冀教版-数学-九年级上册-垂径定理典型例题
冀教版九年级数学 28.4 垂径定理(学习、上课课件)
C. 21 cm D. 2 21 cm
感悟新知
解题秘方：连接半径，构造垂径定理的基本图形 . 知1－练
解：如图 28-4-2， 连接 OA.
∵ OE=2 cm， DE=7 cm，
∴ OD=5 cm，
在使用垂径定理时，若已知圆心，作 垂直于弦的半径(或直径)或连接圆
∴ OA=5 cm， 心和弦的一个端点(即连半径)，是
感悟新知
拓宽视野 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个
条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： (1)过圆心； (2)垂直于弦； (3)平分弦（非直径）； (4)平分弦所对的劣弧； (5)平分弦所对的优弧 .
简记为“知二推三” .
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 如图 28-4-4， AB， CD 是⊙ O 的弦， M， N 分别为 AB，CD 的中点，且∠ AMN= ∠ CNM. 求证： AB=CD.
感悟新知
知2－练
解题秘方：根据弦的中点作符合垂径定理推论的 基本图形，再结合全等三角形的判定 和性质进行证明 .
感悟新知
证明：如图 28-4-4，连接 OM， ON， OA， OC. 知2－练
∵ O 为圆心，且 M， N 分别为 AB， CD 的中点， ∴ AB=2AM， CD=2CN， OM ⊥ AB， ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM， ∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，
CD 是直径， CD ⊥ AB，
⌒AE=B⌒E， ൠ⇒ቐA⌒D = B⌒D ，
AC = BC .
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P164 例 ]如图 28-4-2，⊙ O 的直径 CD 垂 直弦 AB于点 E，且 OE=2 cm， DE=7 cm，则 AB 的 长为( )
冀教版九年级数学上册《圆》28.4 垂径定理
【思路点拨】台风是否会影响 B 市，由 B 到 PQ 的距离与 200 km 的大小关系来确定；
精彩一题
解：如图，作 BH⊥PQ 于点 H.在 Rt△BHP 中，由已知条件易知 BP＝320 km，∠BPQ＝75°－45°＝30°. ∴BH＝12BP＝160 km＜200 km. ∴台风会影响 B 市．
11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，CE＝DE， ︵︵
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②BC＝BD；③OE＝BE； ④△CBE≌△DBE. 其中一定正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
课后训练
12．如图，M 为⊙O 内任意一点，AB 为过点 M 的一条弦，且 AB⊥OM.求证：
课堂导练
8．(1)平分弦(不是直径)的直径__垂___直___于弦，并且___平__分___弦 所对的弧；
(2)平分弧的直径__垂___直__平__分___弧所对的弦． 以上两个推论的依据都是圆的轴对称性．
课堂导练
9．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是一条不过圆心的弦，E 是 AB 的中点，则下列结论不．正．确．的是( D )
课后训练
(2)若 AB＝8，求 CD 的长． 解：∵AB＝8，∴OC＝OB＝12AB＝4. 由(1)知 BE＝OE，∴OE＝2. 在 Rt△OCE 中，CE＝ OC2－OE2＝ 16－4＝2 3， ∴CD＝2CE＝4 3.
