重庆市南开中学2016-2017学年高二上学期期中考试文科数学试题
重庆南开中学高2018届高二（上）半期考试
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）
1、双曲线2
2
13y x -=的渐近线方程为（）
A 、y =
B 、3y x =±
C 、13y x =±
D 、y = 2、命题“x R ∀∈，均有2sin 10x x ++<”的否定为（）
A 、R ∀∈，均有2sin 10x x ++<
B 、x R ∃∈，使得2sin 10x x ++<
C 、x R ∃∈，使得2sin 10x x ++≥
D 、x R ∀∈，均有2sin 10x x ++≥
3、椭圆22
11612
x y +=的左顶点到右焦点的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、6
4、“方程22
121
x y n n +=-+表示焦点在x 轴的椭圆”是“12n -<<”的（） A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
5、直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（）
A 、()0,1
B 、(
C 、()1,1-
D 、[]1,1-
6、已知点()1,3P -在抛物线2:2C y px =的准线上，其焦点为F ，则直线PF 的斜率是（）
A 、83-
B 、32-
C 、2-
D 、1-
7、直线l 经过椭圆(22
213
x y a a +=的一个焦点和一个顶点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的长轴长为（） A 、83 B 、4 C 、163 D 、6
8、已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上任意一点，且点13,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则P M P F +的最小值是（）
A 、112
B 、6
C 、72
D 、92
9、已知中心在原点的椭圆右顶点为()2,0，直线1y x =-与椭圆相交于,M N 两点，MN 中点的横坐标为23
，则此椭圆标准方程是（） A 、22
124x y += B 、22143x y += C 、22
132x y += D 、22
142
x y += 10、已知椭圆：()22
21039x y b b
+=<<，左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为8，则b 的值是（）
A 、
B
C
D 11、已知平行四边形ABCD 的顶点A 位于双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的中心，顶点B 位于该双曲线的右焦点，顶点C 在y 轴上，且45ABC ∠= ，顶点D 恰好在该双曲线左支上，则此双曲线的离心率是（）
A B C D 、52
12、已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>过左焦点()1,0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长1F E 交抛物线24y cx =于点P ，则线段PE 的长为（）
A 、2a
B 、3a
C 、(1a
D 、4a
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）。
13、抛物线24x y =-的准线方程为
14、若命题“直线2y kx =+与圆221x y +=有公共点”是假命题，则实数k 的取值范围是 15、已知椭圆2212516x y +=与双曲线22
18
x y m -=有共同的焦点12,F F ，两曲线的一个交点为P ，则12PF PF ⋅ 的值为
16、如图，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物
线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，AF BC 与相交于点E ，若3CF AF =，且ACE ∆的面积为3，则p 的值为
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17、（本小题满分10分）设命题p ：不等式2x x a +≥对0x ≥恒成立，命题q ：关于x 的方程220x x a --=在R 上有解，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围。
18、（本小题满分12分）已知圆22:4440C x y x y +--+=。
（1）求圆C 的圆心坐标和半径；
（2）直线l 过点()4,0A 、()0,2B ，求直线l 被圆C 截得的弦长。
19、（本小题满分12分）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为(),0F c 。
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；
（2）经过原点且倾斜角为30 的直线l 与双曲线右支交于点A ，且OAF ∆是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e 的值。
20、（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()3,P t 到焦点F 距离为4。
（1）求抛物线方程；
（2）经过点()4,0的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，()4,0M -，若直线,AM BM 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的最小值。
21、（本小题满分12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>()1,0F 。
（1）求椭圆方程；
（2）过F 作斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆上一动点，求PAB ∆面积的最大值。
22、（本小题满分12分）已知椭圆：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，正12AF F ∆的中心恰为椭圆的上顶点B ，且122BF BF ⋅=- ，点M 为椭圆上任一点，点N 与M 关于x 轴对
称。
（1）求椭圆的方程；
（2）点P 为椭圆上的一动点，直线,PM PN 都不与坐标轴平行，且分别与x 轴交于,C D 两点，从原点O 作经过点,C D 两点的圆E 的切线，切点为H ，判断OH 是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，求出OH 的范围。
南开中学数学高二上期中提高卷(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12998]用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．492．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．563．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．(0分)[ID ：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥5．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T<≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A．35B．1180C．119D．566．(0分)[ID：12967]将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A．192181020C CCB．1921810202C CCC．1921910202C CCD．192191020C CC7．(0分)[ID：12962]如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.8．(0分)[ID：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．359．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．9612510．(0分)[ID：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A ．7B ．4C ．5D ．1111．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．(0分)[ID ：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51813．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1814．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x15．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A．0B．2C．4D．14二、填空题16．(0分)[ID：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.18．(0分)[ID：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．20．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.21．(0分)[ID：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0,1，则输出的S=____________．22．(0分)[ID ：13056]为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END23．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．24．(0分)[ID ：13038]某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示） 25．(0分)[ID ：13123]在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______. 三、解答题26．(0分)[ID ：13224]某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价x （元）66.2 6.4 6.6 6.8 7 销量y （万件） 807473706558数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：ˆb=()121()()ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑=1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，ˆˆay bx =- 27．(0分)[ID ：13190]树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.28．