山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，化简即可得到答案。
【详解】由诱导公式可得所以选D【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题。
2.已知向量，，且，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值。
【详解】因为向量，，由向量减法的运算可得又因为，则即解得所以选C【点睛】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，属于基础题。
3.若，则（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 将左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式即可求得的值。
【详解】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题。
4.已知向量，，且，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得的值，代入即可得解。
详解】向量，，且所以根据向量平行的坐标运算可得由正弦二倍角公式化简可得因为所以则所以选A【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。
5.圆与圆的位置关系是（）A. 外切B. 相离C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系。
【详解】因为圆与圆所以两个圆的圆心距两个圆的半径分别为因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了根据两个圆的半径判断圆与圆位置关系，属于基础题。
6.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解。
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度即可得根据余弦函数的对称轴方程可知解得，所以选D【点睛】本题考查了余弦函数的平移变化与对称轴方程求法，属于基础题。
7.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（）A. 16分钟B. 18分钟C. 20分钟D. 22分钟【答案】C【解析】【分析】根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作，。
根据OE与OB的长度，求得的度数，即可得的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t。
【详解】根据题意，作，，如下图所示：直径为，则，所以则所以，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B所需时间为分钟所以选C【点睛】本题考查了圆及其性质的应用，属于基础题。
8.若在上是增函数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式，化简函数解析式，再根据函数单调递增条件求得单调递增区间，进而求得的最大值。
【详解】因为，由辅助角公式可得则的单调递增区间为因为在上是增函数则的最大值是所以选B【点睛】本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题。
9.已知直线与圆交于两点（为坐标原点），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相交，结合垂径定理及点到直线距离公式即可求得参数m的值。
【详解】因为直线与圆交于两点，且所以圆的半径为，由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为由垂径定理可得代入可得解方程可得所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理的简单应用，属于基础题。
10.如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，并延长交于，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形性质及E为OC中点，由相似三角形可得，结合向量线性运算可得解。
【详解】在平行四边形中，点为的中点，且延长后交于所以根据向量线性运算可知所以选D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，属于基础题。
11.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（）A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积。
【详解】连接OC，设半径为r，寸，则在直角三角形中，即，解得则，所以则所以扇形的面积三角形的面积所以阴影部分面积为所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题。
12.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可。
【详解】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题。
二、填空题（将答案填在答题纸上）13.__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的和角公式即可求值。
【详解】由正弦函数的和角公式逆运算可得【点睛】本题考查了正弦函数和角公式的简单应用，属于基础题。
14.已知向量，，则向量的单位向量为_____，向量在方向上的正射影的数量为_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据单位向量的定义及共线向量条件，即可求得向量的单位向量；根据向量投影的定义即可求得在方向上的正射影。
【详解】设向量的单位向量为则向量与单位向量为共线，又所以解得所以向量的单位向量为设向量与的夹角为，则则向量在向量方向的投影为代入可得【点睛】本题考查了单位向量的求法，向量投影的求法，属于基础题。
15.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：①函数的图象不过原点；②对任意，都有；③对任意，都有.请写出一个符合上述条件的函数表达式为______（答案不唯一，写出一个即可）．【答案】【解析】【分析】由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，结合不过原点，即可写出函数的一个解析式。
【详解】由题意，根据②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，再由函数不过原点，则满足的函数如【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题。
16.给出以下四个结论：①函数是偶函数；②当时，函数的值域是；③若扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为6 cm；④已知定义域为的函数，当且仅当时，成立. 则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．【答案】②④【解析】【分析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断③；讨论的符号去绝对值，即可判断④。
【详解】当与时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是，所以②正确；因为若扇形的周长为，圆心角为，设半径为r，则，解得，所以弧长为cm，所以③错误；当时，，当时，；当时，，当时，，所以④正确。
综上所述，②④正确。
【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，属于难题。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义求得，根据模的运算即可求得。
（2）根据向量数量积定义及公式求得，结合向量数量积即可求得；或根据向量和与差的几何意义，根据几何意义求得。
【详解】（1）因为即所以（2），所以，即.法二：因为，所以，，所以与是以为邻边的菱形的对角线所表示的向量，又因为，所以，.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，向量的模长、夹角的应用，属于基础题。
18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）等式左右两边同时乘以分母，化简后即可求得的值；（2）根据（1）中结论，利用二倍角公式即可求得的值，再由正切函数的差角公式即可求得的值。
【详解】（1）由题已知：，，所以.（2）由（1）知，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的化简求值，正切函数二倍角公式及正切差角公式的应用，属于基础题。
19.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）将点与原点距离保持不变，逆时针旋转角到点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据终边过点P ，可求得OP 的值，结合三角函数定义即可求得，进而利用诱导公式求得的值；（2）根据题意可求得，结合同角三角函数关系式可求得，进而根据余弦的差角公式及，即可求得的值。
【详解】（1）因为的终边过， 所以，由三角函数的定义，，所以.（2）由题意知：，由可得.所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义，余弦函数差角公式的应用，属于基础题。
20.已知向量，，函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）（2）增区间为，.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期即可求得的值；（2）根据图象平移变化过程，可求得的解析式，根据正弦函数单调递增区间为，即可求得的取值范围，结合的范围为，即可求得其单调递增区间。
【详解】（1）因为相邻对称轴间距离为，由，得，所以，.（2）令得，令，为增区间，令，增区间，所以在上的增区间为，.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变化及单调区间的求法，属于中档题。
21.建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.（1）求函数的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A，代入最低点坐标，即可求得，进而得函数的解析式。
山东省潍坊市山东省实验中学2018-2019学年高一数学理联考试卷含解析
山东省潍坊市山东省实验中学2018-2019学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，1）B．[，1] C．（，1）D．（，1]参考答案：A【考点】8E：数列的求和．【分析】根据f（x）?f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可以求得S n，运用单调性，进而得到S n的取值范围．【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）?f（1）=f（n+1），即==f（1）=，∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=f（n）=（）n，∴S n==1﹣（）n，由1﹣（）n在n∈N*上递增，可得最小值为1﹣=，则S n∈[，1）．故选：A．2. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：C3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有—个红球”C．“至少有—个黑球”与“都是红球”D．“至多有一个黑球”与“都是黑球”参考答案：A略4. 已知函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为点，则有（）A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值1D. 最大值1参考答案：A【分析】将代入余弦函数对称轴方程，可以算出关于的一个方程，再将代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个关于的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.【详解】由满足余弦函数对称轴方程可知，再由满足对称中心方程可知，综合可知的最小值为2，故选A.【点睛】正弦函数的对称轴方程满足，对称中心满足；余弦函数的对称轴方程满足，对称中心满足；解题时一定要注意这个条件，缩小范围.5. 下列程序执行后输出的结果是( )n=0S=0while S<15s=s+n;n=n+1；wendprint nendA.5B.6C.7D.8参考答案：B6. 的值为（）A、B、C、D、参考答案：D略7. 设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β参考答案：B【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】乘法利用空间线面平行和面面平行的判定定理和性质定理对选项分别分析选择．【解答】解：由已知m∥α，n⊥β，对于A，若m⊥n，则α、β可能平行；如图对于B，若m∥n，得到m⊥β由面面垂直的判定定理可得α⊥β；故B正确；对于C，若m⊥n，则α、β有可能相交；如图对于D，若m∥n，则m⊥β，由线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理可得，α⊥β；故D错误．故选B8. 已知集合只有一个元素，，．（1）求；（2）设N是由可取的所有值组成的集合，试判断N与的关系．参考答案：9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12D．2π+6参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，根据数据即可计算．【解答】解：根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，长方体的棱长分别为1，2，1；圆柱的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为s=（1+1+2）×1+1×2×2+2×2+=π+12故选：C10. 如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是()A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【分析】由题意先判断﹣3＜log6＜﹣2，从而可知先用f（x+2）=f（x）转化到（﹣1，0），再用奇偶性求函数值即可．【解答】解：∵﹣3＜log6＜﹣2，又∵f（x+2）=f（x），∴f（log6）=f（log6+2）=f（log），∵﹣1＜log＜0，∴0＜log2＜1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log）=﹣f（log2）=﹣（﹣2）=﹣（﹣2）=，故答案为：．【点评】本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．12. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，则顶点D的坐标是参考答案：（2,2）13. 已知，则的大小关系是▲．参考答案：略14. 已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g （x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m2﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其大于2m2﹣2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①，又0＜m＜3②，联立①②得0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：．15. 100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.参考答案：34 解析：由题知，n个人人坐后，每两人中间至多有两只空椅子．故若能让两人中间恰好有两只空椅，则n最小．这样，若对已坐人的椅子编号，不难得一等差数列：1，4，7，…，100．从而100=1+3(n－1)，解得n=34．16. 函数f（x）=x3+ax，若f（1）=3，则f（﹣1）的值为．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性直接由条件f（1）=3，求出a，即可求值．【解答】解：①∵f（x）=x3+ax，若f（1）=3，∴1+a=3，即a=2，∴f（x）=x3+2x，∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．②∵f（x）=x3+ax是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．17. 已知f（x）=，则f [f（－2）]＝________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2017-2018学年山东省潍坊市高一第一学期期中考试数学(解析版)
奇函数又不是偶函数，故正确；④ 故答案为②③
是偶函数，但它的图像与 轴不相交，故错误.
