【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第6章第1节不等式的性质一元二次不等式
5．(人教A必修5习题3.2改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两 个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
解析：由题意知Δ＝(m＋1)2＋4m＞0. 即m2＋6m＋1＞0， 解得m＞－3＋2 2或m＜－3－2 2.
答案： －∞，－3－2 2∪－3＋2 2，＋∞
1 3 3．不等式 x＋22－x ≥0的解集是( C ) 1 3 A. x|x＜－2或x＞2 1 3 B. x|x≤－2或x≥2 1 3 C. x|－2≤x≤2 1 3 D. x|－2＜x＜2
即时应用
1 9 ， . 2 4
考点二
(2)解关于x的不等式
2
原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
即时应用
1 ax －(a＋1)x＋1＜0(a 因为a＞0，所以a x－ (x－1)＜0. a ＞0)． 1 所以当a>1时，解集为a<x<1； 1 当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为1<x<a.
即时应用
1 ＜ b ；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③ 若a>b，则ac2>bc2；④若a>b>0，c>d，则 ac＞bd.其中真命题的个数是( A ) A．0 C．2 B．1 D．3
[即时应用 考点一 ]
(2)(2017· 哈尔滨模拟)设a，b∈R，若p：a 1 1 ＜b，q：b＜a＜0，则p是q的( B )
考点二
(3)(2017· 青岛模拟)求不等式12x2－ax＞ a2(a∈R)的解集．
即时应用
原不等式可化为 12x2－ax4 － a2＞0， 解一元二次不等式的 个步骤 即(4x＋a)(3x－a)＞0， (1)化：把不等式变形为二次项系 令(4x＋a)(3x－a)＝0， a a 数大于零的标准形式． 解得x1＝－4，x2＝3. (2)判：计算对应方程的判别式． 当a＞0时， a (3)求：求出对应的一元二次方程 － ∞ ，－ 不等式的解集为 ∪ 4 的根，或根据判别式说明方程有 a ，＋ ∞ 3 ； 没有实根．注意分类讨论思想的 当a＝0时，不等式的解集为 －∞，0 应用． ∪(0，＋∞)； (4) 当写：利用 a＜0时， “大于取两边，小于 a 取中间 ”写出不等式的解集． － ∞ ， 不等式的解集为 ∪ 3 a － ，＋ ∞ 4 .
目录
第六章 不等式
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载 2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
第一节 不等式的性质、
一元二次不等式
课时作业
1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联 系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框 图．
解析：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，所以x1＋x2 ＝2a①，x1x2＝－8a2②，又x2－x1＝15③，①2－4×②可得(x2－x1)2＝36a2，将 5 5 ③代入上式可得，152＝36a2，解得a＝± ，因为 a ＞ 0 ，所以 a ＝ 2 2.故选A.
[知识梳理] 1．两个实数比较大小的方法 a－b＞0⇔a ＞ b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝b， a－b＜0⇔a ＜ b；
a＞1⇔a ＞ ba∈R，b＞0， b a (2)作商法b＝1⇔a＝ba∈R，b＞0， a＜1⇔a ＜ ba∈R，b＞0. b
2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ a ＞ n n b(n∈N，n≥2)．
解析：∵－1＜b＜0, ∴b＜b2＜1，又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故选D.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( A ) A．M＞N C．M＜N B．M≥N D．M≤N
解析：由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a －1)2＋2＞0恒成立，所以M＞N，故选A.
当m≠0时，函数f(x) ＝mx2－2x－m＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
m＜0， 即 Δ＝4－4m1－m＜0，
不等式组的解集为空集，即m无解． 综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．
考点三
命题点2
形如f(x)≥0，(x∈[a，b])确定参数范围
则
当x≤0时，原不等式等价于2x2 1 ＋1－x≤2，∴－ 2 ≤x≤0；当x ＞0时，原不等式等价于－2x－
不等式f(x)－x≤2的解集是________．
即时应用
1 答案：xx≥－2
x≤2，∴x＞0.综上所述，原不
1 等式的解集为xx≥－2 .