(0分)[ID ：13184]袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b . (1) 记事件A 表示“2a b +=”, 求事件A 的概率；(2) 在区间[]0,2内任取2个实数,x y , 记()2a b -的最大值为M ,求事件“22x y M +<”的概率.29．(0分)[ID ：13143]某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.30．(0分)[ID ：13138]某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nniii i u u u nu u u unuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．B5．A6．A7．D8．B9．C10．C11．A12．C13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）217．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从18．【解析】19．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考20．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要22．-6或6【解析】当x＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写23．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传24．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间25．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】由题意可得：每个实数都大于13的概率为12133p=-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫=⎪⎝⎭.本题选择C选项.2．D解析：D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，故5 ()6 P A B=.故选：D.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．C解析：C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是959293.52+=，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为110，故D不正确.故选 C．4．B解析：B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C是包含关系，不是互斥事件；B与C是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．5．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.6．A解析：A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果， 根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.7．D解析：D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选D ．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．8．B解析：B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值.【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠；23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．C解析：C【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．C解析：C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =.故选C.11．A解析：A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步. 12．C解析：C【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．13．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.14．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即em＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s 2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为： s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1． 17．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从解析：7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为8001650=， 因为在33～48这16个数中取的数是39，所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=．【点睛】 本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．【解析】解析：45【解析】28910108149[10111]555x s ++++==∴=++++= 19．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为， 则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用 几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.20．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16【解析】【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 3355446661 6A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为16． 【点睛】 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要 解析：36【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.22．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去）当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．23．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传解析：1 4【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，∴P(A)=28=14.故答案为1 4点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.24．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间解析：2 15【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-=，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P=。
2017年重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B． C．D．2．（5分）命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（）A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞03．（5分）椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．64．（5分）“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]6．（5分）已知点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是（）A．B．C．﹣2 D．7．（5分）直线l经过椭圆的一个焦点和一个顶点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的长轴长为（）A．B．4 C．D．68．（5分）已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6 C．D．9．（5分）中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为8，则b的值是（）A．B．C．D．11．（5分）平行四边形ABCD的顶点A为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线的离心率为，过左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于点P，则线段PE的长为（）A．2a B．3a C．D．4a二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．13．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程为．14．（5分）若命题“直线y=kx+2与圆x2+y2=1有公共点”是假命题，则实数k的取值范围是．15．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则的值为．16．（5分）如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）设命题p：不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0．（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．19．（12分）双曲线的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F（1，0）．（1）求椭圆方程；（2）过F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点为F1、F2，正△AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，且，点M为椭圆上任一点，点N与M 关于x轴对称．（1）求椭圆的方程；（2）点P为椭圆上的一动点，直线PM，PN都不与坐标轴平行，且分别与x轴交于C，D两点，从原点O作经过点C，D两点的圆E的切线，切点为H，判断|OH|是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，求出|OH|的范围．