第7讲 二次函数与特殊三角形(教师版)
六年级数学上册 第7讲：列方程解应用题一(教师版)(人教版)
第七讲列方程解应用题（一）在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。
它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题目里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。
但是，两种解答方法的解题思路却不同。
由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。
用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。
特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。
1.基本概念：（1）像4x+2=9这样的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程；（2）像2x+y=8这样的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.2.列方程解应用题的一般步骤是：①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：直接设未知数（问什么设什么），间接设未知数；③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；④解方程；⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。
寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。
1.理解一元一次方程、二元一次方程（组）及确定方程解的概念，会解一元一次方程、二元一次方程组；2.能根据题意列方程解答问题。
例1：解下列方程：（1）357x x +=+（2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+ （4）132(23)5(2)x x --=--（5）5118()2352x x ⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦ （6）1123x x +-= （7）527x y x y +=⎧⎨+=⎩（8）2311329x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：（1）移项得：375x x -=-，注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：22x =，等式两边同时除以2可得1x =，把1x =代入原式，满足等式。
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第7讲 二次函数解析式的确定
二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式，为二次函数的综合应用打好基础．1、 一般式2y ax bx c =++（0a ≠）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ≠）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二次函数解析式的确定内容分析知识结构模块一：一般式y = ax 2+ bx + c ( a ≠0 )知识精讲2 / 18xyO【例1】 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像，那么a 的值为______．【例2】 已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式．【例3】 如图，二次函数图像过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（1-，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB = OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数的最大值．【例4】 如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点A （1-，0），B （4，52），D 是抛物线A 、B 两点间部分上的一个动点（不与A 、B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD 、BD ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，ADB ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 取得最大值时点C 的坐标．例题解析ABCDOxy4 / 181、 顶点式()2y a x m k =++（0a ≠）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ≠）的形式，这叫做 二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭的形式．【例5】 顶点为（2-，5-）且过点（1，14-）的抛物线的解析式为____________．【例6】 已知函数22y ax x c =++的图像的对称轴为直线x = 2，函数的最大值是3-，则a =______，c =______．【例7】 二次函数的图像顶点在y 轴上，图像有最低点（0，2），且经过点（2，3），则函数的解析式为____________．【例8】 顶点为（3-，6-）的抛物线2y ax bx c =++经过点（1-，4-），则下列结论错误的是（ ）A ．24b ac >B ．26ax bx c ++≥-C ．若点（2-，m ）、（5-，n ）在抛物线上，则m > n模块二：顶点式y = a ( x + m )2+ k ( a ≠0 )知识精讲例题解析x yAB OP D ．关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=-的两根为15x =-和21x =-【例9】 已知二次函数2y x px q =++，顶点坐标为（2，9-）． （1）求p 、q 的值；（2）这条抛物线与x 轴的两个交点A 、B ，设点M 在这条抛物线上，且24ABM S ∆=，求M 的坐标．【例10】 二次函数2y x mx n =++的图像经过点P （3-，1），对称轴是经过点（1-，0）且平行于y 轴的直线． （1）求二次函数解析式；（2）如图，一次函数y kx b =+的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相 交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，:1:5PA PB =，求一次函数的解析式．6 / 181、 交点式()()12y a x x x x =--（0a ≠）（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ≠），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两 个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式； （3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为122x x x +=；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x xx +=；（5）对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二 次方程的求根公式可得：2142b b ac x a -+-=、2242b b acx a---=；（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ≠），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．【例11】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是2-、2，且与y 轴的交点的纵坐标是3-，求该抛物线的解析式．【例12】 已知一抛物线的形状与21722y x =+的形状相同，对称轴为x =2-，它与x 轴的两 交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．模块三：交点式y = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) ( a ≠0 )知识精讲例题解析【例13】 设二次函数()()112y a x x x x =--（0a ≠，12x x ≠）的图像与一次函数2y dx e =+（0d ≠）的图像交于点（1x ，0）．若函数12y y y =+的图像与x 轴仅有一个交点，则（ ） A ．()12a x x d -= B ．()21a x x d -= C ．()212a x x d -=D ．()212a x x d +=【例14】 二次函数212y x kx =-++的图像与x 轴交点都位于（6，0）左侧，求k 的取值范围．【例15】 二次函数2y ax bx c =++在1x =-时，y 有最小值4-，它的图像与x 轴交点的横坐标分别为1x 和2x ，且221210x x +=．求该二次函数的解析式．【例16】 如图，抛物线经过A （2-，0）、B （12-，0）、C （0，2）三点．A B C OMx y（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA∆的面积最大，求点D的坐标；（2）设M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足90AMH∠=︒，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．8/ 181、 几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：2、 二次函数2y ax bx c =++的平移（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++； 向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+． （2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++； 向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位模块四：二次函数的平移知识精讲10 / 18A B CDE xy【例17】 抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析 式是___________________．