垂径定理
(2)垂径定理
垂 径 定 理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。
概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧1．过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM 的长为（ ）A 、cmB 、cmC 、2cmD 、3cm2．已知：如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC 的长为：A 、3cmB 、2.5cmC 、2cmD 、1cm3．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．3、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.4．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(a) (b) (c) 图3(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 第一问答案（AB 与CD 交于 （AB 与CD 交于 （AB 与CD 平行）⊙O 外一点） ⊙O 内一点） 图2－11. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<< 4、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 5、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.6、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BACBDC OA B E FD 3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C =900，AC =5cm ，BC =12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－21. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.图6－14. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.9、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.10、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.11、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.12、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
垂径定理的应用
CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
垂径定理1
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为 5cm . 2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为
.
A
13cm
C D O B
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵 州桥主桥拱的半径吗？
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
课堂小结： 1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论1: 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论2: 垂直平分弦的直线过圆心，并且平分 弦所对的两条 弧.
垂径定理的推论2: 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.
一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
排水管中水最深是多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: 1 AC=BC= 1 AB= ×16=8 2 2 由勾股定理得:
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
OC OB2 BC2 102 82 6
垂径定理及其10个推论
垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。
它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。
垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 赵州桥的主桥拱半径约为
练习
如图， 的长为8cm，圆心 到AB 如图，在⊙O中，弦AB的长为 中 的长为 ，圆心O到 的距离为3cm，求⊙O的半径． 的半径． 的距离为 ， 的半径 解：QOE ⊥ AB
A E B
1 1 ∴ AE = AB = ×8 = 4 2 2
定理演绎: 定理演绎
C O E A D
推论二. 推论二
⇒
CD⊥AB AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
推论三. 推论三 CD⊥AB B ⇒ AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
一般地:在这五个结论中 如果有其中两个成 一般地 在这五个结论中,如果有其中两个成 在这五个结论中 就可以推出另外三个存在. 立,就可以推出另外三个存在 就可以推出另外三个存在 即:有2就有三 有 就有三
M
作法 1.连结 连结AB. 连结
A
D
2.作线段 的垂直平分线 作线段AB的垂直平分线 作线段 MN，垂足为 ，MN交AB ，垂足为C， 交 于点D. 于点 AB被点 平分 被点D平分 被点 平分.
N
C B
如图，已知⊙ 中 是 的中点 的中点， 交弦 于点D， 交弦AB于点 如图，已知⊙O中C是AB的中点，OC交弦 于点 ， 的长. ∠AOB=120°，AD=8. 求OA的长 ° 的长
垂径定理
垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。
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闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。
学生说出两个命题的题设和结论，并进行简单的证明。
学生小组讨论后回答。
学生归纳出垂径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础
1用三角形全等
2等腰三角形“三线合一”
当把圆折叠时：
1两个半圆重合
2 AE、BE重合
3两段小弧各自重合。
让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。
通过折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。
（四）
齐心合力攻克难关
垂径定理的条件，
1）垂直于弦2）一条直线过圆心
垂径定理结论：3）平分弦4）平分劣弧5）平分优弧
书写格式：（1）∵AE=BE，，CD⊥AB
∴CD过圆心，
命题2实质：条件（2）+（4）==>结论（1）（3）（5）
书写格式：（2）∵是直径，，
∴CD⊥AB，AE=BE，
上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，，
实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。
垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，
条直线垂直这条弦。（）
④)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（）
⑤平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（）
⑥弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（）
（3）看图填空：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴
‚∵CD是直径，AE=BE
∴，
ƒ∵AE=BE，CD⊥AB
∴
④∵CD是直径，
∴
（4）你能画出使用垂径定理的相关图形码？
本节课我们都学习了哪些内容？
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-----？
学生答案1：它的直径。、
学生答案2：经过圆心的直线
由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.
回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，
通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，
通过实际问题的结决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为生活所用。
（五）PK知识大舞台
（六）
知识梳理
五、赛一赛，谁最快
（1）判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
（2）判断下列语句是否正确。
平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（）
‚平分弦的直线，必定过圆心。（）
ƒ一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。
书写格式：∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB
∴AE=BE，
垂径定理实质：
条件（1）+（2）===>结论（3）（4）（5）
（四）例题分析
例1已知：在⊙O中，直径CD
交弦AB于点E，AE=BE，
求证：CD⊥AB，
证明：联结半径AO,BO，
∵半径AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点
1垂径定理以及推论的证明，
2垂径定理的简单应用，
教学难点
垂径定理的简单应用
教学用具
多媒体,投影仪
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
（一）
∵AE=BE
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
∵CD是直径
∴（垂径定理）
思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理推论的实质：
条件（2）+（3）===>结论（1）（4）（5）
书写格式：（1）∵AE=BE，CD为过圆心的直线，
连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？
你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生
口述证明方法）
由折纸活动，学生很容易找出相等关系：
AE=BE,
学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。
学生想到连结半径OA，OB,并且有OA=OB。
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
（七）
课后
作业
三级跳的中与垂径定理有关的内容
（八）
板书设计
垂径定理
1垂径定理内容2垂径定理推论的内容3垂径定理常用的图形
书写格式书写格式
定理用途定理用途
1圆是轴对称图形
2垂径定理及推论。
3垂径定理的书写格式和用途。
4你掌握了------？
5你有哪些困惑------？
学生积极动脑参与，共同学习新的知识
学生总结本节课的内容，提出知识要点。
赛一赛环节使学生进一步熟悉垂径定理的使用条件。并把所学的知识纳入已有的知识体系。
学生自己整理知识，有利于他们完善自己的数学体系，也有利于提高他们的整合知识的能力和概括能力。
学校
十七中
教师
樊熙玲
课题
22.3垂径定理
课型
新课
课时
第一课时
教学方法
小组合作,探索交流
教材
人教版第22章
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。
二、动手折一折
请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）
结论1圆是轴对称图形，
2它有无数条对称轴，
3经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
创设情境
引入新知
（二）
动手实践，合作探索
一、动脑想一想（出示幻灯片）
1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？
2我们学过图形中轴对称图形有哪些？
它们各有几条对称轴呢？
3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
学生踊跃回答问题
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
培养学生的灵活运用能力。
总结规律，使学生把知识归入体系。发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。