2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B． C．D．【解答】解：由双曲线的方程得a2=1，b2=3，即a=1，b=，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，法2，令1为0，则由x2﹣=0，得y2=3x2，即y=±x，故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（）A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为：∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0．故选：C．3．（5分）椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：椭圆+=1，可得a=4，b=2，c=2，椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为：a+c=6．故选：D．4．（5分）“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴的椭圆，∴，解得﹣1＜n＜，∴方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的渐近线方程为：y=±x，直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（﹣1，1）．故选：C．6．（5分）已知点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，可得p=2，抛物线方程为：y2=4x；焦点坐标（1，0），直线PF的斜率是：=﹣．故选：B．7．（5分）直线l经过椭圆的一个焦点和一个顶点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的长轴长为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：椭圆，焦点在x轴上，短轴长2b=2，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，由椭圆中心到l的距离为其短轴长的，即d==×2，解得：c=1，由a2=b2+c2=4，a=2，椭圆的长轴长2a=4，故选：B．8．（5分）已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6 C．D．【解答】解：∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离=3+=．∴|PM|+|PF|的最小值是，故选：D．9．（5分）中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）A．B．C．D．【解答】解设椭圆方程为=1（a＞b＞0），依题意a=2，∴椭圆方程可以化为，把直线y=x﹣1代入得（4+b2）x2﹣8x+4﹣4b2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∵MN的中点的横坐标为，∴，解得b2=2．∴椭圆的标准方程是：．故选：D．10．（5分）已知椭圆（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为8，则b的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6，|AF2|+|BF2|的最大值为8，∴|AB|的最小值为4，当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为4，∴=4，解得b2=6，b=．故选：D．11．（5分）平行四边形ABCD的顶点A为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：B（c，0），由tan∠ABC==1，即丨AC丨=丨BC丨=c，由平行四边形的性质可知：丨CD丨=丨AB丨=c，则D点坐标为：D（﹣c，c），代入双曲线方程可知：，由c2=a2+b2，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，同除以a4，由e=，∴e4﹣3e2+1=0，解得：e2=，由e2＞0，则e2=，由e＞1，∴e==，故选：C．12．（5分）已知双曲线的离心率为，过左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于点P，则线段PE的长为（）A．2a B．3a C．D．4a【解答】解：双曲线的离心率为，且e2=1+，∴a=b，c=a，∴圆的半径为OE=a，|OF 1|=a，∴∠EF1O=45°∴直线PE的斜率为1，∴直线PE的方程为y=x+a，由，解得x=a，y=2a，∴|PF1|==4a，∴|PE|=|PF1|﹣|EF1|=4a﹣a=3a故选：B．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．13．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程为y=1．【解答】解：抛物线x2=﹣4y焦点在y轴的负半轴上，则=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣1），准线方程：y=1，故答案为：y=1．14．（5分）若命题“直线y=kx+2与圆x2+y2=1有公共点”是假命题，则实数k的取值范围是（﹣）．【解答】解：由题意可知：直线y=kx+2与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线y=kx+2距离d≤1，∴圆心（0，0）到直线y=kx+2距离d=≤1，解得：k≥或k≤﹣，由命题P“直线y=kx+2与圆x2+y2=1有公共点”是假命题，则￢P为真，∴﹣＜k＜，实数k的取值范围（﹣，），故答案为：（﹣，）．15．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则的值为8．【解答】解：椭圆的焦点F1（﹣3，0），F2（3，0），则根据双曲线的方程得m+8=32，解得m=1；联立方程组解得P（±，±），所以，•=（﹣3﹣，﹣）•（3﹣，﹣）=8；故答案为：816．（5分）如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为2．【解答】解：如图所示，F（，0），|CF|=3p．∵AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，∴|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．∴x A+=p，解得x A=，代入可取y A=p，=S△ABC==3∴S△ACE解得p=2．故答案为2．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）设命题p：不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，故a≤0，故p为真时：a≤0，若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，则a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故q为真时，a≥﹣1，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q一真一假，则或，故a＜﹣1或a＞0．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0．（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（2，2），半径为r=2（2）直线即x+2y﹣4=0，圆心（2，2）到直线l的距离，所以弦长=．19．（12分）双曲线的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．【解答】解：（1）由题可知a=b，所以c=a=b=2，则a=b=，则双曲线的方程为+=1，（2）由题|OA|=c，又OA的倾斜角为30°，所以A（c，c），代入双曲线方程有﹣=1，结合c2=a2+b2，可得3c4﹣8a2c2+4a4=0，解得e2=2或e2=（舍去）解得e=20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．【解答】解：（1）由抛物线的定义可得3+=4，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x；（2）设l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）．将x=my+4代入y2=4x得y2﹣4my﹣16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣16．∴x1+x2=4m2+8，x1x2=16．∴k1•k2==，∴m=0时，k1•k2取得最小值﹣．21．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F（1，0）．（1）求椭圆方程；（2）过F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）⇒，则椭圆方程为；（2）设h：y=x+m与椭圆+=1相切，联立得：9x2+10mx+5m2﹣10=0；∴△=0 得：m2=9，当m=3时，即h：y=x+3时直线l与h的距离d=，即为椭圆上动点P到直线L：y=x﹣1的最大距离，亦即为△PAB高的最大值， max=|AB|d max==．∴S△PAB22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点为F1、F2，正△AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，且，点M为椭圆上任一点，点N与M 关于x轴对称．（1）求椭圆的方程；（2）点P为椭圆上的一动点，直线PM，PN都不与坐标轴平行，且分别与x轴交于C，D两点，从原点O作经过点C，D两点的圆E的切线，切点为H，判断|OH|是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，求出|OH|的范围．【解答】解：（1）∵正三角形AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，∴，又，∴c2﹣b2=2，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆的标准方程为；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x1，﹣y1），C（m，0）D（n，0）．由题意可知mn＞0．则可设圆心E（），∵OH与圆E切于H，∴|OH|2=|OE|2﹣|CE|2=，又P、C、M三点共线，∴，得，同理可得：，则．又点M、N、P都在椭圆上，有，∴=．即|OH|=2为定值．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2016届重庆市南开中学高三上学期10月月考数学试卷(文科)解析版