3－x≤0 2 ①或 x＋1 2 ≤0
②，解
法三：结合不等式中x的系数及不等号可排除A，B选项，又不等式带等号，故 选C.
4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15， 则a＝( A ) 5 A.2 15 C. 4 7 B．2 15 D． 2
有两相等实根 b x1＝x2＝－2a
b x|x≠－2a
没有 实数根
{x|x＞x2或x＜x1} {x|x1＜x＜x2}
R ∅ ___
∅ ____
[自主诊断] 1．已知a＜0，－1＜b＜0，那么( D ) A．a＞ab＞ab2 C．ab＞a＞ab2 B．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
1 1 当a<b时， b ＜ a ＜0不一定成 1 1 立；当 b ＜ a ＜0时，a<b<0.综上 可得，p是q的必要不充分条 件，选B.
即时应用
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二
一元二次不等式的解法
2x2＋1，x≤0， 2．(1)已知函数f(x)＝ －2x，x＞0，
3－x≥0 2 1 3 解析：法一：不等式x＋22－x≥0可化为 x＋1 2≥0
1 3 ①得，－2≤x≤2，解②得，x∈∅，故选C.
1 3 1 3 法二：将不等式化为 x＋2x－2≤0，故－2≤x≤2.
3．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2 －4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a ＞0)的图象 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
有两相异实根x1， x2(x1＜x2)
考点二
2．(1)不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为 {x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为 ( B )
1 由根与系数的关系得 a ＝－2＋ c 1，－a＝－2，得a＝－1，c＝－ 2, ∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知 满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋ 2，其图象开口向下，顶点为
考点三
命题点1 形如f(x)≥0(f(x)≤ 0)(x∈R)
要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立， 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 1 当m＝0时，1－2x＜0，则x＞2，不满足题意；
确定参数的范围 3．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是 否存在实数m对所有的实数x，不等式 恒成立？若存在，求出m的取值范围； 若不存在，请说明理由．
考点二
2x＋1 (2)不等式 ≥－1的解集为________． x－5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将原不等式移项通分得 ≥0，
3x－4 x－5
即时应用
4 答案：xx≤3 或x＞5
3x－4x－5≥0 等价于 x－5≠0，
高三数学 第一轮复习 02：不等式的性质及一元二次不等式
例1-6 下列命题正确的是 ( )
A．若 | a | b ，则 a2 b2 C．若 a2 b2 ，则 a | b |
B．若 a | b | ，则 a2 b2 D．若 a2 b2 ，则 1 1
m
x2
0
x1 m x2 m
0
f
(m )
0 ；（6） x1, x2 (m, n)
m
b n 2a
f (m) 0
f (n) 0
-3-
· 典例精讲 ·
模块01：不等式的性质及应用
① 不等式的基本性质：
例1-1 下列四个命题：
①若 a | b | ，则 a2 b2 ③若 a b ， c d ，则 ac bd 其中正确命题的个数有 ( )
D． b b m aa
【答案】： B
【解析】：向糖水（不饱和）中再加入
m
克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大．由题意可得：b a
b a
m m
。
故选： B 。
例1-4 设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A． a c b d
B． ac bd
C． a d b c
*作商法：作商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。
作商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。
（一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中）
模块02：一元二次不等式的解法
1、一般流程：
①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式课
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课时分层训练（三十二)不等式的性质与一元二次不等式A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．已知a>b，c〉d，且c,d不为0，那么下列不等式成立的是( ）A．ad〉bc B．ac>bdC．a－c〉b－d D．a＋c>b＋dD［由不等式的同向可加性得a＋c〉b＋d。
]2．已知函数f（x)＝错误!则不等式f（x）≥x2的解集为（)【导学号：31222197】A．［－1，1］B．［－2,2］C．[－2，1] D．［－1，2]A［法一：当x≤0时,x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x〉0时,－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为［－1，1]．]3．设a，b是实数，则“a>b〉1”是“a＋错误!>b＋错误!”的( )【导学号：31222198】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A[因为a＋错误!－错误!＝错误!，若a〉b〉1，显然a＋错误!－错误!＝错误!>0，则充分性成立，当a＝错误!，b＝错误!时，显然不等式a＋错误!〉b＋错误!成立，但a〉b〉1不成立，所以必要性不成立．］4．（2016·吉林一模)已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（e x）〉0的解集为( )A．{x|x〈－1或x〉－ln 3｝B．｛x|－1〈x〈－ln 3｝C．{x|x>－ln 3} D．｛x|x<－ln 3}D[设－1和错误!是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴a＝－错误!＝错误!,b＝－1×错误!＝－错误!，∵一元二次不等式f（x)〈0的解集为错误!，∴f(x)＝－错误!＝－x2－错误!x＋错误!，∴f（x）>0的解集为x∈错误!。
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】 三个“二次”关系的应用 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联 系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章 不 等 式 第一节 不等式的性质 及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a－b＞0⇔a＞b a，b∈R，a－b＝0⇔a＝b a，b∈R，a－b＜0⇔a＜b a，b∈R；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b a∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝b a∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜b a∈R，b＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx＋c >0ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1}R (a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}∅∅[常用结论] 1．有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)．2．有关倒数的性质a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b.3．a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd. 4．简单的分式不等式(1)f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0，g x ≠0；(2)f xg x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ＞0，g x ≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b ⇔ac 2>bc 2. ( )(2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0. ( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a >b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①② B．