2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题
2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(精编版)(原卷版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II 理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=。
若{}1AB =,则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。
根据以上信息,则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为（ ）A ．2B 3C 2D ．3310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ABCD11.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 43- D.1- 【答案】B二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
【数学】2017年高考真题——全国Ⅱ卷(理)(精校解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题1．(2017·全国Ⅱ理，1)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i2．(2017·全国Ⅱ理，2)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}3．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．(2017·全国Ⅱ理，4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5．(2017·全国Ⅱ理，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．96．(2017·全国Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．36种7．(2017·全国Ⅱ理，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．(2017·全国Ⅱ理，8)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C ． 2D ．23310．(2017·全国Ⅱ理，10)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32B.155C.105D.3311．(2017·全国Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．112．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1二、填空题13．(2017·全国Ⅱ理，13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________.14．(2017·全国Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 15．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.16．(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 三、解答题17．(2017·全国Ⅱ理，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .18．(2017·全国Ⅱ理，18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19．(2017·全国Ⅱ理，19)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角MABD 的余弦值．20．(2017·全国Ⅱ理，20)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(2017·全国Ⅱ理，21)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2.22．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．23．(2017·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲]已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.参考答案一、选择题 1．【答案】D【解析】3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.2．【答案】C【解析】∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C. 3．【答案】B【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ， 则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.4．【答案】B【解析】方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. 5．【答案】A【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝ －2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A. 6．【答案】D【解析】由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D. 7．【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 8．【答案】B【解析】当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B. 9．【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A. 10．【答案】C【解析】方法一 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3. 又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)． 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C.11．【答案】A【解析】函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1， f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A. 12．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3， ∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32. 故选B.二、填空题13．【答案】1.96【解析】由题意得X ～B (100,0.02)，∴DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.14．