董凯-备战2012年高考：函数、导数与定积分专题
导数与定积分命题规律与备考策略
ｙ ＝ （ 一 ＿ １ ＿ ＿ ｓ ｉ 一） ＝ １ 一 ｃ 。
．
相 应的 函数 。因此对 等价转化 、数形结合 的数学思想 也有较
高的要求 ．正确求 出函数的导数 ．并灵活应 用导致 与单调性
（ ３ ） ｙ ， ： ［
解析 ： （ １ ） ｙ ＝ （ ｅ ） ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ｅ Ｃ Ｏ Ｓ ３ ｔ ； ） ＝ ｅ ｃ ｏ ｓ ／ ： 一 ｅ ｓ ｉ ｎ ｘ ．
（ ２ ） ‘ ・ ‘ ｙ ＿ ｓ ｉ ｎ 争 ｃ 。 ｓ 争 一 １ ｓ ｉ ｎ ｘ ，
＿ ． ．
不等式 的证 明或不等式 恒成立 问题为载体 ，考查导数 的综合
也会融人导 数的应用等 ．这类题 目通常难 度偏大 ，一 般作 为 选择题 或填 空题 的压轴题 出现． 对导数的考查通常 以函数 的单调性 、函数 的极值或最值 、
例 １ ． 分别求下列 函数的导数 ：
（ １ ） ｙ ＝ ｅ Ｘ ． ｃ ｏ ｓ ｘ ； （ ２ ） ｙ ＿ ｓ ｉ ｎ 争 ｃ 。 ｓ 争； （ ３ ） ｙ ：
］ ， ：
（ ２ ｘ ＋ ｌ １
ｌ ｌ ｎ （ ± １ ｊ ＿
＿ ｌ ｎ （
的关系是解题 的关键 ． 从这几年 的命 题规律来看 ，这一部分通
常出现在第 ２ ０题或 ２ １ 题 的位 置 ，题 型 比较稳定． 小题 中主要
一 一
）
一
２
一
２
考查基本初 等函数 、函数的性质 等 ，而解答 题 中主要 考查导
。
， ，
文科在 “ 函数导数 ”的考查 ：函数 的基本性质 主要考查 函数 的单调 性 、奇偶性 等 ，难度 通常 为中等 ，基本 初等 函数
2012届高考数学(理科)二轮复习专题课件导数在研究函数性质中的应用及定积分(人教A版)
第4讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 导数在研究函数中的应用
例 2 [2011·北京卷] 已知函数 f(x)＝(x－k)2exk.
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的 x∈(0，＋∞)，都有 【解答】 (1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.
f(x)≤1e，求
k
的取值范围．
令 f′(x)＝0，得 x＝±k.
a
时，S＝b[f(x)－g(x)]dx；当 f(x)<g(x)时，S＝b[g(x)－f(x)]dx.
a
a
第4讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 导数的几何意义的应用
例 1 [2011·湖南卷] 曲线 y＝sinxs＋inxcosx－12在点 Mπ4，0处的切线的斜率为
()
A．－12
B.12
第4讲 │ 要点热点探究
②当 0<a<12时，
在(0,1)和21a，＋∞
上
f′(x)>0，在1，21a上
f′(x)<0，
所以此时
f(x)在(0,1)和21a，＋∞
上单调递增，在1(0，＋∞)上 f′(x)≥0 且仅有 f′(1)＝0，
所以此时 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 0＜a＜2 时，有 x1＜1＜x2＜4，所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2)．
又 f(4)－f(1)＝－227＋6a＜0，即 f(4)＜f(1)，
所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8a－430＝－136，
得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)＝130.
(1)C (2)C 【解析】 (1)因为 F(x)＝ex＋x2，且 F′(x)＝ex＋2x，则 1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e＋1)－(e0＋0)＝e，故选 C.