17.计算下列各式的值;
(1)
.
(2)
. .
【答案】(1) . (2) 【解析】
试题分析：（1）（2）都是由分数指数幂的运算性质计算得答案．
试题解析：(1) (2) =
= = .
=
=
= .
18.已知集合 = (1)求 (2)若集合 【答案】(1) 【解析】 .(2) . ,且
且
)的图象恒过定点 ,则点 的坐标为_________.
的图像恒过点
15.定义在 上的函数 【答案】12 【解析】 令 ∵ ∴ ，则
对任意的实数
满足
=
,则
_________.
令 ∴ 故答案为
，则
点睛：本题主要考查了抽象函数的问题，利用赋值法是解决这类题的关键，理解能力要求比较高.
16.给出下列说法:①集合 =
20.已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c，满足条件 f（0）=0 和 f（x+2）-f（x）=4x． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数 g（x）=f（x）-2mx+2，当 x∈[1，+∞）时，求函数 g（x）的最小值． 【答案】 （1） 【解析】 试题分析：（1）由 称轴 ，然后分当 得 ，再由 时，当 = 得方程组求出 ， 的值即可；（2）先求出抛物线对 时，根据二次函数的增减性解答． = = , ；（2） = .
增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y="[x](" [x]表示不 大于 x 的最大整数)可以表示为 【】 A. 【答案】B 【解析】 试题分析：根据规定每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时增加一名代表，即余数分别为 B. C. D.
山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(精编含解析)
21.建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减
排的号召，在气温超过 时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温
（单位： ）随时间（
，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数
关系.
（1）求函数
的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
【详解】连接 OC，设半径为 r，
寸，则
在直角三角形 中，
即
，解得
则
，所以
则
所以扇形 的面积
三角形 的面积 所以阴影部分面积为 所以选 A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用， 属于基础题。
12.已知 是 内一点，且 的取值范围是（ ）
，点 在 内（不含边界），若
（） D.
根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得 的值，代入
【详解】向量
，
所以根据向量平行的坐标运算可得
，且
即可得解。
由正弦二倍角公式化简可得
因为 所以 则
所以选 A 【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。
5.圆
与圆
的位置关系是（ ）
（2）根据向量数量积定义及公式求得
，结合向量数量积即可求得
何意义，根据几何意义求得
。
【详解】（1）因为 即
所以
；或根据向量和与差的几
（2）
，
所以
，
即
.
法二：因为
，
所以
，
，
山东省潍坊市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024.7.1. 若()i 11z −=，则z =（ ）A. 1i +B. 1i −C. 1i −+D. 1i −−【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z −=得，1i z −=−，所以1i z =+. 故选：A.2. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2上单调递减的是（ ） A. cos y x = B. tan y x =C. cos2x y = D. sin y x =【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.【详解】对于A ：cos y x =的图象是由cos y x =的图象将x 轴下方的图象关于x 轴对称上去，x 轴及x 轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：则cos y x =的最小正周期为π，但是在π,π2上单调递增，故A 错误； 对于B ：tan y x =的最小正周期为π，但是在π,π2上单调递增，故B 错误； 对于C ：cos2xy =的最小正周期2π4π12T==，故C 错误； 对于D ：sin y x =的图象是由sin y x =的图象将x 轴下方的图象关于x 轴对称上去，x 轴及x 轴上方部分不变，其函数图象如下所示：则sin y x =的最小正周期为π，且在π,π2上单调递减，故D 正确. 故选：D3. 已知2sin cos αα=，则sin cos sin cos αααα+=−（ ）A. 4B. 4−C. 3−D. 3【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan α，再将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为2sin cos αα=，所以sin 1tancos 2ααα==， 所以11sin cos tan 1231sin cos tan 112αααααα+++===−−−−. 故选：C4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为h ，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ）A.512h B.712h C.56h D. h【答案】B 【解析】【分析】先求出正四棱台的体积，再利用V V =四棱柱四棱台，且四棱柱的底面是边长为4的正方形，求解即可． 【详解】因为正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍， 所以令正四棱台的下底面边长为2，上底面边长为1，所以(174133V h h =×++×=四棱台， 由题意可得：V V =水四棱台，且四棱柱的底面是边长为2的正方形， 设四棱柱中水的高度为h ′，所以2723V h h ′=×=水，解得712h h ′=，即四棱柱中水的高度为712h ． 故选：B ．5. 已知3a = ，4b = ，且b 在a上的投影的数量为2−，则a b += （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果.【详解】由题意可得向量b 在向量a 上的投影数量为：cos ,2b a b =−， 又3,4a b == ，·cos ,2a b b a b a==− ，则6a b =− ，a b+=故选：D.6. 已知π4sin 35α +=，则πcos 23α −=（ ） A.725B. 725−C.2425D. 2425−【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解.【详解】令ππ233ααx y =+=−，，则4sin 5x =，2πy x =− 所以()22π47cos 2cos cos 2πcos 22sin 1213525αy x x x −==−=−=−=×−=， 故选：A.7. 如图所示，从热气球A 上测得地面上点B 的俯角为60°，点C 的俯角为45°，图中各点在同一铅垂平面内，已知B ，C 两点间距离为100m ，则热气球距地面的高度AO 为（ ）A. (100m +B. mC. (150m +D. (150m −【答案】C 【解析】【分析】根据锐角三角函数，分别用含OA 的式子表示出OB 和OC ，再结合已知条件，列方程求解即可．【详解】在Rt AOB △中，30OAB ∠=°，所以tan OB OA OAB =∠=， 在Rt OAC 中，45OAC ∠=°，所以OC OA =， 因为B ，C 两点间距离为100m ，所以100OC OB OA −==，解得(150m OA =+．故选：C ．8. 在ABC 中，1AC =，2BC =，1CA CB ⋅=，()21CDtCA t CB =+− （t ∈R ），则CD 的最小值为（ ） A 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先求2CD ，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于t 的函数，利用函数的观点即可求最小值.【详解】因为()21CDtCA t CB =+− 所以()()()2222222214141CD CD tCA t CB t CA t CA CB t B t C +⋅ ==+−=−−+ 又因为1AC =，2BC =，1CA CB ⋅=，所以22221,4,1CA CA CB CB CA CB ====⋅=所以()()()2222214144134142CD t t t t t t t =−−=−+=+−++ 当12t =时，2min 3CD == 故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数()2523i z a a =+−（a ∈R ）的实部为5−，则（ ） A. 复数z 的共轭复数5i z =−B. z =C. 22410i z =−D. z 在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】首先化简复数z ，根据实部为5−，求a ，再根据复数的相关概念，判断选项. 【详解】因为复数的实部是5−，所以55a =−，解得：1a =−，所以5i z =−−， A ：复数z 的共轭复数5i z =−+，错误；.B ：z =，正确；C ：()222410i 5i z =−+−=，错误；D ：z 在复平面内对应的点是()5,1−−，位于第三象限，正确. 故选：BD.10. 函数()πsin cos 6f x x x=++，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的图象关于π6x =对称C. ()f x 在ππ,63− 上单调递增 D. 当ππ,32x∈−时，()f x 的值域为(【答案】ABD 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为()πππsin cos sin cos cos sin cos 666f x x x x x x=++=++31πcos sin 223x x x x x++，所以()f x 的最小正周期为2πT =，故A 正确；因为ππ3π66f =+=()f x 的图象关于π6x =对称，故B 正确； 当ππ,63x ∈−时，23πππ36,x +∈ ，因为sin y x =在π2π,63上不单调，所以()f x 在ππ,63−上不单调，故C 错误；当ππ,32x ∈−时，π5π0,36x +∈ ，所以(]1πsi ,n 30x+∈，所以()(f x ∈，故D 正确. 故选：ABD11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式S（其中a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若2a =()1tan AA C =−，则（ ）A. =cB. ABC 面积的最大值是C. 当ABC 的面积最大时，其内切圆半径为3D. 若角A 的平分线AE 与边BC 相交于点E ，则AEAC的取值范围为(0,3 【答案】ACD 【解析】【分析】结合已知条件与两角和的正弦公式，推出sin C B =，再利用正弦定理角化边，即可判断A ；将=c ，2a =代入S 的计算公式中，结合配方法，即可判断B ；设ABC 内切圆半径为r ，结合1()2S a b c r =++及选项B 所得，即可判断C ；设2BAC α∠=，其中π(0,)2α∈，根据ABCABE ACE S S S =+△△△，利用三角形的面积公式，可得(3AEACα=，再结合余弦函数的性质，即可判断D ．【详解】对于A (1)tan A A C =−，sin (1)cos CA A C⋅，所以sin cos cos sin ))C A C A C A C B =+=+=，由正弦定理得=c ，故A 正确；对于B ，S=所以当24b =，即2b =时，ABC 的面积S B 错误；对于C ，由选项B 可知，当ABC 的面积S 最大时，2a b ==，c =，S =设ABC 内切圆半径为r ，因为1()2Sa b c r =++，1(222r ++，解得3=r ，故C 正确； 对于D ，设2BAC α∠=，其中π(0,)2α∈，则BAE CAE ∠=∠=， 因ABCABE ACE S S S =+△△△， 所以111sin 2sin sin 222AB AC AB AE AC AE ααα⋅=⋅+⋅，22sin cos sin sin AE b AE αααα⋅=⋅+⋅，因为sin 0α≠2cos AE α⋅+，所以(3AE AE AC bαα===， 因为π(0,)2α∈，所以cos (0,1)α∈，((30,3α∈，所以AEAC的取值范围为(0,3−，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键是引入参数α2cos AE α⋅+，从而转化为α的函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()()tan f x x ϕ=+的图象关于点π,06中心对称，则常数ϕ的一个取值为______. 