【答案】1【解析】f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 15．【答案】2n n ＋1【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴∑k ＝1n 1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.16．【答案】6【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.三、解答题17．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2， 故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.18．解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg)． 19．(1)证明 取P A 的中点F ，连接EF ，BF .因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD . 由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ， 所以EF BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)解 由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)或⎩⎨⎧ x ＝1－22，y ＝1，z ＝62， 所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0， 所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105. 所以二面角MABD 的余弦值为105. 20．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0，所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1. 若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0.综上，a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0. 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． 又h (e －2)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有唯一零点1，当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0； 当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，得f (x 0)<14. 因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0，得f (x 0)>f (e －1)＝e －2.所以e －2<f (x 0)<2－2.22．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.23．证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24 (a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.。
2017全国高考Ⅱ卷-理科数学(含答案)
弘德中学高三数学期末备考（五）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. （5分）（2017?新课标H）幺宦=（）1+1A . 1+2i B. 1 - 2i C. 2+i D. 2 - i2 . （5 分）（2017?新课标H）设集合A={1 , 2, 4} , B={x|x 2- 4x+m=0} •若A A B={1},贝V B= （）A. {1 , - 3} B . {1 , 0} C. {1 , 3} D . {1 , 5}3. （5分）（2017?新课标H）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4. （5分）（2017?新课标H）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）5.（5 分）（2017?新课标H）2x+3y-3<0设x, y满足约束条件-2x_3y+3^ 0 ,则z=2x+y的最小值是（A . - 15 B. - 9 C . 1A . 90 n B. 63 n C. 42 n D .6. （ 5分）（2017?新课标H ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A . 12 种B . 18 种C . 24 种D . 36 种7. （5分）（2017?新课标H ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩•老师 说：你们四人中有 2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A •乙可以知道四人的成绩B •丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩（5分）（2017?新课标H ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=- 1，则输出的S=（）11 . （5 分）（2017?新课标 H ）若 x= - 2 是函数 f （x ） = （x2+ax - 1） ex - 1 的极值点，贝U f （x ） 的极小值为（ ）A . - 1B . - 2e - 3C . 5e - 3D . 112 . （5分）（2017?新课标H ）已知 △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 飞（丨：・+"）的最小值是（）A . - 2B . -C . -D . - 1三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 . （ 5分）（2017?新课标H ） —批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有C .乙、丁可以知道对方的成绩 8.2 B .3 C .4（5 分）（2017?新课标 H ）2+y2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（573A . 2B .C .「D .10.（ 5分）（2017?新课标H ）已知直三棱柱则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（Vlo V3_D .3=1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线被圆 (x - 2))ABC - A1B1C1 中，/ ABC=120°, AB=2 , BC=CC1=1 , )V32放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= .n1『 ---15. （5分）（2017?新课标n ）等差数列｛an ｝的前n 项和为Sn , a3=3, S4=10,则 吐2k =16. （5分）（2017?新课标n ）已知 F 是抛物线C : y2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，贝U |FN|=.