直击2024年高考——高三数学导数考点精讲(全国版)
导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=； （3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=； （6）若()e x f x =，则()e x f x '=； （7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程 （1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
2012新课标高考数学热点集中营_热点10_定积分的应用和导数的几何意义
【两年真题重温】【2011⋅新课标全国理，9】由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )． A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C(Ⅰ) 设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -.所以(),1,M A x y =---，()0,3,M B y =--，(),2AB x =-.再由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=.所以曲线C 的方程为2124yx =-．2.从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．预测2012年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点．重点考查运算及数形结合能力． 【最新考纲解读】(1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义．2．定积分与微积分基本定理（理）(1)了解定积分的实际背景，基本思想及概念． (2)了解微积分基本定理的含义．00000()()()()()limlimx ox x f x x f x f x f x f x xx x ∆→→+∆--'==∆-.导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-例1 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 .解析：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，有在点00(,)x y 处的切线的方程为2000(31)()y y x x x -=--.又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--，解得01x =或012x =-，于是2k =或14-，A. 033=+-y xB. 022=+-y xC. 012=+-y xD. 013=+-y x 【答案】C【解析】依题意得'cos xy x e =+，曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线的斜率等于cos 02e +=，因此该切线方程是12y x -=，即210x y -+=，选C.3.（2012广西柳铁一中第一次月考）已知a 为实数，函数x a ax x x f )2()(23-++=的导函数)('x f 是偶函数，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是（ ）A. x y 3-=B. x y 2-=C. x y 3=D. x y 2=A.2ln 2- B. 42ln 2-C. 4ln 2-D. 2ln 2 【答案】B【解析】所求封闭图形的面积[]44442222221(1)2ln 2S x dx dx x x x x ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰84222ln 42ln 242ln 2=--+-+=-.7.（2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考） 如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数x y cos =图象上方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为（ ）A ．π2B ．π1C ．21 D ．ππ2-【答案】 A【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示， 由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:2321011111((2)()().132326S x x x dx x x -=-+=--=--=-⎰ 故答案为A.12．【唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试理】(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5 【答案】C232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 15.【保定市2011—2012学年度第一学期高三期末调研考试理】11(sin 1)x dx -+⎰的值为A. 2 B 、O C 、22cos1+ D. 22cos1- 【答案】A项为3662166((2)r rrrr rr T C x C x--+=-=-，由3602r -=得4r =，代到展开式的通项中得240.。
高考数学 导数(含定积分)运算及其应用专题课件 北师大版
m 2 t m 2 0 对 任 意 t [ 1,1]恒 成 立
2
x1
x2
a , 从而
x 1 x 2 2
x1 x 2
a 2 8 3.
要 使 不 等 式 m 2 tm 1 x1 x 2 对 任 意
a A 及 t [ 1,1]恒 成 立 , 当 且 仅 当 m 2
都有
lnx<
x-1 x
.
同理可证
ax
<
x-a f(x)-f(a)
.
∴
ax
<
x-a f(x)-f(a)
<
x+a 2
.
h
41
导数的应用举例
已知函数
f(x)=(
x m
-1)2+(
n x
-1)2
的定义域为
[m,
n),
且 1≤m<n
≤2. (1)讨论 f(x) 的单调性; (2)证明: 对任意 x1, x2[m, n), 不等 式|f(x1)-f(x2)|≤4 2 -5 恒成立.
f(x)min＝f(t)＝tln t．所以f(x)min＝
.
h
38
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋ .
设h(x)＝2ln x＋x＋ (x>0)，则h′(x)＝
.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.
