2014高考数学总复习：提素能高效题组训练2-8

[命题报告·教师用书独具]
1．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )
A ．y ＝(x －3)2＋3
B ．y ＝(x －3)2＋1
C ．y ＝(x －1)2＋3
D ．y ＝(x －1)2＋1
解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，
即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案：C
2．(2013年毫州模拟)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0<|f (x )|≤1，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1x 的图象大致为( )
解析：由f (x )＝a |x |
始终满足0<|f (x )|≤1，可知0<a <1，且y ＝log a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1x ＝－log a |x |，
即可以作出y ＝log a x 的图象后通过变换得到，故选B 项．
答案：B
3．(2013年天津河西模拟)设方程3x ＝|lg (－x )|的两个根为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1
D ．0＜x 1x 2＜1
解析：函数y ＝3x 与函数y ＝|lg (－x )|的图象如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0，
则0＜3x 1＜3x 2＜1， 且⎩⎨⎧
3x 1＝lg (－x 1)，3x 2＝－lg (－x 2)，
可得 3x 1－3x 2＝lg (－x 1)＋lg (－x 2)＝lg x 1x 2， ∵3x 1－3x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故应选D. 答案：D
4．(2013年广州模拟)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )
A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称
B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称
C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称
D ．f (x )＝sin(x ＋π
3
)，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称
解析：选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x 轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确，故选B.
答案：B
5．(2013年石家庄模拟)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，
f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A ．[0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－1,1]
D ．[－2,0]
解析：当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2
＝⎩⎨⎧
－x ，0≤x ≤a 2
，x －2a 2，x >a 2.
因为函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称，如图所示．因为f (x ＋1)的图象可以看作由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，需将函数f (x )的图象至少向左平移4a 2个单位才能满足不等式f (x ＋1)≥f (x )恒成立，所以4a 2≤1，故a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12.
答案：B 二、填空题
6．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1f (3)的值等于________．
解析：由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1f (3)＝f (1)＝2. 答案：2
7．(2013年苏州模拟)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如下图，则不等式f (x )<0的解集是________．
解析：(数形结合法)利用函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案：(－2,0)∪(2,5)
8．(2013年福州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 3x ，x >0，
cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点
共有________对．
解析：因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．
所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数问题． 作函数图象如图，可知有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．
答案：3
9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．
解析：根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：
可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0<x <10时，|lg x |<1；x >10时|lg x |>1. 结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象交点共有10个． 答案：10 三、解答题
10．设函数f (x )＝x ＋1
x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．
解析：设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，
则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1
x ，可得
2－y ＝4－x ＋
14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4
. 11．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解析：∵f (x )的图象关于原点对称，
∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0. ∴函数的解析式为：
f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－2x ＋3，x >0，
0，x ＝0，
－x 2－2x －3，x <0.
作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：(－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．
12．(能力提升)已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a
的取值范围．
解析：由x 2－log a x ＜0，得x 2＜log a x . 设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x . 由题意知，当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12时，
函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知
⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜a ＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，
解得1
16≤a ＜1.
∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
116，1.
[因材施教·学生备选练习]
1．(2013年北京东城模拟)规定min{a ，b }＝⎩⎨⎧
a ，a <
b ，
b ，b <a ，若函数f (x )＝min{|x |，
|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－1
2对称，则t 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
解析：画出函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象，如图中的粗体线所示．显然(0,0)和(－t,0)关于直线x ＝－12对称，故有0＋(－t )2＝－1
2，所以t ＝1.
答案：D
2．(2013年西安模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )－log 3 |x |＝0的根的个数是( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3 |x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3 |x |的零点有4个，故应选B.
答案：B
3．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B -ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N -AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )
解析：由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N -AMC 的高为ON ＝2－x ，△AMC 的面积为1
2·MC ·AC ·sin 45°＝2x ，故三棱锥N -AMC 的体积为y ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝1
3(－2x 2＋22x )(0<x <2)，函数f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分，故选B.
答案：B。