【答案】π6−（答案不唯一，满足ππ,Z 62k k ϕ=−+∈即可）为【解析】【分析】根据正切函数的对称性计算可得.【详解】因为()()tan f x x ϕ=+的图象关于点π,06中心对称，所以ππ,Z 62k k ϕ+=∈，解得ππ,Z 62k k ϕ=−+∈， 故答案为：π6−（答案不唯一，满足ππ,Z 62k k ϕ=−+∈即可） 13. 如图，一个水平放置的平面图形OABC 按斜二测画法得到的直观图O A B C ′′′′是直角梯形，又知2A B ′′=，1B C ′′=，则平面图形OABC 的面积为______.【答案】【解析】【分析】先求出梯形O A B C ′′′′的面积，再根据公式S S =直观图原，即可求解. 【详解】过C ′作C D ′′垂直O A ′′于点D ，如图所示， 因为O A B C ′′′′是直角梯形， 所以四边形A B C D ′′′′是矩形，所以2C D A B ′′′′==，1D A B C ′′′′==， 又因为45C O D ′′′∠= ，所以2O D C D ′′′′==， 所以123O A ′′=+=， 所以1(13)242O A B C S ′′′′=×+×=梯形，又因为S =直观图原，所以4OABCS ==四边形故答案为：.14.函数π3yx ω+ （0ω>）的图象和函数π6yx ω−（0ω>）的图象的连续两个交点为A ，B，若52AB <≤ω的取值范围为______. 【答案】π2π,23【解析】【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB BC =，即ABC 为等腰三角形．三角函数的周期2πT ω=，且AC T =，取AC 的中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，AB =，ππ36x x ωω+=−，得ππsin sin 36x x ωω +=−，得ππ7ππ366x x x ωωω+=−−=−，得5π26x ω=，得5π12x ω=，则π5ππ3π131234y x ω=+=+===， 即A 点纵坐标1，则2BM =，AB =52AB <≤34T <≤，即2π34ω<≤，得为2ππ32ω>≥， 即ω的取值范围为π2π,23． 故答案为：π2π,23. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知平面向量()2,1a = ，()3,b x = .（1）若a b ∥，求b ；（2）若()0a b a ⋅−= ，求cos ,a b b + . 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出x 值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到=1x −，再利用向量夹角的坐标表示即可.【小问1详解】因为(2,1),(3,)a b x = ，又因为//a b ，所以23x =，解得32x =，所以||b = 【小问2详解】因为(1,1)b a x −=− ，所以()2(1)0a b a x ⋅−=+−=，解得=1x −. 所以(3,1),(5,0)b a b =−+= ，所以()cos ,||||a b b a b b a b b +⋅〈+〉==+ . 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π.（1）求圆锥的体积；（2）求圆锥的内切球的表面积.【答案】（1）12π（2）9π【解析】【分析】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解.【小问1详解】由题意圆锥的底面半径为3r =，设母线长为l ，圆锥的高为h ，由圆锥的侧面积公式πS rl =得：3π15πl =，解得5l =，所以4h ==. 由圆锥的体积公式13V S h =底得:2211ππ3412π33V r h ==××=. 【小问2详解】如图所示，棱锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为R ，∵Rt SCO 相似于Rt SDB ， ∴=OC SO BD SB ，即435R R −=， 解得：32R =，所以内接球表面积：234π9π2S =×=. 17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()cos 2cos a B c b A =−. （1）求A ；（2）若D 是AC 的中点，且5AD =，7BD =，求a .【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）在ABD △中利用余弦定理求出AB ，再在ABC 中利用余弦定理求出a .【小问1详解】因为()cos 2cos a B c b A =−，又正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos AB C B A =−， 则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=，所以sin 2sin cos C C A =， 又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =； 【小问2详解】在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅， 即214925252AB AB =+−××，解得8AB =或3AB =−（舍去）， 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AC AB A =+−⋅， 即22218102810842a +−×××，所以a =18. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，24AB AD CD ===，E 是BC 中点.（1）求AE BE ⋅；的（2）连接BD ，交AE 于点M ，求AM ；（3）若1P ，2P ，3P ，…，n P 为BC 边上的1n +等分点，当100n =时，求()123n MP MP MP MP AB +++⋅⋅⋅+⋅ 的值. 【答案】（1）1（2（3）240【解析】【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可；（2）设,AM AE BM BD λµ==，,R λµ∈，根据向量坐标运算得到方程组，解出,λµ，最后利用向量模的坐标公式即可；（3）首先证明123100100MP MP MP MP ME ++++= ，最后转化为求解ME AB ⋅ 即可. 【小问1详解】因为AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(2,4),(3,2)A B C E ，(3,2),(1,2)AE BE − ，所以341AE BE ⋅=−+= .【小问2详解】设,AM AE BM BD λµ== ，,R λµ∈，AM BM AE BD λµ−=− ，所以AB AE BD λµ=− ，所以(4,0)(3,2)(4,4)(34,24)λµλµλµ−−+−，所以344240λµλµ+= −= ，解得4525λµ = =，所以44||||55AM AE ==× . 【小问3详解】在MBC 中，因为E 为BC 中点，所以2MC MB ME += ，又因为123100,,,,P P P P 是边BC 101等分点，110029950512,2,,2MP MP ME MP MP ME MP MP ME +=+=+= ， 所以123100100MP MP MP MP ME ++++=， 所以()123100MP MP MP MP AB ++++⋅ 100ME AB ⋅由（2）得132,,(4,0)555ME AE AB ===， 所以312455ME AB ⋅=×= ， 所以()123100*********MP MP MP MP AB ++++⋅× . 19. 设O 为坐标原点，定义非零向量(),p a b = 的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），(),p a b = 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”. （1）若函数()1πsin 6f x x x =+−，求函数()1f x 的“相伴向量”1p ； （2）若函数()2f x为向量212p =−的“相伴函数”，将函数()2y f x =图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()()()24a h x g x ag x =−+在ππ,64 − 上有三个不同零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<. ①求实数a 取值范围； ②若123π2212x x x ++>−，求实数a 的取值范围. 的【答案】（1）112p = ；（2）①41,3；②43 ． 【解析】【分析】（1）化简函数()1f x ，根据相伴向量的概念即可求解；（2）①由函数变换得()2ππsin 2sin 2334a h x x a x=+−++ ，令πsin 23t x +，得()2,014a h t t at t =−+≤≤，根据题意204a t at −+=在[]0,1内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a 的范围；②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解．【小问1详解】由题意，函数()1πππsin sin cos cos sin sin 666f x x x x x x =+−=+−1sin 2x x 所以()1f x 的“相伴向量”112p = ；【小问2详解】因为函数()2f x为向量212p =−的“相伴函数”， 所以()21πcos sin 26f x x x x −=−， 由题意，函数，()πππsin 2sin 2463g x x x=+−=+ ()2ππsin 2sin 2334a h x x a x =+−++， 由ππ,64x ∈− ，可得π5π20,36x +∈ ， 令πsin 23t x +，则()2,014a h t t at t =−+≤≤，根据题意204a t at −+=在[]0,1内有两个不同的实根， 1 关于t 的方程204a t at −+=的一个根在区间10,2 ，另一个根在1,12 ， 当一个根为0时，即04a =，所以0a =， 此时方程为20t =，所以0=t ，不合题意； 当一个根是12，即110424a a −+=，解得1a =， 此时方程为2104t t −+=，所以12t =，不合题意； 当一个根在10,2，另一个根在1,12， 则有()()0010210h h h > <> ，解得413a <<； 2 当一个根是1，另一个根在1,12内， 由104a a −+=得43a =， 此时方程为241033t t −+=，解得1t =或13t =，不合题意； 综上，a 的取值范围是41,3； ② 设12,t t 为方程204a t at −+=的两个不相等的实数根，且12t t <， 由①知，11π1sin 20,32t x=+∈ ，所以1ππ20,36x +∈ ，即1ππ,612x ∈−−， 22π1sin 2,132t x =+∈，所以23,x x 关于π12对称，则23π6x x +=， 所以2πππ2,362x +∈ ，即2ππ,1212x ∈−， 由123π2212x x x ++>−且23π6x x +=，可得122π2πππ34312x x x >−++−=−，因为12ππππ20,0,36126x x +∈−∈，，所以12ππsin 2sin 312x x +>− ， 所以222212ππ1cos 21sin 2ππ63sin 2sin 31222x x x x −−−+ +>−== ， 所以21221t t >−，又12124t t a a t t += ⋅=，且12t t <所以12t t = =，所以221> 整理得()()218540a a a −−−>， 因为10a −>，所以28540a a −−>，解得a <a >413a <<，43a <<， 所以，实数a的取值范围是43 ，． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题中，第①题的关键是先图象变换得到()g x ，然后得到()h x ，换元后构造二次函数()2,014a h t t at t =−+≤≤，转化为方程在[]0,1内有两个不同的实根，再进行分类讨论即可得解；第②题的关键是，巧妙的将二次函数及三角函数结合起来，在三角恒等变换后，通过换元，再一次转化为一元二次方程根的分布问题，从而得解.。
山东省潍坊市数学高一下学期理数期中考试试卷
山东省潍坊市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当a<b时，。
