垂径定理(1)
3.3数学垂径定理(1)
三、练中知
练习1：
三、练中知
练习2：
三、练中知 练习3、
三、练中知
例2：
三、练中知
练习1：
三、练中知 练习2、
三、练中知 练习3、
四、拓中悟：
如图：图中是一个下水道的横截面。 为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m, 然后又测得了水面的宽度为8m， 你能根据所提供的数据求得水深吗？
O A D C B
四、拓中悟：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
A
B
C O C D O
D
（1）
（2）
五、结中得：
1、垂径定理 牢记垂径定理使用时必须具备的 两个条件，一是直径，二是直径垂直 于弦。 2、垂径定理的应用 要明确在圆中解决有关弦及弧的 问题，垂径定理的作用非常大。
3.31垂 径 定 理(一）
一、启中入
已知⊙O中,M是弦AB的中点 L
(1）直线L⊥AB且过M,那么L 过圆心O吗?
(2)直线L⊥AB且过圆心O, 那么L过M吗?
·O M
(3)直线L过O、M,那么L⊥AB吗？ A
·
B
教学目标：
1、知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能说出圆的对称轴 和对称中心。 2、能说出并会运用符号表示垂径定理，能分清垂径定理的题设和 结论。 3、会用垂径定理进行简单的计算和证明。 4、在运用定理的过程中通过对变式图形的认识提高学生的识图能力。
重点：垂径定理的运用 难点：垂径定理的证明
二、读中思
E A G O D
已知： ⊙o中，EF是直径， AD是弦，垂足为G
3.3 垂径定理(1)
9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；2. 垂径定理解读：（1）条件：“弦”可以是直径；（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；3. 垂径定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB∠的正弦值．一读：关键词：半径,弦.二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.三解：解： 过 圆心O 作 于M;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A BO M AB OM ⊥在 中，由勾股定理得： 在 中，所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解答.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与CD 之间的距离.核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.答案：过点 作 于 ，则 于连接 由垂径定理得,在 中,由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆O 1522=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF ODOB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF同理在 中,两弦在圆心同侧时，两弦距离两弦在圆心异侧时，两弦距离2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，答案： 连接 直径 弦在 中，由勾股定理得：cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC722=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD222OC CF OF =+解得：是 的中位线132==∴BF DE CDE ∆CBBE =CFDF = 5.6=r FB ∴。
垂径定理课件(浙教版)(1)
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
练一练
1、已知：如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD 于点M,N,AM=BM,AB∥CD.求证：DN=CN.
P
O M
2、如图,⊙O的直径EF交弦AB于点M,且⌒AF=B⌒F .
若OE=5,AB=8,求MF的长.
E
O M
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m).
∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C （垂径定理）
.C O
E
A
B
D
请同学们独立证明定理2
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
（1）两条弦在圆心的同侧 （2）两条弦在圆心的异侧
F
A
●O
B
A
B
●O
C
D
E
C
D
E
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等
M
C
D
A
D
B
.O
N
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助 线，为应用垂径定理创造条件。
1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船 舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这 里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
24.1.2垂径定理(1)
24.1.2垂直于弦的直径（1） 班级： 姓名：学习目标：1.通过画图和观察，发现垂径定理，了解垂径定理的证明方法，会简单运用垂径定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.学习重点和难点：1. 重点：垂径定理。
2．难点：垂径定理的证明。
一、自主学习1.:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径 ，AB ⊥CD∴DP= , =⋂ DB ，=⋂ DA （垂径定理）二、巩固训练1．下列说法正确的是( )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是( )A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则CE= ，⋂AC = .（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，OC ⊥AB 于点C ，AC=3，则BC= ，AB= .5.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是( )A ．10B ．16C ．6D ．86.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A ．4.1米B ．4.0米C ．3.9米D ．3.8米7.在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为ABCO.8.证明：重直于弦的直径平分弦.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. 求证：AE=BE.证明：连结OA ，OB.9. 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长拓展延伸：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径．(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．E ADC BO.。
垂径定理第一课时PPT课件
2020年10月2日
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注意书写格式.
例1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距 离为 3 cm,求⊙O的半径.
变1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的
A
E
B 长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.
变2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O
O
到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合, ⌒ AC和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
5
垂径定理
• 定理 垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所的两条弧.
CA M└ ●OD Nhomakorabea如图∵ CD是直径,
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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Ｃ
连ＯＣ
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｂ
Ｄ
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例３ 已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。
证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ
∵ＯＥ⊥ＡＢ ∴ＡＥ＝ＥＢ ∵ＯＥ⊥ＣＤ ∴ＣＥ＝ＥＤ ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ 即ＡＣ＝ＢＤ
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O.
E AC
DB
●O
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圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个 问题.
3
C
A M└ ●O
D
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• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 左图是轴对称图形吗? B 如果是,其对称轴是什么?
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
垂径定理(1)
8 , 9, 10 例题 1 例题 2 巩固演板
板书 设计
A
O E B D
过圆心作垂直于弦的垂线，
体会（局部）就行的原理！
A M
O
N
B
三．巩固练习。 1． P82 练习学生演板。 2.如图，AC,AB 是⊙O 的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E。 （1）当弦 AC,AB 满足什么条件时 OE=OD; （2)当弦 AC,AB 满足什么条件四边形 ADOB 是正方形.
