【全国市级联考word】山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟考试数学试题

烟台市2018年普通高校招生（春季）考试数学模拟试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列表达式中正确的是（ ）
A ．0∈∅
B ．{}0∈∅
C ．{}0≠
∅⊂ D ．{}0∅∈ 2.已知命题:p x R ∃∈， 1cos x >，则（ ）
A ．:p x R ⌝∃∈, 1cos x ≤
B ．:p x R ⌝∀∈, 1cos x ≤
C ．:p x R ⌝∃∈, 1cos x <
D ．:p x R ⌝∀∈, 1cos x <
3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
4.命题甲：2x =-是命题乙：24x =的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.已知角α终边经过点(5,12)P --，则tan α的值是（ ）
A ．512-
B ．125- C.512 D ．125
6.直线 70ax y ＋＋＝与 430x ay ＋－＝平行，则a 为（ ）
A ．2
B ．2或2- C.2- D ．12
- 7.过点()21－，
，且平行于向量()21v =，的直线方程为（ ） A ．240x y -+= B ．240x y +-= C.240x y --= D ．240x y ++=
8.计算332log [log (log 8)]等于（ ）
A ．1
B ．16 C.4 D ．0
9.两条平行线125100x y -+=与125160x y --=的距离是（ ）
A ．4
B ．6 C.2 D ．5
10.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）
件．
A ．24
B ．18 C.12 D ．6
11.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．
已知a =，2c =，2cos 3A =
，则b 的值为（ ） A
B
C.2 D ．3
12.函数()222y sin x cos x =-的最小正周期是（ ）
A ．2π
B ．π C.2π
D ．4π
13.如果2a =，3b =，4a b ⋅=，则2a b -的值是（ ）
A ．24
B ． C.24-
D ．-
14.在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 O x 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若3 sin 5α=，则 sin β的值为（ ）
A ．4 5-
B ．3 5- C.3 5 D ．4 5
15.若 x ， y 满足3 2x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则x 2y +的最大值为（ ）
A ．1
B ．3 C.5 D ．9
16.若20件产品中有16件一级品，4件二级品．从中任取2件，这2件中至少有1件二级品的概率是（ ）
A ．41190
B ．3295 C.719 D ．395
17.在30︒二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则该点到另一个面的距离为（ ）
A ．3
B ．
12 C.
．18.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为
x 20y -=，则它的离心率为（ ）
A
．2 19.设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上的点，且128F F =，1210PF PF +=，则椭圆的短轴长为（ ）
A ．6
B ．8 C.9 D ．10
20.有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（ ）
A ．2232A A ⋅种
B ．223A 种 C.332A 种 D ．42
42A A ⋅种 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
21.化简：11632()x y = ．
22.函数y =的定义域是 ．
23.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
24.已知圆C 的圆心在坐标原点，截直线9410x y -+=，则圆的方程为 ． 25.9()2a
x x -的展开式中3
x 的系数是84，则a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
26.下图是二次函数()y f x =的图象，若3OC OB OA ＝＝，且ABC ∆的面积6S =，求这个二次函数的解析式．
27.已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．
28.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S ∆=，求A 和a ．
29.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB DC ，DC AC ⊥．
（1）求证：DC ⊥平面PAC ；
（2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
（3）设点E 为AB 的中点，点F 为PB 中点，求证//PA 平面CEF ．
30. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 1F ，2F ，且过点(2,．
（1） 求双曲线的标准方程；
（2） 若点P 在第一象限且是渐近线上的点，当12PF PF ⊥时，求点P 的坐标．
烟台市2018年普通高校招生（春季）考试数学模拟试题
参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:CBCAD 6-10:BADCB 11-15：DCBCD 16-20：ACAAD
二、填空题
21.32x y 22.2,2x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ 23.92π 24.2241x y += 25.4
三、解答题
26.解：设二次函数解析式为2y ax bx c =++， 因为3OB OC OA ==，4AB OA OB OA =+=， 且14362
OA OA ⨯⨯=，得1OA =，所以 (1,0)A -，(0,3)B ，(3,0)C
将三点坐标代入方程，得：3000930c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=-+⎩
解得：
1a =-，2b =，3c =，
所以二次函数解析式为
223y x x =-++
27.解：（1） 由等差数列通项公式得：11
2650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得：10a =-，2d =，
所以1(1)n a a n d =+-102(1)n =-+-212n =-
即数列{}n a 的通项公式：
212n a n =- （2）因为108624b =---=-，212438
b q b -===-，所以 1(1)4(13)1n n n a q S q -==--
∴ 数列{}n b 的前n 项和公式：
4(13)n n S =-．
28.解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6b c A ⋅⋅=-，即cos 2c A ⋅=-； 又因为1sin 32
ABC S b c A ∆=
⋅⋅=，所以sin 2c A ⋅=， 所以sin tan 1cos c A A c A
⋅==-⋅，所以135A =︒；
由1sin 32ABC S b c A ∆=⋅⋅=，所以13sin13532c ⨯⨯⨯︒=，得c =
因为2222cos a b c b c A =+-⋅⋅9826(29=+-⨯⨯=，
所以a =
29.证明：（1）PC ⊥面ABCD ，
DC ⊂面ABCD ，
所以PC DC ⊥，DC AC ⊥且PC AC C ⋂=，
所以DC ⊥面ABCD ．
（2）∵//AB DC ，DC AC ⊥，∴AB AC ⊥．
又∵PC ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB PC ⊥，
又PC AC C ⋂=，
∴AB ⊥PAC ，
又AB ⊂面PAB ，
∴面PAC ⊥面PAB ．
（3）在PAB ∆中，E 为AB 中点，F 为PB 中点，
∴//EF PA ，
又 ∵EF ⊂面CEF ，PA ⊄面CEF ，
∴ //PA 面CEF ．
30.（1，所以是等轴双曲线，
∴设双曲线方程为22
x y k -=，
将点(2,代入方程得：
2k =，
所以
222x y -=， 双曲线方程为：22
122
x y -=． （2）因为等轴双曲线的渐近线方程为y x =±， 点P 在第一象限且是渐近线上的点， ∴设点P 坐标为(,)m m ，
∵等轴双曲线a b ==，所以2c =， 不妨设1(2,0)F -2(2,0)F ），
所以1(2,)PF m m =---，2(2,)PF m m =--， 又因为12PF PF ⊥，
所以120PF PF ⋅=，
所以(2)(2)()()0m m m m ---+--=，
解得m =（舍去负值），
所以点P 的坐标为．。