28.4垂径定理郑晓红
冀教版-数学-九年级上册-28.4 垂径定理 同步教案
垂径定理教学目标知识技能目标:1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.过程性目标:经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度目标:通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.重点难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.教学过程一、创设情境1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究归纳1.如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②CD⊥AB结论(等量关系):③AM=BM;④=;⑤=.证明:连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵☉O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合.∴=，=..证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.辨析:判断下列图形，能否使用垂径定理？注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦.通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.3.垂径定理逆定理的探索如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②AM=BM结论(等量关系):③CD⊥AB;④=;⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例:______例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接OC，设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.三、交流反思学生交流总结1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、检测反馈课本P76 随堂练习T1，T2五、布置作业课本P76 知识技能T1，T2，T3板书设计教学反思垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此，应该让学生大胆表述，并对每位学生的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼.。
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计2
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。
本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，需要通过实例来让学生理解并掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。
教材中通过大量的图片和例子来说明垂径定理，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但是对于垂径定理这样的抽象概念，学生可能还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要通过实例和具体的操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。
同时，学生对于数学的应用能力也有待提高，因此在教学过程中，需要设计一些实际问题来让学生运用所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等过程，培养自己的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，培养对数学的兴趣和热情。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握垂径定理。
2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.实例教学法：教师通过具体的例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。
3.问题解决法：教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。
六. 教学准备1.教师准备PPT，其中包括垂径定理的定义、例子、应用等内容。
2.教师准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现垂径定理的定义和例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。
3.操练（10分钟）教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了垂径定理及其应用。
本节课的内容对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆相关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本知识，如圆的定义、圆的周长和面积等。
但他们对垂径定理的理解可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和实践活动，帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的动手能力和探究精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于挑战、合作探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。
2.教学难点：如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究，培养他们的解决问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生互相讨论、交流，提高他们的合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、垂径定理的相关例题和练习题。
2.学具准备：学生用书、笔记本、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在一条直线上，有两个点A和B，且AB=10cm，点C在AB的垂直平分线上，求AC和BC的长度。
”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示垂径定理的定义和证明过程，让学生直观地了解垂径定理的内容。
3.操练（10分钟）教师给出几个与垂径定理相关的例题，让学生独立解答。
解答过程中，教师引导学生运用垂径定理，帮助他们巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让他们互相交流解题心得，共同提高。
同时，教师对学生在解答过程中遇到的问题进行解答和指导。
冀教版初中数学九年级上册 28.4 垂经定理 教案 (1)
28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。
能利用垂径定理进行想的计算和证明。
掌握垂径定理的推论。
2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。
利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。
3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。
三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。
四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。
五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。
介绍赵州桥的历史及地理位置。
（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。
）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。
复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。
归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。
在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计4
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计4一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要是利用圆的性质，结合几何图形的特征，推导出垂径定理。
本节课的内容对于学生理解圆的性质，以及解决与圆有关的几何问题具有重要意义。
教材通过引入垂径定理，让学生在学习过程中体会数学的逻辑性和推理性，提高他们的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的圆的性质和几何图形的知识，对于解决一些简单的几何问题已经有了一定的方法和思路。
但是在解决与圆有关的一些复杂问题时，还需要进一步引导他们分析问题，归纳总结解题方法。
三. 教学目标1.让学生掌握垂径定理的内容和证明方法。
2.培养学生运用垂径定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学逻辑思维和推理能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的证明和应用。
2.难点：如何引导学生发现并总结垂径定理，以及如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现并总结垂径定理。
2.利用几何画板软件，动态展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