则函数有（）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A . 最大值为，无最小值B . 最大值为，最小值为1C . 无最大值，无最小值D . 无最大值，最小值为12. （2分） (2019高一下·南宁期中) （）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·南宁期中) 在等差数列中，已知，，则公差＝（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高一下·南宁期中) 已知α是第二象限角, ，则cosα（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·南宁期中) 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（）A .B .C .D .6. （2分）(2012·全国卷理) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·南宁期中) 已知，则下列不等式不成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一下·南宁期中) 已知，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·南宁期中) 设非零向量满足，，则向量间的夹角为（）A . 150°B . 60°C . 120°D . 30°10. （2分） (2019高一下·南宁期中) 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4 升，上四节容量之和为3 升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一下·南宁期中) 将函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象C, 如下结论中不正确的是（）A . 函数f（x）的周期为πB . 图象C关于点对称C . 图象C关于直线对称D . 函数 f（x）在区间（）内是增函数12. （2分） (2019高一下·南宁期中) 如果函数的零点在x轴的正半轴上有且仅有一个，那么实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·湖南期中) 若100a=5，10b=2，则2a+b=________．14. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 若函数的最大值为，则的最小正周期为________．15. （1分） (2019高一下·南宁期中) 已知数列满足：，，，则________。
山东省潍坊第一中学2018-2019年高一上学期数学期中质检试题(精编含解析)
山东省潍坊一中高一上学期数学期中质检注意事项：第I卷、第Ⅱ卷满分150分。
第I卷为选择题，将答案直接涂在答题卡上；第Ⅱ卷为非选择题，用黑色签字笔规范书写到答题卡的相应位置。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，然后利用交集概念及运算得到结果.【详解】由题意可知：M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2，3}，∴{0，1}故选：A【点睛】本题考查了交集的概念及运算，考查了描述法，属于基础题.2.已知集合，则下列式子表示不正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由知，A,C,D选项正确，B选项错误，因为集合与集合关系不是属于关系，故选B.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【详解】由，解得﹣2＜x≤0．∴函数的定义域为．故选：A．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题．4.函数的图像必经过点A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用a0＝1即可得出必过的定点．【详解】令x＝3，则y＝a0+3＝4．∴函数的图象必经过点（3，4）．故选：D．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令f（x）＝，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【详解】由上表可知，令f（x）＝，则f（﹣1）≈0.37﹣0.5＜0，f（0）＝1﹣1.5＜0，f（1）≈2.72﹣2.5＞0，f（2）≈7.39﹣3.5＞0，f（3）≈20.09﹣4.5＞0．故f（0）f（1）＜0，∴方程的一个根所在的区间是故选：B．【点睛】本题考查零点判定定理的应用，二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．6.下列各组函数是同一函数的是①与；②与；③与；④与A. ②③B. ①③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】①与定义域相同，但是对应法则不同；②f（x）＝x与g（x）对应法则不同，不是同一函数；③f（x）＝x0与定义域相同，对应法则相同，是同一函数；④f（x）＝x2﹣x﹣1与g（t）＝t2﹣t﹣1．函数与用什么字母表示无关，只与定义域和对应法则有关．【详解】解：①与的定义域是{x：x≤0}；而x，对应法则不相同，故这两个函数不是同一函数；②f（x）＝x与的定义域都是R，|x|，这两个函数的定义域相同，对应法则不相同，故这两个函数不是同一函数；③f（x）＝x0＝1的定义域是{x：x≠0}，而＝1的定义域是{x：x≠0}，故这两个函数是同一函数；④f（x）＝x2﹣x﹣1与g（t）＝t2﹣t﹣1，定义域与对应法则相同，是同一函数．故选：C．【点睛】判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则，只有两者完全一致才能说明这两个函数是同一函数．属基础题．7.函数在上的最大值与最小值的差为2，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据y＝a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，且最值差为2，列出方程求出a的值．【详解】y＝a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，且y＝a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上最大值与最小值的差为2，即|a﹣a2|＝2，所以a﹣a2＝2或a﹣a2＝﹣2；即a2﹣a+2＝0或a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（不合题意，舍去）；所以a＝2．故选：B【点睛】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的图象与性质是解答的关键.8.已知定义在上的函数，其图像如图所示，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 关于的方程有三个实根，即函数与的图象有三个不同的交点，数形结合即可得到答案．【详解】关于的方程有三个实根，即函数与的图象有三个不同的交点，由函数的图象可得： 当t ∈时，函数与的图象有三个不同的交点，故选：C ．【点睛】函数零点的求解与判断 (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 9.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】将原代数式中的x 替换成﹣x ，再结合着f （x ）和g （x ）的奇偶性可得f （x ）+g （x ），再令x ＝1即可． 【详解】由f （x ）﹣g （x ）＝，将所有x 替换成﹣x ，得f （﹣x ）﹣g （﹣x ）＝﹣x 3+x 2，根据f （x ）＝f （﹣x ），g （﹣x ）＝﹣g （x ），得 f （x ）+g （x ）＝﹣x 3+x 2，再令x ＝1，计算得，f （1）+g （1）＝﹣1． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，利用定义得到f（x）+g（x）＝﹣x3+x2是解题的关键。
2018-2019学年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷试题数：23，总分：481.（单选题，3分）下列命题正确的是（）A.若 a＞b，则a2＞b2B.若a＞b，则 ac＞bcC.若a＞b，则a3＞b3D.若a＞b，则1a ＜1b2.（单选题，3分）设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若a || α，b || α，则a || bB.若a || b，b || α，则a || αC.若a || α，α || β，则a || βD.若α || β，a⊂α，则a || β3.（单选题，3分）等腰直角三角形，直角边长为√2．以斜边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A. π3B. 2π3C.πD. 4π34.（单选题，3分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知b=2√3，B=π6，c=6，则A=（）A. π6B. π2C. π6或π2D. π3或π25.（单选题，3分）一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（）A.10B.11C.12D.136.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=√26，b=7，A=π4，则△ABC的形状可能是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.钝角或锐角三角形D.锐角、钝角或直角三角形7.（单选题，3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n =2n+13n+5，则a5b5=（）A. 38B. 23C. 1116 D. 19328.（单选题，3分）设a＞0，b＞0，若3是3a与9b的等比中项，则1a +2b的最小值为（）A. 92B.3C. 32+√2D.49.（单选题，3分）已知函数f（x）=x2+mx+4，若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[-4，+∞）B.（-4，+∞）C.（-∞，-4]D.（-∞，-4）10.（单选题，3分）若等差数列{a n}单调递减，a2，a4为函数f（x）=x2-8x+12的两个零点，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，正整数n的值为（）A.3B.4C.4或5D.5或611.（单选题，3分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”．某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. 4+4√2B. 12+4√2C. 16+4√2D. 20+4√212.（单选题，3分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2，数列{b n}满足b n=log a a n+1a n (0＜a＜1)，T n是数列{b n}的前n项和，若M n=12log a a n+1，则T n与M n的大小关系是（）A.T n≥M nB.T n＞M nC.T n＜M nD.T n≤M n13.（填空题，3分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2t•3n−1−43，则t=___ ．14.（填空题，3分）已知函数a＞1，b＞12，若实数（a-1）（2b-1）=1，则a+2b的最小值为___ ．15.（填空题，3分）在△ABC中，A=π6，A的角平分线AD交BC于点D，若AB=√2，AC=√6，则AD=___ ．16.（填空题，3分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N 在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是___ ．（写出满足条件的所有顶点）17.（问答题，0分）证明：对任意实数x∈（-3，+∞），不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．18.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B+bsin（A+B）=0．（1）求角B；，求a+c．（2）若b=7，△ABC的面积为15√3419.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，且a1=10．求数列{|a n|}的前n项和．20.（问答题，0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．问：在棱A1D1上是否存在点N，使得C1N || 面B1MC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．，且21.（问答题，0分）已知S n是数列{a n}的前n项和，当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12S1=0，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）等比数列{b n}满足b2a2=b3a3=1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．