②③ C．①④ D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a＞b＞0A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bdB[由c＜d＜0得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，∴－ad＞－bc，∴ad＜bc，故选B.]2．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．]3．若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π5，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1，c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．(－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.][规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.2比较大小常用的方法 ①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.3由a <f x ，y<b ，c <gx ，y <d 求F x ，y 的取值范围，要利用待定系数法性质求得F x ，y 的取值范围.一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1(2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0， 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： 1使一端为0且把二次项系数化为正数；2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎭⎬x | －2<x <－3，则不等式x 2－bx－a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a +a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解．当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪－a -a 2－42＜x ＜－a +a 2+42一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立． 当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0.综上，－4＜m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． (2)不等式f (x )＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax 2＋bx ＋c ＞0a ≠0恒成立的条件是2ax 2＋bx ＋c ＜0a ≠0恒成立的条件是(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．(1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时，显然成立； 当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 一元二次不等式的应用【例4】 1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意， 得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y m ax ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； 4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？[解] 由题意知，对于甲车， 有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m ， 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10， 即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速．自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2018届高三数学理一轮复习课后作业：第六章 不等式 第1节 不等式的性质、一元二次不等式 含解析 精品
课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·江西七校联考)若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bC ．lg(a －b )＞0D ．b a >1解析：法一：因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，又a ＞b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，故选B.法二：取a ＝13，b ＝－12，则a 2＝19，b 2＝14，a 2＜b 2，lg(a －b )＝lg 56＜0，ba ＜0＜1，故排除A ，C ，D 选项，选B. 答案：B2．不等式(1＋x )(1－x )＞0的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |x ＜1}C ．{x |x ＜－1或x ＞1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：不等式可化为(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1.故选A. 答案：A3．(2017·广州调研)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{2,3}，B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{1,5,6} B ．{1,4,5,6} C ．{2,3,4}D ．{1,6}解析：因为B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5＜0}＝{x ∈Z |1＜x ＜5}＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，则∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6}，故选B. 答案：B4．若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)a ＞2aC ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞2aD ．2a ＞(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析：法一：若a ＜0，根据指数函数的性质可知(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，又2a ＜0，所以(0.2)a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，故选C.法二：因为a ＜0，不妨设a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，(0.2)－1＝5,2a ＝－2，所以(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，结合选项可知选C.答案：C5．(2017·济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，所以－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，则a ＋b ＝－14. 答案：D6．关于x 的不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0或a ＞4 B ．0＜a ＜2 C ．0＜a ＜4D ．0＜a ＜8解析：因为不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分必要条件是Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4，结合选项知不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2. 答案：B7．(2017·厦门模拟)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中正确的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④解析：由于0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x 在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a ＜1＋1a ，所以②与④是正确的． 答案：D8．