晶体学基础
材第二章_晶体学基础
25
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
26
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
27
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
28
2.3、晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直 线 来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。
8
2.2 布拉菲点阵
点阵（晶格）模型
晶胞
代表性的基本单元（最小平行六面体）
9
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
10
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
1
2
6
3
4 5
晶体学选取晶胞的原则
47
描述晶胞从以下几个方面： 晶胞中原子的排列方式 (原子所处的位置) 点阵参数 (晶格常数和晶轴间夹角) 晶胞中原子数 原子半径 R(原子的半径和点阵常数关系) 配位数和致密度 密排方向和密排面 晶体结构中间隙 (大小和数量) 原子的堆垛方式
48
三种典型金属晶体结构刚球模型
间隙有两种:四面体间隙和八面体间隙 八面体间隙: 位于晶胞体中心和每个棱边的中点， 由 6 个面心原子所围成,大小rB=0.414R，rB为间隙半径， R为原子半径，间隙数量为4个。
面心立方八面体间隙
55
面心立方四面体间隙
四面体间隙:由一个顶点原子和三个面心原子围成，其大 小：rB=0.225R，间隙数量为8个。
42
晶带定理的应用
2-1-晶体学基础
原始晶胞)、 素晶胞 (原始晶胞 、复晶胞 原始晶胞
晶胞参数： 晶胞参数：大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离： ½ a. 之间的距离：
Cs+ 与 Cl- 之间的距离： a . 之间的距离：
3 2
结构基元数目： 结构基元数目：
4
1
2
8
晶体结构： 晶体结构：空间点阵 + 结构基元
31
32
7 个晶系和 32 个点群
33
空间群
空间群：晶体的全部对称性群。 空间群：晶体的全部对称性群。 全部对称性群 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 点群操作和平移操作的组合 共有230个晶体空间群。 个晶体空间群。 共有
34
石英晶体：m 与 m 面 (法线 夹角为 法线) 石英晶体： 法线 60°0'，m 与 r 面 (法线 夹角为 38°13' 法线) ° ， 法线 °
理想石英晶体: 六个m面原组成六方柱 理想石英晶体 六个 面原组成六方柱 歪晶: 外界环境的影响，形态畸变。 歪晶 外界环境的影响，形态畸变。 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性， 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性，绘制出理想的晶 体形态图，为几何结晶学研究打下基础， 体形态图，为几何结晶学研究打下基础，并为晶体内部结构的探索给予了 有益的启发； 有益的启发； 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。
13
Fe，Ni: 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， ， 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， 吸收可见光，使其具备很深的颜色。 吸收可见光，使其具备很深的颜色。
材料科学基础-第1章
晶面指数及晶面间距
现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由 英国晶体学家ler于1939年提出的。
z
确定晶面指数的具体步骤如下： 1.以各晶轴点阵常数为度量单位,求 出晶面与三晶轴的截距m,n,p； 2.取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p； 3. 将以上三数值简为比值相同的三 个最小简单整数,即 1 1 1 h k l (553) : : : : h:k :l x m n p e e e 其中e为m,n,p三数的最小公倍数,h,k,l为简单整数； 4.将所得指数括以圆括号, (hkl)即为密勒指数。
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
§ 1.5 晶体结构的对称性
一、对称：对称是指物体相同部分作有规律的 重复。对称操作所依据的几何元素，亦即在对 称操作中保持不动的点、线、面等几何元素称 为对称元素。 二、对称性
1．晶体的宏观对称性 2. 晶体的32种点群 3. 晶体的微观对称性 4．230种空间群
晶体结构＝空间点阵+基元
注意：上式并不是一个数学关系式，而只是用来表示这三者之间的 关系。
二、晶体的点阵理论
1 、点阵(Lattice):
将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数 学上的点来代表 , 称为点阵点，整个晶体就被抽象成一组 点,称为点阵。 1 点阵点必须无穷多； 点阵必须具备的三个条件 2 每个点阵点必须处于相同的环境； 3 点阵在平移方向的周期必须相同。
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
晶体学基础
abc
abc
90
90
三斜
abc
3. 点阵类型
7大晶系 包含14 种空间 点阵— —布拉 菲 (A.Brav ais)点阵
§1-2晶面指数、晶向指数——Miller指数
晶面——穿过晶体的原子平面。 晶向——晶体中任意原子列的直线方向。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和取向。这就是 晶体具有各向异性的原因。
( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
思考： {111}包含多少个等价面？
三、 晶向指数与晶面指数的关系
在立方晶系中（包括密排六方）：
[u v w] // (h k l) 时，一定满足：hu+kv+lw = 0 [u v w] (h k l) 时，一定满足：h=u, k=v, l=w
同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族， 用< >括号表示。 例如<100>包含：[100],[010],[001 ],[1 00],[0 1 0],[001] z [011] 不通过原点的晶向： (x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
一、晶向指数
确定晶向指数的步骤： 建立坐标系：oxyz， 晶格长度作为单位长度，原点o在待定晶向上；
找出该晶向上除原点外的任意一点的坐标：x,y,z； 将x,y,z 按比例划成互质(最小)整数u,v,w；
将u,v,w 三个数放在方括号内，就得到晶向指数[uvw]。
[说明]： 晶向指数表示的是一族平行的晶向，即相互平行的晶向 具有相同的晶向指数；
[0 1 0]
o x
[1 0 1] [010] y
晶体学基础
2020/3/3
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1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
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空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
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空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
材料科学基础 第1章 晶体学基础
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
第五讲 晶体学基础
第五讲晶体学基础*（一）晶体(crystal)的点阵结构（1）晶体的结构特征晶体是内部粒子（原子分子离子）或离子集团在空间按一定的规律周期性排列的固体。
周期性是指一定种类的粒子（原子或原子团）在空间一定的方向上每隔一定的距离重复出现的现象。
周期性重复的两要素：周期性重复的内容（结构基元(structural motif)）和重复大小和方向。
（2）点阵(lattice)结构点阵: 连接任意两点的向量平移后能重合的一组点。
a 线性高分子—(CH2)n—与直线点阵素向量b As2O3，B(OH)3,石墨与平面点阵平面点阵单位：正方，六方，巨型，带心，一般。
c NaCL晶体与空间点阵点阵单位：素单位(P) 底心(C) 体心(I) 面心(F)(3) 晶体与点阵对应关系：晶楞--直线点阵；晶面--平面点阵；晶体--空间点阵；*晶体结构= 点阵+ 结构基元（晶体基本特征）（二）晶胞晶胞：空间点阵单位所截出晶体的一块平行六面体。
（1）晶胞(crystal cell)两要素：大小形状和内容。
（2）晶胞参数: 三个互不平行的楞长(a,b,c)及他们的夹角γαβ。
<ab γ,<bc=α,<ca=β(3)原子坐标：晶轴：a, b, c ;分数坐标例NaCL: Na 0 0 0, 1/2 1/2 0, 0 1/2 1/2, 1/2 0 1/2Cl 1/2 0 0, 0 1/2 0, 0 0 1/2, 1/2 1/2 1/2CsCL: Cs 0 0 0, Cl 1/2 1/2 1/2（CC 4）: C=Na,C / 1/4 1/4 1/4, 1/4 3/4 3/4, 3/4 1/4 3/4, 3/4 3/4 1/4* 坐标系不变，原子移动：例：*坐标系平移(原点选择不同)：例: 金刚石（CC 4）(4)两点间距离：P 2—P 1 =b y y a x x )()(1212-+-+c z z )(12-= [(P 2-P 1).(P 2-P 1)]1/2正交：P 2—P 1 = [(x 2-x 1)2a 2+(y 2-y 1)2b 2+(z 2-z 1)2c 2]1/2可用于计算键长P 2--P 1 ,键角(c 2=a 2+b 2-2abCosin ab α)及二面角，确定分子结构，讨论分子性能；计算分子间的距离，讨论分子间作用力及氢键等。
第一章 晶体学基础
例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— ∞
11∞ ( 1 1 0)
绘出( 3 3 4 ) 和 ( 1 1 2 ) 晶面
取倒数
111
化简
3
( 334 )
(-
)
( -1 1 )
334
4
(11 2)
( 1 -1 1 ) 2
请绘出下列晶向： [001] [010] [100]
[110] [1 1 0] [10 1] [112] 请绘出下列晶面： (001) (010) (100) (110) (1 1 0) (10 1) (112)
单胞
晶体结构与点阵的关系
-Fe
CsCl bcc
a a
a
a
simple cubic
a a
-Fe
Cu3Au
CuAu
fcc
a
a
c
a
a simple cubic
a a Simple tetragonal
aa
-Fe
NaCl
a a
a fcc
CaF2
ZnS
a a
a fcc
晶体结构是晶体的直接表达； 点阵是对晶体结构的数学抽象。
数学抽象
晶体法则结：构的周期性和对称性，
1. 一个或几个小球合并成一个数学点
由于2. 高各度阵对称点的的几何周关围系 环境相同， 它只结原果子能：或有原子1群4中具有类相型同的环境
得到
数学点的集合
得到
空间点阵
原子的具体排列方式
直接表达
数学抽象
晶体结构
空间点阵
提取
有代表性的、基本的单元
提取
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竞赛要求:初赛要求：晶体结构。
