2014高考数学一轮复习课件3.3三角函数的图象与性质
汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换
的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．
创新探究之四
三角函数单调性的创新应用
π (2012· 课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋ )在 4 π ( ，π )上单调递减，则ω的取值范围是( 2 1 5 A．[ ， ] 2 4 1 C．(0， ] 2 1 3 B．[ ， ] 2 4 D．(0，2] )
π π kπ 【解析】 由3x≠ ＋kπ，k∈Z得x≠ ＋ ， 2 6 3 k∈Z，.
【答案】
D
5π 2．函数f(x)＝2cos(x＋ )是( 2
)
A．最小正周期为2π 的奇函数 B．最小正周期为2π 的偶函数 C．最小正周期为2π 的非奇非偶函数 D．最小正周期为π 的偶函数
π 5 【解析】 f(x)＝2cos(x＋ π)＝2cos(x＋ )＝－2sin 2 2 x，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．
π 【解析】 f(x)＝sin(πx－ )－1＝－cos πx－1， 2 2π 因此函数f(x)是偶函数，周期T＝ ＝2. π
【答案】
B
1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z)； 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又 是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只 是中心对称图形．
π 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )，给出以 2 下四个论断： ①它的最小正周期为π ； π ②它的图象关于直线x＝ 成轴对称图形； 12 π ③它的图象关于点( ，0)成中心对称图形； 3 π ④在区间[－ ，0)上是增函数． 6 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题________(用序号表示)．
无对称轴 π
对称 轴
x＝kπ， k∈Z ________
2π
最小正周期
1．是否每一个周期函数都有最小正周期？ 【提示】 不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数
都是它的周期．
2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与 函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 它们的零点． y＝sin x与y＝cos x的对称轴方程中的x都是
【答案】
A
π 3．(2012· 福建高考)函数f(x)＝sin(x－ )的图象的一条 4 对称轴是( π A．x＝ 4 π C．x＝－ 4 ) π B．x＝ 2 π D．x＝－ 2
【解析】 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， π π 3π 故令x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，∴x＝kπ＋ ，k∈Z. 4 2 4 π 取k＝－1，则x＝－ . 4
π π π (2)由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)， 2 4 2 π 3π 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)． 8 8 π 所以f(x)递增区间为[kπ－ ，kπ)和(kπ，kπ＋ 8 3π ](k∈Z)． 8
1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先
化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
【答案】
C
π 4．函数y＝2－3cos(x＋ )的最大值为________，此时 4 x＝________．
π 【解析】 当cos(x＋ )＝－1时，函数有最大值5， 4 π 此时，x＋ ＝π＋2kπ，k∈Z， 4 3 即x＝ π＋2kπ，k∈Z. 4
【答案】
3 5 π ＋2kπ ，k∈Z 4
πx π (1)(2012· 山东高考)函数y＝2sin( － )(0≤x≤9)的 6 3 最大值与最小值之和为( ) A．2－ 3 B．0 C．－1 (2)f(x)＝ ________． 1＋log1x 2 D．－1－ 3 ＋tan(x＋ π 4 )的定义域是
【解析】 π ， 4
π π π π 由 ＜x＜π得 ω＋ ＜ωx＋ ＜πω＋ 2 2 4 4
π π π π 3π 由题意知( ω ＋ ，πω＋ )⊆[ ， ]， 2 4 4 2 2 π π π ∴ ω＋ ≥ ， 2 4 2 π 3π 1 5 且πω ＋ ≤ ，∴ ≤ω≤ . 4 2 2 4
【思路点拨】
本题是一个开放性题目，依据正弦函数
的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．
2π π 若①、②成立，则ω＝ ＝2；令2· 12 π
【尝试解答】
π π π ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，且|φ|＜ ，故k＝0，∴φ＝ .此时 2 2 3 π π π f(x)＝sin(2x＋ )，当x＝ 时，sin(2x＋ )＝sin π＝0， 3 3 3
念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义； (2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．
(
π 已知函数f(x)＝sin(π x－ )－1，则下列说法正确的是 2 ) A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
求三角函数值域(最值)的常用方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分 析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函
数在区间上的值域(最值)问题．
从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单
【思路点拨】
πx π (1)先确定 － 的范围，再数形结合 6 3
求最值； (2)转化为关于x的不等式组求解．
【尝试解答】 7π ， 6
π π π (1)∵0≤x≤9，∴－ ≤ x－ ≤ 3 6 3
π π 3 ∴sin( x－ )∈[－ ，1]． 6 3 2 ∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3.