【例18】 已知抛物线()2y a x h =-向右平移3个单位后得到的抛物线是()221y x =+，求a 、h 的值．【例19】 如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得的新抛物线的解析式是______________________．【例20】 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度或向上平移1个单位长度，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知一条抛物线经过两次简单变换后得到的抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能是（ ） A ．21y x =-B ．265y x x =++C ．244y x x =++D ．2817y x x =++【例21】 如图，平行四边形ABCD 中，AB = 4，点D 的坐标为（0，8），以C 为顶点的抛物线1y 经过x 轴上的点A 和点B ． （1）求抛物线1y 的解析式；（2）将抛物线1y 向上平移，使它经过点D ，求所得抛物线2y 的解析式．例题解析1、 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+-．2、 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+．3、 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =---．4、 关于顶点对称：2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x m k =++关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-++．5、 关于点（p ，q ）对称：()2y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()222y a x m p q k =---+-．【例22】 抛物线2243y x x =-+绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式__________．【例23】 以x 轴为对称轴，将抛物线225y x =-翻折后，再向左平移3个单位，所得的抛模块五：二次函数的对称知识精讲例题解析12 / 18物线对应的函数解析式为__________________．【例24】 抛物线2245y x x =+-关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________________，关于直线x = 3对称的抛物线的解析式为__________________，关于直线y = 3对称的抛物线的解析式为_____________________．【例25】 已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线267y x x =-+关于点A （1，2）对称，则a =______，b =______，c =______．【例26】 如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求点P 的坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线1C 与抛物线2C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的 物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180°后得到抛物线4C ．抛 物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在F 的左边），当以点P 、N 、F为顶点的三角形是直角三角形是，求点Q 的坐标．yM14 / 18【习题1】 已知抛物线的顶点为M （1，4），图像与x 轴的两个交点的距离是6，则抛物线的解析式为___________________．【习题2】 二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，则点A （24b ac -，b a -）在第______象限．【习题3】 已知一次函数12y x m =+的图像经过点A （2-，3），并与x 轴相交于点B ，二次 函数22y ax bx =+-的图像经过点A 和点B ． （1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于 点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ // x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位？【习题4】 已知抛物线()2143y m x x =-+-开口向下，与x 轴交于点A （1x ，0）和点B （2x ，0），其中12x x <，若221210x x +=，则抛物线的解析式为___________________． 【习题5】【习题6】 在直角坐标系中，把点A （1-，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点'A ，经过A 、'A 的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为（1，m ），且m < 3，若ABP ∆是等腰三角 形，求点B 的坐标．【习题7】 对于任意两个二次函数：21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++（120a a ≠），当随堂检测xyO12a a =时，我们称这两个二次函数的图像为全等抛物线．现有ABM ∆，A （1-，0），B （1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C”（“”中填写相应三个点的字母）．已知M （0，1），ABM ∆≌ABN ∆，如图．请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线．【习题8】 已知抛物线23344y mx m x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是等腰三角形，求抛物线的解析式．16 / 18Ox y3【作业1】 二次函数的图像的对称轴是12x =，在y 轴上的截距是3，且过点（2，7），则它 的解析式为_________________________．【作业2】 抛物线()2214y x =-+关于原点对称的抛物线的表达式为_____________．【作业3】 若二次函数的图像与x 轴只有一个交点，对称轴是直线x = 3，与y 轴的交点是（0，6），则二次函数解析式为____________________．【作业4】 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，函数的解析式为___________．【作业5】 已知抛物线()221312y x m x m =-+-+-的顶点在y 轴的正半轴上，求抛物线的表达式、顶点坐标、对称轴，并分析抛物线的上升、下降趋势．课后作业【作业6】 已知直线l 经过点（4，0），且与x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于8．如果一个二次函数的图像经过直线l 与两条坐标轴的交点，以直线x = 3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式．【作业7】 若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，求a 、b 的值．【作业8】 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB =P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴交于点D ．设点P 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长；（3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．18 / 18xyABO【作业9】 已知抛物线2212m y x mx =-+与抛物线22234y x mx m =+-在同一平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）试判断哪条抛物线经过A 、B 两点，并说明理由；（2）若A 、B 两点到原点的距离AO 、BO 的长满足1123OB OA -=，求经过A 、B 两点的抛物线解析式．【作业10】 已知抛物线24y ax ax t =++与x 轴的一个交点为A （1-，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积 为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴距离的比为5 : 2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上且 它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使APE ∆的周 长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
九年级同步第7讲：相似三角形综合 -教师版