2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则M∩N为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴M={x|x≥1}，由N中不等式变形得：2x（x﹣2）＜1=20，即x2﹣2x＜0，解得：0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．3．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A． B． C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．已知，则的值为（）A． B． C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．5．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率，故当过点A（1，2）时，有最大值为=2，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+×3=48+2π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2﹣2accos60°∴a2+c2﹣ac=3设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0∴△=84﹣3m2≥0，∴0＜m≤2m=2时，a=，c=符合题意∴m的最大值是2故选D．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点F为（﹣，0），一条渐近线方程为y=﹣2x，则F到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[﹣6，6]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的a=6，b=3，P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα）=6sin（α+），由0≤α＜2π，可得≤α+＜，即有sin（α+）∈[﹣1，1]，则m+2n的范围是[﹣6，6]．故答案为：[﹣6，6]．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法．【专题】综合题．【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=即可求出最小正周期；（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．【解答】解：===，（I）（II）∴，∴，∴，所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，可得圆心到直线的距离d≤r；（Ⅱ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）解：设圆心坐标为（a，﹣a+2），∵圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣7≤a≤13；（Ⅱ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BE中点M，连接AM，MF，则MF∥BC，MF=BC，证明四边形ADFM 是平行四边形，可得AM∥DF，即可证明：DF∥面ABE；（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B一CDF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ，∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴AD ∥MF ，AD=MF ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∵AM ⊂面ABE ，DF ⊄面ABE ，∴DF ∥面ABE ；（Ⅱ）解：由△BCE 为等边三角形，面BCE ⊥面ABCD ，BC=2，可得点E 到平面ABCD 的距离为，∴点F 到平面ABCD 的距离为，∵ABCD 为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S △BCD =，∴V B ﹣CDF =V F ﹣BCD =．【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B 一CDF 的体积，证明四边形ADFM 是平行四边形是关键．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）已知直线l ：x=my+1与椭圆相交于A ，B 两点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由=可得a=2c，b=c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA，k PB，从而化简t=k PA•k PB•k．从而由配方法求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）设c=，由题意，得=，所以a=2c，b=c．又点P（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．由题意，可知△＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，①所以直线PA的斜率k PA=，直线PB的斜率k PB=，所以t=k PA•k PB•k=••=代入①，化简可得t=﹣﹣=﹣（+）2+，则当m=﹣时，△ABP三条边所在直线的斜率的乘积t有最大值．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e，∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…【点评】本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．23．（2015•郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•河南二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。
重庆一中2017届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年重庆一中高三(上）期中数学试卷(文科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=2+i，则复数z=()A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．设全集I是实数集R，M=｛x｜x≥3｝与N=｛x|≤0}都是I的子集（如图所示）,则阴影部分所表示的集合为（）A．{x｜1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3｝ C．｛x｜1＜x≤3｝D．｛x｜1≤x≤3｝3．已知直线方程为cos300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（)A．60°B．60°或300°C．30°D．30°或330°4．函数f（x)=x2+xsinx的图象关于（)A．坐标原点对称 B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称5．点(﹣1，﹣2)关于直线x+y=1对称的点坐标是（)A．(3，2）B．（﹣3,﹣2) C．(﹣1,﹣2）D．（2，3)6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+B．3+C．2+D．3+7．已知函数f（x）=3x+x，g(x）=log3x+x，h（x)=log3x﹣3的零点依次为a，b,c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下:(1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示,其中x(单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2［x+］+4 B．y=2[x+］+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣］+59．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是(）A．（﹣∞，4）B．［1，2]C．[2，4］D．（2,+∞)10．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC,BC 的距离的乘积的最大值为(）A．12 B．8 C． D．3611．当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，) B．（，］C．（，1]D．（，+∞]12．已知函数f（x)=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f(x)≥f（2）成立,则（)A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．14．若函数y=（)x在R上是减函数，则实数a取值集合是．15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．16．已知函数f(x）=如果对任意的n∈N＊，定义f n(x）=，例如:f2(x）=f(f（x）），那么f2016(2)的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分。
重庆市沙坪坝区南开中学2017届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．104．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充要条件 B．充分部必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B． C．﹣2 D．26．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（）A．B．2 C．2D．37．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（，+∞）二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=．14．若，则a，b，c三者的大小关系为．（用＜表示）．15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于．16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π（1）求出ω的值；（2）求f（x）得单调区间．18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB （1）求A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4（1）求证：DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C：=1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx+（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）求|MN|．23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】补集及其运算；交集及其运算．【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】由题意可得=0，由此解得x的值，可得+的坐标，从而根据向量的模的计算公式求得|+|的值．