n m
,
h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m<n≤2,
∴1<
n m
配套K12高考数学一轮复习专题讲座1函数与导数在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北师大版
专题讲座1 函数与导数在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·唐山模拟)直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.32解析：选D.解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t >0)，则t ＋ln t＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t >0)，令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0，1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1，0) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：选A.设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.因为 f (x )为奇函数，所以g (x )为偶函数， 所以g (x )的图像的示意图如图所示．当x ＞0，g (x )＞0时，f (x )＞0，0＜x ＜1， 当x ＜0，g (x )＜0时，f (x )>0，x ＜－1，所以使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.3．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝1－x ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝ax －1ax2(a >0)．因为函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)4．若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 的值为________．解析：由题意得f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，由f ′(x )>0，得x <1或x >2，由f ′ (x )<0，得1<x <2，所以函数f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上是递增的，在(1，2)上是递减的，从而可知f (x )的极大值和极小值分别为f (1)，f (2)，若欲使函数f (x )恰好有两个不同的零点，则需使f (1)＝0或f (2)＝0，解得a ＝5或a ＝4. 答案：5或45．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，所以f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ，由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，所以当a >0时，f (x )的递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)，f (x )的递减区间为[－a ，a ]．(2)因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，结合f (x )的单调性可知，m 的取值范围是(－3，1)．6． (2015·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x ＞0)． 当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点； 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上是递增的，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上是递增的， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上是递增的．又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上是递减的，在(x 0，＋∞)上是递增的，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.1．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R . (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上递增，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x－2] ＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， 因为f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以x ＋2－2e x ≥a 在(0，＋∞)上恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上是递增的，所以a ≤g (0)＝0，所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2e x －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，因为g (x )＝x ＋2－2ex 在(－∞，＋∞)上是递增的，其值域为R ，所以存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾． ②若x 0＝0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾．③若x 0<0，当x ∈(x 0，0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝0处取得极小值．综上所述，x 0<0，所以a ＝g (x 0)<g (0)＝0， 所以a 的取值范围是(－∞，0)．2．(2015·高考福建卷改编)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 解：(1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0， 解得0＜x ＜1＋52.故f (x )的递增区间是(0，1＋52)．(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(1，＋∞)上是递减的，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x－x ＋1－k＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0，得－x 2＋(1－k )x ＋1＝0， 解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内是递增的． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0， 即f (x )＞k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。
【高考】数学复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1导数应用中的【高考】热点问题教师用书文北师大版