相似三角形综合内容分析相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．知识结构G1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A ”字型和“X ”字型．【例1】 过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：2AE AFED FB = ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点D 作//DG AB 交CF 于点G ．Q //DG AB ∴AE AF ED GD =，DG CDBF CB =； Q AD 是中线， ∴2BC CD =， ∴12DG BF =；∴2AE AFED BF =． 【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．模块一：平行线与相似三角形知识精讲例题解析A BCDEFMM【例2】 如图，已知ABC ∆中，AD 、BE 相交于G ，:3:1BD DC =，:1:2AG GD =．求:BG GE 的值．【难度】★★ 【答案】11．【解析】点G 作//GM BC 交AC 于点M ．Q //GM BC ∴AG GM AD CD =，EG GMEB CB =； Q :1:2AG GD =， ∴13AG GM AD CD ==， Q :3:1BD DC =，∴14DC BC =，∴112GM BC =， ∴112GE EB =，∴:BG GE 的值为11． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例3】 如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，AD = 2，BD = 2DC ，求AC 的长． 【难度】★★ 【答案】3．【解析】过点D 作//DM AB 交AC 于点M ． Q //DM AB ， ∴75BAD ADM ∠=∠=o ；又Q 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠=o ，30CAD ∠=o∴75AMD ∠=o ， ∴AMD ADM ∠=∠， ∴2AD AM ==．Q //DM AB ， ∴AM BDAC BC=．又Q 2BD DC =， ∴23BD AM BC AC ==． ∴3AC =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．ABCDE GABCDHG【例4】已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 和点E ．求证：1AD AEDC EB+=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点A 作//GH BC 分别交CE 、BD 的延长线 于点G 、H ． Q MN 是中位线，//.AM MB AN NC MN BC ∴==，，////GH BC MN ∴． ∴AM GP MB PC= GP PC ∴= Q //GH BC ∴GH GPBC PC=GH BC ∴=；Q //GH BC ∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+= ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．A B CDE PNMQP【例5】AD 是ABC ∆的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM = x ·AB ，AN = y ·AC ，（0x ≠，0y ≠）．（1）如图1，当ABC ∆为等边三角形且30α=︒时，求证：AMN ∆∽DMA ∆；（2）如图2，证明112x y +=．【难度】★★★ 【答案】略 【解析】（1）Q ABC ∆是等边三角形，AD 是中线，30,90;BAD DAC ADB ∴∠=∠=∠=o o 30,30MDB α=∠=o o Q 即，60ADM ∴∠=oADM DAC N ∠=∠+∠Q 30N ∴∠=o ;MAD N ∴∠=∠ AMD AMN ∠=∠Q AMN DMA ∴∆∆∽；（2）过B 作//BQ MN 交AD 延长线于点Q ，过C 作//CP MN 交AD 于点P ， //BQ CP ∴ ∴BD DQDC PD=Q AD 是中线 ,BD DC ∴=,QD DP ∴= Q //BQ MN ∴1AB AQ AD DQx AM AD AD +===Q //CP MN ∴1AC AP AD DP y AN AD AD -===∴112x y+=． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．ABCD NMABCD NM图1图21、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．【例6】如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ． Q //CM AB ∴AB BD CM DC =，BAD M ∠=∠ Q AD 是角平分线 ∴BAD DAC ∠=∠；∴M DAC ∠=∠∴AC CM = ∴AB BDAC DC=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．模块二：角平分线与相似三角形知识精讲例题解析ABCDMABC D【例7】如图，AD 是ABC ∆的外角平分线．求证：AB BDAC CD=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点B 作//BM AC 交DA 的延长线于点M ．Q //BM AC ， ∴AC CDBM DB =，DAC M ∠=∠ Q AD 是外角平分线， ∴MAD CAD ∠=∠； ∴M MAD ∠=∠， 又Q MAB MAD ∠=∠， ∴M MAB ∠=∠．∴AB BM =．∴AB BDAC DC=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例8】在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AD 交BA 于点M ．Q //CM AD ， ∴AB ADBM CM=，DAC ACM BAD M ∠=∠∠=∠， Q AD 平分BAC ∠，120BAC ∠=o ． ∴60BAD CAD ∠=∠=o ； ∴60M ACM ∠=∠=o ，ACM ∴∆是等边三角形．∴AC CM AM ==．∴AB AD AB AM MC =+即AB ADAB AC AC=+．∴111AD AB AC=+． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．AB C DMMABC DEFG【例9】如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，CFG B ∠=∠过点C 作CE // AB ，交CAB ∠的平分线AD 于E ．（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：FC ADCG ED =． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】 （1）①ADB EDC ∆∆∽、②CAB GCF ∆∆∽．证明①： Q //CE AB ∴ADB EDC ∆∆∽证明②：Q //CE AB 180CAB ACE ∴∠+∠=o ，90CAB ∠=o Q ，90ACE ∴∠=o;CAB ACE ∴∠=∠ CFG B ∠=∠Q ∴CAB GCF ∆∆∽ （2）由CAB GCF ∆∆∽得FC ABCG AC =Q ADB EDC ∆∆∽ ∴AB ADEC DE=Q //CE AB ，EAB CED ∴∠=∠，CAE EAB ∠=∠Q ， ;CAE E ∴∠=∠，CA CE ∴= ∴AB AD AC DE = ∴ FC ADCG DE=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．DAB CEI【例10】如图，ABC ∆中，AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，交BI 延长线于E ，连接CI ．（1）ABC ∆变化时，设2BAC α∠=．若用α表示BIC ∠和E ∠，那么BIC ∠=______，E ∠=______；（2）若AB = 1，且ABC ∆与ICE ∆相似，求AC 长． 【难度】★★【答案】（1）90α+o ，α；（2）略． 【解析】（1）Q 180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=o ， ∴1801802ABC ACB BAC α∠+∠=-∠=-o o ．Q AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，∴ 12IBC ABC ∠=∠，CI 平分ACB ∠．∴ 12ICB ACB ∠=∠． Q 180IBC ICB BIC ∠+∠+∠=o()()1180180902BIC IBC ICB ABC ACB α∴∠=-∠+∠=-∠+∠=+o o o ．Q CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线， ∴ 12ACE ACD ∠=∠．()1902ICE ICA ACE ACD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=o ． Q 90BIC ICE E α∠=∠+∠=+o ，E α∴∠= ．（2）ABC ∆与ICE ∆相似，Q 90ICE ∠=o ， ABC ∴∆是直角三角形时，分三种情况：① 当90ABC ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．E BCA α∴∠=∠=． Q 90BAC BCA ∠+∠=o ， 30α∴=o ． ∴ 22AC AB ==； ② 当90BCA ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ． E ABC α∴∠=∠=， Q 90BAC ABC ∠+∠=o ， 30α∴=o ， ∴ 1122AC AB ==； ③ 当90BAC ∠=o 时，Q 2BAC α∠=， 45α∴=o ． ∴ 1AC AB ==；综上所述，1122AC =或或．【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．B ACDABCD图1图21、a 2 = b·c 与相似三角形 常见及扩展模型如下：由图1可证：2AB BD BC =g ；由图2可证：2AB BD BC =g ，2AD BD DC =g ，2AC CD CB =g ．【例11】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．求证：2AD BD DC =g ．【难度】★ 【答案】略．【解析】Q AD BC ⊥， ∴90ADB ADC ∠=∠=o ． ∴90BAD B ∠+∠=o ． Q 90BAC ∠=o ，∴90C B ∠+∠=o ， ∴BAD C ∠=∠．∴ABD CAD ∆∆∽ ，∴AD BDCD AD=． ∴2AD BD CD =•．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．模块三：a 2 = b·c 与相似三角形知识精讲例题解析AB CDABCDE HA BCDEF【例12】如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H ．求证：24DH DA BC =g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】Q AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=o ． ∴90HBD C ∠+∠=o ， 90CAH C ∠+∠=o ．∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽． ∴HD BDCD AD=即DH AD BD CD =g g Q AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==．