【解答】解：由题意可得=（x，1）•（1，﹣2）=x﹣2=0，解得x=2．再由+=（x+1，﹣1）=（3，﹣1），可得|+|=，故选B．4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充要条件 B．充分部必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】考查四个选项知，可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A 不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）=sinA＞sinB综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，故选A5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B． C．﹣2 D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】先在sin2α﹣sinαcosα加上分母1，即，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．【解答】解：因为sin2α﹣sinαcosα====．故选A．6．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（）A．B．2 C．2D．3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求AC的值，进而利用余弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵A=，AB=2，△ABC面积为3=AB•AC•sinA=，∴解得：AC=6，∴BC===2．故选：C．7．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后所得函数为y=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，可得2m﹣=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．【解答】解：将函数y=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为y=cos[2（x+m）﹣]=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，可得2m﹣=kπ，k∈z，即m=+，故m的最小值为，故选：A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可确定振幅A及周期T，继而可求得ω=2，利用曲线经过（，2），可求得φ，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值．【解答】解：由图知，A=2，T=﹣=，∴T==π，解得ω=2，又×2+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin=．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图确定该几何体的构成，利用相应的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体的上部分为四棱锥，下部分为半个圆柱．则圆柱的高为2，底面圆的半径为1，∴半圆柱的体积为，∵正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，∴四棱锥底面正方体的边长为2，四棱锥的高为，∴四棱锥的体积为，∴该几何体的体积为，故选：C．10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（2x﹣1），化为|x|＞|2x﹣1|，即3x2﹣4x+1＜0，从而可得使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围．【解答】解：由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴3x2﹣4x+1＜0，∴．故选A．11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．【解答】解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选A．二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为﹣sin（α﹣），利用条件求得结果．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin[﹣（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案是：﹣．14．若，则a，b，c三者的大小关系为c＜a＜b．（用＜表示）．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和指数函数比较a，b，c与0，1的关系，即可得到答案．【解答】解：∵，∴0＜a＜b＜1，c＜0，∴c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于．【考点】球的体积和表面积．【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知：AA1=3，∴AA1=4正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：=．所以外接球的表面积为：4π（）2=．故答案为：．16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．【考点】函数与方程的综合运用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=2π时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．【解答】解：∵函教f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=的三个相邻交点的横坐标分别是π，3π，7π，∴当x=2π时函数取得最大值，当x=5π时函数取得最小值，T=6π，且在区间[2π，5π]上单调递减，所以原函数递减区间[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）故答案：[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π（1）求出ω的值；（2）求f（x）得单调区间．【考点】正弦函数的单调性．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．（2）根据f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx=2sinωx•（﹣）﹣2cosωx•+2sinωx=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的最小正周期T=||=π，∴ω=±2．（2）①当ω=2时，f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．同理，令2kπ+≤2x﹣≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．②当ω=﹣2，f（x）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．同理，令2kπ+≤2x+≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB （1）求A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理和三角函数公式可得cosA=，可得A=；（2）由余弦定理结合基本不等式可得4=b2+c2﹣bc≥2bdc﹣bc，可得bc的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵（2c﹣b）cosA=acosB，∴由正弦定理可得（2sinA﹣sinB）cosA=sinAcosB，变形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，∵C为三角形的内角，sinC≠0，∴cosA=，A=；（2）∵由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据可得4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积的最大值为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4（1）求证：DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DE⊥AC，PA⊥DE，由此能证明DE⊥面PAC（2）取PD中点Q，三棱锥P﹣QBE体积，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4，∴在梯形ABCD中，tan∠ADE=2=tan∠BAC，∴∠ADE=90°﹣∠DAC，∴DE⊥AC，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DE，∵PA∩AC=A，∴DE⊥面PAC解：（2）取PD中点Q，∴三棱锥P﹣QBE体积：==．20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C：=1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，=，b=1，可得a=2，即可求椭圆的标准方程；（2）推导出k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，由此能利用韦达定理能求出k1k2值．【解答】解：（1）由题意，=，b=1，∴a=2，∴椭圆方程为=1；（2）由圆P与直线OA：y=k1x相切，可得=，即（4﹣5x02）k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0，同理，（4﹣5x02）k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0，即有k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，可得k1k2===﹣．21．已知函数f（x）=lnx+（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，根据函数的极值的个数从而求出a的范围；（2）通过讨论a的范围，判断函数的零点个数．【解答】解：f′（x）=+=，（1）△＞0，﹣＞0，即a＜﹣4时，f′（x）有2个不同正根，则f（x）在（0，），（，+∞）递增，在（，）递减，此时函数有2个极值点，当a≥﹣4时，（x+1）2+ax≥（x+1）2﹣4x≥0，f′（x）≥0，此时不成立，故a＜﹣4；（2）x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→+∞，由（1）a≥﹣4时，f′（x）≥0，此时恰有1个零点，a＜﹣4时，f（x）在x0=取极大值，此时f（x0）=lnx0﹣=lnx0﹣（x0+1），设g（x）=lnx﹣（x+1），g′（x）=﹣1，则g（x）在x=1处取极大值﹣2，即g（x）恒小于0．