三、解答题：共70分.17. (12分)(2017?新课标n) A ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知sin (A+C )B_=8sin2 龙.(1 )求 cosB ;(2)若 a+c=6, A ABC 面积为 2,求 b .18. （12分）（2017?新课标n ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）,其频率分布直方图如图:t 频率/组距旧养殖法新养殖法（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于 50kg ”估计A 的概率；（2 ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量v 50kg箱产量＞ 50kg旧养殖法新养殖法）.附：P (K2>k0.050 0.0100.001 K3 >.841 6.635 10.828K 2= _____ n (ad-bc ) 2ta-Fb) Ccfdj (a+cD (b+d)19. （12分）（2017?新课标n ）如图，四棱锥 P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于111底面 ABCD , AB=BC= 2 AD ，/ BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.（1） 证明：直线 CE //平面PAB ;（2） 点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°求二面角 M - AB - D 的余弦 值.o ”窗亦氏产细14. (5 分)(2017?新 课标n)函数 f (x ) =sin 2x+ • ；cosx -」(x € [0，:])的最大值是20. (12分)(2017?新课标H)设0为坐标原点，动点M在椭圆C: " +y2=1上，过M做x 轴的垂线，垂足为N，点P满足【「=讣川.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x= - 3上，且「？〔」=1 •证明：过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F.21. (12 分)(2017?新课标H)已知函数f (x) =ax2 - ax- xlnx，且f ( x) >0.(1 )求a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e- 2v f (x0)v 2 - 2.(二)选考题：共10分.22. (10分)(2017?新课标H)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为p cos 0 =4(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为(2, 5 ),点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值..=6,、选择题 2. 【解答】解：集合 A={1 , 2, 4} , B={x|x 2 - 4x+m=0}. 若 An B={1}，贝y 1€ A 且 1 € B ,可得1 - 4+m=0，解得 m=3 , 即有 B={x|x 2 - 4x+3=0}={1 , 3}. 故选：C .3. ［解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，•••宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，•••从塔顶层依次向下每层灯数是以 2为公比、a 为首项的等比数列, 又总共有灯381盏, r2x42y-3<0y 满足约束条件 2x-3rH3> 0的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成, 可得：6". ：=36种.参考答案y=-3则z=2x+y 的最小值是：-15.解得 A (- 6,- 3),1.【解答】解: 故选D .3+L .一一;■一1.1+i.2• 381 =1'2则这个塔顶层有 故选B .4.［解答】解: 一半， =127a ,解得 a=3,3盏灯, 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 股?冰6=63,故选：B .V=n ?3X10 - 7tX 、 5.【解答】解: =2 - i ,6的圆柱的故选：D .7.【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩T 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） T 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩T 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D .&【解答】解：执行程序框图，有 S=0, k=1 , a= - 1,代入循环, 第一次满足循环，S=- 1, 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，:7 W6不成立 故选：B .C c 2 -4 a 2- ；，可得 e 2=4，即 e=2.c故选：A .10. 【解答】 解：如图所示，设 M 、N 、P 分别为AB , BB 1和B 1C 1的中点, 则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角I TT（因异面直线所成角为（0, --------- ］）, 可知2 2 ,NP==BC 1=¥ ；作BC 中点Q ,则APQM 为直角三角形； •/ PQ=1 , MQ 」AC ,2△ABC 中，由余弦定理得第二次满足循环， S=1, a = -1, k=3;第三次满足循环， S=- 2, a=1, k=4; 第四次满足循环， S=2, a= -1, k=5;第五次满足循环， S=- 3, a=1, k=6; 第六次满足循环， S=3, a = -1, k=7;.，退出循环输出，S=3;9.【解答】 解：双曲线C=1 （ a > 0, b > 0）的一条渐近线不妨为： bx+ay=0 ,圆（x - 2） 双曲线C : b 22+y 2=4的圆心（2, 0）,半径为：2,2 2务-工7=1 （ a >0, b > 0）的一条渐近线被圆（x - 2） 2+y 2=4所截得的弦长为 2, a 2 k.可得圆心到直线的距离为: 1处丨解得:a=1, k=2 ;2AC2=AB 2+BC 2- 2AB?BC?cos/ ABC=7,••• AC=-,••• MQ= =2在3QP中，MP=丽P(庐厚；在NMN中，由余弦定理得11. 【解答】解：函数f (x) = (x2+ax- 1) e x r,可得f'(x) = (2x+a) e x_ 1+ (x2+ax- 1) e x_ 1, x= - 2 是函数 f (x) = (x2+ax - 1) e x 1的极值点，可得：-4+a+ (3- 2a) =0.解得a= - 1.可得f'( x) = (2x- 1) e x-1+ (x2- x - 1) e x -1,=(x2+x - 2) e x-1,函数的极值点为：x= - 2, x=1 ,当x v - 2或x > 1时，f'( x) > 0函数是增函数，x € (- 2, 1)时，函数是减函数, x=1 时，函数取得极小值：f (1) = (12- 1 - 1) e1 1= - 1.故选：A .12. 