∴BAD C ∠=∠．∴214DH AD BC =g ， ∴24DH AD BC =g ．【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．【例13】如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD = BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F ． （1）AF = BE ；（2）AF 2 = AE ·EC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）Q //EF AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形．又Q AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠． ∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =； （2）Q 90AEB CEB ∠=∠=o ，∴90EBA EAB ∠+∠=o ， 90ECB EAB ∠+∠=o ．∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽．∴EB EAEC EB =． ∴2EB EA EC =•，∴2AF EA EC =•．【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．【例14】如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AD 于点 H ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ．求证：2DF CF BF =g ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AFQ 点F 在AD 的垂直平分线上， ∴AF FD =， FAD ADF ∠=∠．Q FAD FAC DAC ∠=∠+∠，ADF BAD B ∠=∠+∠ ∴FAC DAC BAD B ∠+∠=∠+∠．又Q AD 平分BAC ∠， ∴BAD DAC ∠=∠， ∴FAC B ∠=∠．又Q AFC AFB ∠=∠， ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴AF FCFB AF =． ∴2AF CF BF =•， ∴2DF CF BF =•．【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．【例15】如图1，在ABC ∆中，P 是边AB 上的一点，联结CP ，要使ACP ∆∽ABC ∆，还需要补充一个条件．（1）补充的条件是___________________，或者____________________． （2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，22AC AB AB BC =+g ，求B ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】（1）ACP B ∠=∠；APC ACB ∠=∠；（或者2AC AB AP =•） （2）延长AB 到D ，使BD CB = ∴BCD BDC ∠=∠Q 22AC AB AB BC =+• ∴2AC AB AD =• ∴ACB ADC ∆∆∽ D ACB ∴∠=∠ Q 180A ACD D ∠+∠+∠=o∴3180D A ∠+∠=o 而60A ∠=o ∴40D BCD ∠=∠=o 80ABC BCD D ∴∠=∠+∠=o ．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．DAB C D E FGH ABC ACBP图1图2A BCDEFGH TH1、内接矩形与相似三角形 相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【例16】如图，ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形DEFG 的边长．【难度】★★【答案】6037．【解析】设正方形DEFG 的边长为a ，过点C作CH AB ⊥交AB 于点H ，易知：////DG CH DE AB ，DG AD CH AC ∴=，DE CD AB AC = 1DG DECH AB ∴+=在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，， 5AB ∴=，125CH =． 11255a a ∴+=， 6037a ∴=， ∴正方形DEFG 的边长为6037． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．模块四：内接矩形与相似三角形知识精讲例题解析ABC DEF GABCHGFE D DFE【例17】ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【难度】★★ 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知： ////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AHBC AB =．1HE HGAD BC∴+=， 11015a a∴+=， 6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．【例18】如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．【难度】★★【答案】如图截取，正方形边长为127． 【解析】设正方形CDEF 的边长为a ，易知： ////EF CB DE AC ，．DE BE AC AB ∴=，EF AECB AB=， 1DE EFAC CB∴+=． 在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，，134a a∴+=．127a ∴=． ∴正方形DEFC 的边长为127． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．ABCH 【例19】如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★★ 【答案】9．【解析】过点D 作//DH CB 交AB 于点H ，可得 DGH EFB ∆≅∆． 4DAH S ∆∴= ．易证CDE DAH ∆∆∽，214CDE DAH S CD S DA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．12CD DA ∴= ， 13CD CA ∴=．Q CDE CAB ∆∆∽， 219CDE CABS CD S CA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 9CBA S ∆∴=．【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】锐角ABC ∆中，BC = 6，=12ABC S ∆，两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且 MN // BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为y （y > 0）．（1）ABC ∆中边BC 上高AD = ______；（2）当x = ______时，PQ 恰好落在边BC 上（如图1）；（3）当PQ 在ABC ∆外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（并写出定义域）；当x取何值时，y 取得最大值，最大值为多少？【难度】★★★ 【答案】（1）4；（2）125；（3）略． 【解析】（3） Q //MN CB ，AT AM MN AD AB BC ∴==． ∴46AT x =．∴23x AT =． 243TD x ∴=-． ()222224436333x S MN TD x x x x ⎛⎫∴=•=-=-+=--+ ⎪⎝⎭公共．22124635y x x x ⎛⎫∴=-+<≤ ⎪⎝⎭，当3x =时，y 取最大值，max 6y =．【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题．ABC DEF G ABC D P NMQABCD PNM Q图1 图2TAB CD EF1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：【例21】已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠，分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【难度】★★ 【答案】46．【解析】Q EDC B BED ∠=∠+∠， 而EDC EDF FDC ∠=∠+∠， ∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠．又Q EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．Q AB AC =，∴B C ∠=∠．EDB DCF ∴∆∆∽． BE BDDC CF ∴=．106104BDDC -∴=-， 24DC BD ∴=g ．又12CD DB BC ==Q ， 46BC ∴=． 【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．模块五：一线三等角与相似三角形知识精讲例题解析AB CDE 【例22】如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【难度】★★ 【答案】24．【解析】Q 90ABC ∠=o ，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=o ．又Q 34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．Q 90EDC DEC ∠+∠=o ，∴90AEB DEC ∠+∠=o ． ∴90AED ∠=o ．在Rt AED ∆中， Q 10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=． 【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．【例23】矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则1S ______23S S +（用“ > ”、“ = ”、“ < ”填空）；（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【难度】★★ 【答案】（1）=；（2）BFC CED ∆∆∽；BFC DCB ∆∆∽； CED DCB ∆∆∽．