垂径定理(1)
3.3 垂径定理(1)
9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；2. 垂径定理解读：（1）条件：“弦”可以是直径；（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；3. 垂径定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB∠的正弦值．一读：关键词：半径,弦.二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.三解：解： 过 圆心O 作 于M;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A BO M AB OM ⊥在 中，由勾股定理得： 在 中，所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解答.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与CD 之间的距离.核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.答案：过点 作 于 ，则 于连接 由垂径定理得,在 中,由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆O 1522=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF ODOB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF同理在 中,两弦在圆心同侧时，两弦距离两弦在圆心异侧时，两弦距离2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，答案： 连接 直径 弦在 中，由勾股定理得：cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC722=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD222OC CF OF =+解得：是 的中位线132==∴BF DE CDE ∆CBBE =CFDF = 5.6=r FB ∴。
【考点训练】垂径定理-1
【考点训练】垂径定理-1【考点训练】垂径定理-1一、选择题（共11小题）1．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）2．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）3．（2010•潍坊）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则DC的长为（）4．（2008•河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）5．（2008•梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）6．（2009•庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）7．（2009•临夏州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）8．（2010•大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）10．（2009•黔南州）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）cm C D．11．（2008•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D （0，4）两点，则点A的坐标是（）．C D．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）12．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为_________．13．（2011•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为_________cm．14．（2009•安顺）如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为_________cm．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）15．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．【考点训练】垂径定理-1参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）==4OM=AC=22．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）CE=DE=CD=AB=×==63．（2010•潍坊）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则DC的长为（）4．（2008•河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）5．（2008•梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）6．（2009•庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）最短为=37．（2009•临夏州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）AB=3=58．（2010•大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）10．（2009•黔南州）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）cm C D．OA=1cmcmAB=2OA=111．（2008•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D （0，4）两点，则点A的坐标是（）．C D．AM==2）二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）12．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为5．AM=BM=AB=3，）13．（2011•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为5cm．AC=BC=AO=14．（2009•安顺）如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为6cm．OP==6cm三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）15．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．BE=CE= BE=CE=。
27.3(1) 垂径定理听课记录
中学数学听课记录课题27.3(1) 垂径定理授课教师听课人听课班级初三5班听课时间2014年11月3日教学内容（一）情景引入1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣1、观察与思考：圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？（二）学习新课1、思考如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？（学生观察，猜想，并得出以下结论）①CO=DO（同圆的半径相等）②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）联结OA、OB，则OA=OB.∵ AB⊥CD,∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）,∠AOD=∠BOD,∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.∵∠AOC=∠BOC,∴弧AC=弧BC.1．定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.结合图形写成符号语言：∵直径CD⊥弦AB，垂足为M∴ AM=BM∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆52DC BAO心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC.例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米） 分析：首先将实际问题转化为数学图形。
如图，假设弧AB 表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米） 1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、图中哪些表示圆O 的半径？3、如何建立等量关系？解：设圆O 的半径为R ，则OA=OB=OC=R 根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=2.7-R ∵ 半径OC ⊥AB ，垂足为D ∴ AD=21AB=18.7 在Rt △AOD 中，∠ADO=90° ∵ AD 2+OD 2=OA 2 ∴ 18.72+2)2.7(-R =2R 9.27≈R答：桥拱所在圆的半径约为27.9米. （三）巩固练习1、已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长.2、已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm ， 求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小.1．如图，已知P 是⊙O 内一点，画一条弦AB ，使AB 经过经过点P,并且AP=PB.。
垂径定理说课稿
垂径定理一、教材分析：（1）教材的地位和作用：本节选自人教版数学九年级第二十四章第一节，本节研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
（2）教学重点、难点与关键：本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一；本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、目标分析：（板书并用投影仪显示教学目标）1、认知目标：首先使学生理解圆的轴对称性，进而掌握垂径定理，最终学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
