垂径定理—知识讲解(提高).docx
垂径定理优秀课件
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
第3章 3.3 垂径定理
垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题 如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和 ︵︵ 小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得 点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求 出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心， 连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
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垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
垂径定理 【完整版】
垂直于弦的直径【学习目标】1.能记住圆是轴对称图形，并能正确说出圆的对称轴；2.理解垂径定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。
【重点难点】重点：理解垂径定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。
【课堂探究】一、互动课堂(探究与合作)探究点1：圆的对称性1.动手做一做：请大家拿着桌上的圆形纸片，用对折的方法，在纸片上找出圆心O，并画出圆的任意一条直径CD，A是⊙O上任意一点（不与点C、D重合），过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA、OB.在对折找圆心的过程中，我们发现：任意折痕（即圆的直径所在的直线）两旁的部分能够完全重合2.通过上面的探究，你能得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有B 无数条对称轴.3.问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和弧你如何得知线段:AE=BE弧;AB=BC，AD=BD错误!未指定书签。
理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．探究点2：垂径定理已知：如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．CD是AB的垂直平分线.1.质疑：若AB是直径，上述结论还成立吗成立，当AB是直径时，OA=OB，CD⊥AB，所以CD是AB的垂直平分线,结论也成立．2.从上面的证明我们知道：⑴垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⑵定理中的弦为直径时，结论仍然成立．归纳总结（垂径定理：）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC=BC，AD=BD温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,要学会相互转化,形成整体,才能运用自如3.注意：⑴垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”.⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：①过圆心；②垂直于弦.那么这条直线就平分这条弦，平分弦所对劣弧和优弧.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件如果不是，请说明为什么？是不是，因为是不是，因为没有垂直CD 没有过圆心归纳总结垂径定理的几个基本图形：三、垂径定理的应用（典例精析）试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC 垂足为D ，与弧AB 交于点C ，则D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高.AB=37m ，CD=.∴AD=21AB=，OD=OC-CD=. 222OD AD OA += 222)23.7(5.18-+=R R解得R ≈（m ）即主桥拱半径约为.四、垂径定理的计算例：如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=cm.解析：连接OA ，∵OE ⊥AB ，∴AE ＝BE （垂径定理）86102222=-=-=OE OA AE ∴AB=2AE=16cm(注意：圆心到弦的距离叫弦心距)归纳总结 .C D AB OME O .A C D B .A B O 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.探究点3：垂径定理的推论如果把垂径定理分解为五个部分作为条件，上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗①圆心；②垂直于弦；③平分弦； ④ 分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.猜想证明：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD举例证明其中一种组合方法已知:求证：证明举例：①③如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗为什么（2）AC与BC相等吗AD与BD相等吗为什么解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得：AC=BC，AD=BD归纳总结（垂径定理的推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗如果不能，请举出反例.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.3．垂径定理的推论你能破镜重圆吗作法：作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．当堂练习1：判断下列说法的正误（1）平分弧的直径必平分弧所对的弦（2）圆是轴对称图形，直径是它的对称轴（3）垂直于弦的直线必过圆心2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立的是（）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=AED 、BD=BC解析：由垂径定理可知B 、D 均成立；由△OCE ≌△ODE 可得A 也成立．不一定成立的是OE=AE ．故选C ．3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为.拓展提升：4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD 的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD 上的一点,且OE ⊥CD ，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m.CD OE ⊥ )(3006002121m CD CF =⨯==∴ 根据勾股定理，得：222222)90(300,-+=+=R R OF CF OC 解得R =545.∴这段弯路的半径约为545m.课堂小结：思考题：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP 长的取值范围.课堂作业必做题：课本83面1、2题选做题：思考题A BPO。
3.52垂径定理—知识讲解(提高)
3.52垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON ⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图 1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm =，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且COBDACD=，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75°D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(2，那么B点的坐标为____________．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC=∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB 交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是AB、AC的中点，且MN 交AB于D，交AC于E，求证：△ADE是等腰三角形.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则()2221R R=+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，∴152AE AB==．设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴ R2＝52+(R-1)2，P∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】(2-．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B (2-. 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB = 三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴6212AE AB AE AC ========，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB.由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得a =，2AB a ==.15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F. ∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为AB 、AC 中点，∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ． ∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ， 而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ．所以△ADE 是等腰三角形.。