【高考】数学一轮复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1导数应用中的【高考】热点问题教师用书文北师大版[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．[规范解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上递增. 3分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0. 5分所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递减. 6分(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；7分 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 9分因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 10分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1). 12分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，求实数c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1. 1分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1. 3分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－13，1. 8分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞). 12分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(2016·北京高考节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . 4分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 6分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 8分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x (－∞，－2)－2－23f ′(x ) ＋－＋f (x )c c －3227所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点. 12分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．【导学号：】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. 2分 ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上递减； 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2. 4分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0). 5分设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 8分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知 ①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点. 12分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．☞角度1 证明不等式(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，3分因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点. 5分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0). 9分由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 12分☞角度2 不等式恒成立问题(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2. 3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. 5分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －1x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋12＝x 2＋21－a x ＋1x x ＋12，g (1)＝0. 9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －12－1，x 2＝a －1＋a －12－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]. 12分 ☞角度3 存在型不等式成立问题(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. 3分(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1). 5分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1. 7分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上递增. 9分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞). 12分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论． 3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．。
【备战】高考数学专题讲座 第17讲 高频考点分析之极限、导数和定积分探讨
【备战2013高考数学专题讲座】第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
在我国现在中学数学新教材中，微积分处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用。
结合中学数学的知识，高考中微积分问题主要有以下几种： 1. 极限的计算；2. 应用导数求函数的最（极）值；3. 应用导数讨论函数的增减性；4. 导数的几何意义和应用导数求曲线的切线；5. 定积分的计算和应用。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨极限、导数和定积分问题的求解。
一、极限的计算：典型例题：例1. （2012年四川省理5分）函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是【 】A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 【答案】A 。
【考点】分段函数，极限。
【解析】分段函数在3x =处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。
故选A 。
例2. （2012年重庆市理5分）=-++∞→nn n n 51lim2▲ .【答案】25。
【考点】极限的运算。
【分析】2limlimlim 5n n n →+∞→+∞===。
例3. （2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,,n V V V ，则=+++∞→)(lim 21n n V V V ▲ .【答案】87。
【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。
【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，1121188lim ()7V n n V V V →∞-+++==。
2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题09导数意义及导数运算理
专题09 导数意义及导数运算一、考纲要求:1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能依据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝y ＝x 3，y ＝x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简洁复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 二、概念驾驭及解题上的留意点：1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．3．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时改变趋势，其正负号反映了改变的方向，其大小|f ′(x )|反映了改变的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5.求函数导数的一般原则如下1）遇到连乘的形式，先绽开化为多项式形式，再求导. 2）遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导. 3）遇到困难分式，先将分式化简，再求导.4）.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理. 6.求函数图象的切线方程的留意事项:1）首先应推断所给点是不是切点，假如不是，需将切点设出.2）切点既在函数的图象上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组. 3）在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件. 4）曲线上一点处的切线与该曲线并不肯定只有一个公共点. 5）当曲线y=f(x)在点,)处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0. 三、高考考题题例分析：例1.