人教版初三数学上册垂径定理及其推论
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人教版九年级数学上册 24.1.2垂径定理(共21张PPT)
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课堂作业：课本 家庭作业：练习册
O
A
B
E
D
∴ CD⊥弦AB ，A⌒D=
⌒
BD
，A⌒C=B⌒C
1.判断下列图形，能否满足垂径定理？
B
B
B
O
O
O
C A
(×)
DC A
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得A
C D B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
图一：AC、BD有什么关系？ A C O D B
变式：图二AC＝BD依然成立吗？ (1)
AC
O
将圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，把问题 转化为直角三角形的问题。
B
A P
O
如图，A⌒B 所在圆的圆心是点O， 过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m， 弦AB=16 m，求此圆的半径.
课本例题
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
人教版初三数学上册垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。
垂径定理及其20个推论
垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。
下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。
推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。
推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。
推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。
推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。
推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。
推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。
推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。
推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。
推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。
推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。
推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。
推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。
推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。
推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。
推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。
推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。
部编人教版数学九年级上册垂径定理2市级公开课ppt课件
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
E
O
A
E
B
C
F
D
O
C
F
D
记住：圆的两条平行弦之间的距离有两种情况。
8.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
9、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的 油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
O ACB
(4)
B
O D
C
A
(5)
C
O A EB
D (6)
知识运用
A
B
例1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗?
思考：已知一个圆或一条弧，如何找出它的圆心？ 作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心。
O
A
┌E
D
B
D
600
C
D
A
600
B
O ø650
C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上 两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
11、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点， 且△OCD为等腰三角形，求证AC＝BD。
O
∟
E
CA
BD
O
∟
E
CA
BD
12. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆 弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
O A
B C
D P
A
B
E
O
A
E
B
C
F
D
O
C
F
D
记住：圆的两条平行弦之间的距离有两种情况。
8.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
9、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的 油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
O ACB
(4)
B
O D
C
A
(5)
C
O A EB
D (6)
知识运用
A
B
例1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗?
思考：已知一个圆或一条弧，如何找出它的圆心？ 作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心。
O
A
┌E
D
B
D
600
C
D
A
600
B
O ø650
C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上 两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
11、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点， 且△OCD为等腰三角形，求证AC＝BD。
O
∟
E
CA
BD
O
∟
E
CA
BD
12. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆 弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
O A
B C
D P
数学人教版九年级上册垂经定理
O
·
课堂检测：
• 1．如图1，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦， CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为( D ) • A．4 B．8 C．2 D．4 • 2．如图2，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C， ∠AOB＝120°，则弦AB的长为4．
• 3．如图3，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦， OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝ 6cm，那么⊙O的半径OA长为5cm．
A 图1 O A E A E O D B
C B
E
O D D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
E A B 解： O 1 1 A E A B 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
2 2 2 A O O E A E
C
A
E
B
O
计算如下
在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 3 . 4 7 1 . 7 8 , 2 2
C
OD=OC－CD=R－7.2
A
R
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O A B
收获新知
•
•
1.两条辅助线： 半径 弦心距
2. 构造Rt△，应用勾股定理：半
径 半弦 弦心距
a2 r d ( ) 2
2 2
24.1.2 垂径定理 人教版九年级上册数学课件
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE，
A CED B
即 AC＝BD.
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
人教版数学九年级上册课件垂径定理的推论
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
顶心天随立 朗地月奇高 一男，子志点，与要秋，把霜乾洁且坤。扭O转来E。⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路
贫穷是一切艺术职业的母亲。
的半径． 石看纹理山看脉，人看志气树看材。
寄言燕雀莫相唣，自有云霄万里高。 成功往往偏向于有准备的人 志不立，天下无可成之事。
解:连接OC．
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（10）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
几何语言：
O E A
D
∵CD是⊙O的直径， CD⊥AB． B ∴AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
小练习 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得 R≈27.9（m）
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
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∠AOB＝120，则弦AB的长为 4√3 3 ． 如 图 3 ， 在 ⊙ O 中 ， AB 、 AC 是 互 相 垂 直 的 两 条 弦
OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6
，那么⊙O的半径OA长为．
5cm
图1
图2
图3
4．如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E， AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30，求弦CD长．
3.利用垂径定理及其推论解题方法小结 ①构造以弦长的一半，、半径和弦心距为三边的直 角三角形，利用垂径定理和勾股定理有机结合来进行计 算。 ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．或连半径 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理推论：过圆心平分弦（弦不是的直径）垂直弦 弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
C
37 A
7.23 D
B
方法小结 O
构造以弦长的一半，半径和弦心距为三边的直角三角 形，利用垂径定理和勾股定理有机结合来进行计算。
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
1．创设情境，导入新知
24.1 圆的有关性质（第2课时）
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等 ？哪些弧相等？
3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧.
A
{ 过圆心 垂直弦
O
C E? D B
知二推三
平分弦
{ 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
A
O
E C
D
B
知二推三
{ 过圆心 平分弦（弦不是直径） 垂直弦
{ 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
垂径定理及推论
知二推三
（1） 过圆心 （2） 垂直弦 （3） 平分弦 （弦不是直径） （4） 平分弦所对的优弧
（5） 平分弦所对的劣弧
五个条件只要其中有两个成立，则其他 三个也成立。即知二推三
变例：如图，D、E分别为弧、的中点，DE交 AB、AC于M、N.求证：AM＝AN.
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
C
D
6．利用新知 解决问题
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
6．利用新知 解决问题
例：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米， 净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
5 2
1 ． 如 图 1 ， ⊙ O 的 直 径 AB ＝ 12 ， CD 是 ⊙ O 的 弦 ，
CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( D)
A．4
B．8
C．2
D．4√5
2.如图2已知⊙O的半径为4OC垂直弦AB于点C，