2、能力目标：培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
3、情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
三、教学方法与教材处理：鉴于教材特点，根据教学目标及我所教班级学生的知识基础，我选用引导发现法和直观演示法。
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。
同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
垂径定理的判定
垂径定理的判定垂径定理是以三角形的垂径来判定三角形的关系的一种定理，主要涉及三角形的内角和外角的知识点，这也是判定三角形的一种简单形式，并且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛。
一、垂径定理的定义垂径定理的核心是三角形的垂径，即以三角形的边长和角度为基础构建的一种关系，其定义如下：在任意一个三角形中，当给定A角的夹角，则其余两个角按照以下关系判定：A角的余边（另外两条边）分别对应B角和C角，并且其关系如下：A角的余边平方之和等于B 角的余边乘以C角的余边的总和。
二、垂径定理的应用垂径定理可以用来解决一些常见的实际问题，比如可以用来计算三角形内角和外角之间的关系，例如：有一个三角形，其中A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，那么根据垂径定理，C角的夹角就可以用下面的公式来计算：C角的夹角 = 180° - B角的夹角 - A角的夹角 = 180° - 90° - 60° = 30°，从而可以计算出三角形所有角度的值。
垂径定理也可以用来计算三角形的边长，例如：若A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，且A角的余边为2，那么根据垂径定理，可以求得B角的余边 =(2 + 2) - 2 = 4，即B角的余边为4，从而可以得出三角形的边长。
三、垂径定理的表达垂径定理可以表达为数学式：a +b = c其中a为A角的余边，b为B角的余边，c为C角的余边，从根本上讲，就是三角形三条边长之和的平方等于第三条边长的平方加上夹角的余边的平方，因此从数学上可以看到，垂径定理是一种判定三角形关系的有效手段。
四、垂径定理的结论综上所述，垂径定理可以用来判断三角形的关系，是判定三角形的一种简单形式，而且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛，因此其实质就是三角形内角和外角之间的关系，以及三角形三边之和的平方等于第三边长的平方加上夹角的余边的平方，这也是垂径定理最主要的表达方式。
垂径定理1-3课时
BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。
对称轴是 ，对称中心是 。
2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。
观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。
求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。
三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。
求证：AC=BD 。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。
按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。
结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
垂径定理判定
垂径定理判定
垂径定理是指，如果一个三角形的某一边的垂线（或称高线）与另一边相交于垂足，那么这个垂线的长度就等于对应边上的点到垂足的距离。
而垂径定理的判定方式，则取决于问题的具体形式和所给的条件。
以下是一些可能的情况：
- 已知三角形的三边长，判断三角形是否直角三角形：如果三边构成的三角形中，最长边的平方等于另外两边平方之和，则这个三角形是一个直角三角形，且最长边所对应的角为直角。
此时，垂足就是斜边上距离最长的点。
- 已知三角形的三个顶点坐标，判断三角形是否直角三角形：计算三个顶点之间的距离即可，如果存在一对边的长度平方之和等于第三边长度平方，则这个三角形是一个直角三角形。
此时，可以用两个顶点作为边上的点，然后计算该边上的垂足的坐标。
- 已知三角形的一边和与该边垂直的高线长度，判断三角形是哪种类型：计算高线长度是否等于对应边上的点到垂足的距离，若相等，则这个三角形是一个直角三角形；如果高线长度小于对应边上的点到垂足的距离，则这个三角形是一个锐角三角形；如果高线长度大于对应边上的点到垂足的距离，则这个三角形是一个钝角三角形。
- 已知三角形的两个角度和一边或两边，判断三角形是否直角三角形：通过三角函数（正弦、余弦、正切等）求出所有边长，然后判断是否满足勾股定理。
若满足，则这个三角形是一个直角三角形。
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A
22
在Rt AOE中，由勾股定理得：
E
B
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
反馈
1. 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，下 列结论不一定成立的是（ C ）
A. CM=DM
A
B. AC=AD C. AD=2BD D. ∠BCD=∠BDC
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90
AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB ∴ AE=AD
ODA 90
C
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
垂径定理
小结反思
C
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）； （2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）； 则可推出：
活动三
如图3，AB是⊙O的弦（不是直径），直径CD平分弦AB，交AB 于E．
（1）图3是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？ CD与AB垂直吗？说一说
你的理由.
C
∠AEC=∠BEC 弧： AC=BC AD=BD
CD⊥AB （∠AEC=∠BEC=900）
思考：如果AB也是直径，上述结
则可推出：（3）垂直于弦（ CD ⊥AB ）； A
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
C
·O
E B
D
符号语言 ∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）；AE=BE；
∴ CD ⊥ AB ， AD=BD，AC=BC.
作业： 课本87第1题，88第9、11题.
24.1.2垂直于弦的直径
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧： AC=BC AD=BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半 A 圆重合，点A与点B重合，AE与BE重
合， AC ， AD 分别与 BC 、BD 重合．
C
·O
E B
D
图1
一条直线若满足： 由以上活动可得：
C
（1）过圆心（CD是直径）；
练习：《名师》P55~P57.
·O
E
A
B
（3）平分弦（AE=BE）；
D
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
符号语言
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦；CD⊥AB于E；
∴AE=BE， AD=BD， AC=BC.
垂径定理的推论
小结反思
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）平分弦（不是直径）（AE=BE）；
O
CM
D
B
反馈
2. 如图，周长为10的⊙O中，弦AB的弦心距
OC等于3，那么弦AB的长为（D ） A
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
OC
B
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AB=20，CD=16，则线段OE等于（ A
B
）
A. 4
B. 6
C. 8
D.10
O
C ED B
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
·O
论是否成立？
C
AC
E
A
B
不一定成立. A O B
O
D
B
图3
D
D
由以上活动可得：
C
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）平分弦（不是直径）（AE=BE）； 则可推出：（3）垂直于弦（ CD ⊥AB ）；
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）； A （5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
例1 下列图形中是轴对称图形吗？如果是，请 画出它的一条对称轴.
(1)
(2)
(3)
(4)
活动二
如图1，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）图1是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧．
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）；AE=BE；
∴ CD ⊥ AB ， AD=BD，AC=BC.
例2 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于E
（2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）；
则可推出：
·O
（3）平分弦（AE=BE）；
E
A
B
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
D
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦；CD⊥AB于E；
∴AE=BE， AD=BD，AC=BC.