从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）求|MN|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程．（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣4x﹣4=0，利用根与系数的关系及其|MN|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，可得直角坐标方程：y2+4y﹣（x2+y2）=0，即x2=4y．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=x+1．（2）联立，化为：x2﹣4x﹣4=0，∴|MN|===8．23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，利用条件建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）利用|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|，即可证明结论．【解答】（1）解：关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，∵关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]，∴，∴a=2，b=4；（2）证明：∵实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，∴|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|＜=．2016年12月20日。
重庆市南开中学2016届高三上学期期中数学(文)试题 Word版无答案
Q（
D、 0,2
）
2i 的共轭复数 z （ 1 i A、 1 i B、 1 i
D、 1 i
3、抛物线 y 4 x 2 的焦点坐标是（ A、 0,1 B、 1,0
Go the distance
17 、 （本小题满分 12 分）已知 ABC 中，内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ，满足非零向量
m cos A,cos2 A ， n sin A, 3 ，且 m n 。
（1）求角 A 的值； （2）已知 b c 4m 2 3 n , a 4 2 ，求 ABC 的面积。
A、 B、 8、已知直线 l 过点 1,0 ，且倾斜角为 （ A、 ）
4 cm3 3 C、3 cm3
，当此直线与抛物线 y 2 4 x 交于 A, B 时， AB 3
C、8 D、
16 3
B、16
16 3 3
Go the distance
9、已知函数 y sin 2 x ，若将其图象向右平移 0 个单位后所得的图象关于原点 6
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔填涂题号。 22、 （本小题满分 10 分）过圆 O 外一点 A 作圆的切线 AE ，割线 ABC 交圆 O 于 B, C 两点， 且 AC 3 AB ，连接 OE 交 BC 于点 D ，已知圆 O 的半径为 2，
15、 已知直线 l 过 P 2,1 且与椭圆
。
x2 y 2 当 P 为 AB 中点时， 直线 AB 的 1 交于 A, B 两点， 9 4 方程为 。 16 、正四面体 ABCD 的外接球半径为 2 ，过棱 AB 作该球的截面，则截面面积的最小值 为 。
2017-2018年重庆市南开中学高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2017-2018学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3，x∈N}，B={x|﹣3＜x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）已知直线a，b与平面α，b⊂α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且x+（y﹣2）i=1+i，则在复平面上对应的点坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．4．（5分）已知向量、满足，，且，则向量与的夹角是（）A．B．C． D．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知，且f（a）=3，则f（a+2）=（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，其中xy＞0，且，则的最小值为（）A．16 B．18 C．25 D．278．（5分）古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．109．（5分）函数的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，对∀x∈R，有，且当x1，x2满足f（x1）=f（x2）=0时，|x1﹣x2|的最小值为．现将f（x）图象向左平移个单位得到h（x）的图象，则h（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若存在正数m，n满足，使f（x）在[m，n]的值域为[km+1，kn+1]，则实数k的取值范围为（）A．（4，6﹣ln2] B．[6﹣ln2，8）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．13．（5分）已知A为△ABC一个内角，且，则=14．（5分）观察1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++……根据以上事实，可猜想下式横线处应填的值为.=15．（5分）函数f（x），g（x）分别为定义在区间[﹣4m﹣1，m2+2m+2]（m∈R）上的偶函数和奇函数，且满足f（x）+g（x）=2x+2x2+1，则f（m）=16．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1同一顶点上的三条棱AB=2，AA1=4，AD=4，E，F分别为BB1、CC1的中点，则四棱锥A﹣EFD1A1外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：60分.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=8，S4=26．（1）求通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，CD=2，∠C=120°，，BD=2AD，∠ADB=2∠BDC．（1）求sin∠BDC的值（2）求线段AB的长度．19．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD ⊥平面ABCD，PA=PD=AB=3，AD=2，∠DAB=60°，E、F分别是PA、CD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足2S n=λa n+1﹣1，n ∈N*，λ≠0．（1）求实数λ的值及通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项为T n，并证明：T n≤n•S n．21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=x2+ax，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线l与曲线y=g（x）也相切，求实数a 的值；（2）设M，N分别是曲线y=f（x）和曲线y=g（x）上的点且横坐标均为x（x＞0），O为坐标原点，记F（x）=•，若x=1是函数F（x）的极值点，求实数a的值，并判断F（x）在x=1处取得极大值还是极小值，请说明理由．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，P（1，0），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ•tanθ=a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点A、B．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=2|x|+|x﹣1|．（1）解关于x的不等式f（x）＜3；（2）设实数a，b∈（0，+∞），且函数f（x）的最小值为a+b，求证：．2017-2018学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3，x∈N}，B={x|﹣3＜x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：根据题意，集合A={x||x|＜3，x∈N}={0，1，2}B={x|﹣3＜x＜1}，则∁R B={x|x≤﹣3或x≥1}，则A∩（∁R B）={1，2}；故选：B．2．（5分）已知直线a，b与平面α，b⊂α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a⊂α，由“a⊥b”推不出“a⊥α”，不是充分条件，若a⊥α”，b⊂α，则a⊥b，是必要条件，故选：B．3．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且x+（y﹣2）i=1+i，则在复平面上对应的点坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．【解答】解：由x+（y﹣2）i=1+i，得x=1，y=3．则=，∴在复平面上对应的点坐标为：（，）．故选：D．4．（5分）已知向量、满足，，且，则向量与的夹角是（）A．B．C． D．【解答】解：向量、满足，，且，∴•（﹣）=﹣•=0，∴•==9，∴cos＜，＞===，∴向量与的夹角是．故选：A．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移y=﹣2x+z，由图象得当直线y=﹣2x+z经过C时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即C（1，1），代入得z=2×1+1=3，故选：C．6．（5分）已知，且f（a）=3，则f（a+2）=（）A．B．C．D．【解答】解：若0＜a≤2，令，解得合乎题意，当a＞2时，令，解得a=﹣2，不合乎题意，因此，，故选：B．7．（5分）已知向量，其中xy＞0，且，则的最小值为（）A．16 B．18 C．25 D．27【解答】解：向量，其中xy＞0，且，可得x﹣1=﹣2y，即x+2y=1，x＞0，y＞0，即有=（x+2y）（）=2+8++≥10+2=18，当且仅当x=y=时，则的最小值为18，故选：B．8．（5分）古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，则由题意知：=5，解得a1=，，解得2n≥311，由29=512，28=256，∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9天．故选：C．9．（5分）函数的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故A错误；∵x＜0时，＜0，x＞0时，＞0，故B错误；当x＞0时，，由f（0）=0，f（1）==，f（2）==，f（3）==，得：当x＞0时，，先增后减，故D错误．由排除法得C正确．故选：C．