22.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；，且数列{b n}的前n项和T n满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，（2）设b n=1a n a n+1求实数t 的取值范围；（3）设 c n =(34)n •a n+1 ，问：是否存在正整数m ，使得c m ≥c n 对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．23.（问答题，0分）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．若[x]表示不超过x 的最大整数，求[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]的值．2018-2019学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：481.（单选题，3分）下列命题正确的是（）A.若 a＞b，则a2＞b2B.若a＞b，则 ac＞bcC.若a＞b，则a3＞b3D.若a＞b，则1a ＜1b【正确答案】：C【解析】：a=-4，b=-5时，A命题不成立，c＜0时，B不成立，而a=3，b=-5时，D不成立，从而只能选C．【解答】：解：A．a＞b得不出a2＞b2，比如-4＞-5，得出（-4）2＜（-5）2，∴该命题错误；B．a＞b得不出ac＞bc，c小于0时，由a＞b得出ac＜bc，∴该命题错误；C．a＞b可以得出a3＞b3，∵f（x）=x3是增函数，∴该命题正确；D．a＞b得不出1a ＜1b，如3＞-5，得出13＞−15，∴该命题错误．故选：C．【点评】：考查不等式的性质，清楚函数f（x）=x3的单调性．2.（单选题，3分）设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若a || α，b || α，则a || bB.若a || b，b || α，则a || αC.若a || α，α || β，则a || βD.若α || β，a⊂α，则a || β【正确答案】：D【解析】：在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a || α或a⊂α；在C中，a || β或a⊂β；在D中，由面面平行的性质定理得a || β．【解答】：解：由直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，知：在A中，若a || α，b || α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a || b，b || α，则a || α或a⊂α，故B错误；在C中，若a || α，α || β，则a || β或a⊂β，故C错误；在D中，若α || β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a || β，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.（单选题，3分）等腰直角三角形，直角边长为√2．以斜边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A. π3B. 2π3C.πD. 4π3【正确答案】：B【解析】：画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】：解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2× 13•s•ℎ = 2×13×π×1 = 23π，故选：B．【点评】：本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．4.（单选题，3分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知b=2√3，B=π6，c=6，则A=（）A. π6B. π2C. π6或π2D. π3或π2【正确答案】：C【解析】：由正弦定理可得，bsinB = csinC，可求sinC，然后结合大边对大角可求C，进而可求A．【解答】：解：∵B= π6，b=2 √3，c=6，由正弦定理可得，bsinB = csinC，∴sinC= c•sinBb = √32，∵b＜c，∴C＞B= π6，∴C= π3或2π3，A=π-B-C= π2或π6；故选：C．【点评】：本题主要考查正弦定理在求解三角形中的应用，解题中大边对大角是确定C取值的关键．5.（单选题，3分）一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（）A.10B.11C.12D.13【正确答案】：D【解析】：利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】：解：由题意可得：a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13=91，∴7a7=91，解得a7=13，故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=√26，b=7，A=π4，则△ABC的形状可能是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.钝角或锐角三角形D.锐角、钝角或直角三角形【正确答案】：C【解析】：由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可判断．【解答】：解：因为a=√26，b=7，A=π4，√26√2 2=7sinB，所以sinB= 7√1326，因为b＞a，所以B＞A= π4，故B可能为锐角，也可能为钝角．故选：C．【点评】：本题主要考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础试题．7.（单选题，3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n =2n+13n+5，则a5b5=（）A. 38B. 23C. 1116D. 1932【正确答案】：D【解析】：利用等差数列的性质可得：a5b5 =9(a1+a9)29(b1+b9)2= S9T9，即可得出．【解答】：解：a5b5 =9(a1+a9)29(b1+b9)2= S9T9= 2×9+13×9+5= 1932，故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，3分）设a＞0，b＞0，若3是3a与9b的等比中项，则1a +2b的最小值为（）A. 92B.3C. 32+√2D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合等比数列的性质求出a+2b=2．然后利用基本不等式可求．【解答】：解：由题意可得，3a•9b=9即a+2b=2，则1a +2b=（1a+2b）（a+b）× 12= 12(3+ba+2ab)≥12(3+2√2)．当且仅当ba =2ab且a+b=2时取等号．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质及利用乘1法配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于中档试题．9.（单选题，3分）已知函数f（x）=x2+mx+4，若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[-4，+∞）B.（-4，+∞）C.（-∞，-4]D.（-∞，-4）【正确答案】：B【解析】：由题意可得x2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，由参数分离和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．【解答】：解：若f （x ）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立， 即x 2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立， 可得-m ＜x+ 4x在x∈（0，4）恒成立，设g （x ）=x+ 4x ，x∈（0，4），由x+ 4x ≥2 √x •4x =4，当且仅当x=2∈（0，4）时取得等号， 即有g （x ）的最小值为4， 可得-m ＜4，即m ＞-4， 故选：B ．【点评】：本题考查含参二次不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．10.（单选题，3分）若等差数列{a n }单调递减，a 2，a 4为函数f （x ）=x 2-8x+12的两个零点，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A.3 B.4 C.4或5 D.5或6【正确答案】：C【解析】：先解出两个零点，再利用等差数列的通项公式，求出数列为0的项，即可推出结果．【解答】：解：因为a 2，a 4为函数f （x ）=x 2-8x+12的两个零点，则 {a 2+a 4=8a 2a 4=12， ，等差数列{a n }单调递减， 解得： {a 2=6a 4=2．所以公差为-2，首项为8， 所以a n =8-2（n-1）=10-2n ． 令10-2n=0，解得，n=5，所以数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，正整数n 的值为4或5． 故选：C ．【点评】：本题考查知识点函数的零点，等差数列的通项公式；等差数列的性质，考查分析问题解决问题的能力，11.（单选题，3分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”．某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. 4+4√2B. 12+4√2C. 16+4√2D. 20+4√2【正确答案】：B【解析】：由已知求得底面斜边长，写出棱柱表面积，换元后利用函数的单调性求最值．【解答】：解：由该“堑堵”的外接球表面积为12π，得4π×(√AB 2+42)2=12π，解得AB= 2√2．∴该“堑堵”的表面积S=2（AC+BC）+ 2×12AC×BC+4√2 =2（AC+BC）+AC•BC+4 √2．令AC+BC=x（2√2＜x≤4），则AC•BC= x 2−82．∴S=2x+ x2−82+4√2 = 12x2+2x−4+4√2．函数在（2 √2，4]上为增函数，则当x=4时，S取得最大值为12+ 4√2．故选：B．【点评】：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积，考查函数与方程思想的应用，训练了利用换元法求最值，是中档题．12.（单选题，3分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2，数列{b n}满足b n=log a a n+1a n (0＜a＜1)，T n是数列{b n}的前n项和，若M n=12log a a n+1，则T n与M n的大小关系是（）A.T n≥M nB.T n ＞M nC.T n ＜M nD.T n ≤M n 【正确答案】：C【解析】：数列{a n }的前n 项和 S n =n 2 ，n≥2时，a n =S n -S n-1，n=1时，a 1=S 1=1，可得a n =2n-1. a n +1a n = 2n 2n−1 ．A n = a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n，通过放缩可得：A n ＜ √2n +1 ．进而得出结论．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和 S n =n 2 ，n≥2时，a n =S n -S n-1=n 2-（n-1）2=2n-1． n=1时，a 1=S 1=1，对于上式成立． ∴a n =2n-1，a n +1a n = 2n2n−1． A n =a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n = 21 × 43 × 65 ×…× 2n 2n−1 ＞ 32 × 54 ×…× 2n+12n = 1A n×（2n+1）． ∴A n ＞ √2n +1 ． 数列{b n }满足 b n =log a a n +1a n(0＜a ＜1) ， T n =log a （a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n）＜ log a √2n +1 = 12 log a a n+1=M n ．∴T n ＜M n ． 故选：C ．【点评】：本题考查了数列递推关系、放缩法、不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，3分）已知等比数列{a n }的前n 项和 S n =2t •3n−1−43，则t=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由已知结合等比数列的求和公式， 2t 3 = 43 ，可求．【解答】：解：因为q≠1，S n = a 1(1−q n )1−q = a 11−q−a11−q •q n ，结合等比数列和的特点可知， S n =2t •3n−1−43 中， 2t 3 = 43 ， 故t=2． 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．