【解析】（1）过点C 作CH BD ⊥交BD 于点H ，易得； （2）Q BCD DCE F FBC ∠+∠=∠+∠，而90BCD F ∠=∠=o ．∴FBC DCE ∠=∠．BFC CED ∴∆∆∽．【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．HABCDE FQ【例24】在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 3，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP ⊥PE ，垂直为P ，PE 交CD 于点E ．（1）连接AE ，当APE ∆与ADE ∆全等时，求BP 的长；（2）若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若PE // BD ，试求出此时BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】（1）5；（2）()2130322y x x x =-+<<，当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）43． 【解析】（1）APE ∆与ADE ∆全等， Q 90APE ADE ∠=∠=o ， BAE AED ∠=∠ ， 而BAE PAE ∠>∠，ADE APE ∴∆≅∆． 3AD AP ∴==．在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=， 225BP AP AB ∴=-=．（2）易证ABP PCE ∆∆∽， 得AB BPPC CE=， 即23x x y =-． ∴()2130322y x x x =-+<<．Q 221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）联结BD 交AP 于点Q ． //PE BD Q ，90APE AQD ∴∠=∠=o ．9090QAD ADQ BAQ QAD ∴∠+∠=∠+∠=o o ，．∴BAQ ADQ ∠=∠， Rt ABP Rt DAB ∴∆∆∽． AB BP AD AB ∴=， 43BP ∴=． 【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．ABCD EPABCDEFM【例25】如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点， 且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD 于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（ ）A ．53B ．35C ．43D ．34【难度】★★ 【答案】C ．【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．5CB CD ∴==， 3CE CF ==，BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=o ． 在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．Q 90ECF ∠=o ，90ECD DCF ∴∠+∠=o ．又90DCF FDC ∠+∠=o QECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴43DM DF MC EC ∴==． 【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．模块六：旋转与相似三角形例题解析H【例26】在ABC ∆中，CA = CB ，在AED ∆中，DA = DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上． （1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是____________； （2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED ∆绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与 BE 的数量关系是____________．【难度】★★ 【答案】（1）22CD BE =；（2）33CD BE =． 【解析】（1）90ACB ADE ∠=∠=o Q ∴//DE BC ∴22AD DC AE EB ==∴22CD BE =； （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H120ACB ∠=o Q30CAB ∴∠=o ∴23CA AH = ∴23323AC AB == 由ADE ACB ∆∆∽， 得：AD ACAE AB=DAE CAB ∠=∠Q ，∴ACD ABE ∆∆∽∴33CD AC BE AB ==，∴33CD BE =． 【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．ABC D EABCD E图1图2FAB (Q )CD (O )EPPABCD (O )ABCD (O )QPQ EFEF 图1图2图3【例27】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其 中090α︒<<︒，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变． 【解析】（1）略；（2）易证APD CDQ ∆∆∽， 得：AP ADCD CQ=AP CQ CD AD ∴•=•． 又42AC =Q ， 22CD AD ∴==， 8AP CQ ∴•=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．H 【例28】如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 2，30A ∠=︒，点E 、F 分别是线段BC 、AC 的中点，联结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是______，AFBE=______； （2）如图2，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），联结AF 、BE ，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），延长FC 交AB 于点D ， 如果623AD =-，求旋转角α的度数．【难度】★★★【答案】（1）垂直，3；（2）成立；（3）略． 【解析】（1）略；（2）由ACB FCE ∆∆∽， 得：AC FCCB CE=．BCE ACF ∠=∠Q ， ∴BCE ACF ∆∆∽． ∴3AF ACBE BC==； （3）过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ， 623AD =-Q ， 232BD ∴=-． 在Rt DBH ∆中，60B ∠=o ， 31BH ∴=-，33DH =-．33CH ∴=-， 45DCH ∴∠=o ， 45ACD ∴∠=o ． 135ACF ∴∠=o ．135α∴=o ．【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．BACE FABCEFABCDE F图1图2图3A BCDEF【例29】如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C重合），DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）ABC ∆Q 、ADE ∆是等边三角形60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=ooCDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠Q,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽；（2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF ∴=11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（3）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴=279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆Q 是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴=1AB =Q 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=．【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．模块七：函数与相似三角形例题解析A BCOPQxy l【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （a ，0）（a < 0），联结BP ，过点P 作PC ⊥PB 交过点A 的直线l 于点C （2，b ）．（1）求b 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取得最大的整数时，求BC 与x 轴的交点Q 的坐标．【难度】★★【答案】（1）212b a a =-+；（2）8,07Q ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）90BPO OPC BPO PBO ∠+∠=∠+∠=o Q OPC PBO ∴∠=∠90BOP PAC ∠=∠=o QBPO PCA ∴∆∆∽ OP OBAC AP∴=即22a b a-=--∴212b a a =-+；（2）Q 0a < a ∴取得最大的整数时1a =-32b ∴=-//OB AC QOB OQAC QA∴=，即2322OQ OQ =- 87OQ ∴=∴8,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．xy123–1–2–3123–1–2–3 ABCO【例31】函数k y x =和k y x =-（0k ≠）的图像关于y 轴对称，我们把函数k y x =和k y x=- （0k ≠）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y = f （x ）和y = h （x ）的图像关于y 轴对称，那么我们就把函数y = f （x ）和y = h （x ）叫做互为“镜子”函数．