对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周
【尝试解答】 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． （sin x－cos x）sin 2x 因为f(x)＝ sin x ＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1 π ＝ 2sin(2x－ )－1， 4 2π 所以f(x)的最小正周期T＝ ＝π. 2
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω ＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不 等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为 正数，防止把单调性弄错．
π 已知函数y＝sin( －2x)． 3 (1)求函数的周期； (2)求函数在[－π ，0]上的单调递减区间．
π 5π 【答案】 (1)[2kπ ＋ ，2kπ ＋ ](k∈Z) 6 6 7 (2) 8 2
（sin x－cos x）sin 2x (2012· 北京高考)已知函数f(x)＝ . sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．
【思路点拨】 期； (2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个 整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略定义 域． (1)求定义域时考虑分母不为零，然后
π 5π π ∴f(x)的图象关于( ，0)成中心对称；又f(x)在[－ ， ] 3 12 12 π 上是增函数，∴在[－ ，0)上也是增函数，因此①②⇒③ 6 ④，用类似的分析可得①③⇒②④.
【答案】 ①②⇒③④或①③⇒②④
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角 函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概
π π 【解】 由y＝sin( －2x)＝－sin(2x－ )． 3 3 2π 2π (1)周期T＝ ＝ ＝π. ω 2 π π π (2)令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 π 5π 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 12 12
π π 5π 则y＝sin( －2x)在[kπ－ ，kπ＋ ](k∈Z)上递 3 12 12 减． 又－π≤x≤0， π 7 ∴－ ≤x≤0或－π≤x≤－ π 12 12 7 故f(x)在[－π，0]上的单调减区间是[－π，－ π]和 12 π [－ ，0]. 12
递减区间是
最值 奇偶性 对称 中心
ymax＝1； ymin＝－1 奇函数
ymax＝1； －1 ymin＝___ π (kπ ＋ ， 2 (kπ ，0)， k∈Z 0)， k∈Z _________ x＝kπ ＋ π ，k∈Z 2
2π
kπ ( ，0)， 2 k∈Z ________
＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝ t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数， 可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
(1)函数y＝ 2sin x－1的定义域为________． π 7π (2)当x∈[ ， ]时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小 6 6 值是________，最大值是________．
第三节
三角函数的图象与性质
1．周期函数和最小正周期 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定 f(x＋T)＝f(x) 义域内的每一个值时，都有______________，则称f(x)为周
最小 期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个____
最小正周期 的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的________________．
1 【解析】 (1)由2sin x－1≥0得sin x≥ ， 2 π 5π ∴2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z， 6 6 π 5 故函数的定义域为[2kπ＋ ，2kπ＋ π](k∈Z)． 6 6 π 7 1 (2)由 ≤x≤ π，知－ ≤sin x≤1. 6 6 2
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：2.3三角函数的性质
⑥y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c. 这类问题的一般方法是：
设 t＝sinx＋cosx，t∈[－ 2， 2]，则 sinxcosx＝t2－2 1转化为求 二次函数在[－ 2， 2]上的最值问题．
3．三角函数的周期性 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且 角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周 期来求解． y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0) 的最小正周期分别为 T＝|2ωπ|，T＝|2ωπ|，T＝|ωπ|.
所以原函数定义域为： {x|0＜x＜π2或 π≤x≤4}(如图)．
题型二 三角函数的单调性 例 2(1)求函数 y＝sin(π3－2x)的单调递减区间； (2)求 y＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．
解析 (1)由已知函数得 y＝－sin(2x－π3)，欲求函数的单调递减 区间，只需求 y＝sin(2x－π3)的单调递增区间．
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为 y ＝－Asin(－ωx－φ)．则 y＝－Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间；
减区间为原函数的增区间，如 y＝sin(π4－x)＝－sin(x－π4)，解 2kπ－π2≤x －π4≤2kπ＋π2⇒2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π为原函数的减区间．
点评 比较三角函数值大小的一般步骤是：(1)先判断正负；(2) 不同名函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间的化为同一 单调区间.
变式迁移 2 求函数 y＝log 1 (sin2x)的单调性．
2
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第3课时 三角函数的图象和性质精品课件
解析： f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin 4x， ∴T＝24π＝π2.
答案：
π 2
3．(2010·北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求fπ3的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．
解析： (1)fπ3＝2cos23π＋sin23π－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.
∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
答案： B
4．比较大小，sin－1π8________sin－1π0.