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A (0, . ■：), B (- 1 , 0), C (1 , 0),设P (x, y),则口卜(-x，品-y), ■= (- 1 - x,- y), '「= (1 - x,- y), 则页?(莎更=2x2- 2嫡+2y2=2[x2+ (y-字)]cos/ MNP=7〔0 •又异面直线所成角的范围是（0,二AB i与BC 1所成角的余弦值为1vTo•••当x=0, y=、？时，取得最小值 2X(-3 )=-1,242故选：B是一个二项分布模型， 其中，p=0.02 ,n=100 ,16.【解答】解：抛物线C : y 2=8x 的焦点F (2,0) , M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1,贝U M 的纵坐标为： |FN|=2|FM|=2 .〔1 | -」=6.故答案为：6. 三、解答题17.【解答】 解：(1) sin (A+C ) =8sin 2=, /• sinB=4 (1 - cosB ), ••• sin 2B+cos 2B=1 ,14.【解答】 解：f (x ) =sin 2x+ .「； C OSX —亠=1 - cos x4 :2::+ 「；cosx — 令 cosx=t 且 t € [0 , 1], 则 f (t ) = - t 2 + :甘丄=—4(t —)2+1 ,当 t=L 时，f (t )2即f (x )的最大值为1, 故答案为：1max =1 ,15.【解答】 解：等差数列 可得a 2=2，数列的首项为1 S =ntn+l)S n ={a n }的前 n 项和为 S n , a 3=3, S 4=10, 1，公差为1,,=—2(丄亠， 畀 ntn+l) ‘口 n+1S 4=2 (a 2+a 3) =10,I'L则£k=l=2[1 -与亠丄…+ ]=2 (1 -n+12nn+1故答案为: Ml13.【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验,则 DX=npq=np (1 - p ) =100X0.02 >0.98=1.96 . 故答案为：1.96.16 (1 — cosB ) 2+COS 2B=1 ,•••( 17cosB - 15) ( cosB - 1) =0, (2)由(1)可知 sinB=£_,17S ZABC =』ac?sinB=2, 217 2…ac=IT=a 2+c 2 - 15= (a+c ) 2 -2ac - 15=36 - 17 - 15=4, • b=2.18.【解答】解：(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由 P (A ) =P ( BC ) =P ( B ) P ( C ),则旧养殖法的箱产量低于 50kg : (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040 ) X5=0.62, 故P (B )的估计值0.62,新养殖法的箱产量不低于 50kg : (0.068+0.046+0.010+0.008 ) X5=0.66, 故P (C )的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P (A ) =P ( B ) P ( C ) =0.62 >0.66=0.4092 ;箱产量v 50kg箱产量> 50kg总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法34 66 100 总计96104200=5>(37.5 >0.004+42.5 >.020+47.5 >.044+52.5 >.068+57.5 >.046+62.5 >.010+67.5 >.008), =5 X10.47, =52.35 (kg ).新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35 ( kg )方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积:(0.004+0.020+0.044 ) X5=0.034 , 箱产量低于55kg 的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068 ) >5=0.68 > 0.5,…cos• b 2=a 2+c 2- 2accosB=a 2+c 2- 2则K 2=• A 发生的概率为0.4092; (2) 2>列联表：〜15.705100X100X96X104由 15.705 > 6.635,•••有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3) 由 题 意 可 知新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35 ( kg ).19.【解答】(1)证明：取PA 的中点F ,连接EF , BF ，因为E 是PD 的中点, 二 AD ,2••• BCEF 是平行四边形，可得 CE // BF , BF?平面PAB , CF?平面PAB , •••直线CE //平面PAB ; (2)解：四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB=BC= ±AD , / BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.取AD 的中点O , M 在底面 ABCD 上的射影 N 在0C 上，设AD=2，贝U AB=BC=1 , 0P=., •••/ PCO=60，直线BM 与底面ABCD 所成角为45° 作NQ 丄AB 于Q ,连接MQ ,20.【解答】 解：(1 )设M (X 0, y 0),由题意可得 N (X 0, 0), 设P (x , y ),由点P 满足J '= m故新养殖法产量的中位数的估计值为50+十〜52.35( kg ),所以EF |二AD,AB=BC= =AD ，/ BAD= / ABC=90 , • BC // 2 可得: 可得: BN=MN , CN= 2_1MNBC=1 , 1+_BN 2=BN 2,3BN=—2MN=Vs2所以/ MQN 就是二面角 M - AB - D 的平面角,可得(X - X 0, y )=护(0, y o ), 可得 x - x o =o , 沪.■:yo ,0v X V 丄时 h ' (x )v 0、当 x >丄时 h ' (x )> 0,a a又因为 h (1) =a - a - In 仁0 , 所以一=1，解得a=1;a(2)证明：由(1)可知 f (x ) =x 2 - x - xlnx , f'( x ) =2x - 2 Tnx ,令 f ' (x ) =0,可得 2x - 2- lnx=0，记 t (x ) =2x - 2 -lnx ，贝U t '(x ) =2 -丄,且不妨设f '(X )在(0, X 0)上为正、在(X 0, X 2)上为负、在(X 2, +8)上为正, 所以f (x )必存在唯一极大值点X 0,且2x 0- 2 - lnX 0=0,即有X o =x ,代入椭圆方程 2=1 , 可得厶+ 2X 2+y 2=2； m ), P (/J cos a逅sin a ?(- ：cos a- 2cos 2 a+ :■:ms in —2sin 2 a =1, 即有点P 的轨迹方程为圆 (2)证明：设Q (- 3, V ? 1.1=1，可得(-../■J cos a 即为-3门 3(1+*® 口旳) V2sin^ 解得m= 即有Q (- 3, V2sin^ ), 2椭圆；+y 2=1 的左焦点F (- 1, 0), 由 k oQ =—k PF = V2sinCX 血白inQ ⑴匸“Q +1 由 k oQ ?k PF = - 1, 可得过点P 且垂直于OQ 的直线 21.