(2017·皖南八校联考)“不等式x (x －2)＞0成立”是“不等式2x ＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：不等式x (x －2)＞0等价于x ＞2或x ＜0，不等式2x ＜1等价于x ＞2或x ＜0，故选C. 答案：C9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪2，＋∞)D ．－2,2]解析：依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案：D10．(2017·太原模拟)若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9,18] B ．(15,30) C ．9,30]D ．(9,30)解析：∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a . ∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.故选D. 答案：D11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b12．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f (x )＋x －2≤0的解集是________．解析：当x ≥2时，原不等式可化为x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，此时x 不存在；当x ＜2时，原不等式可化为－x 2＋x －2≤0，解得x ∈R ，此时x ＜2，综上可得原不等式的解集为{x |x ＜2}．答案：{}x |x ＜213．(2017·扬州中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)． 答案：(－∞，4)14．(2017·成都诊断)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，求实数a 的取值范围．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a <|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为24，＋∞)．B 组 能力提速练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞b C.⎭⎬⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1bD ．⎭⎬⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 错误；当c ＜0时，a c ＞b c ⇒a ＜b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎨⎧ ab ＞0a ＜b 或⎩⎨⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．(2017·长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，故a ＜0，x ＜b a ，∴ba ＝－2，b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0，由于a ＜0，∴x 2－2xx －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2，故选B. 答案：B3．(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若关于x 的不等式f (x )]2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．8解析：作出函数f (x )的图象如图中实线部分所示，由f (x )]2＋af (x )－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f (x )＜－a ＋a 2＋4b 22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a ＜f (x )＜0，且整数解x 只能是3，当2＜x ＜4时，－8＜f (x )＜0，所以－8≤－a ＜－3，即a 的最大值为8，故选D. 答案：D4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0， 解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{}a |3－23＜a ＜3＋23.(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解析：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0,2]上恒成立即可． 所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
高考数学理科一轮复习 第6章 不等式第1讲
2 解得 x≥a或 x≤－1.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
③当 a<0
2 时，原不等式化为x－a (x＋1)≤0.
2 2 当a>－1，即 a<－2 时，解得－1≤x≤a； 2 当a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 2 2 当a<－1，即 0>a>－2，解得a≤x≤－1.
q21－q3－1－q5 －q－1 ＝ ＝ q4 <0， 4 q 1－q S3 S5 所以a <a . 3 5 S3 S5 综上可知a <a . 3 5
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
解析
3．已知二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
. 02 a＞c □
.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. 03 ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒ (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ □ (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒
05 a＋c＞b＋d □
04 ac＜bc □
.
.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
06 ac＞bd . (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d ＞0⇒ □ n n 07 □ a ＞ b (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ (n ∈N，n≥1)．
答案 D
)
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
c＜d＜0⇒cd＞0 ⇒ 解法一： c＜d＜0
－1 －1 c d 1 1 －a －b a b ＜ ＜ 0 ⇒ ＜ ＜ 0 ⇒ ＞ ＞ 0 cd cd d c d c ⇒ ＞ c ⇒d＜c.故选 D. d a＞b＞0
2018届高三理科数学一轮复习 不等式的性质及一元二次不等式
2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔ b<a
a>c a>b，b>c⇒_____
特别提醒 ⇔b⇔__________
a>b ac>bc ⇒______ c>0 a>b ac<bc ⇒______ c<0
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是 A． A≤ B C． A< B B． A≥ B D．A>B ( )
解析：由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0， 可得 A≥B. 答案：B
2.[考点二]若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式中成立的 是 A．－n＜m＜n＜－m C．m＜－n＜－m＜n B．－n＜m＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m ( )
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 (1)不等式成立问题． 熟记不等式性质的条件和结论是基 础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别 判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题． 解决此类问题除根据不 等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
a，b 同为正 数
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 1 1 a b ①a>b，ab>0⇒a<b.②a<0<b⇒a<b.③a>b>0,0<c<d⇒c>d. 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b<x<a. (2)有关分数的性质 b b＋m b b－m a a＋m 若 a>b>0， m>0， 则： ①a< ；> (b－m>0)． ②b> ； a＋m a a－m b＋m a a－m b<b－m(b－m>0).