14.（填空题，3分）已知函数a ＞1， b ＞12 ，若实数（a-1）（2b-1）=1，则a+2b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由a ＞1， b ＞12 ，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2 ≥2√(a −1)(2b −1)+2 =4，求出结果．【解答】：解：由a ＞1， b ＞12 ，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2 ≥2√(a −1)(2b −1)+2 =4，当且仅当a=2b=2时，取等号， 故a+2b 的最小值为4， 故答案为：4．【点评】：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是对式子进行恰当的变形，基础题． 15.（填空题，3分）在△ABC 中， A =π6 ，A 的角平分线AD 交BC 于点D ，若 AB =√2 ， AC =√6 ，则AD=___ ． 【正确答案】：[1] √3【解析】：在△ABC 中，由余弦定理可解得 BC =√2 ，由此可知△ABC 为等腰三角形，且AB=BC ，则 C =π6，B =2π3，再在△ACD 中运用正弦定理即可求得AD 的值．【解答】：解：在△ABC 中，由余弦定理有， BC 2=AB 2+AC 2−2AB •AC •cosA =2+6−2×√2×√6×√32=2 ，∴ BC =√2 ，∴△ABC 为等腰三角形，且AB=BC ， ∴ C =π6，B =2π3， ∴ ∠ADC =12A +B =π12+2π3=3π4 ， 在△ACD 中，由正弦定理有， ACsin∠ADC =ADsinC ， ∴ AD =√6×12√22=√3 ．故答案为： √3 ．【点评】：本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．16.（填空题，3分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是___ ．（写出满足条件的所有顶点）【正确答案】：[1]C1，B1，D1，A1【解析】：如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．可得四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点．【解答】：解：如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．则四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点是C1，B1，D1，A1．故答案为：C1，B1，D1，A1．【点评】：本题考查了正方体的性质、平行四边形与点共面，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．17.（问答题，0分）证明：对任意实数x∈（-3，+∞），不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．【正确答案】：【解析】：根据题意，利用分析法证明不等式恒成立即可．【解答】：证明：要证明x∈（-3，+∞）时，不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立，只需证√x+3 + √x+6＜√x+4 + √x+5恒成立；即证x+3+2 √(x+3)(x+6) +x+6＜x+4+2 √(x+4)(x+5) +x+5恒成立，即证√(x+3)(x+6)＜√(x+4)(x+5)恒成立，即证（x+3）（x+6）＜（x+4）（x+5）恒成立，化简得18＜20，显然该不等式恒成立；所以x∈（-3，+∞）时，不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．【点评】：本题考查了利用分析法证明不等式恒成立问题，是基础题．18.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B+bsin（A+B）=0．（1）求角B；，求a+c．（2）若b=7，△ABC的面积为15√34【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合正弦定理化简可求cosB，进而可求B；（2）由面积公式可解得ac=15，① 由余弦定理，可得a2+c2+ac=49，即（a+c）2=-ac+49，③ 将① 代入③ 即可解得a+c的值．【解答】：解：（1）∵csin2B+bsin（A+B）=0，由正弦定理可得，sinCsin2B+sinBsin（A+B）=0，化简可得，2sinCsinBcosB+sinBsinC=0，∵sinBsinC≠0，∴cosB=- 12，∵B∈（0，π），∴B= 2π3，（2）b=7，B= 2π3，由面积公式可得：12acsinB= 15√34，即ac=15，①由余弦定理，可得：a2+c2-2accosB=b2，即a2+c2+ac=49 ② ，由② 变形可得：（a+c）2=-ac+49，③将① 代入③ 可得（a+c）2=64，故解得：a+c=8．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．19.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，且a1=10．求数列{|a n|}的前n项和．【正确答案】：【解析】：nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，变形为S n+1n+1 - S nn=-1，利用等差数列的通项公式可得S nn，S n，再利用n≥2时，a n=S n-S n-1，可得a n，利用a n≥0，对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】：解：nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，∴ S n+1n+1 - S nn=-1，∴数列{ S nn}是等差数列，公差为-1．∵a1=10，S11=10．∴ S nn=10-（n-1）=11-n，∴S n=11n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=11n-n2-[11（n-1）-（n-1）2]=12-2n，n=1时也成立．∴a n=12-2n，令a n=12-2n≥0，解得n≤6．∴n≤6时，数列{|a n|}的前n项和T n=10+8+……+（12-2n）= n(10+12−2n)2=n（11-n）=11n-n2．n≥7时，数列{|a n|}的前n项和T n=6×5+2+4+……+（2n-12）=30+ (n−6)(2+2n−12)2=30+（n-6）（n-5）=n2-11n+60．综上可得：T n= {11n−n2，1≤n≤6n2−11n+60，n≥7．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式求和公式、分类讨论、绝对值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．问：在棱A1D1上是否存在点N，使得C1N || 面B1MC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，则NP || B1C，PC1 || MB1，从而平面PNC1 || 平面 CB1M，由此推导出在棱A1D1上存在中点N，使得C1N || 面B1MC．【解答】：解：在棱A1D1上存在中点N，使得C1N || 面B1MC．理由如下：取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．∴NP || B1C，PC1 || MB1，∵NP∩PC1=P，B1C∩MB1=B2，∴平面PNC1 || 平面 CB1M，∵C1N⊂平面PNC1，∴C1N || 面B1MC．【点评】：本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.（问答题，0分）已知S n是数列{a n}的前n项和，当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−1，且2S1=0，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）等比数列{b n}满足b2a2=b3a3=1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【正确答案】：，且S1=0，a2=4．可得2S n+4=S n+1+S n-1，【解析】：（1）当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12可得a n+4=a n+1，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，可得4b1q=8b1q2=1，解得：q，b1．可得b n，a n•b n．利用错位相减法即可得出．，且S1=0，a2=4．【解答】：解：（1）当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12∴2S n+4=S n+1+S n-1，∴a n+4=a n+1，即a n+1-a n=4，a2-a1=4．∴数列{a n}为等差数列，公差为4，首项为0．∴a n=4（n-1）．（2）解：设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，∴4b1q=8b1q2=1，=b1．解得：q= 12∴b n= (12)n．∴a n•b n= n−12n−2．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=0+1+ 22 + 322+ 423+……+ n−12n−2．∴ 1 2 T n=0+ 12+ 222+……+ n−22n−2+ n−12n−1，∴ 1 2 T n=1+ 12+ 122+……+ 12n−2- n−12n−1= 1−(12)n−11−12- n−12n−1，∴T n=4- n+12n−2．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，且数列{b n}的前n项和T n满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，求实数t的取值范围；（3）设c n=(34)n•a n+1，问：是否存在正整数m，使得c m≥c n对一切正整数n恒成立？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1. √S n+1 - √S n =1，利用等差数列的通项公式可得：S n．n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1，可得a n．（2）b n=1a n a n+1 = 1(2n−1)(2n+1)= 12（12n−1- 12n+1），利用裂项求和可得：数列{b n}的前n项和T n，根据单调性可得T n的最值情况，再根据满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，即可得出实数t的取值范围．（3）设c n=(34)n•a n+1 = (34)n•（2n+1），通过作差可得其单调性，即可得出结论．【解答】：解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．∴ √S n+1 - √S n =1，√S1 =1．∴数列{ √S n }是等差数列，首项与公差都为1．∴ √S n =1+n-1=n ，∴S n =n 2．n≥2时，a n =S n -S n-1=n 2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a 1=S 1=1，对于上式成立．∴a n =2n-1．（2） b n =1a n a n+1= 1(2n−1)(2n+1) = 12 （ 12n−1 - 12n+1 ）， ∴数列{b n }的前n 项和T n = 12 （1- 13 + 13 - 15 +……+ 12n−1 - 12n+1 ）= 12 （1- 12n+1 ）＜ 12 ，∵满足 6T n ＜t 2−2t 对任意正整数n 恒成立，∴6× 12 ≤t 2-2t ，解得：t≥2或t≤-1．∴实数t 的取值范围是t≥2或t≤-1．（3）设 c n =(34)n •a n+1 = (34)n •（2n+1）， c n+1-c n = (34)n+1 （2n+3）- (34)n •（2n+1）= (34)n • 5−2n 4 ，可得：c 1＜c 2＜c 3＞c 4＞……．∴存在正整数m=3，使得c m ≥c n 对一切正整数n 恒成立．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.（问答题，0分）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．若[x]表示不超过x 的最大整数，求[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019]的值．【正确答案】：【解析】：首项利用关系式的变换利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用取整的应用求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．所以（a n+1-a n ）-（a n -a n-1）=2，利用叠加法的应用，整理得a n+1-a n =a 2-a 1+2（n-1），所以a n =2+4+6+…+2n=n （n+1）．则 1a n =1n −1n+1 ， 若[x]表示不超过x 的最大整数，所以[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]= 2019×[1−12+12−13+⋯+12019−12020] = 2019×(1−12020)=2019−20192020 ∈（2018，2019）．所以[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]的整数值为2018．【点评】：本题考查的知识要点：叠加法的应用，信息题型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及解析