【解答】(1)解：因为则f (x )等价于h (x ) 典sin a , ( 0W 幺 2 n), 3-V^cos a m -^2.sin ) =1, =1 (x ) =ax 2- ax - xlnx=x (ax - a - lnx ) (x > 0), =ax - a - lnx >p令 t (x ) =0,解得：x=-所以t (x )在区间(0,i )上单调递减，在(—2 2,+s)上单调递增,因为h' (x ) =a -丄，且当x所以 h (x ) min = h ^~),X 0, X 2,—x o — x o l nx o = - — x o +2x o — 2由 f ' ( —) V 0 可知 X 0V —丄e综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点 x o ,且e 2V f （x o ）v 2 2. （二）选考题22.【解答】 解：（1）曲线C i 的直角坐标方程为：x=4 , ，…y o =[选修4-5:不等式选讲] 23.【解答】 证明：(1)由柯西不等式得：(a+b ) (a 5+b 5) 当且仅当即a=b=1时取等号，(2)v a 3+b 3=2,••( a+b ) (a 2 — ab+b 2) =2, •••( a+b ) [ (a+b ) 2— 3ab]=2 , ••( a+b ) 3— 3ab (a+b ) =2,=ab ,由X o V 丄可知f （ X 0）V（2 X 0 —1 11护7max =由均值不等式可得: 仏)3-23(a+b)=ab <(~2)2,••( a+b ) 3 —所以f （X 0）=所以f （X ）在（0, X 0）上单调递增，在（X 0, 一）上单调递减,e设P （X, y ），M （4，y0），则专•/ |OM||OP|=16,=16，2 即(x 2+y 2 ) ( 1+匚)=16,' 2I• x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2,即（x 2+y 2） 两边开方得：X 2+y 2=4x , 整理得：（X — 2） 2+y 2=4 （X 工0, •••点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（2）点A 的直角坐标为A （1 ,•曲线C 2的圆心（2 , 0）到弦OA 的距离d=：」厂刁=：-；, |OA|? （2+ . ；） =2+ -；. 2=16X 2,(X — 2) 2+y 2=4 (X M0 .V3),显然点A 在曲线C 2上, |OA|=2 ,所以 f (x o )> f (丄)= )2= (a 3+b 3)2>4•••△ AOB 的最大面积(a+b) 3W2,••• a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.。
2017年高考全国Ⅱ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、海南 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．3+i 1+i =A ．1+2iB ．1–2iC ．2+iD ．2–i2．设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5．设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A．15-B．9-C．1D．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2B．3C．4D．59．若双曲线C:22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．23 310．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为 ABCD11．若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017全国2卷理科数学与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷)逐题解析理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题目1】（2017·新课标全国Ⅱ卷理1）1。
31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念,意在考查学生的运算能力。
【解析】解法一：常规解法()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++- 解法二：对十法31i i ++可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为a bi +形式，223111211a ⨯+⨯==+（分子十字相乘，分母为底层数字平方和），221131111b ⨯-⨯==-+(分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.解法三：分离常数法()()1132121121111i i i i i i i i i+-+++==+=+=-++++ 解法四：参数法()()()()3331311a b ia bi i a bi i i ab a b i a b i -=⎧+=+⇒+=++⇒+=-++⇒⎨+=+⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩故321ii i+=-+ 【知识拓展】复数属于新课标必考点,考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1。
复数的 几何意义（2016年)；2.复数的四则运算;3。
复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数; 5。
复数的模【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =,则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的。
【解析】解法一：常规解法∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =,∴ {}2430B x x x =-+=故 {}1,3B = 解法二：韦达定理法 ∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，∴ 利用伟大定理可知：114x +=，解得：13x =，故 {}1,3B =解法三：排除法∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴ 124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义 相结合，集合考点有二:1。
2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(参考版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II 理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D 【解析】()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C 。
