(完整word版)垂径定理典型例题及练习

典型例题分析：

例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（ ）．

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深

度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.

2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的

最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形.

（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．

5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是

的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.

O A E F

例题3、度数问题

1、已知：在⊙O中，弦cm

12

=

AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB

∠的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径1

=

OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC

∠的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的

半径分别为b

a,.求证：2

2b

a

BD

AD-

=

⋅.

例题7、平行与相似

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于

CD

AE⊥E，CD

BF⊥于F.求证：FD

EC=.

A B

D

C

E

O

作 业： 一、概念题

1．下列命题中错误的有（）

（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦

（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）

（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤

（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<

3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的

是（ ）

A ．DE CE =

B ．

C ．BA

D BAC ∠=∠ D ．AD AC >

4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等

弧有（ ）对。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

二、垂径定理

1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .

2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm

3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm

4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高

_____=CD m.

5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽

24=AB ，则水管中水深是_______cm.

6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，

则OM 的长为（ ）

A ．3cm

B ．2cm

C ．1

D ．3cm

8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE

的长是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）

A ．5cm

B ．10cm

C ．55cm

D ．73cm

10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）