山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.sin1140=( )A.2B.12C. D.12-2.若点(1,1)P 为圆2240x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为( ) A.20x y +-= B.0x y -= C.20x y -+=D.22(1)5x y +-=3.某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人. A. 65,150,65 B. 30，150，100 C. 93,94,93 D. 80,120,804.圆22(1)5x y +-=与直线120mx y m -+-=的位置关系( ) A.相切B.相离C.相交D.不能确定5.若角θ满足sin |sin |cos |cos |1θθθθ+=-，则θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角D.第四象限的角6.已知x 与y 之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ŷ=0.8x +0.5 ，那么t 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 87.从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A. B.5D.48.某副食品店对某月的前11天内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数和方差（结果保留一位小数）分别是）( )A.45,45.3B.45,46.4C.47,45.3D.47,46.49.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与都是正品C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与恰有2件正品10.若从集合A ={−2,1,2}中随机取一个数a ，从集合B ={−1,1,3}中随机取一个数b ，则直线ax−y +b =0一定．．经过第四象限的概率为( ) A. 29B. 13C. 49D. 59第II 卷（非选择题）二、填空题11.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____12.在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为 米．13.一袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则1只红球和1只黄球的概率为__________，2只球颜色相同的概率为________.14.若直线y x b =+与方程x =b 的取值范围为______，若恰有两个不同的交点，则实数b 的取值范围为_________.三、解答题15.已知角θ的终边与单位圆221x y +=在第一象限交于点P ，且点P 的坐标为(3,5)y . （1）求tan θ的值；（2）求22sin (2)cos (4)sin cos πθπθθθ+-+的值.16.已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.17.从某校参加期中考试的高一学生中随机抽取100名得到这100名学生语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数； （3）已知学生A 的语文成绩为123分，现从成绩在[120,130]中的学生中随机抽取2人参加演讲赛，求学生A 被抽中的概率.18.已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.19.已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂需要对这些产品的性能进行检测现决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，将700件产品按001，002，…，700进行编号（1）如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号；（下面摘取了随机数表的第7～9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，抽取的100件产品的安全性能和环保性能的检测结果如下表（横向和纵向分别表示安全性能和环保性能）： （i ）若在该样本中，产品环保性能是优等的概率为34%，求,m n 的值；（ii ）若12,8m n ≥≥，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率.20.已知的顶点坐标分别是，的外接圆为. （1）求圆M 的方程；（2）在圆M 上是否存在点P ，使得22||||4PA PB -=？若存在，求点P 的个数：若不存在，说明理由；（3）在圆M 上是否存在点Q ，使得22||||12QA QC +=？若存在，求点Q 的个数：若不存在，说明理由.四、新添加的题型21.设MP 、OM 和AT 分别是角1718π的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )A.MP AT OM <<B.OM AT MP <<C.0OM AT <<D.0AT OM <<22.已知3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，角α的终边经过点，则下列结论正确的是( )A.(cos )1f α=-B.(sin )1f α=C.1((cos ))2f f α=D.((sin ))2f f α=23.已知圆2221:C x y r +=和圆2222:()()(0)C x a y b r r -+-=>交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列结论正确的是( )A.1212,y x a y x b ++==B.2211220ax by a b +++= C.2222220ax by a b +--=D.1212()()0a x x b y y -+-=参考答案1.A【解析】1.利用诱导公式化简即可求值.()3sin1140sin 60+3360=sin 60︒=⨯=. 故选:A. 2.B【解析】2.根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直,求出弦所在直线的斜率,再代入点斜式化为一般式.2240x y x +-=化为标准方程为()22-24x y +=.∵()1,1P 为圆()22-24x y +=的弦AB 的中点,∴圆心与点P 确定的直线斜率为01121k -==--, ∴弦AB 所在直线的斜率为1，∴弦AB 所在直线的方程为11y x -=-,即0x y -=. 故选:B. 3.A【解析】3.每个个体被抽到的概率为2805600=120，∴专科生被抽的人数是120×1300=65,本科生要抽取120×3000=150,研究生要抽取120×1300=65. 4.C【解析】4.把直线的方程变形为点斜式,观察得到直线过一个定点,易判定点在圆内,从而明确直线与圆的位置关系.直线120mx y m -+-=即()12y m x -=-即直线过()21，点,把()21，点代入圆的方程有405+<,所以点()21，在圆的内部,过()21，点的直线一定和圆相交.故选:C. 5.C【解析】5.根据同角的三角函数关系得出sin 0θ<且cos 0θ<,由此判断θ是第几象限角. 角θ满足sin |sin |cos |cos |1θθθθ+=-,22sin cos 1θθ∴--=-,sin 0cos 0θθ<⎧∴⎨<⎩, θ∴是第三象限角.故选:C. 6.B【解析】6.由线性回归方程过样本中心(x̅,y ̅)，通过表中数据计算求解即可. 根据表中数据计算得：x̅=2+4+6+84=5，y ̅=3+4+5+t 4=12+t 4， 将(x̅,y ̅)代入y ̂=0.8x +0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t =6.故选B. 7.A【解析】7.设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=故选:A. 8.B【解析】8.根据茎叶图中数据及中位数,方差的概念进行计算可得答案. 由题中茎叶图共有11个数据,所以中位数为45,平均数为3132344445454747485050=4311++++++++++,求得方差为()()()()()()()()(222222223143324334434443454345434743474348411-+-+-+-+-+-+-+-+-46.4. 故选:B. 9.D【解析】9.根据对立事件和互斥事件的定义,依次判断每个选项得到答案.A 、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.B 、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件.C 、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.D 、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件. 故选:D. 10.D【解析】10.由题意，利用列举法求得基本事件(a,b)的总数，再列举出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 由题意，从集合A={−2,1,2}中随机取一个数a ，从集合B ={−1,1,3}中随机取一个数b ，得到(a,b)的取值的所有可能了结果共有：(−2,−1),(−2,1),(−2,3),(1,−1),(1,1),(1,3),(2,−1),(2,1),(2,3)，共计9种结果， 由直线ax−y +b =0，即y =ax +b ，其中当{a ≥0b ≥0时，直线不过第四象限，共有(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)，共计4种， 所以当直线ax −y +b =0一定．．经过第四象限时，共有5中情况， 所以概率为P =59，故选D.11.【解析】11.试题因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=，应填16. 12.203π【解析】12.弯道长是半径为10，圆心角为0120即23π弧度所对的弧长。
2018-2019学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