晶胞。
原子坐标。
晶格能。
晶胞中原子数或分子数的计算及与化学式的关系。
分子晶体、原子晶体、离子晶体和金属晶体。
配位数。
晶体的堆积与填隙模型。
常见的晶体结构类型，如NaCl、CsCl、闪锌矿（ZnS）、萤石（CaF2）、金刚石、石墨、硒、冰、干冰、尿素、金红石、钙钛矿、钾、镁、铜等。
决赛要求：晶体结构。
点阵的基本概念。
晶系。
宏观对称元素。
十四种空间点阵类型。
第七章晶体学基础Chapter 7. The basic knowledge of crystallography§7.1 晶体结构的周期性和点阵(Periodicity and lattices of crystal structures)一、.晶体远古时期,人类从宝石开始认识晶体。
红宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震憾人们的感官。
名贵的宝石镶嵌在帝王的王冠上，成为权力与财富的象征，而现代人类合成出来晶体，如超导晶体YBaCuO、光学晶体BaB2O4、LiNbO3、磁学晶体NdFeB等高科技产品，则推动着人类的现代化进程。
世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，一类是非晶态。
自然界存在大量的晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰川都是晶体组成。
人类制造的金属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某种规律周期性地排列。
另一类固态物质，如玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物质。
晶体结构最基本的特征是周期性。
晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成的固态物质，具有三维空间周期性。
由于这样的内部结构，晶体具有以下性质：1、均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相同的密度，相同的化学组成。
晶体的均匀性来源于晶体由无数个极小的晶体单位（晶胞）组成，每个单位里有相同的原子、分子按相同的结构排列而成。
气体、液体和非晶态的玻璃体也有均匀性，但那些体系中原子无规律地杂乱排列，体系中原子的无序分布导致宏观上统计结果的均匀性。
2、各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，如不同的方向具有不同的电导率，不同的折光率和不同的机械强度等。
晶体的这种特征，是由晶体内部原子的周期性排列所决定的。
在周期性排列的微观结构单元之中，不同方向的原子或分子的排列情况是不同的，这种差异通过成千上万次叠加,在宏观体现出各向异性。
而玻璃体等非晶态物质，微观结构的差异，由于无序分布而平均化了，所以非晶态物质是各向同性的。
例如玻璃的折光率是各向等同的，我们隔着玻璃观察物体就不会产生视差变形。
3、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。
晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多面体外形的特点。
熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变大，流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无定形物，工匠因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶体有棱、有角、有晶面的情况完全不同。
4、晶体有确定的熔点而非晶态没有。
晶体加热至熔点开始熔化，熔化过程中温度保持不变，熔化成液态后温度才继续上升。
而非晶态玻璃体熔化时，随着温度升高，粘度逐渐变小，成流动性较大的液体。
5、晶体具有对称性。
晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称性，以后几节会专门介绍。
二、点阵与结构单元1895年Roentgen发现X射线，1912年Bragg首次用X射线衍射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。
晶体内部原子、分子结构的基本单元,在三维空间作周期性重复排列，我们可用一种数学抽象——点阵来研究它。
若晶体内部结构的基本单元可抽象为一个或几个点，则整个晶体可用一个三维点阵来表示。
点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。
在平移的对称操作下，（连结点阵中任意两点的矢量，按此矢量平移），所有点都能复原，满足以上条件的一组点称为点阵。
我们观察图7-2的二维平面几组点，在（a）组点中，每个点周围的环境不完全相同，所以不是点阵点，（b）组与（C）组点，每个点的周围环境都相同，平移矢量a、b作用后，图形都能复原，所以是点阵。
CuSe图7-2我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元抽象为点阵点。
我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。
（a）为金属Cu的一层平面排列，每个Cu 原子可抽取一个点阵点。
在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。
图7-3 二维周期排列的晶体结构及平面格子我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元抽象为点阵点。
我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。
（a）为金属Cu的一层平面排列，每个Cu 原子可抽取一个点阵点。
在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。