（2024全国卷Ⅰ）设函数f （x ）=x 3+（a ﹣1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y=﹣2x B ．y=﹣xC ．y=2xD ．y=x解析：函数f （x ）=x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数， 可得a=1，所以函数f （x ）=x 3+x ，可得f′（x ）=3x 2+1，曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为：y=x ． 故选：D ．例2.（2024全国卷II ）曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ． 解析：∵y=2ln （x+1）， ∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ． 故答案为：y=2x ．例3.（2024全国卷Ⅲ）曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ．例4.(2024·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．x －y ＋1＝0解析：∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.例5.(2024·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．y ＝－2x －1解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.例6.(2024·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ 解析：∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.导数意义及导数运算练习一、 选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C 解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满意f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB 解析： 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.4．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－3x －1A 解析：由题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图象的一条切线，则k ＝( )A ．1e 2B ．1eC ．eD ．e 2A 解析： 由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e2，故选A ．6.已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．4C 解析：对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.7．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．48.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －29.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e-12B ．2e-12C ．e 12D ．2e 12B 解析： 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e-12，选B.10．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D 解析： ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.11．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2D 解析：易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 12x ，∴k＝12e 12×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2二、填空题13．(2024·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2 解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.14．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.15．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.16．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．(1,1) 解析：∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20.易知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y＝1x(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．三、解答题17．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x.[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2. 18．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．19．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上随意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上随意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
董老师高三数学知识点
董老师高三数学知识点高三数学是中学阶段的关键学科之一，对于学生的学习和考试成绩都具有重要的影响。
董老师作为一位经验丰富的高三数学教师，在长时间的教学实践中总结出了一些高三数学的重点和难点知识点。
本文将围绕这些知识点展开介绍和讲解。
1. 高阶函数和导数在高三数学中，高阶函数和导数的概念极为重要。
董老师经常强调掌握高阶函数的定义及其基本性质，例如导数的定义、导函数的求法及其性质等。
同时，董老师也会重点讲解高阶函数与导数的关系，包括高阶导数的求法和应用。
2. 极限与连续函数极限是高三数学的核心内容之一。
董老师告诫学生们，掌握好极限的定义和基本性质是理解和应用数学知识的关键。
他会以例题为例，详细解析极限的计算方法和技巧。
此外，董老师还会重点讲解连续函数的概念及其性质，以及连续函数在高三数学中的应用。
3. 导数与微分导数与微分是高三数学的难点之一。
董老师强调学生们要牢固掌握导数的定义和性质，特别是常见函数的导数公式和求导法则。
他会通过大量的例题讲解，帮助学生们掌握导数的运算技巧和理解微分的概念。
此外，董老师也注重讲解导数在几何和物理问题中的应用，帮助学生们更好地理解导数概念的实际意义。
4. 不等式与应用不等式是高三数学中常见的重要内容。
董老师会讲解一些常见的不等式定理和方法，例如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
他还会通过实例，教给学生们如何利用不等式解决各类数学问题，包括最值问题、优化问题等。
5. 三角函数与解三角形三角函数是高三数学中需要掌握的基本知识之一。
董老师会详细讲解三角函数的定义、基本性质和常见公式。
他会通过实例演示如何灵活运用三角函数求解各类三角形问题，包括三角函数的初等关系、三角方程的解法等。
在董老师的教学中，以上知识点是非常重要且常见的。
他会结合学生的实际情况，采用生动有趣的教学方法，帮助学生们理解和掌握这些知识点。
此外，董老师还会鼓励学生们进行大量的练习和实践，提高自己的数学能力。
综上所述，高三数学知识点的掌握对于学生的学习和考试成绩至关重要。