（1）函数y = 3x – 4的“镜子”函数是________________； （2）函数223y x x =-+的“镜子”函数是________________； （3）如图所示，一条直线与一对“镜子”2y x =（x > 0）和2y x=-（x < 0）的图像分别交 于点A 、B 、C ，如果CB : AB = 1 : 2，点C 在函数2y x =-（x < 0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是12，求点B 的坐标． 【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）34y x =--； （2）223y x x =++； （3）分别过点A 、B 、C 作CC BB AA '''、、 垂直于x 轴，垂足分别为C B A '''、、．设点2,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，0n >． 由题意，得点1,42C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．4CC '∴=,2BB m '=，2AA n '=，A B n m ''=-,12B C m ''=+． 易知////CC BB AA ''', 又:1:2CB AB =所以，可得12().22222(4)3n m m m n n ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 化简得3111433n m m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1106m ±=（负值舍去）， 1104104,63B ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．H【例32】如图，已知梯形ABCD ，AD // BC ，AB = AD = 5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一点，过点E 作EF // DC 交射线BC 于点F ，连接EC ，设BE = x ，ECF BDCSy S ∆∆=．（1）求BD 的长；（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）8BD =；（2）()21108648y x x x =-+<<． 【解析】（1）//AD BC Q ， ADB DBC ∴∠=∠．3tan 4DBC ∠=Q ， 3tan 4ADB ∴∠=．过点A 作AH BD ⊥交BD 于点H ，AB AD =Q ， 4BH HD ∴==． 8BD ∴=．（2）//EF CD Q ， BEF BDC ∴∆∆∽， 8BE BF xBD BC ∴==．∴2264BEF BDC S BE x S BD ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． Q8BEF EFC S BF xS FC x∆∆==-，∴2864ECF BDC S x x S x∆∆-=•． ∴()21108648y x x x =-+<<． 【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．A BCDE FAB CDE F ABCD EFP N MQ【习题1】 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ．求证：111AB CD EF+=． 【难度】★★【答案】略． 【解析】Q AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴////AB CD EF∴EF DF AB DB =，EF BF CD DB =∴1EF EF AB DC +=，即111AB CD EF+=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．【习题2】 如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、 AC 、BC 边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．【难度】★★ 【答案】34．【解析】Q DE 是中位线， 122DE BC cm ∴==．Q D 是AB 中点， 142DA BA cm ∴==． //PQ ED Q ， AP PQAD DE∴=． 342PQ ∴=， 32PQ ∴=． Q DN PN PD =-， ∴12DN =． ∴34S PQ DN =•=公共． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．随堂检测ABCDEFABCDE FPPQ图1图2Q【习题3】 如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP = AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；并求当BP = a ，92CQ a = 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）52PQ a =．【解析】（1）E Q 是中点，BE EC ∴=．AP AQ =Q ，BP CQ ∴=． AB AC =Q ， B C ∴∠=∠．BPE CQE ∴∆≅∆．（2）DEF FEC B BPE ∠+∠=∠+∠Q ，而45B DEF ∠=∠=o ，BPE QEC ∴∠=∠． 45B C ∠=∠=o Q ，BPE CEQ ∴∆∆∽，BP BECE CQ∴=，92a BE a CE ∴=， 292CE BE a ∴⋅=，32BC a ∴=．在Rt ABC ∆中，3AB AC a ==，32AQ a ∴=，2AP a =．∴在Rt APQ ∆中，52PQ a =．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．ABCDEF【作业1】 如图，已知AB // EF // CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论．【难度】★★ 【答案】略【解析】BED BCD S BE S BC ∆∆=Q ，BED ABD S ED S AD ∆∆=，又ED ECAD BC=Q ， 1BED BED BCD ABD S S S S ∆∆∆∆∴+=，即111BCD ABD BEDS S S ∆∆∆+=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．【作业2】 已知AD 、AE 分别为的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BMAC CM=．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AM ， AD AE Q 、分别是内、外角的平分线，90DAE ∴∠=o ．M Q 是DE 的中点，MA MD ∴=，MA MD ∴=， MAC CAD ADM ∴∠+∠=∠．又ADM BAD B ∠=∠+∠Q ，MAC CAD BAD B ∴∠+∠=∠+∠．BAD DAC ∠=∠Q ，MAC B ∴∠=∠， MAC MBA ∴∆∆∽MC MA ACMA MB AB∴==22AB MB AC MA ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．课后作业ABCD EM【作业3】 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一 起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若AFG ∆绕点旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为点D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；（2）ABC ∆的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角 坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D 使BD = CE ，求出点D 的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=；（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明 你的结论；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）EAD EBA ∆∆∽；DAE DCA ∆∆∽；EBA ACD ∆∆∽；证明：ADE B BAD ∠=∠+∠Q BAE DAE BAD ∠=∠+∠ 而B DAE ∠=∠ ADE BAE ∴∠=∠ 又B C ∠=∠Q EBA ACD ∴∆∆∽； （2）解：ABC ∆Q 、AGF ∆是等腰直角三角形， 45,FAG C ∴∠=∠=o ,ADC ADE ∠=∠QDAE DCA ∴∆∆∽，AED CAD ∴∠=∠．ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AO BC ⊥， BO OC ∴=．DO OE ∴=，AB BDDC CF ∴=． AO BC ⊥Q ， DA AE ∴=． AED ADE ∴∠=∠． CDA CAD ∴∠=∠． DC CA ∴=． 2BC =Q ， 2AC ∴=．2DC ∴=，21OD ∴=-． ()12,0D ∴-；由此可知：2222222BD CE ED =-=-=-Q ，，，222BD CE DE ∴+=；ABC DEF GABCDEFG Oxy 图1图2H九年级同步31 / 31（3）成立，将ABD ∆绕点A 旋转，使得AB 与AC 重合，如图，此时D 的对应点是H ，联结HE ，可得ABD ACH ∆≅∆．45ABD ACH ∴∠=∠=o ，BD HC =，AD AH =，BAD HAC ∴∠=∠；45ACB ∠=o Q ，90HCE ∴∠=o在Rt HCE ∆中，222HC EC HE +=，45DAE ∠=o Q ，45BAD EAC ∴∠+∠=o ，即45EAC HAC ∴∠+∠=o 45HAE ∴∠=o ， DAE HAE ∴∠=∠． ADE AHE ∴∆≅∆．DE HE ∴=． ∴222BD EC DE +=．【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.【解析】(1)因为1641340∆⨯⨯>＝－＝，所以方程2430x x ＋＋＝有两个不等实根x 1＝－1，x 2＝－3.所以原不等式的解集为{|3x x <-或1}x >-.(2)因为()036449()4∆⨯-⨯-=＝－，所以方程246x x --＋9=04有两个相等实根x 1＝x 2＝34所以原不等式的解集为{34x x ⎫≠⎬⎭.