垂径定理

2011-9-20
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
归纳：圆是轴对称图形， 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任 意一条过圆心的直线
2011-9-20
探索垂径定理
驶向胜利 的彼岸
做一做： 做一做：按下面的步骤做一做 在一张纸上任意画一个⊙ 沿圆周将圆剪下， 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆 对折，使圆的两半部分重合． 对折，使圆的两半部分重合． 得到一条折痕CD CD． 2．得到一条折痕CD． 上任取一点A 过点A CD折痕 的垂线， 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的 折痕，其中， 是两条折痕的交点，即垂足． 折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B 如图. 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图. 问题：（ ）右图是轴对称图形吗？ 问题：（1）右图是轴对称图形吗？ ：（ 如果是，其对称轴是什么？ 如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？ ）你能发现图中有哪些等量关系？
随堂练习P 随堂练习 9210
挑战自我垂径定理的推论 挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相 等吗? 等吗 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况 这两条弦在圆中位置有两种情况: 老师提示 1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 两条弦在圆心的两侧
2011-9-20
探索垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦 不是直径 ，作一条 想一想：如下图示， 是 的弦(不是直径 想一想 的弦 不是直径)， 平分AB的直径 的直径CD， 于点M． 平分 的直径 ，交AB于点 ． 于点 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（ ）此图是 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1） ：（ 轴对称图形吗?如果是 其对称轴是什么?（ ） 如果是， 轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
• 垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 圆的两条平行弦所夹的弧相等
赵州石拱桥 赵州石拱桥
1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱 多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图)的桥拱 多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图 是圆弧形,它的跨度 弧所对是弦的长)为 它的跨度(弧所对是弦的长 拱高(弧的中 是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为 37.4 m,拱高 弧的中 拱高 点到弦的距离,也叫弓形高 也叫弓形高)为 求桥拱的半径(精确到 点到弦的距离 也叫弓形高 为7.2m,求桥拱的半径 精确到 求桥拱的半径 0.1m).
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？ 两题的启发，你能总结出什么规律吗？
C
O E A D B
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离 、 对于一个圆中的弦长 、圆心到弦的距离d、圆半 径r、弓形高 ，这四个量中，只要已知其中任意两 、弓形高h，这四个量中， 个量，就可以求出另外两个量，如图有： 个量，就可以求出另外两个量，如图有：
24.2.1垂径定理
驶向胜利 的彼岸
I．创设问题情境，引入新课 ．创设问题情境，
问题： 问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形， 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义? 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的? 什么方法研究轴对称图形的?
2011-9-20
A
P
O
B
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 1.在半径为30㎜ 在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm 。 AB的距离是= 的距离是 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明： 证明：过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 O ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － 即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法． 是一种常用辅助线的添法．
37.4m
例1.
C
7.2m
A R
D
B
O
船能过拱桥吗
变形题： 变形题：
如图,某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为 如图 某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 米,拱顶高出 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7.2米 拱顶高出 水面2.4米 现有一艘宽 现有一艘宽3米 水面 米.现有一艘宽 米、船舱顶部为长方形并高出水 米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗 面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
2011-9-20
说一说你的理由。 说一说你的理由。
驶向胜利 的彼岸
总结得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧。 且平分弦所对的弧。
归纳：
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为 半径为Rm, 解:如图 用 AB 表示桥拱 AB 所在圆的圆心为 半径为 如图 经过圆心O作弦 的垂线OD,D为垂足 与 AB 相交于点 根 作弦AB的垂线 为垂足,与 相交于点C.根 经过圆心 作弦 的垂线 为垂足 据垂径定理,D是 的中点 的中点,C是 的中点,CD就是拱高 就是拱高. 据垂径定理 是AB的中点 是 AB的中点 就是拱高 由题设得 AB = 7.2, CD = 2.4, HN = 1 MN = 1.5.
2
OD = OC − DC = R − 2.4.
Rt△OAD中 由勾股定理， 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
1 1 AD = AB = × 7.2 = 3.6, 2 2
OA2 = AD 2 + OD 2 ,
即R 2 = 3.6 2 + ( R − 2.4) 2 .
△ 中 由勾股定理， 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 （ ）
a 2
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r = d +( ) 2
2 2
试一试P 试一试 93 12
挑战自我填一填 挑战自我填一填
1、判断： 、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两 条弧. 条弧 （ r） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. 另一条弧 （√ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （
由 ① CD是直径 是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
②CD⊥AB, ⊥
平分弦（ 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧
想一想P 想一想 91 8
知“二”推“三”
如图,在下列五个条件中 如图 在下列五个条件中: 在下列五个条件中 ⌒ ⌒ ⊥ 过圆心的直线, ① 过圆心的直线 ② CD⊥AB,③ AM=BM, ④AC=BC,
.
D
B
讲例
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是 例 如右图所示 如右图所示， 一段圆弧(即图中⌒， 的圆心)， 一段圆弧 即图中CD，点O是⌒的圆心 ， 即图中 是CD的圆心 其中CD=600m，E为⌒上一点，且 ， 为CD上一点 上一点， 其中 OE⊥CD，垂足为 ，EF=90 m．求这段弯 ⊥ ，垂足为F， ． 路的半径． 路的半径．
⌒ ⌒ 只要Βιβλιοθήκη 备其中两个条件,就可推出其余三个结论 就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论
C
A
M└ └
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的! 相信自己是最棒的
D
C
想一想P 想一想 91 9
垂径定理及逆定理
命题
A
M└ └
驶向胜利 的彼岸
•[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了. [分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了. OC OC的长便可以了 因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝ cm，OF＝OE-EF， 因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF， OE⊥CD CF 此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程. 此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程. Rt 利用勾股定理便可列出方程
A B D C
●
A C
●
O
O
B D
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
第二课时 应用
忆一忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧. 并且平分弦所的两条弧
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条 弧.