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备战2012年高考：函数、导数与定积分专题大同一中董凯一、2011年全国各省高考函数题横向分析(一) 命题特点1.题量分布大在调查的35份试题来看，几乎每一套题的每一种题型中，都包含有函数题目.平均而言，每套试卷中，选择、填空共有2~3道函数题目，解答约1道函数题目.2. 文理科差异明显尽管从题量上看，文理大致相同，但从内容看，文理相同题相对很少(仅有江苏完全相同)，甚至相似题也不多，而大多数题目都是相异题.而相同相似题较多的考卷中，也是大纲考区居多，可见，新课标地区，文理题目差异的增大已经成为一种趋势.3. 题型的分值分布差异小在选择填空题目中，函数题目的分数由5~28分不等，平均约12.8分左右，在解答题中，函数题目的分值0~30分不等，平均在14.6分上下.从文理差异来看，选择、填空、解答三种题型在分值上差异不大，理科比文科略大，除广东卷文理有一道大题的差异外，其他试卷差异都没有超过试卷总分的6%，而文理科总体差异也仅有0.15%而已.4. 考查知识点的分值分布差异大函数专题包含着丰富的内容，在这里，从考查知识点的差异，分19个方面进行整理，分别是(1)求函数的解析、计算函数值；(2)求函数定义域；(3)求函数的值域、极值或最值；(4)函数单调性；(5)函数奇偶性；(6)函数周期性；(7)零点所在区间；(8)函数的图像与图像变换；(9)定积分；(10)分段函数；(11)复合函数；(12)对数的运算性质；(13)导数、变化率与切线；(14)解不等式问题；(15)求参变量的取值范围；(16)反函数；(17)函数极限；(注：表格中数据单位大都为：分，仅有“比例”一栏中，单位为：1)(注：为保证各套试题权重相当，江苏卷等重复题目每一道计两次分)(注：有些题目涉及到两个或多个知识点，此时将此题目的分值等分给这两个知识点，或多个知识点中最重点考查的两个知识点)从以上表格和条形图中不难看出，函数专题包含知识点很多，分布也比较分散，但其中有几个项目相对比较突出，它们分别是：值域、极值与最值(20.84%),函数单调性(13.64%)，导数、切线问题(10.60%)，求解析式、函数值(7.91%),求参量取值范围(7.81%).其中“求函数的值域、极值与最值”是唯一一个在所有地区中均出现的知识点.5.以中难题目为主难度的计算本应该由考生的得分率制定，但由于地域限制，难以实现，故只得简单化，(注：江苏卷按两套相同卷处理，即“江苏卷文=江苏卷理”)由表格可知，函数题目覆盖易中难各个难度层次，而且中难题目偏多，易中难比例约为2:5:3.从分值上看文理科大致相同，考查知识点也比较相近，但从内容上看，理科比文科要难一些，从相似题的差异可以看得十分明显，例如全国课标卷，同样要证明函数()f x大于某某，理科中待证明的“某某”就比文科要略大一些，并带有参变量.相对于其他专题，函数题中难题的比例较大，这其中很重要的一个原因就是函数题在选择、填空、解答题中压轴题的比例都比较大，在11年的高考选择、解答压轴中，函数题约占三分之一.(二) 新题扫描1.新型运算或定义，考查学生获得新知运用新知的能力此类题目给人的第一印象是情境新颖，但考察的依然学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转化为熟悉的问题，达到解决问题的目的.因此这类题型不但考查了学生阅读获取信息的能力，运用新知识解决问题的能力，更考察了学生化归求解的思想方法.例1： (广东文数10)设f （x ），g （x ），h （x ）是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ∙；对任意x ∈R ，（f g ）（x ）=(())f g x ；（f ·g ）（x ）=()()f x g x .则下列恒等式成立的是 A ．（（f g ）·h ）（x ）=（（f ·h ） （g ·h ））（x ） B ．（（f ·g ） h ）（x ）=（（f h ）·（g h ））（x ） C ．（（f g ） h ）（x ）=（（f h ） （g h ））（x ） D ．（（f ·g ）·h ）（x ）=（（f ·h ）·（g ·h ））（x ） 答案:B解法一：选项A 中，左边等于(())()()()()(())()f g h x f g x h x f g x h x ∙=∙=∙ ，而右边等于(()())()()(()())()(()())f h g h x f h g h x f h g x h x ∙∙=∙∙=∙ ，两者不恒相等；选项B 中，左边等于(())()()(())(())(())f g h x f g h x f h x g h x ∙=∙= ，右边等于(()())()()()()()(())(())f h g h x f h x g h x f h x g h x ∙== ，两者恒相等；选项C 中，左边等于(())()((()))f g h x f g h x = ，右边等于(()())()((()))()f h g h x f h g h x = ，两者不恒相等；选项D 中，左边等于(())()()()()f g h x f x g x h x ∙∙=，而右边等于(()())()()()()()f h g h x f x h x g x h x ∙∙∙=，两者不恒相等.解法二(特值法)：令()f x x =，()2g x x =，()3h x x =，将四个选项依次检验，分别有如下结论：A.246108x x =，B.221818x x =，C.618x x =，D.33618x x =，显然仅有B 选项正确.点评：本题通过“定义新运算”(实质上就是普通乘法和函数间的复合运算)考查了学生的运算能力和阅读理解能力，文理兼备，较为新颖，不过运算量偏大，学生理解起来需要费些功夫，难度偏难.例2：(四川理数16)函数()f x 的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数()f x =2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：①函数2()()f x x x R =∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，12()()f x f x ≠； ③若:f a b 为单函数，则对于任意b B ∈，它至少有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）答案：②③解析：当2()f x x =时，不妨设12()()4f x f x ==，有12x =，22x =-，此时12x x ≠，故①不正确；由12()()f x f x =总有12x x =知，当12x x ≠时，12()()f x f x ≠，故②正确；若b B ∈，b 有两个原象时，不妨设为12,a a ，可知12a a ≠但12()()f a f a =，与题中条件矛盾，故③正确；函数()f x 在某区间具有单调性时，在整个定义域不一定单调，因而()f x 不一定是单函数，故④不正确.故正确答案为②③. 点评：本题目实质上给出了单射映射的定义，考查了学生接受新定义的能力(这一能力的培养对学生即将开始的大学学习具有重要的意义)，一旦学生接受了“单函数”这一定义，本题目很快就迎刃而解了，①的反例很容易想到，④只要把握“某区间”与题干中的“定义域”二者的区别，也不难排除.2.注重细节，考查学生敏锐的观察能力、严谨的思维能力解决数学问题时，元认知监控能力起着重要的作用.学生选择了一种求解方法，在求解过程中，如果能有意识的与题干、选项比对，观察分析，几时调整求解方向，那么就可以顺利地求解题目.例3：(福建理数09)对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，a ,b ∈R ,c ∈Z),选取a ,b ,c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2答案：D解析：因为(1)s i n 1f a b c =++，(1)sin 1f a b c -=--+，且c 是整数，所以(1)(1)2f f c +-=是偶数，在选项中，只有D 选项两个数的和为奇数，不可能是D点评：本题新颖之处在于考查学生捕捉细节条件的能力和对数字的敏锐感觉，如果发现这个题目当中与众不同的细节(c 与,a b 的取值范围不同)，应不难解决.例4：（浙江理数10）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++.记集合S={}()0,x f x x R =∈,{}()0,T x g x x R ==∈.若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且C ．S =2且T =2D ．S =2且T =3答案：D解析：取0a =，0b =，0c =，则(){}3|0S x f x x ===，1S =，(){}|10T x g x ==≠，0T =。
因此A 可能成立。
取1a =，0b =，1c =，则()()(){}2|110S x f x x x ==++=，1S =，()()(){}2|110T x g x x x ==++=，1T =。
因此B 可能成立。
取1a =-，0b =，0c =，则()(){}2|10S x f x xx==-=，2S =，()()(){}2|110T x g x x x==--=，2T=。
因此C 可能成立。
答案选D.点评：本题通过集合与函数的语言，重点考查了三次方程的根的情况，表达方式较新颖，学生在解答时，需要较强的“翻译”语言能力，及思维缜密的良好品质，否则很容易错选成其他选项.3.选用适当载体，考查应用能力和阅读能力联系实际是新课程倡导的，与实际生活联系得比较紧密，在考查学生阅读、理解、运算能力的同时，也使学生增长了见闻，开拓了视野.例5：(湖北理数10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2t M t M -=，其中M 0为t =0时铯137的含量。
已知t =30时，铯137含量的变化率是-10In 2（太贝克／年），则M （60）=A.5太贝克B.75In 2太贝克C.150In 2太贝克D.150太贝克 答案：D解析：因为3001()2ln 230t M t M -'=-⋅⋅，所以(30)10ln 2M '=-，所以0600M=，所以30()6002t M t -=⋅，所以2(60)6002150M -=⋅=(太贝克)。