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选B 考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【解析】关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．(1)当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．(2)当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -，当21a a --<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}，当21a a--=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-．当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，．(3)当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -，又因为2211a a a -=->，所以21a a--<，．即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >-当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x xx ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-【答案】ABD【解析】对于集合A ，解不等式201x x -<+，即()()21010x x x ⎧-+<⎨+≠⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<.对于A 选项，()(){}{}21012x x x x x -+<=-<<，故A 正确；对于B 选项，解不等式102x x +<-，即()()12020x x x ⎧+-<⎨-≠⎩，得12x -<<，即{}10122x xx x x ⎧⎫+<=-<<⎨⎬-⎩⎭，故B 正确；对于C 选项，与集合{}12A x x =-<<比较显然错误，故C 错误；对于D 选项，()1,2-等价于{}12x x -<<，故D 正确.故选ABD考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】B【解析】当0k =时，80>恒成立，符合题意；当0k ≠时，由题意有()()2Δ6480k k k k >⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得01k <<，综上，01k ≤<.故选B.【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}xx >∣B ．{2}xx <-∣C ．{2∣<-xx 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【答案】D【解析】原式化为()()220x x -+<，即22x -<<，故不等式的解集为{22}xx -<<∣.故选D 2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】由题，一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立则()2221490k k k >⎧⎪⎨⎡⎤+-⨯<⎪⎣⎦⎩，即204510k k k >⎧⎨-+<⎩，解得1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选B 3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<【答案】A【解析】()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，①2450k k +-=时，k ＝－5或k ＝1，k ＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k ＝1时，y ＝3满足条件；故k ＝1；②k ≠－5且k ≠1时，函数为二次函数，则2450Δ0k k ⎧+->⎨<⎩，解得119k <<；综上，119k <.故选A.4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1【答案】AC【解析】A 中21410∆=-⨯<.满足条件；B 中(240∆=-->，解集不为R ；C 中264100∆=-⨯<，满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选AC5.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R【答案】AB【解析】由()()110ax x -+<，分类讨论a 如下：当0a >时，11x a-<<；当0a =时，1x >-；当10a -<<时，1x a<或1x >-；当1a =-时，1x ≠-；当1a <-时，1x <-或1x a>.故选AB.6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .【解析】(1)由题意得：－1，3就是方程250x bx c -+=的两根，∴504530b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，则1015b c =⎧⎨=-⎩，∴5b c +=-；(2)将不等式转化为()()254040x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，∴4x <-或52x ≥，∴52A x x ⎧=≥⎨⎩或}4x <-.8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【解析】(1)214450x x -+-≥即214450x x -+≤，故()()590x x --≤，解得59x ≤≤，故214450x x -+-≥的解集为[]5,9(2)()()231x x x x >+-+即22231x x x x +>-+，即2210x x -->，即()()1210x x -+>，解得1x >或12x <-，故解集为()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥，故选B ．2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx mx x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞【答案】A【解析】因为22334634044x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立所以22221463x mx mx x ++<++恒成立2222463x mx m x x ⇔++<++恒成立()()226230x m x m ⇔+-+->恒成立故()()2624230m m ∆=--⨯⨯-<解之得：13m <<故选A3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】因为不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，所以212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，所以0a b +=，故选C ．4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选C5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误；对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误；对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确.故选AD.6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确,B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >.所以D 正确；C 错误.故选ABD7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{}012a a ≤≤【解析】当0a =时，不等式为30>满足题意；当0a ≠时，需满足2120a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得012a <≤综上可得，a 的取值范围为{}012a a ≤≤8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．【答案】11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】20ax bx c ++< 的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，2∴-和3是方程20ax bx c ++=的两根且0a <，0231236a b a c a⎧⎪<⎪⎪∴-=-+=⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，即06a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；则20cx bx a ++>可化为260ax ax a --+>，2610x x ∴--+<，解得：12x <-或13x >，即不等式的解集为11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.【解析】(1)其中2280x x --=，即()()420x x -+=，所以14x =或22x =-，故()()420x x -+>的解集为{|4x x >或}2x <-；(2)因为240x -=，解得：12x =或22x =-，故240x -≥的解集为{}|22x x -≤≤10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.【解析】(1)解：因为关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 为方程22320x x a -+=的两根，所以21312b b a +=⎧⎨⨯=⎩，解得21b a =⎧⎨=±⎩；(2)解：不等式()2325ax x ax a R -+>-Î，即2(3)30ax a x +-->，即(3)(1)0ax x -+>，当0a =时，原不等式解集为{|1}x x <-；当0a ≠时，方程(3)(1)0ax x -+=的根为13x a=，21x =-，∴①当0a >时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|x x a >或1}x <-；②当30a -<<时，31a <-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a <<-；③当3a =-时，31a =-，∴原不等式的解集为∅；④当3a <-时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a -<<．。