垂径定理—知识讲解(提高)
垂径定理-知识讲解（提高)【学习目标】1．理解圆得对称性；2．掌握垂径定理及其推论;３。
学会运用垂径定理及其推论解决有关得计算、证明与作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1、垂径定理ﻫ垂直于弦得直径平分这条弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ２、推论平分弦(不就是直径）得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ要点诠释：(1)垂径定理就是由两个条件推出两个结论，即ﻫ（2)这里得直径也可以就是半径,也可以就是过圆心得直线或线段、知识点二、垂径定理得拓展根据圆得对称性及垂径定理还有如下结论:（1）平分弦(该弦不就是直径)得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧;（2）弦得垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对得两条弧;（3）平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦，并且平分弦所对得另一条弧、（4）圆得两条平行弦所夹得弧相等、要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对得优弧、平分弦所对得劣弧,在这五个条件中，知道任意两个,就能推出其她三个结论、(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时,平分得弦不能就是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1、如图,⊙O得两条弦AＢ、CD互相垂直，垂足为E,且AＢ=CD，已知CE=１,ＥＤ=3，则⊙O得半径就是.【答案】错误!、【解析】作ＯＭ⊥AB于M、ＯN⊥CD于N,连结ＯA，∵ＡＢ=CD,CＥ=１，ED=3,∴ＯM=EN=１，AＭ=2,∴ＯA＝、【点评】对于垂径定理得使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间得运算(配合勾股定理)问题、举一反三：【变式１】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH=4，ＢH=6,CH＝3,DH=8，求⊙Ｏ半径。
【答案】如图所示，过点O分别作OＭ⊥AB于Ｍ,ON⊥CＤ于N，则四边形MONH为矩形,连结OB，∴,,∴在Rt△BＯM中,。
【高清ID号：35696５关联得位置名称（播放点名称）:例２—例3】【变式2】如图，AＢ为⊙O得弦，Ｍ就是ＡB上一点,若AB＝20cｍ,MB＝8cm，OM＝10ｃm,求⊙O得半径、【答案】14cm、【高清ID号:3５6965 关联得位置名称(播放点名称):例2—例3】2、已知:⊙O得半径为１0cm，弦AB∥CD,AB=１２cm，ＣD=１6cm,求AB、CD间得距离、【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、ＣD间得距离就就是它们得公垂线段得长度，若分别作弦ＡB、CD得弦心距，则可用弦心距得长表示这两条平行弦AＢ、CD间得距离、【答案与解析】(1)如图1，当⊙O得圆心O位于ＡB、CＤ之间时，作OM⊥ＡB于点M,并延长MO,交ＣD于N点、分别连结AO、CＯ、ﻫ∵AB∥CＤ∴ＯＮ⊥CD，即ON为弦CD得弦心距、∵AB=12ｃm，CD=16cm,ＡO=OC=10cm,ﻫﻫ=８+６=14（ｃm)ﻫ图1 图2(２）如图2所示，当⊙Ｏ得圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AＢ、CＤ在圆心O得同侧)时,ﻫ同理可得：MN=OM－ON=８-6＝2（ｃm)∴⊙O中,平行弦ＡB、CD间得距离就是14cｍ或2ｃｍ、ﻫ【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间得位置关系,分类讨论,千万别丢解、举一反三：【变式】在⊙O中，直径MＮ⊥AB,垂足为C,MＮ=１0,ＡB=８,则MＣ＝__＿__＿___．【答案】2或8.类型二、垂径定理得综合应用３、要测量一个钢板上小孔得直径，通常采用间接得测量方法。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
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垂径定理一知识讲解(提高)
【学习目标】
1. 理解圆的对称性；
2 .掌握垂径定理及其推论；
3 •学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.
【要点梳理】知识点一、垂径定理
1. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•
2. 推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
要点诠释：
(1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即
直径1 J平分弦
垂直于弦j n j平分弦所对的弧
(2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等• 要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论•(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径)
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
的半径是______________________
O=如图，。
O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为
E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O
【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5.
作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA ,
T AB=CD , CE=1 , ED=3,
∙∙∙ OM=EN=I , AM=2 , ∙ OA= . 22+12=,5. Y
B
对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题• （配合勾股定理）问
【变式1】如图所示，Θ
O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点
MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1
BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =∙ BM
2 OM 2 = 55 .
2
【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称)
【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C
:例2-例3】
OM= 10Cm 求Θ O 的半径.
【答案】14cm.
【高清ID 号：356965 关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】
▼ 2.已知：Θ O 的半径为10cm,弦AB// CD AB=12cm CD=16cm 求AB CD 间的距离.
【思路点拨】
在Θ O 中，两平行弦ABCD 间的距离就是它们的公垂线段的长度， 若分别作弦ABCD 的弦心距,
则可用弦心距的长表示这两条平行弦
AB CD 间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1,当Θ O 的圆心 O 位于AB CD 之间时，作 OMLAB 于点M, 并延长MO
交CD 于 N 点.分别连结AO CO.
∙∙∙ AB// CD
∙ ONL CD 即ON 为弦CD 的弦心距. ■/ AB=12cm CD=16cm AO=OC=10cm
AM= -AB=6cm J CN=- CD=8cm
2 2 ________________________
MN=MO+NO√102-62 +
=8+6 =14(Cm)
图1 图2
(2)
如图2所示，当Θ O 的圆心O 不在两平行弦 AB CD 之间(即弦AB CD 在圆心O 的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(Cm)
∙∙∙Θ O 中，平行弦 AB CD 间的距离是14cm 或2cm.
【点评】 解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解 举一反三：
【变式】在Θ O 中，直径 MNLAB,垂足为C, MN=10 AB=8,则MC= ________________ : 【答案】2或&
类型二、垂径定理的综合应用
&
3.
要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法•如果用一个直径为 IOmm 的标准钢
珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离
h = 8mm 如图所示),求此小孔的直径 d •
N
I
【思路点拨】
此小孔的直径d 就是Θ O 中的弦AB.根据垂径定理构造直角三角形来解决. 【答案与解析】 过O 作MN ⊥ AB,交Θ O 于M N,垂足为 C,
心
1
则 OA 10=5mm , OC= MC-OM= 8— 5 = 3mm
2
在 Rt △ ACO 中, AC= 一 5
2
-32 =4mm ,
AB = 2AC = 2 × 4= 8mm
答：此小孔的直径 d 为8mm 应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题
不过圆心的直线I 交Θ O 于C 、D 两点，AB 是Θ O 的直径，AE ⊥ I 于E , BF 丄I 于F .
(1) 在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)
请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论
(OA = OB 除外)(不再标注 其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程
);
(3)
请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论.
【答案与解析】
(1)如图所示,
在图①中AB CD 延长线交于Θ O 外一点;
在图②中AB CD 交于Θ O 内一点;
在图③中
AB// CD
【点评】。