解析： 因为y＝sin x在－π2，0上为增函数且－1π8＞－1π0， 故sin－1π8＞sin－1π0. 答案： ＞
5．函数y＝sinx＋π3，x∈0，π3的值域是________．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin π3－ห้องสมุดไป่ตู้x ，x∈[－π，π]的单调递减 区间；
(2)求y＝3tanπ6－4x的周期及单调区间．
解析： (1)由 y＝sinπ3－2x得 y＝－sin2x－π3， 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ 得 －1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ，k∈Z. 又 x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－172π，－1π2≤x≤152π，1112π≤x≤π. ∴函数 y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－172π， －1π2，152π，1112π，π.
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z，x∈R
解析： ∵x－π4≠kπ＋2π，∴x≠kπ＋34π，k∈Z. 答案： D
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是 ()
A．f(x)在π4，π2上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析： ∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，
高考数学一轮复习三角函数的图像与性质培优课件
π
3
5π
2kπ6
5π
π
, 2π +
6
6
,∴函数的递增区间为
π
0, 6
.
π
≤x≤2kπ+ (k∈Z).
6
(k∈Z).
考向2.由单调性求参数
典例突破
例 4.已知 ω>0,函数 f(x)=sin
是
.
π
+4
在
π
,π
2
上是减少的,则 ω 的取值范围
答案:
1 5
,
2 4
π
π
解析:由2 <x<π,ω>0,得 2
3π ∴0<a≤ π ,∴a 的最大值为π .
≤ 4 ,
4
4
> 0,
π 3π
−4, 4
,
(2)由题意可知,[a,2]⊆
π
π
− ,
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
π
3
的递减区间是函数 y=sin 2 −
的递增区间.
由
π
2kπ-2
π
≤2x-3
π
≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得
故所给函数的递减区间为 π −
高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第5讲三角函数的图象与性质
第三章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知识梳理Aj=sinxJ =COSXj=tanxJT2k盘 ----2JJI2k Jt H—,L 23Ji"2— H——2」仇wz)为减[2 吃7T, 2航+兀]仗WZ)为减;\2kn—n92kn\(k^Z)为（一-于,仇GZ）为增2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+卩的范围，结合图象写出函数的值域;(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解决.双基自测1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（A.j=sin(2x+—B.j=cos^2r+~C.y= sin 2x+ cos 2xD.y= sin x+ cos xC 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—为非奇非偶函数，不符合题意；ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意.( JIj=sin|2x+- 为偶函数，不符合题意；解析：A 项,= cos 2x,最小正周期为n ,且y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意；B 项, 1=/兀，且为奇，最小正周期为皿,D 项，j=sin x+ cos兀B. x=——33 x=-兀4解析：由题意得 f(x)= 2cos 2^x+~J= 2sin 2x= 1— cos 2x,函 数图象的对称轴方程为尸竺kEZ,故选D.2A • x~—4 C. 71故函数/（对=$中一了丿在区间［o,于］±的最小值为一申.3・函数/(x) = sin上的最小值为A. -1B. -申C 誓 D. 0解析：由已知xG 0, 兀 8二討得加-2兀 -eJI2在区间o,兀4所以14.（必修4 P40 练习1X2）改编）函数/（x） = 4-2cos -x, xE32,取得最小值时，X的取值集合为R的最小值是—{x\x=6kn9 kEL}（JT JI \5.（必修4 P44例6改编）函数j=tan|^-x—yJ的最小正周期是—，单调增区间是G+"扌+2”（疋牛典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数的定义域和值域^§例1 (1)函数y= lg(2sin x—1)+*\/1 —2cosx的定义域是" 兀5兀、2k Ji +—, 2k 乳—]9 ZL 3 6 丿______ .3(2)函数j=cos 2x+ 2sin x的最大值为—132'［解析］⑴要使函数丿=lg(2sinx —1)+^/1—2cos 兀有意义,sin ,■ “Ji 5 n解得 2k Ji +_^x<2^ Ji +飞-，kEL.即函数的定义域为卜—+专，2—+寻)kE 乙3i 3所以当/=扌时，函数取得最大值字2sinx —1>0, 即1—2cosx^0, cosxWq.+WWl),(2)y=cos 2x+2sin x= —2sin 2x+2sin x+1,设 f=sin x(—12Q互动探光本例(2)变为函数y = cos 2x+ 4sin5的最大值为 _________解析：j=cos 2x+4sin x= — 2sin2x+ 4sin 兀+1,设t=sin中冬怎*),则原函数可以化为y=~li +4(+1= —2(1—1『+3,所以当1=扌时，函数取得最大值丰.⑴三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y=Asin(cox+^的形式求值域.③把sin兀或cos兀看作一个整体，转换成二次函数求值域・④利用sin兀土cos兀和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.壘踪i噬1・(1)函数y= /2+logjx + \/tanx的定义域为r i V 2jxIOVxV亍或Ji WxW4 »____________________________ ■7(2)函数y= (4— 3sin x)(4— 3cos兀)的最小值为xIOVxV 亍或 n4j.解析：⑴要使函数有意义, 厂2+10即亠0,2JIx^kn T —, I 2—o -------- o ——0 ?