3.我国古代数名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”学科*网意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1， 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π4.【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A\6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 【答案】D【解析】22234236C C A = ,故选D 。
2017全国高考Ⅱ卷-理科数学(含标准答案)
弘德中学高三数学期末备考(五）理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分．１.(5分）（201７•新课标Ⅱ）=（)A.１＋２iﻩＢ．1﹣2i Ｃ.2+i D.2﹣ｉ2.（5分）(２017•新课标Ⅱ）设集合A={１,2，４}，B={ｘ|ｘ2﹣4x＋m=0｝．若A∩Ｂ＝{1｝,则B＝()A．{1,﹣3} B．｛1,0｝ C.{1，3} D.{1,5｝3.(5分）(2０1７•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座７层塔共挂了38１盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏ﻩＣ.5盏ﻩD．9盏4.(5分)(2017•新课标Ⅱ）如图,网格纸上小正方形的边长为１,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为（)A.９0πＢ.63πC．４2πﻩD.36π5.(5分)（20１7•新课标Ⅱ）设ｘ,y满足约束条件,则z＝2x+y的最小值是（）Ａ.﹣15 Ｂ．﹣９ﻩC.1ﻩD.96．(５分）(20１7•新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成１项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.12种B．１8种ﻩC.2４种Ｄ．36种７．（5分）(２０17•新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（)A.乙可以知道四人的成绩ﻩB．丁可以知道四人的成绩Ｃ．乙、丁可以知道对方的成绩Ｄ.乙、丁可以知道自己的成绩8．（５分)（2０17•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1,则输出的S=（)Ａ.２B．3ﻩC.4ﻩD.5９．（5分)(2017•新课标Ⅱ）若双曲线C:﹣＝1(a>0，ｂ＞0）的一条渐近线被圆(ｘ﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A．２ﻩB．ﻩC． D.１0.(５分)（20１7•新课标Ⅱ)已知直三棱柱AＢC﹣A1B1C1中，∠ABC=1２0°,AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AＢ1与ＢC1所成角的余弦值为( ）A．ﻩB．ﻩC.ﻩD．11.（5分）（2017•新课标Ⅱ）若ｘ=﹣２是函数ｆ（x）=(x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点,则ｆ(x)的极小值为（）A.﹣1ﻩB．﹣２e﹣3ﻩC.5e﹣３ﻩＤ．１12.(5分）(2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为２的等边三角形，Ｐ为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共２0分.１3.(5分）（2017•新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取１00次，X表示抽到的二等品件数，则ＤX= ．１４．(5分）(２017•新课标Ⅱ）函数f（x）＝ｓin2x＋cosx﹣(ｘ∈[０，]）的最大值是.。
(完整版)2017全国二卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II 理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． 1．
3i
1i
+=+ A ．12i +
B ．12i -
C ．2i +
D ．2i -
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B = ，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5．设x ，y 满足约束条件2330
233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．若双曲线:C 22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()22
24x y -+=所截得的弦长为2，则C
的离心率为 A ．2
B ．3
C ．
2
D ．
23
3
10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所
成角的余弦值为 A ．
32
B ．
155
C ．
105
D ．
33
11．若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为
A ．1-
B ．3
2e --
C ．3
5e -
D ．1
12．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+
的最小是
A ．2-
B ．3
2
-
C ． 43
-
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二
等品件数，则DX =____________．
14．函数2
3()sin 3cos 4f x x x =+-
([0,])2
x π
∈的最大值是____________． 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑____________． 16．已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的
中点，则FN =____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin
2
B
A C +=． （1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网
箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂
直于底面ABCD ，o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．
（1）证明：直线CE ∥平面P AB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．
20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = ．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=
．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
21．（12分）已知函数2
()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=．证明：（1）5
5
()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．。