2018～2019学年度第一学期期中质量调研九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．一个长方形的面积为210 cm 2，宽比长少7 cm.设它的宽为x cm ，则可得方程（ ）A ．2（x ＋7）＋2x ＝210B ．x ＋（x ＋7）＝210C ．x （x －7）＝210D ．x （x ＋7）＝2103．有两个一元二次方程：①02=++c bx ax ，②02=++a bx cx ，其中a ＋c ＝0， 以下四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根； B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根；D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；4．若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表： x-7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当0=x 时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-275．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，反比例函数x ay =与正比例函数x c b y )(+=在同一坐标系中的大致图象可能是A B C D 6．如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（ ）． A ．2(4)2y x =--B ．2(4)2y x =-+C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++xxxxxyyyyy2018.107．若1(4,)A y -，1(3,)B y -，1(1,)C y 为二次函数242y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD △，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）． A ．(2,2)B ．(2,2)C ．(2,2)D ．(2,2)（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，6cm AC =，2cm BC =，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是（ ）． A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．32cm10．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15︒，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）． A ．12-B ．26-C ．2-D ．23-二、填空题（每小题3分，共24分）11．将一元二次方程(2)(1)3x x -+=化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 .12．已知关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－4，则另一个根为 ．13．某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 14．若抛物线y ＝x 2－k x ＋k －1的顶点在x 轴上，则k ＝ ．15．若抛物线2(2)3y x m x =-+-+的顶点在y 轴上，则m =__________．16．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．17．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx 交x 轴的负半轴于点A ．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为 ．三、解答题（共76分）19．⑴ 2(3)5x -= ⑵ 01422=+-x x⑶ 03322=--x x⑷03)32=+--x x （ 20．（6分）已知关于x 的方程x 2＋8x ＋12－a ＝0有两个不相等的实数根．⑴ 求a 的取值范围；⑵ 当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解．21．（6分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝4．点P 、Q 分别从点A 、出发，点P 沿A →C 的方向以每秒1个单位长的速度向点C 运动，点Q 沿B →向以每秒2个单位长的速度向点C 运动．当其中一个点先到达点C 时，点P 、运动．当四边形ABQP 的面积是△ABC 面积的一半时，求点P 运动的时间．Q BP22．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？24．（本题满分10分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：60(3060)y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数解析式．（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，13OA OC =． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若点(2,)G y 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG △的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG △的最大面积．26．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根． （1）求m 的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n （n≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n 的最大值和最小值．27．（本题满分10分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，且当2x =-和5x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值．（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动，当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将AEF △沿EF 翻折，使点A 落在点D处，得到DEF △．①是否存在某一时刻t ，使得DCF △为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②设DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．参考答案及评分意见一、选择题 1-5 BDBCB ；6.【答案】C ；【解析】22242(4)(4)2y x y x y x =−−−−→=+−−−−→=+-向左平移向下平移个单位个单位． 故选C ． 7.【答案】B ；【解析】二次函数2242(2)6y x x x =+-=+-，∴对称轴2x =-， ∴当14x =-，23x =-，31x =时，213y y y <<．故选B ．8.【答案】C ；【解析】将(2,4)A -代入2y ax =中得：1a =，∴2y x =， 由题意知，2OB =，4BA =，∴2OD =，将2y =代入2y x =得，2x =±， ∴(2,2)P ．故选C ．9.【答案】C ；【解析】由题意知，AP t =，CQ t =，6CP t =-，222222(6)21236PQ PC CQ t t t t =+=-+=-+22(3)18t =-+，又∵02t ≤≤，故2t =时，220PQ =最小， 此时25PQ =．故选C ．10.【答案】B ；【解析】∵正方形OABC 的边长为2，∴22OB =，由题意知，15AOB =︒∠，∴30COB =︒∠，∴2BC =，6OC =，故(6,2)B --， 代入2y ax =中得：26a -=，26a =-．故选B ．二、填空题11．012=+-x x ； 12．1； 13．25%； 14．K=2；15．【答案】2；【解析】由题意知：对称轴202m x -==，解得2m =． 16．【答案】2(2)9y x =--+；【解析】∵抛物线在x 轴上截得的线段长为6，且对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的两交点为(1,0)-，(5,0)，设2(2)9y a x =-+，将(5,0)代入得：1a =-， ∴2(2)9y x =--+．分分分分 分20． ⑴ 根据题意得：0)12482>--a （解得:4->a⑵ ∵ 4->a ∴ 最小的整数为﹣3 ------------------------------------------------------------ ∴ x 2＋8x ＋12﹣（﹣3）＝0 即：x 2＋8x ＋15＝0解得：x 1＝－3，x 2＝－521．设点P 运动了x 秒，则AP ＝x ，BQ ＝2x由AC ＝4，BC ＝6得：PC ＝4－x ，QC ＝6－2xP根据题意得：ABC ABQP S S △四边形21= ∴ ABC PQC S S △△21= ∵ ∠C ＝90 ∴642121)26)4(21⨯⨯⨯=⋅-⋅x x －（ 解得：11=x ，62=x 经检验，x ＝6舍去答：点P 运动的时间是1秒．22．解：设降价x 元后销售这款工艺品每天能盈利3000元. 根据题意可得：3000)550)(4080(=+--x x解这个方程得：201021==x x ，（不合题意，舍去） 当x ＝10时，80－x ＝70>65；当x ＝20时，80－x ＝60<65（不符合题意，舍去）答：此时销售单价应定为75元.23．【解析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x ，则：22(1) 2.88x +=， 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 故这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业的年利润为 2.88(120%) 3.456+=，3.456 3.4>，故该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 24．【解析】（1）(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-2901800x x =-+-，w 与x 之间的函数解析式：2901800w x x =-+-．（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x =-+-=--+， ∵10-<，当45x =时，w 有最大值，最大值是225．（3）当200w =时，2901800200x x -+-=，解得140x =，250x =， ∵5048<，250x =不符题意，舍去，故销售单价应定为40元． 25．【解析】（1）由已知得：(0,3)C -，(1,0)A -，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得09303a b c a b c C -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，∴223y x x =--．（2）存在．∵(1,4)D -，∴直线CD 的解析式为：3y x =--，∴E 点的坐标为(3,0)-， 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：2AE CF ==，AE CF ∥，∴以A 、C 、E 、F 为顶点，的四边形为平移四边形，∴存在点F ，坐标为(2,3)-． （3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得(2,3)G -，直线AG 为1y x =--， 设2(,23)P x x x --，则(,1)Q x x -，22PQ x x =-++，21(22)32APG APQ GPQ S S S x x =+=-++⨯△△△，当12x=时，APGS△最大，此时115,24P⎛⎫-⎪⎝⎭，APGS△最大为278．26.解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n ≤m ，m =1， ∴1≤n ≤7，令y ′=n 2﹣4n =（n ﹣2）2﹣4，∴n =2时，y ′的值最小，最小值为﹣4， n =7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2﹣4n 的最大值为21，最小值为﹣4．27．【解析】（1）由题意得：164204222552a b a b a b +-=⎧⎨--=+-⎩，解得：12a =，32b =-．（2）①由（1）知213222y x x =--，∵(4,0)A ，∴(1,0)B -，(0,2)C ，∴4OA =，1OB =，2OC =，∴5AB =，25AC =，5BC =， ∴22225AC BC AB +==，∴ABC △为Rt △，且90ACB =︒∠，∵2AE t =，5AF t =，52AF AB AE AC ==，又∵EAF CAB =∠∠，∴AEF ACB △∽△， ∴90AEF ACB ==︒∠∠，∴翻折后，A 落在D 处，∴DE AE =，∴24AD AE t ==，12EF AE t ==， 若DCF △为Rt △，点F 在AC 上时，i ）∴若C 为直角顶点，则D 与B 重合，∴1522AE AB ==，55224t =÷=，如图2 ii ）若D 为直角顶点，∵90CDF =︒∠，∴90ODC EDF +=︒∠∠，∵EDF EAF =∠∠，∴90OBC EAF +=︒∠∠，∴ODC OBC =∠∠，∴BC DC =， ∵OC BD ⊥，∴1OD OB ==，∴3AD =，∴34AE =，∴34t =，如图3 当点F 在AC 延长线上时，90DFC >︒∠，DCF △为钝角三角形，综上所述，34t =或54．②i ）当504t <≤时，重叠部分为DEF △，∴2122S t t t =⨯⨯=．ii ）当524t <≤时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH BE ⊥于H ，设GH x =，则2x BH =，2DH x =，∴32xDB =，∵45DB AD AB t =-=-，∴3452x t =-，∴2(45)3x t =-，∴1122(45)(45)223DEF DBG S S S t t t t ===⨯⨯--⨯-△△2134025533t t =-+-．iii ）当522t <≤时，重叠部分为BEG △，如图5，∵2(45)52BE DE DB t t t =-=--=-，22(52)GE BE t ==-，∴21(52)2(52)420252S t t t t =⨯-⨯-=-+．。