(名师整理)最新数学中考专题冲刺《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴真题训练(含答案)

冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)13，4；【解法提示】∵二次函数y＝－13x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，∴b c=b c=--+⎧⎪⎨-++⎪⎩33016403，解得b=c=⎧⎪⎨⎪⎩134，1(2)可能是，理由如下：∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°，∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°，2∴∠DQO＝∠DCP，∴tan∠DQO＝APPQ＝tan∠DCP＝AOCO＝34，∵AP＝t,∴PQ＝43 t，由勾股定理得：AQ2＝AP2＋PQ2，即(t＋3)2＝t2＋(43t)2，解得t＝92或t＝－98(舍去)，根据题意，点Q在线段OB上，∴0≤t≤4，∴不存在这样的t值满足题意，即△APQ不可能是直角三角形；（3）假设存在点M使得△PMQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，过P作PE⊥x轴于E，过M作MN⊥PE交PE的延长线于点N，34第1题解图②∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°， ∠MPN ＋∠QPE ＝90°， ∴∠PMN ＝∠QPE ， 在△PMN 和△QPE 中，∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩PMN=QPE PNM=PEQ MP=PQ ， ∴△PMN ≌△QPE (AAS)， ∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos∠CAO ＝AO AC ＝35， sin∠CAO ＝OC AC ＝45，5∴AE ＝35t ，PE ＝45t ，∴MN ＝45t ，EN ＝EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－25t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15t －3，∴点M 的坐标为(－15t －3，25t －3)，在x 轴下方，∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13(15t ＋3)＋4＝25t －3，整理得t 2＋65t ＝225，解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052(舍)，综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052秒．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B . (1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最6小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得 ⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；7(2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ， ∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．83. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△PAC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎨⎧36＋6b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎨⎧b ＝－5c ＝－6，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0， 即(x ＋1)(x －6)＝0， ∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)， ∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝2＝49，AC 2＝(6－0)2＋2＝72， AB 2＝(－1－0)2＋2＝37，9∵AB 2＋BC 2>AC 2， ∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△PAC 是以AC 为底的等腰三角形 理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ， ∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ， ∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ， 将点M (3，－3)代入得，k ＝－1， 即直线MP 的解析式为y ＝－x ， 联立⎩⎨⎧y ＝－x y ＝x 2－5x －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－10y 1＝10－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋10y 2＝－2－10，∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC . (1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；10(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，PA ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵直线y ＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点， ∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)， 把点A (5，0)和C (8，4)代入可得⎩⎨⎧25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝－56，∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ；∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)， ∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，11∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中， ⎩⎨⎧AC ＝OA PA ＝QA， ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ ， ∴OP ＝CQ ， ∴2t ＝10－t ，∴t ＝103， ∵t <5，∴当运动时间为103秒时，PA ＝QA ；(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52，设点M的坐标为( 52，b)，利用点的坐标可求得AB2＝102＋52＝125，MB2＝(52)2＋(b－10)2，MA2＝(52)2＋b2，∵△MAB是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB＝MA时，即125＝(52)2＋b2，解得b＝±519 2，即点M的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB＝BM时，即125＝(52)2＋(b－10)2，解得b＝10±519 2，即点M的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；12③当MB＝MA时，即(52)2＋(b－10)2＝(52)2＋b2，解得b＝5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在．综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)．5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．解：(1)由题意得⎩⎨⎧32＋3b＋c＝0c＝3，解得⎩⎨⎧b＝－4c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；13(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第5题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，14∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2 (t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；15(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，∴c=a a c=⎧⎨-+⎩41680，解得a=c=⎧-⎪⎨⎪⎩124，∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋4；(2)由y＝－12x2＋x＋4＝－12(x－1)2＋92可得抛物线的顶点坐标为N(1，92)，如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求点，1617第6题解图①设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把N ，C′两点坐标代入可得：k b=b=⎧+⎪⎨⎪-⎩924，解得k=b=⎧⎪⎨⎪-⎩1724，∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，解得x ＝817， ∴点K 的坐标为(817，0)； (3)存在．