3.通过例题和练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备几何画板软件，用于动态展示垂径定理的证明过程。
3.准备一些与垂径定理有关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何利用圆的性质解决问题。
例如，在一个圆中，如何找到一个点，使得这个点到圆心的距离最短。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示垂径定理的证明过程。
在展示过程中，引导学生关注圆的性质，以及垂径定理的证明方法。
3.操练（10分钟）让学生通过几何画板软件，自己动手操作，尝试解决导入中提出的问题。
在操作过程中，引导学生运用垂径定理，找到解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）呈现一些与垂径定理有关的练习题，让学生独立完成。
冀教版初中数学九年级上册 28.4 垂经定理 教案 (1)
28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。
能利用垂径定理进行想的计算和证明。
掌握垂径定理的推论。
2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。
利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。
3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。
三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。
四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。
五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。
介绍赵州桥的历史及地理位置。
（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。
）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。
复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。
归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。
在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材的重要内容之一。
在学习本节课之前，学生已经掌握了圆的基本概念、性质以及圆的周长和面积的计算。
本节课主要介绍了垂径定理及其应用，为学生后续学习圆的切线、弧长和扇形面积等知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固垂径定理，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生在经历了初中数学学习的过程中，已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于一些抽象的数学概念和定理，仍需要通过具体的实例和操作来加深理解。
在学习本节课时，学生需要将已知的圆的性质与新的垂径定理相结合，形成知识体系。
同时，学生需要通过合作交流，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理及其应用。
2.教学难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习：学生进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.直观教学：利用实物模型、几何画板等工具，帮助学生直观地理解垂径定理。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含丰富图片、动画和例题的教学课件。
2.实物模型：准备一些圆形的实物模型，如圆规、硬币等。
3.练习题：挑选一些与垂径定理相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型或图片，引导学生回顾圆的性质，如圆的周长、半径等。
然后提出问题：“你们能发现这些图形中有什么特殊的关系吗？”让学生思考，为新课的学习做好铺垫。
冀教版九年级数学上册：28.4垂径定理教案
一、教学目标 1.在同圆或等圆中，等弧与等弦的关系 . 2.垂径定理 .
二、教学重点和难点 重点：通过探索掌握垂径定理 . 难点：垂径定理的应用 .
三、教学手段 现代课堂教学手段
四、教学方法 启发式教学
五、教学过程设计 ( 一 ) 、一起探究 将画有圆 ( 如右图 ) 的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧 .
，
，则 和 的距离是
Ａ． 7cmＢ． 8cmＣ． 7cm 或 1cmＤ． 1cm
4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否
E
C
D
A
B
O
符合要
求，设计了一个如图 8－ 1 所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为
，尺寸如图（单Байду номын сангаас
位： cm）． 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（
球的大小就符合要求．
学生操作，交流 .
O
A
E
B
D
得出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
.
通过＂大家谈谈＂进而得出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所
对的两条弧 .
垂径定理的应用
例： 课本以赵州桥背景的题目 .
（三）、小结 垂径定理的应用非常广泛，要注意它的应用 .
六、练习设计
练习和习题
1）所示的 ， ， 三个接触点，该
1/2
图（ 2）是过球心
， ， 三点的截面示意图． 已知
的直径就是铁球的直径，
， 据，计算这种铁球的直径．
，
，
．请你结合图（ 1）中的数
A
B
4
E
4
16 图（ 1）
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28.4垂径定理
教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径
定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
（1）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，
培养学生
动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
（2）让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时
培养学生勇于探索的精神。
教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点：1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助：多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学过程：
1、情景创设（1分钟）
情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）
把一些实际问题转化为数学问题
2、回顾旧知（2分钟）
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
3、引入新课（4分钟）
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条
4
电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦 AB ；
(3)
过圆心作AB 的垂线的直径CD 且交AB 于E 。
（板书课题：28.4垂径定理）
5、师生互动（4分钟）
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB 与直径CD 除垂直外还有什么性质？
5、探求新知（5分钟）
提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它
已知：CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，AB ⊥CD
证明：AE=EB 、弧AC=弧CB 、弧AD=弧DB
D
C
（<板书>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
6、拓展升华（3分钟）
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
7、概念辨析（2分钟）
（电脑显示）练习1 AE=EB 吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！）
8、运用新知（18分钟）
练习1：（5分钟）
一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。
求截面圆心O
到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。
（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。
练习2（5分钟）
（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高
(弧的中点
到弦的距离)为7.2m
，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
练习3：（3分钟）
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：
9
1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？
2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问？
4这节课的学习方式你喜欢吗？你有什么好的建议
10、分层作业
1、.必做题: 165练习和习题A组
2.、选做题:166习题B组
课后反思：。