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.2 精品
y x,
2.本例题(1)条件变为 x y 1,
y 1.
求z=2x+y的最大值.
【解析】作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y 过点A(2,-1)时,z取最大值,最大值是3.
命题方向2:求参数的值或范围
【典例3】(1)(2015·福建高考)变量x,y满足约束条件
x y 0, x 2y 2 0, mx y 0.
4x 5y 8,
4.(2015·广东高考)若变量x,y满足约束条件 1 x 3,
则z=3x+2y的最小值为 ( )
0 y 2,
A. 31 5
B.6
C. 23
D.4
5
【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,
由z=3x+2y得y=3 x z，
22
依题当目标函数直线l:
y= 3 x 经z 过A
2
4.求不等式组
x
y
y 2,
5
0,
所表示的平面区域的面积.
0 x 2
【解析】如图,平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,
2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域
的面积为S=
1 2
×(3+5)×2=8.
考向二 线性规划相关问题
【考情快递】
命题方向
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若 为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公 式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形 分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解: 利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形, 利用数形结合的方法去求解.
x y 2 0,
高考数学(人教A版)一轮复习课件：6.1不等式的性质及一元二次不等式
式
【知识梳理】 1.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b_b_<_a_. (2)传递性:a>b,b>c__a_>_c. (3)可加性:a>ba+c>b+c. (4)可乘性:a>b,c>0_a_c_>_b_c_;a>b,c<0___a_c_<_b.c
【典例1 】(1)(2017· 黄冈模拟)已知
x>y>z,x+y+z=0, 则下列不等式中成立的是 (
)
A.xy>yz
B.xz>yz
(2)设a>1, 且m=log a(a2 +1),n=log a(a-
1),p=log a(2a),则m,n,p 的大小关系为( )
A.n>m>p
B.m>p>n
的定义
【解析】要使y=
有意义,
即mx 2 -(1-m)x+m≥0 对 x∈R 恒成立,
则
解得m≥ .
答案:m≥
感悟考题 试一试
3.(2017· 广州模拟)已知 <0,给出下面四个不等
式:
①|a|>|b|;②a<b;③a+b<ab;④a 3 >b 3 .其中不正确的
不等式的个数是 ( )
A.0
A.-2
B.-3 C.-1
D.-
【解析】选A.当Δ=a 2 -4≤0,即-2≤a≤2 时,不等式 x2 +ax+1≥0 对任意x>0 恒成立, 当Δ=a 2 -4>0, 则需 解得a>2. 所以使不等式x2 +ax+1≥0 对任意x>0 恒成立的实 数 a 的 最 小 值 是 -2.
最新-2018届高考数学一轮复习 第6章第一节 不等关系与一元二次不等式课件 文 精品
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(a>0)的解集
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思考感悟 一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交 点为(x1,0)，(x2,0)，(x1<x2)，则ax2＋bx＋c>0的 解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)是否正确？ 提示：不正确，ax2＋bx＋c>0的形式不一定是标 准的，即a不一定为正的，因而解集的形式不能 确定．
【思路分析】 本题(1)可讨论m的取值，利用 判别式来解决，对于(2)含参数的一元二次不等 式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理； 方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来 处理，一般情况下方法二比较简单．
【解】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0，
(2)原不等式等价于xx22－ －xx－ －22≤ >04 ⇔xx22－ －xx－ －26≤ >00 ⇔((xx－ －23))((xx＋ ＋12))≤ >00 ⇔x－>22≤ 或xx≤ <－3.1，
结合数轴知，原不等式的解集为 {x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}．
(3)因 a>0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当 a>1 时，1a<1，所以不等式(*)的解集为{x|1a <x<1}；
(1)2x2＋4x＋3>0； (2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)． 【思路分析】 首先将二次项系数转化为正数， 再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得 方程的两根，若不能，则再看“Δ”，利用求根 公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中 对a要分类讨论．