利用数轴可得函数的定义域是x>0, tan x^O, k 兀 WxVkii T 扌WZ)・-<—e---------(2)j = 16— 12(sin x+ cos x)+ 9sin xcos x,令Z=sinx+cosx,贝!1[—\[29 ^2],且sinxcosx=-------------------2『一1 ]所以y=16- 12Z+9X --------- =一(9,一24/+23)・2 2• 4 7故当时，Jmin = --考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性典例2 (1)(2014-高考课标全国卷I )在函数®j= cos 12x1,®y = Icos xl, (3)j=cos^x, (4)j= tan(2x—^中，最小正周期为n的所有函数为(C )A.②④C.①②③B.①③④D.①③（2）（2016-河北省五校联盟质量监测）下列函数中最小正周期为兀且图象关于直线兀=£■对称的函数是（B）［解析］⑴①yKOsMFOslx, 1- •②由图象知，函数的周期r= 31・③*兀・兀④丁=亍综上可知，最小正周期为询所有函数为①②③.⑵由函数的最小正周期为兀，可排除C •由函数图象关于直JT线*=〒对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对选B.（i ）三角函数的奇偶性的判断技巧于 A,因为 sin^2Xy+确・对于D, sinl2X ---------33 f) ( Tl JI 、 对于 B, sin|2X-——J=_：. =sin Ji =0,所以选项A 不正 =si 可羊所以D 不正确, 兀=sinT =h所以选项B 正确，故首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断.（2）求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y=Asin（cox+（p）和y =Acos（cyx+°）的最小正周2兀JT期为面，y=tan（cox+（/））.③利用图象.(3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.［注意］判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称.MISS] 2.(1)(2016-西安地区八校联考)若函数j = cos(ex+〒j(cyEN*)图象的一个对称中心是匕，0J,则co 的最小值为(A. 1B. 2C. 4D.（2）（2016•揭阳模拟）当心了时，函数/（gin（十）取得最小值，则函数)A.是奇函数且图象关于点仔，0）对称B.是偶函数且图象关于点（兀，0）对称C.是奇函数且图象关于直线兀=于对称D.是偶函数且图象关于直线兀=兀对称，■一JI 6； JI JI解析：(1 --------- 1=kJi ---------- (k £ Z)=>(o = 6k+ 2(kE：Z)=>(o6 6 2min =2Jl⑵因为当x=丁时，函数几兀)取得最小值，4所以sin&+J = —1,所以0=2反兀一普"(kEZ).所以/(x)=sin(+2“ 一冷9=sin|x J(k W Z).所以y=^~~x.=sin(—x)= —sin x.e 兀、JI 所以尸x)是奇函数，且图象关于直线兀=亍对称•考点三三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；⑵已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值);(4)利用三角函数的单调性比较大小.⑴求心）的最小正周期和最大值;⑵讨论心）在［十，牛］ 上的单调性.• sin （2015•高考重庆卷）已知函数几兀）=os 2x.［解］(l)Ax)=sin 仔一Jsin x —A /§C =cos xsinx — 2 (H~cos 2x)1・，© o 並=-sm 2x — cos 2x —因此冷）的最小正周期为兀，最大值为2苫.os 2x（2）当兀丘［于，牛］时'0W2x —于W 兀，从而当弓^加一7~Wn,即弓时，/（兀）单调递减. Z Q 丄/ J调递减•J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX& M n I y-Z z 产〒 r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C 77 f r三角函数单调性问题解题策略.兀 兀 当0»亍亏, JI 5 JT . 即訐Tr 时' 的单调递增, 综上可知，几r ）在单调递增; 刊上单(1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减”：②求形如j=Asin(ft)x+^)或y=Acos(ov +卩)(其中少＞0)的单调区间时，要视“ov+卩”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果evO,那么一定先借助诱导公式将少化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.⑶利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如j=Asin(ft>x +°)+〃或可化为y=4sin@v+°)+〃的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.通关练习3.(1)已知函数/(x)=2sinC+亍) ，则a9 b9 c的大小关系是(BB. c<a<bD. b<c<aA. a<c<bC. b<a<c减，则 少的取值范围是（A54-(2)已知 ft»O,函数 f(x)=sirA. 12-D. (0, 2]10 —n 21兀因为j=sinx 在0,—上递增,——= 2sin 解：⑴选Ra兀= 2sin所以c<a<b.6>>0,JlJTJIH < 3X ---- < 3 兀 H - ,44 4G JI 3131〒+亡'313 JI3 JI H —W —4 2又 j=sinx所以6) JI3 31"T解得詳。
2014版高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 理 新人教A版
素材1
1 π 函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ＋ ，0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x－ )＝0， 2 8 1 π π 得 x－ ＝kπ＋ (k∈Z)， 2 8 2 5π 即 x＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 1 π 所以函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称中心是(2kπ＋ 2 8 5π ，0)(k∈Z)． 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立， 4
a－4≤0 只需 3 9 a－ ≥ 4 4
⇔3≤a≤4，所以 a∈[3,4]为所求．
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y＝ sin( － )的最小正周期和单调区间； 2 4 3 (2)函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A．( ， ) 2 2 3π 5π C．( ， ) 2 2 B．(π，2π) D．(2π，3π)
x π A．y＝2sin( ＋ ) 2 3 π C．y＝2sin(2x＋ ) 6