2 例题讲解，运用定理。 例题 1.解决课前赵州桥问题。学生口头表述，老师纠正并示范书面表达过程。
C
运用方程思 想 求 线 段 长。 学生演板变 式，老师巡 视并及时纠 正 . 变（ 1 ） 是教材 82 页 练习 1
【小结】 ：这个实际问题转化为数学问题后，已知？求？ 解决方法是：根据垂径定理；构造为三角形问题解决。 2．提炼定理的题设和结论： （1）过圆心， （2）垂直于弦 推出（3）平分弦， （4）平分优狐， （5）平分劣弧。 例题 2.如图△OAB,交⊙O 于 M,N，求证：AM=AN。
教学重点： 垂径定理的探究与运用。 教学难点： 发现并证明垂径定。 教学方法：引导探究 学法指导：自主探究，交流归纳，强化练习 教学用具：PPT 教 学 过 程 设 计 本班增删 一.创设情境，导入新课。 1.圆是轴对称图形吗？对称轴是什么样的直线？你是如何验证的？ 2.生活中有很多地方运用了圆的知识。如《赵州桥》朗读小学课文片段。 体会童年的 3.问题情境的实际问题就是已知弦，和弓形高，求圆的半径的问题？谈谈你的打 美好，引入 算怎样解决这个问题。 新课。 二．探究新知,解决问题。 1.引导学生思考与探究 【1】 。预案（1）学生能够构造 Rt△后，教师指出弦心距和弓形高共线才能解决问 题； 即：垂直于弦的直径必须平分弦及其所对的弧。 预案 （2） 学生不能配合， 则让其思考求变的常用图形是什么图形？迁移到预案 （ 1） 【2】.学生通过操作直观感知说明共线。并说明图中相等的线段、弧。 【3】.逻辑思维高度证明： 【垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 】 已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证：AM=BM， AC BC ， AD BD . 分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可． 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB C 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 B A
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
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圆心为O，半径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与A⌒B 相交于点C，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB 的中⌒点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
C
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A OA2=AD2+OD2
求圆O的半径。
A
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中，任
意知道两个量，可根据 垂径 定理
求出第三个量：
E
O D
B E C
O D
B C C
O
A
B
小结
１、圆是轴对称图形，何一条直径所在直 线都是它的对称轴．
２、垂径定理及其逆定理的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
D B
即
R2=18.72+（R－7.2）2
R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活动三
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：过 结点OAO作1 OE⊥A1B于点E,连A
E
B
AE AB 8 4 22
·
O
在Rt △ AOE 中
证形明．：∵OE⊥AC OD⊥AB AB⊥AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
C
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
E
·O
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形. A
D
B
3、已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D 两点图，中A相B等=8的cm线,C段D=有3c:m,大
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
试一试P93 11
挑战自我画一画
▪ 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一 条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
A
B ●M
●O
③ AM=BM,
C
A M└ ●O
B 你可以写出相应的命题吗? 并证明它。
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推 得
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
·O
E
A
B
D
１、︵ 如︵图(1)，⊙O中，弦AB⊥弦CD于点Ｅ， 则AＣ=BＣ ２Ａ、Ｂ交如于图点(Ｅ2)，Ｃ则ＤA是Ｅ直=B径Ｅ，，AA︵ＣB是=B弦︵Ｃ，CD交
为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
O.
即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作
A
CE
D
B
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂 直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方
圆的半径为５cm，求小圆
O.
A CE D B
的半径。
A
4、:如图，CD为圆O的
直径，弦AB交CD于E，
M
∠CEB=30°，DE=9㎝， D CE=3㎝，求弦AB的长。
E C
O B
练习１
：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
A
练习2 :在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
E
A
B
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
D
已知：AB是弦，CD是直径，
CD⊥AB
结论：AE=BE
Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ A
你能用语言表示上述结论吗？
C
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆中
一个重要的结论,
Ｏ
垂径定理： 三种语言要相互
可以发现：
圆是轴对称图形，何
一条直径所在直线都
●O
是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对
称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？
为什么？
C
（1）圆是轴对称图形．直径
CD所在的直线是它的对称轴
·O
（2）线段：AE=BE
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 A ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ，
P
B
O
2.已知：如图，在以O为圆心的两
个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。你认为AC和BD有什么关系？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我 国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳 与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？
Ａ
Ｅ Ｂ
转化,形成整体, 才能运用自如.
Ｄ
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒
⑤AD=BD.
垂径定理的推论
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
３、 如图(3)，⊙O中，弦AB⊥直线CD于
点Ｅ，则AＥ=BＥ
４、 如图(4)，⊙O中，︵弦AB⊥︵半径ＯD
于点Ｅ，则AＥ=BＥ，ＡＤ＝ＢＤ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
ＡＥ
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
Ｏ ＥＢ
Ｄ 如图（4）
解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用 A⌒B 表示主桥 AB 拱，设A⌒B所在圆的