图7-4请注意：六方格子包含了六重旋转轴的对称性，每个点阵点周围有6个点阵点相邻，但六方格子的基本单位必须取平行四边形。
讨论二维点阵结构后，进一步分析晶体结构。
晶体结构是在三维空间伸展的点阵结构。
由晶体结构抽取的空间点阵中，一定可以找出与3个基本周期对应的3个互不平行的矢量a、b、c。
与空间点阵相应的平移群是：T mnp=m a+n b+p c m,n,p=0, ±1,±2……平移a、b、c矢量将点阵点相互连结起来，可将空间点阵划分为空间格子，空间格子将晶体结构截成一个包含相同内容的单位，这个基本单位叫晶胞。
图7-5 空间点群一共有十四种空间点群三.晶胞和晶胞参数晶胞是由微粒（原子、分子或离子）在三维空间整齐排列而成。
晶胞中最小的重复单元称为结构基元。
晶体则是结构基元在三维空间周期性重复出现所形成的固体。
晶体结构包括两方面：一是结构基元所包含微粒的种类、数量及相互关系；另一方面是结构基元在空间周期性排列的规律。
把前者结构基元抽象成几何点称为点阵点，后者就可用点阵结构表示。
晶胞是晶体的最小单位，晶体可视为是有一个个晶胞在三维空间并置堆砌而成。
因此只要了解晶胞，整个晶体结构也就掌握了。
在点阵结构中，将点阵点用结构基元代替，空间点阵单位就成为晶胞。
晶胞包括二个要素：几何要素和化学要素。
几何要素是指晶胞的大小、形式，用晶胞参数a、b、c、α、β、γ表示。
三个向量的长度a，、b、c表示大小，向量的夹角α=(b c)的夹角，β=(a b)的夹角，γ=(a b)的夹角表示方向；化学要素是指晶胞的内容，即晶胞中有哪些微粒（原子、分子、离子）、及他们的数量和位置。
位置用分数坐标表示。
晶胞参数( unit cell parameters)构成晶胞的六面体的三个边长（a、b、c）和它们之间的夹角α.β.γ，它们决定晶体的结构和大小。
晶胞的内容由组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。
图7-7 为CsCl 的晶体结构。
Cl与Cs的1:1存在。
若C S+Cl－取一点阵点，我们可将点阵点取Cl－的位置。
根据Cl－的排列，我们可取出一个a=b=c，α=β=γ＝90º的立方晶胞，其中8个Cl－原子位于晶胞顶点，但每个顶点实际为8个晶胞共有，所以晶胞中含8×1/8=1个Cl－原子。
Cs+原子位于晶胞中心。
晶胞中只有1个点阵点。
故为素晶胞。
图7-6为8个CsCl晶胞。
右上角为一个单胞。
图7-6 CsCl晶体结构图7-7是金刚石的晶胞。
金刚石也是一个a=b=c，α=β=γ＝90º的立方晶胞，晶胞除了顶点8×1/8=1个C原子外，每个面心位置各有1个C原子，由于面心位置C原子为2个晶胞共有。
故6×1/2=3个C原子，除此晶胞内部还有4个C原子，所以金刚石晶胞共有1＋3＋4＝8个C原子。
对于晶胞的棱心位置的原子，则为4个晶胞共有，计数为1/4个。
图7-7 金刚石晶胞四 .晶面1、晶面指标不同方向的晶面，由于原子、分子排列不同，具有不同的性质。
为了区别，晶体学中给予不同方向的晶面以不同的指标，称为晶面指标。
设有一组晶面与3个坐标轴x 、y 、z 相交，在3个坐标轴上的截距分别为r,s,t(以a,b,c 为单位的截距数目)，截距数目之比 r:s:t 可表示晶面的方向。
但直接用截距比表示时，当晶面与某一坐标轴平行时，截距会出现∞，为了避免这种情况发生，规定截距的倒数比1/r:1/s:1/t 作为晶体指标。
由于点阵特性，截距倒数比可以成互质整数比1/r:1/s:1/t=h:k:l ，晶面指标用（hkl ）表示。
图7-8图7-8中，r 、s 、t 分别为2，2，3；1/r:1/s:1/t=1/2:1/2:1/3=3:3:2，即晶面指标为（332），我们说（332）晶面，实际是指一组平行的晶面。
图7-9 示出立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与1/a 轴相截与b 轴、c 轴平行；（110）晶面面表示与a 和b 轴相截，与c 轴平行；（111）晶面则与a 、b 、c 轴相截，截距之比为1:1:1图7-9 立方晶体几组晶面晶面指标出现负值表示晶面在晶轴的反向与晶轴相截。
晶面、、、、、可通过3重或4重旋转轴联系起来，晶面性质是相同的，可用{100}符号来代表这6个晶面。
同理可用{111}代表、、、、、、、8个晶面。
2、晶面间距一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用d hkl表示。
§7.2 晶体的对称性(Symmetry in crystal)一、七个晶系根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴单位长度）相等并互相垂直。
这样的晶体，通过立方晶胞4个体对角线方向各有1个3重轴。
这四个3重轴称为立方晶系的特征对称元素。
我们若在晶体外形或宏观性质中发现4个3重轴，就可判定该晶体结构中必定存在立方晶系（英文为Cubic）。
由于立方晶系的晶体包含一个以上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。
还有些晶系，晶胞中至少有2个晶轴的单位长度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一个高次轴（6次轴、4次轴或3次轴），这个高次轴就称为他们的特征对称元素。
这些晶系有六方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal）、三方晶系（Trigonal）。
由于它们晶胞形状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。
六方晶系的特征是宏观可观察到6次轴对称性，但每个晶胞仍是a、b晶轴相等，夹角为120°的平行六面体。
四方晶系中晶轴夹角都是90°，a、b轴亦相等。
另有3个晶系是正交晶系（Orthorhombic）、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系（Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。