九年级数学 垂径定理及推论教学设计
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理教学设计人教版数学九年级上册
垂径定理三、证明猜想，归纳定理四、新知强化，巩固定理问题：问题：在圆形纸片上画一条直径CD，在直径CD上取一点E（点E与O不重合），过点E画一条弦AB，然后沿CD对折，观察线段AE是否等于BE？如何才能使得直径CD平分弦AB？你发现了什么结论？提出猜想：根据以上的研究和图，我们可以大胆提出这样的猜想（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．验证猜想：教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
1．证明猜想：猜想是否正确，还有待于证明。
引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路.2．归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.尝试练习1.下列图形中能否得到AE=BE，为什么？回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图形.在对圆是轴对称图形证明的基础上，通过折纸，体验垂径定理的形成过程，帮助学生分析垂径定理的条件和结论。
同时又为学习推论作好准备.用两个简单的练习题来进一步加深学生对垂径定理的理解.对运用垂径定理来解决赵州桥的问题打下基础.多媒体投影OCD AB EAE BDCDAC BCAD BD=⎧⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是圆的直径于⌒⌒⌒⌒EODCBAABDCEO图1 图2 图3 图4 2．如图,已知⊙O 的半径OB=5，OP ⊥AB ，垂足为P ，且OP=3，则AB=______ . 探究3：在圆上任意作一条弦AB ，你能否找到平分弦AB 的直径CD? 思考：此时AB 与CD 的位置关系？ 想一想： 如果弦AB 是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD 一定会垂直弦AB 吗？ 思考：已知CD 是直径，且平分弦AB,能否得到 CD ⊥AB ，且平分弧ACB 及弧AB? 猜想： CD 是圆O 的直径 AE=BE A BD CE O A B E O C DP OB A垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥, 距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？方法总结：1、作辅助线：作垂直、连半径2、构造直角三角形1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16，那么线段OE 的长为（ ）. A.4 B.6 2．已知⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到弦AB 的距离（弦心距）为3cm ，求⊙O 的半径。
九年级数学垂径定理教学设计x
05 学生自主探究活动设计
小组合作探究任务布置
分组并确定小组长
将班级学生按照数学能力、性别等因素进行异质分组，每组4-6人， 并选定一名小组长负责协调和组织小组活动。
明确探究任务
给每个小组布置垂径定理的探究任务，包括理解垂径定理的定义、 掌握垂径定理的证明方法、探讨垂径定理在几何问题中的应用等。
教学难点
垂径定理的推导和证明。
学情分析
学生基础
学习兴趣
学生已掌握圆的基本性质、弦、弧等 概念，以及圆的对称性和圆心角、弧、 弦之间的关系。
九年级学生已经具备一定的数学素养 和思维能力，对于挑战性的问题有较 高的兴趣。
学习困难
垂径定理的推导和证明需要学生具备 一定的逻辑思维能力和空间想象能力， 部分学生可能在这方面存在困难。
在几何图形中应用
圆的性质与垂径定理
01
通过垂径定理，可以推导出圆内接四边形的性质，如对角线互
相垂直且平分等。
弦、弧与垂径定理
02
利用垂径定理，可以解决与弦、弧相关的几何问题，如求弦长、
判断弧的相等关系等。
与圆有关的角
03
垂径定理可用于求解与圆有关的角，如圆心角、圆周角等，通
过构造直角三角形，利用三角函数求解。
应用两点间距离公式，计 算圆心到垂径两端点的距 离，证明其相等。
图示法证明
绘制图形
根据题目条件绘制出相应的图形， 包括圆、垂径、半径等要素。
标注信息
在图形上标注出已知的长度、角度 等信息，以及需要求解的未知量。
观察分析
通过观察分析图形中的线段、角度 关系，结合圆的性质进行推导证明。
04 垂径定理应用举例
圆心角、弧、弦之间的关系定理。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
3.3 垂径定理 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
2024版冀教版数学九年级上册284《垂径定理》教案
01教材版本02内容概述冀教版数学九年级上册本节课主要学习垂径定理，掌握垂径定理的证明方法及其应用。
通过本节课的学习，学生将能够了解垂径定理的基本概念、性质和应用，提高数学分析和解决问题的能力。
教材版本及内容概述01知识与技能掌握垂径定理及其证明方法；能够运用垂径定理解决相关问题。
02过程与方法通过观察、实验、推理等活动，培养学生的数学思维和探究能力。
03情感态度与价值观培养学生严谨的数学态度和探究精神，提高数学学习的兴趣和自信心。
教学目标与要求0102直尺、圆规、三角板等教学用具。
投影仪、电脑等多媒体教学设备，展示垂径定理的相关图形和动画演示。
教具准备多媒体资源教具准备和多媒体资源圆的性质及定义02圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
01圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，以及圆具有旋转对称性。
通过圆心且两端点都在圆上的线段，是圆中最长的弦。
直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段。
连接圆上任意两点的线段，不一定是直径。
030201直径、半径、弦等概念1 2 3顶点在圆心的角，其大小由所截取的弧长决定。
圆心角圆上两点间的部分，分为优弧和劣弧。
弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
这一关系在垂径定理的证明和应用中起到重要作用。
圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的几何意义揭示了弦、直径和弦所对的弧之间的内在联系。
为解决与弦、弧有关的问题提供了重要的理论依据。
在圆中，经常利用垂径定理将已知条件与所求目标进行转化，从而简化问题。
已知条件在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且AB⊥CD于点E。
求证AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
01证明过程02连接OA、OB，由于OA=OB（半径相等），∠OEA=∠OEB=90°（已知），OE=OE（公共边）。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
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授课教师姓名
微课名称
垂径定理及推论
知识点来源
□学科：数学□年级：九年级□教材版本：北师大版
□所属章节：九年级下册第三章《圆》第二节《圆的对称性》
录制工具和方法
Camtasia Studio V6.0.2
设计ห้องสมุดไป่ตู้路
本课从圆的对称性出发，探讨圆弦图的对称性及相关性质。通过层层设问，探索出作圆弦图对称轴的十种方法并进行归纳得到“5选2法”，进一步得到“垂径定理及推论”。教学中没有直接讲解定理，而是通过对图形操作自然得出结论。从我的教学比较发现，用这种教学方法学生在理解和记忆定理的时候，能够借助图形进行思考，能很轻松地掌握垂径定理。
教学设计
内 容
教学目的
理解垂径定理及推论
教学重点难点
重点：垂径定理及推论
难点：作圆弦图对称轴的方法探讨
教学过程
一、圆的对称性
圆是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？如何画出它的对称轴？
二、圆弦图的对称性
这个圆弦图是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？如何画出它的对称轴？
三、猜想证明
如图，已知直线MN过⊙O的圆心，且MN⊥AB，交AB于点C，交⊙O于点M、N求证：MN是这个图形的对称轴
我们把这种确定圆弦图对称轴的方法简称为“五选二法”
六、探究垂径定理及推论
一条直线，在下列五条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分所对的劣弧。
强调：由（1）、（3）两条得到（2）、（4）、（5）时，条件中应加“弦不是直径”的限制条件。
四、探究圆弦图的轴对称性质
作对称轴MN与⊙O交于M、N两点，与弦AB交于点C，从图中能得到哪些结论？
五、探究作圆弦图的对称轴的方法
还有哪些方法可以作出这个圆弦图的对称轴？
方法归纳
一条直线满足（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分优弧（5）平分劣弧五条中的任意两条，都是这个圆弦图的对称轴。
当满足（1）、（3）两条，需补充条件——弦不为直径。