2024(人教版)数学九年级上册 第22章 二次函数 教材解读课件
针内对容训分练析
本章学情分析：
“二次函数”这一章是在学习一次函数的基础上,具体研究的第二个函数模型，是应用研 究函数性质的一般方法去研究函数的第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增 强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着 观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二 次函数是学生认识函数的又一次飞跃。
一是让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学 理念，体会数学就在我们身边的道理；
二是从简单的实际问题入手，激发学生学习数学的兴趣。
针内对容训分练析
第二课时二次函数y=ax2的图象和性质内容解析 本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，
从而得出函数的性质。对于二次函数y＝ax2的研究分别从a＞0，a＜0两种情况 入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如a＞0时，a从具体的 数字1开始，再到12，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入 手．本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数y ＝ax2（a＞0）的图象特征进行研究，从而得到二次函数y＝ax2（a＞0）的性 质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究 过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究， 建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问 题的关键．
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观 点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．
针内对容训分练析
第九 十课时 实际问题与二次函数内容解析 利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。
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形？若存在，请求出符合条件的点 的坐标．若不存在，请说明理由．
为等腰三角
答案
(1)
．
(2)
．
(3) 存在．理由见解析．
解析 (1) 由题意可设
．
∵开口方向大小与
相同，
∴
．
∵对称轴为直线 ，
∴，
∴
，将点 代入，得
，
∴
，
∴ (2) 由
．
得
，
．
点 与点 关于直线 对称，连接 ，则 为
的最小值，
即当 为 与对称轴交点时，
(3) 在点 运动过程中，是否存在某一时刻 ，使
为直角三角形？若存在，求出 值．若
不存在，请说明理由．
答案
(1)
(2) 运动 秒使
(3)
或
．
的面积最大，最大面积是 ．
时，
为直角三角形．
解析
(1) ∵点 坐标为 ，抛物线的对称轴方程为 ．
∴
，
把点
、
、点
，分别代入
，得
，
解得
，
所以该抛物线的解析式为：
．
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
如图，二次函数
图象的对称轴为直线 ，图象过点 ，若抛物线
的开口方向、开口大小与抛物线
相同，抛物线与 轴交于 ， 两点（点
在点 的左侧），与 轴的交点为 ．
(1) 求抛物线的解析式． (2) 设点 是抛物线对称轴上的一动点，求当
周长最小时点 的坐标．
(3) 记抛物线的顶点坐标为 ，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得
，
，且
．
(1) 分别求直线 和抛物线的解析式． (2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
(1) (2) 存在，
．
，
，
解析
(1) ∵
，即
，
，
∴在
中，根据勾股定理得：
把 与 坐标代入
中，得：
解得：
，，
∴直线 解析式为
周长最小，此时点 的坐标为
．
(3)
，
，
∴
，
设
，
当点 为等腰三角形顶点时，
，
∴
，
∴
或
，
∴
或
．
当点 为顶点时，由对称性可得
．
当点 为顶点时，
，
则
，解得 ，
∴
．
综上，
，
，， ．
标注 函数 > 二次函数 > 二次函数与几何综合 > 题型：二次函数与等腰三角形结合
巩固2
如图，抛物线 ，且
，直线
的顶点为 ，该抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 与 轴交于点 ．
，
即点 的坐标为
；
当
时，
，
解得，
，
即点 的坐标为
或
；
当
时，
，
解得，
，
即点 的坐标是
或
，
当点 为
时与点 重合，故不符合题意，
由上可得，以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 的坐标为
或
或
或
．
标注 三角形 > 等腰三角形 > 等腰等边综合 > 题型：等腰三角形的存在性 例题2
如图①，已知抛物线
(2) 设运动时间为 秒，则
，
．
∴
．
由题意得，点 的坐标为 ．
在
中，
．
如图，过点 作
于点 ．
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
∴
，
当
存在时，
，
∴当 时，
最大
．
答：运动 秒使
(3) 如图，
的面积最大，最大面积是 ．
在
中，
．
设运动时间为 秒，则
，
．
∴
．
当
时，
，即
，
化简，得
，解得
，
当
时，
，
化简，得
，解得
，
综上所述：
或
四、数学万花筒
中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土 的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡 遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测 量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。 商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人 用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前 用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
时，
为直角三角形．
标注 函数 > 二次函数 > 二次函数与几何综合 > 题型：二次函数与动点问题
三、二次函数和等腰直角三角形
例题5
如图，抛物线
过
，
两点，点 、 关于抛物线的对称轴对称，过点 作直
线
轴，交 轴于点 ．
(1) 求抛物线的表达式． (2) 若点 在直线 上运动，点 在 轴上运动，当以点 、 、 为顶点的三角形为等腰直
与 轴交与点 ．
，与 轴交于 、
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 点 从 点出发，在线段 上以每秒 个单位长度的速度向 点运动，同时点 从 点出
发，在线段 上以每秒 个单位长度的速度向 点运动，其中一个点到达终点时，另一个
点也停止运动，设
的面积为 ，点 运动时间为 ，试求 与 的函数关系，并求 的
最大值．
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 证明：
．
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使
件的 点坐标，若不存在，请说明理由．
是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条
答案
(1)
．
(2) 证明见解析．
(3) 存在，符合条件的 点坐标为
或
或
或
或
．
解析
(1) ∵抛物线
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∵该抛物线与 轴交于 、 两点，
则
，解得
，
∴直线 的函数表达式为
．
当
时，
．
∴点 的坐标为
．
(3) 存在．
①当点 为直角顶点时，过点 作 的垂线交 轴于点 ，交对称轴于点 ．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴点 的坐标为
．
设直线 对应的一次函数的表达式为
则
，解得
．
，代入 ， 的坐标，
所以，直线 的函数表达式为
．
令
，则
．
∴点 的坐标为
综上所述存在符合条件的点 ，其坐标为
；
(3) 过点 作
轴于点 ，设
∴
，
，
∴ 四边形
，解得
或
或
或
∴当
时， 四 边 形
时，点 坐标为
最大，且最大值为 ，此 ．
标注 函数 > 二次函数 > 二次函数与几何综合 > 题型：二次函数与等腰三角形结合
二、二次函数与直角三角形
知识导航
几何法
二次函数与直角三角形 两线：
角三角形时，求此时
的面积．
答案
(1)
．
(2) 或 或 或 ．
解析
(1) 抛物线表达式为：
．
(2) 以点 、 、 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点 为直角顶点且 在 轴上方时，
如图 ，
，
，
图
则
≌
，
∴
，
，
∴ ，， ，，
由勾股定理得：
，
∴
．
②以点 为直角顶点且 在 轴下方时，如图 ，作辅助线，构建如图所示的两直角三
第7讲 二次函数与特殊三角形
一、二次函数与等腰三角形
知识导航
几何法
二次函数与等腰三角形 两圆：垂径定理
两圆一线 一线：
①常用公式（两点间距离公式）：
代数法
若
、
，则
②解法步骤：设坐标-表示长度-分类讨论-列方程（检验：排除三点共线的情况）
注意
一般情况下，我们用“两圆一线”找点，用两点间距离公式计算点的坐标
与 轴交于点
和点
，与 轴交于点 ．
图
图
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，问在对称轴上是否存在点 ，使
为等腰三角
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 如图②，若点 为第二象限抛物线上一动点，连接 、 ，求四边形
面积的最大
值，并求此时 点的坐标．
巩固3
在平面直角坐标系 中，抛物线
过点
，
，与 轴交于点 ．
(1) 求抛物线 (2) 若点 在抛物线
的函数表达式． 的对称轴上，当
的周长最小时，求点 的坐
标． (3) 在抛物线