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体的上部分为四棱锥，下部分为半个圆柱．则圆柱的高为2，底面圆的半径为1，∴半圆柱的体积为，∵正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，∴四棱锥底面正方体的边长为2，四棱锥的高为，∴四棱锥的体积为，∴该几何体的体积为，故选：C．11．（5分）已知函数，对∀x∈R，有，且当x1，x2满足f（x1）=f（x2）=0时，|x1﹣x2|的最小值为．现将f（x）图象向左平移个单位得到h（x）的图象，则h（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，对∀x∈R，有，∴f（x）的图象关于直线x=对称．∵当x1，x2满足f（x1）=f（x2）=0时，|x1﹣x2|的最小值为，∴=2×，∴ω=2，故f（x）=sin（2x+）．将f（x）图象向左平移个单位得到h（x）=sin（2x++）=cos2x的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，可得函数h（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：D．12．（5分）已知函数，若存在正数m，n满足，使f（x）在[m，n]的值域为[km+1，kn+1]，则实数k的取值范围为（）A．（4，6﹣ln2] B．[6﹣ln2，8）C．D．【解答】解：，导函数单调递增，故若存在正数m，n满足，使f（x）在[m，n]的值域为[km+1，kn+1]，即方程f（x）=kx+1有两个不等根，构造函数，此函数单调递增，在上有一个零点，使得导函数为0，并且为原函数的极小值点，设零点为n，则要求联立两式消去参数k得到，解得n＞1，因为是增函数，结合n的范围得到k＞4，又因为，解得k≤6﹣ln2．综上得到k的范围为：（4，6﹣ln2]，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．13．（5分）已知A为△ABC一个内角，且，则=7【解答】解：A为△ABC一个内角，且，可得sinA==，则==7．故答案为：7．14．（5分）观察1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++……根据以上事实，可猜想下式横线处应填的值为.=【解答】解：观察1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++……由此得到：1﹣+﹣+﹣+…+=，∴=．故答案为：，．15．（5分）函数f（x），g（x）分别为定义在区间[﹣4m﹣1，m2+2m+2]（m∈R）上的偶函数和奇函数，且满足f（x）+g（x）=2x+2x2+1，则f（m）=【解答】解：根据题意，f（x），g（x）分别为定义在区间[﹣4m﹣1，m2+2m+2]（m∈R）上的偶函数和奇函数，则有﹣（4m+1）+（m2+2m+2）=m2﹣2m+1=0，解可得m=1，又由f（x）+g（x）=2x+2x2+1，①则f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x+2x2+1，②①+②可得：f（x）=（2x+2﹣x）+2x2+1，则f（m）=f（1）=（2+）+2+1=，故答案为：．16．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1同一顶点上的三条棱AB=2，AA1=4，AD=4，E，F分别为BB1、CC1的中点，则四棱锥A﹣EFD1A1外接球的体积为288π．【解答】解：如下图所示，易知，同理可得，且A 1D1⊥平面AA1E，∵AA1=4，所以，．所以，△AA1E外接圆的半径为，所以，四棱锥A﹣EFD1A1外接球的半径为，因此，四棱锥A﹣EFD1A1外接球的体积为，故答案为：288π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：60分.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=8，S4=26．（1）求通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设公差为d，则有，解得a1=2，d=3故a n=3n﹣1．（2），∴，∴=．18．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，CD=2，∠C=120°，，BD=2AD，∠ADB=2∠BDC．（1）求sin∠BDC的值（2）求线段AB的长度．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△BCD中，∠BDC+∠CBD=60°，故，…………（2分）所以sin∠BDC=sin（60°﹣∠CBD）=sin60°cos∠CBD﹣cos60°sin∠CBD=．…………（4分）（2）在△BCD中，由正弦定理得，解得=，故，…………（8分）又，…………（10分）所以．………………（12分）19．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD ⊥平面ABCD，PA=PD=AB=3，AD=2，∠DAB=60°，E、F分别是PA、CD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（1）取PB中点M，连接EM，MC，∵E是PA的中点，∴EM∥AB，且，又CF∥AB，且，∴EM∥FC且EM=FC，∴四边形EMCF为平行四边形，∴EF∥CM．…………（3分）又EF⊄平面PBC，CM⊆平面PBC，∴EF∥平面PBC．…………（5分）解：（2）∵EF∥平面PBC，∴点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，∴V E=V F﹣PBC=V P﹣FBC．……………………（7分）﹣PBC取AD中点H，连结PH，∵PA=AD=3，∴PH⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PH⊥平面ABCD．……………………（9分）由题意得，………………（10分）∴三棱锥E﹣PBC的体积．………………（12分）20．（12分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足2S n=λa n+1﹣1，n ∈N*，λ≠0．（1）求实数λ的值及通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项为T n，并证明：T n≤n•S n．【解答】解：（1）当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=（λa n+1﹣1）﹣（λa n﹣1），得．（2分）又由2S1=λa2﹣1及S1=a1=1得……………（3分）因{a n}为等比数列，故有，解得λ=1；此时，数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以．………………（5分）（2）………………（6分）T n=1+2×3+3×32+……+n•3n﹣1，3T n=1×31+2×32+…+（n﹣1）×3n﹣1+n×3n，相减得：=所以，又…………（10分）故令，则，故f（n）单调递减，又f（1）=0，所以f（n）≤0恒成立，所以T n≤nS n．…………（12分）21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=x2+ax，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线l与曲线y=g（x）也相切，求实数a 的值；（2）设M，N分别是曲线y=f（x）和曲线y=g（x）上的点且横坐标均为x（x＞0），O为坐标原点，记F（x）=•，若x=1是函数F（x）的极值点，求实数a的值，并判断F（x）在x=1处取得极大值还是极小值，请说明理由．【解答】解：（1）f（x）=lnx的导数为f′（x）=，可得切线的斜率为k=1，切线的方程为y=x﹣1，由题意联立y=x2+ax，可得x2+（a﹣1）x+1=0，由△=（a﹣1）2﹣4=0，可得a=3或﹣1；（2）由题意可得M（x，lnx），N（x，x2+ax），则F（x）=•=x2+（x2+ax）lnx，可得F′（x）=3x+（2x+a）lnx+a，若x=1是函数F（x）的极值点，可得F′（1）=3+a=0，解得a=﹣3；则F′（x）=3x﹣3+（2x﹣3）lnx，F″（x）=5+2lnx﹣，在x＞1递增，可得F″（x）＞F″（1）=2＞0，即有F′（x）在x＞1递增，可得F′（x）＞0，F（x）在x＞1递增；当＜x＜1时，F′（x）=3x﹣3+（2x﹣3）lnx＜0，可得F（x）在＜x＜1递减，可得F（x）在x=1处为极小值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，P（1，0），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ•tanθ=a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点A、B．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，求实数a的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为，……（2分）∵曲线C的极坐标方程为ρsinθ•tanθ=a（a＞0），由ρsinθ•tanθ=a得，ρ2sin2θ=aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=ax．…（4分）（2）将直线l的参数方程代入y2=ax，得3t2﹣2at﹣4a=0，△=4a2+48a＞0……（6分）设两根为t1，t2，则由，得t1=﹣2t2，∴，解得a=．……（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=2|x|+|x﹣1|．（1）解关于x的不等式f（x）＜3；（2）设实数a，b∈（0，+∞），且函数f（x）的最小值为a+b，求证：．【解答】解：（1）不等式可化为或或解得或0＜x≤1或所以不等式的解集为．………………（4分）（2），f（0）=1，f（1）=2，故f min（x）=1，即a+b=1……（6分）因a＞0，b＞0且a+b=1所以≥2+2=4当且仅当时取等号．………………（10分）。