要使△ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①DO ＝DF ，∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2，18在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°， ∴∠ADF ＝90°.此时，点F 的坐标为(2，2)； 由－12x2＋x ＋4＝2得，x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.此时，点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)； ②FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M .第6题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，19∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3得，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2.而OF ＝OD ＝2<22，∴在AC 上不存在点F 使得OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．7. 如图①，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；(3)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG 是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．第7题图解：(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－13x2＋bx＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b＝－2 3，∴抛物线的表达式为y＝－13x2－23x＋8，令x＝0，得y＝8，∴C(0，8);(2)设点E(t，－13t2－23t＋8)，∴P(t，0)，∵点D为EP的中点，2021∴DP ＝DE ，D (t ，－16t 2－13t ＋4)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (－6，0)，C (0，8)，代入得：k b=b=-+⎧⎨⎩608，解得k=b=⎧⎪⎨⎪⎩438，∴直线AC 的解析式为y ＝43x ＋8，∵点D 在直线AC 上， ∴43t ＋8＝－16t 2－13t ＋4， 解得t 1＝－6(舍去)，t 2＝－4， ∴P (－4，0)， ∴AP ＝2，OP ＝4，∴S △ADP S △CDE ＝1212g g DP AP DE OP ＝AP OP ＝12； (3)存在．如解图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，第7题解图①∵EC∥x轴，∴EP＝CO＝8，把y＝8代入y＝－13x2－23x＋8，则8＝－13x2－23x＋8，解得x＝0(舍去)或x＝－2，∴P(－2，0)，∴AP＝AO－PO＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG＝90°时，∵∠MEG＋∠AEP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠MEG＝∠EAP，又∵∠APE＝∠EMG＝90°，∴△EMG∽△APE，22∴EMAP＝MGEP，设点G(m，－13m2－23m＋8)(m＞0)，则GN＝MP＝－13m2－23m＋8，∴EM＝EP－MP＝8－(－13m2－23m＋8)＝13m2＋23m，MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，∴13m2＋23m4＝2＋m8，∴m＝－2(舍去)或m＝3 2，∴G(32，254)；(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，23第7题解图②∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠NAG＝∠AEP，∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE，∴GNAP＝ANEP，设点G(n，－13n2－23n＋8)(n＞4)，∴GN＝13n2＋23n－8，AN＝AO＋ON＝6＋n，∴2128334+-n n＝68+n，∴n＝－6(舍去)或n＝11 2，∴G(112，－234)，综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，－234)．24258. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE .已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)分别求出点B 和点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m )，直线PB 与直线l 交于点Q .试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．第8题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)， ∴将A 、D 两点的坐标代入得⎩⎨⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8；(2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)．设直线l的函数表达式为y＝kx，∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－4 3，∴直线l的函数表达式为y＝－43x，∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)；(3)需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，第8题解图①∵点E的坐标为(3，－4)，26∴OE＝32＋42＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OMOP＝OEOQ，∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，∴3k1－5＝－4，解得k1＝1 3，∴直线ME的函数表达式为y＝13x－5，令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OPOM＝OBOH，即－m5＝815，∴m＝－8 3；②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如解图②，27第8题解图②∵当x＝0时，y＝12x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，E（3，-4）在直线CE上，∴3k2－8＝－4，解得k2＝43，28∴直线CE的函数表达式为y＝43x－8，令y＝0，得43x－8＝0，∴x＝6，∴点N的坐标为(6，0)．∵CN∥PB.∴OPOC＝OBON，∴－m8＝86，解得m＝－323.综上所述，当m的值为－83或－323时，△OPQ是等腰三角形．9.如图，抛物线y＝13x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2930第9题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1；(2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，抛物线的顶点D 的坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a)，∴x D ＝－－232×13＝1，y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43，∴D(1，－43)．把x＝1代入y＝－2x中得y＝－2，∵－43≠－2，∴顶点D不在直线y＝－2x上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1，P2，连接BP1，BP2.第9题解图∵直线BC⊥x轴，∴△P1BC、△P2BC都是直角三角形．把x＝－1代入y＝－2x中得：y＝－2×(－1)＝2，∴C(－1，2)．31∴把y＝2代入y＝13x2－23x－1中得13x2－23x－1＝2，解得x1＝10＋1，x2＝－10＋1.∴P1(10＋1，2)，P2(－10＋1，2)．10.如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sin∠ABC的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第10题图解：(1)将点A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线y＝－12x2＋bx＋c中得，⎩⎨⎧－12－b＋c＝0c＝2，解得⎩⎨⎧b＝32c＝2，32∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)令y＝－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点B的坐标为(4，0)，在Rt△BOC中，BC＝OC2＋OB2＝22＋42＝25，∴sin∠ABC＝OCBC＝225＝55；(3)存在，点P坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y＝－12x2＋32x＋2得对称轴为直线x＝32，∴点D的坐标为(32，0)．∴CD＝OC2＋OD2＝22＋（32）2＝52.∵点P在对称轴x＝32上，且△PCD是以CD为腰的等腰三角形，∴当点D为顶点时，有DP＝CD＝52，33此时点P的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C为顶点时，如解图，连接CP，则CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，则DG＝PG，第10题解图∵DG＝2，∴PG＝2，PD＝4，∴点P的坐标为(32，4)．综上，存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，点P的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．34。