2π 【解析】根据 T＝ ，容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π， 然后可利用求对称轴的表达式 ωx＋φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得 答案 B 符合题意．
4.将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个 单位， 所得图象对应的函数为奇函数， φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性 的判断步骤一致：
1 首先看定义域是否关于原点对称； 2 在满足 1 后，再看f x 与f x 的关系．
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.3三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．考点自测1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析 由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4且ω>0，得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可；(2)先化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再由x 的范围求解． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，k ∈Z， 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12时，y max ＝2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期及单调区间． 解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z . 故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )． 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.[审题视点] (1)只需令π4＋α＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)应满足3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .解析 (1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ，b ]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式； 二审 充分利用对称轴x ＝π； 三审 确定λ的值．[规范解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.(3分)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分)[阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：根据题设条件求出y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.对应学生255A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
2014届高考数学(文)一轮复习课件：第3章 第3讲三角函数的图象与性质
(1)由三角函数的正弦线、余弦线及单位圆进
行作图求解；(2)把f(x)化简为单个的三角函数，再确定其值域.
[解析] (1)由题意，得
1 2sinx－1>0， sinx>2， 即 1－2cosx≥0， cosx≤1， 2 1 1 首先作出sinx＝ 与cosx＝ 表示的角的终边(如图所示)． 2 2
[变 探 式究
] 1 23 ( [1 ) 0·
苏模 州拟
]函 y＝ n x＋ 16－x2的 数 i s
定义域为________． (2)已知f(x)的定义域为[0,1]，则f(cosx)的定义域为 ________． (3)函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为________． (4)[2013· 衡水统考]求函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈ [0，π]的最值________． 2 (5)y＝sinx＋ (0<x<π)的最小值为________． sinx 2－cosx (6)求函数y＝ sinx (0<x<π)的最小值为________．
第三章 第3讲
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②形 y＝as 如 n i 化关 为于
2
x＋bs x＋c的 角 数 可 设 n i 三函，先 (最 )； 值 x± c o s
n x＝t， i s
t的 次 数 值 二函求域
③形 y＝as xc x＋b( 如 n o i s n i s t＝s x± n c i o s
第三章 第3讲
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高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件
∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件 新人教A版
a， c 的大小关系是 b，
(
)
A．a<b<c C．b<a<c
B．c<a<b D．b<c<a
解析： (1)作出 y＝|tan x|的图象， 观察图象可知， y＝|tan x|
π 的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z. π (2)f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋3 ，因为函数
3 答案：5 π＋2kπ，k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y
＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调
区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在 函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调 性的不同：
π π (1)y＝sinωx－4 ；(2)y＝sin4 －ωx.
1 cos x－ 的定义域为________． 2 (2)函数 y＝sin2x＋sin x－1 的值域为
(
)
A．[－1,1]
5 C.－4，1
5 B.－4，－1 5 D.－1，4
sin x>0， [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0， 即 1 cos x≥2， 2kπ<x<π＋2kπ， 解得 π (k∈Z)， π －3＋2kπ≤x≤3＋2kπ
π ＋kπ，0 2
y＝tan x 奇函数
kπ ，0 2 (k∈Z)
(kπ，0)
∈Z)
(k∈Z)
函数 对称轴 方程 周期
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π x＝ ＋kπ 2 (k∈Z) x＝kπ (k∈Z)