重庆市南开中学2016届高三上学期10月月考数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x （x ﹣2）＜1}，则M ∩N 为（ ）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）=，若f[f （0）]=4a ，则实数a 等于（ ）A ．B ．C ．2D ．94．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣86．已知变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．27．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．212．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l 和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则M∩N为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴M={x|x≥1}，由N中不等式变形得：2x（x﹣2）＜1=20，即x2﹣2x＜0，解得：0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．3．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．已知，则的值为（）A． B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．5．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率，故当过点A（1，2）时，有最大值为=2，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+×3=48+2π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2﹣2accos60°∴a2+c2﹣ac=3设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0∴△=84﹣3m2≥0，∴0＜m≤2m=2时，a=，c=符合题意∴m的最大值是2故选D．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点F为（﹣，0），一条渐近线方程为y=﹣2x，则F到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[﹣6，6]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的a=6，b=3，P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα）=6sin（α+），由0≤α＜2π，可得≤α+＜，即有sin（α+）∈[﹣1，1]，则m+2n的范围是[﹣6，6]．故答案为：[﹣6，6]．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法．【专题】综合题．【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=即可求出最小正周期；（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．【解答】解：===，（I）（II）∴，∴，∴，所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，可得圆心到直线的距离d≤r；（Ⅱ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）解：设圆心坐标为（a，﹣a+2），∵圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣7≤a≤13；（Ⅱ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ，证明四边形ADFM 是平行四边形，可得AM ∥DF ，即可证明：DF ∥面ABE ；（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B 一CDF 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ， ∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴AD ∥MF ，AD=MF ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∵AM ⊂面ABE ，DF ⊄面ABE ，∴DF ∥面ABE ；（Ⅱ）解：由△BCE 为等边三角形，面BCE ⊥面ABCD ，BC=2，可得点E 到平面ABCD 的距离为，∴点F 到平面ABCD 的距离为，∵ABCD 为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S △BCD =，∴V B ﹣CDF =V F ﹣BCD =．【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B 一CDF 的体积，证明四边形ADFM 是平行四边形是关键．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由=可得a=2c，b=c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA，k PB，从而化简t=k PA•k PB•k．从而由配方法求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）设c=，由题意，得=，所以a=2c，b=c．又点P（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．由题意，可知△＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，①所以直线PA的斜率k PA=，直线PB的斜率k PB=，所以t=k PA•k PB•k=••=代入①，化简可得t=﹣﹣=﹣（+）2+，则当m=﹣时，△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，设函数g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2，且函数g （x ）有且仅有一个零点，若e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，可得a=，令h （x ）=，证明h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求得函数g （x ）有且仅有一个零点a 的值，然后结合e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求出g （x ）max ，即可求得m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx ﹣x 2+2，定义域（0，+∞）， ∴f ′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．∴f ′（1）=﹣3，又f （1）=1，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；（Ⅱ）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即a=，令h （x ）=，则h ′（x ）=，令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t ′（x ）=， ∵x ＞0，∴t ′（x ）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e，∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…【点评】本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．23．（2015•郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•河南二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。
重庆市重庆一中1617学年度高二上学期期末考试——数学文(数学文)
重庆市重庆一中2016—2017学年度上学期期末考试高二数学文试题数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题(每小题5分,共60分，每小题只有一个选项是正确的,把正确答案填写在括号内)1．设命题：，则为（）A．B．C．D．2．已知函数的导函数是（）A．B．C．D．3．已知是两个命题，是假命题，则（）A．B．C．D．4．圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离5．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．6．设，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列叙述正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A． B. C. D.11．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）12．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 二.填空题(每小题5分,共20分，把正确答案填在横线上) 13．若直线：与直线：垂直，则 .14．已知函数()sin 2()3f x x xf π'=+，则 .15.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于两点，且直线过点,则双曲线的离心率为___________ 16. 已知三棱锥中，平面平面，，,,则三棱锥的外接球的表面积为___________________三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程） 17（原创）．（本小题满分10分）已知以点为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上.（1）求圆的方程； （2）:10,,l x y C M N MN 设直线与圆交于点求弦的长。
重庆市南开中学高二期中考试(数学文).doc
重庆市南开中学高二上学期半期考试试题(数学文)(一卷)一、选择题(每小题5分，共50分)1．曲线22139x y -=的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．22．过曲线用2y x =与2x y =交点的直线方程为( )A ．0x y +=B ．0x y -=C ．0x y +=或10x y -+=D ．0x y -=或 10x y ++=3．椭圆22189x y k +=+的焦距为4，则k 的值是( ) A ．5或-3 B ．-5或3 C ．5 D ．-34．过点(2，1)的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦最长的直线方程为( )A ．30x y +-=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．10x y --=5．已知动点P 在曲线26y x =上，若以P 为圆心的圆与直线32x =-相切，则该圆恒过定点( )A ．(3,04)B ．(3,02) C ．0) D ．(3，0) 6．已知圆22P :40x y x +-=，若直线4x y +=交圆P 于M N 、两点，则|MN |为( )A ．2B ．C ．D ．47．过点(1，3)且与双曲线2214y x -=只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．已知椭圆222212x y a b+=与双曲线222212x y a b -=有公共焦点，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．69. 已知动点P(,)x y 在椭圆2244x y +=上，则1x y ++的最大值为( )A. 1B. 4C.D. 110. 已知双曲线22221x y a b-=的左顶点A ，右焦点F ，M 在双曲线上，FM x ⊥轴，以F 为圆心，FM 为半径作圆P ，过A 作圆P 的两条切线，两切线段的夹角3π，则该双曲线的离心率为( )D.32(二卷)二、填空题(每小题5分，共25分)11. 抛物线2y x =的准线方程为 。