数yfx的图象是中心对称图形，则函数yfx是“优美函数”，但是函数yfx是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：
， 所以函数yfx的图象是中心对称图形是函数yfx是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误，故选：D.
二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．抛物线2yax的焦点为()1,0-，则a______. 【答案】-4 【解析】由焦点为1,0，得抛物线开口向左0a，且12p，即2p，所以24ap.
故答案为：4 12．已知向量
(3,2)m
ur，(,1)nr，其中R.若向量mur与23mnurr共线，则
_____. 7
【答案】32
【解析】由题可得23(63,1)mnurr，因为向量mur与23mnurr共线，
所以(63)230，解得32.故答案为：32.
13．已知双曲线
22
2:1(0)4xyCbb的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直
线PB的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________. 【答案】42
【解析】由双曲线方程知：2,0A，2,0B，
设00,Pxy，则200020001224PAPByyykkxxx，即22004xy， 又2200214xyb，24b，2228cab，双曲线C的焦距为242c
.故答案为：42.
14．已知等差数列na的公差0d,且139,,aaa构成等比数列nb的前3项,则1392410aaaaaa________;又若2d,则数列nb的前n项的和n
S________.
【答案】1316 31n
【解析】因为139,,aaa构成等比数列nb的前3项， 所以2319aaa，则211128adaad，化简得1ad， 所以*()nandnN，1392410(139)13(2410)16aaadaaad；