精彩一题 15．如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台
新冀教版九年级上《28.4垂径定理》练习题含答案
28.4 垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米答案：B★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或4 cmD ． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3答案：C二.填空题★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm 的圆中，弦的长为8cm ，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米答案： cm★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.答案： cm★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm答案：★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________AB图 4答案：★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm答案：6★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米 答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理典型例题及练习(供参考)
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
2020-2021冀教版数学九年级上册 28.4 垂径定理
拓展训练2020年冀教版数学九年级上册28.4 垂径定理基础闯关全练1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB= 36°，则∠BCD的度数是( )A.18°B.36°C.54°D.72°2．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是( )A．3 B．2.5 C．2 D．13．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8 cm，求直径AB 的长.4．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB= 16 m，半径OA=10 m，则中间柱CD的高度为____________m．5．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为________.能力提升全练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE= 120°，则∠CAD=____________.2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB= 16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是________米．3．如图，已知在⊙O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为点E ，AB 被分成4 cm 和10cm 的两段．(1)求圆心O 到CD 的距离；(2)若⊙O 的半径为8 cm ，求CD 的长．三年模拟全练一、选择题1．（2018河北邢台南和实验中学期末，4，★☆☆）如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ，若PA=2，PB=8，则CD 的长为 ( )A.52B.4C.8D.542．（2018河北唐山丰润一模，12，★★☆）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，∠A= 22.5°，OC=4，则CD 的长为 ( )A ．4B ．8C ．22D ．243．（2019河北保定满城期中，10，★★☆）如图，在半径为10 cm 的圆形铁片上，切下一块高为4 cm 的弓形铁片，则弦AB 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．16 cmD ．20 cm二、填空题4．（2017江苏盐城东台第一教育联盟期中，14，★☆☆）如图，在⊙O 中，直径AB= 10，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，OE=3，则弦CD 的长是___________.5．（2019河北衡水武邑中学月考，19，★★☆）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，BC.(1)求证：∠ACO=∠BCD；(2)若EB=8 cm，CD= 24 cm，求⊙O的直径.五年中考全练一、选择题1．（2018广东广州中考，7，★☆☆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC= 20°，则∠AOB的度数是( )A．40°B．50°C．70°D．80°二、填空题2．（2017四川广元中考，14．★★☆）已知⊙O的半径为10，弦AB// CD，AB= 12，CD= 16，则AB与CD之间的距离为__________.核心素养全练1．（2019河北唐山路南期中）如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，P是弦AB 上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2．（2018安徽中考）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．基础闯关全练1.B ∵AB 是直径，AB ⊥CD ， ∴，∴∠BAD= ∠CAB=36°，∵∠BCD= ∠BAD ，∴∠BCD=36°，故选B ．2.C 连接OA ，设CD=x ，∵OA=OC=5．∴OD= 5-x ，∵在⊙O 中，OC ⊥AB 于点D ，AB=8，∴AD=4，在Rt △ODA 中，由勾股定理得5²= 4²+( 5-x)²，解得x=2或x=8（不合题意，舍去），∴CD=2，故选C ．3．解析 连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，CD=8 cm ，∴CM=DM=21CD=4 cm ， ∵M 是OB 的中点．∴OM =21OB=21OC ．在Rt △OCM 中，由勾股定理得OC ²= OM ²+CM ²．∴2224OC 41OC +=，∴338OC =cm ， ∴直径AB 的长为3316cm ．4．答案4解析 ∵OC 垂直平分AB ，AB= 16 m ，∴AD=8 m ．∵OA= 10 m ，∴，∴CD=OC-OD=10-6=4(m).5．答案 417解析 连接OD ，设所在圆的半径为x ，则OE=OD=x ，∵M 是CD 的中点，CD=4，∴DM=21CD=2，∵EM=8，∴OM=EM-OE= 8-x ，又∵EM ⊥CD ，∴△ODM 是直角三角形，∴OD ²=OM ²+DM ²，即x ²=（8-x ）²+2²，解得417x .能力提升全练1．答案40°解析 ∵AO ⊥BC ，∴BF=FC ，∴AB=AC ，∴．∴∠ABC=∠ACB ，∵D 为的中点，∴，∴∠ACD=∠CAD ，∴，∴∠ACB=2∠ACD ，又∵∠DAE= 120°，∠BAD+∠BCD= 180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BCD= 120°， ∵∠BCD= ∠ACD+∠ACB=3∠ACD ，∴∠ACD=31×120°=40°，∴∠CAD= 40°，故答案为40°．2．答案10解析 设圆弧形桥拱所在圆的圆心为O ，连接BO ，DO ，则 AD=BD ，OD ⊥AB ，∵AB= 16米，∴BD=AD=8米，设BO=x 米，则DO=(x-4)米，故8²+(x-4)² =x ²，解得x= 10，即圆弧形桥拱所在圆的半径是10米．故答案为10.3．解析 (1)过点O 分别作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，则∠ONE= ∠OME=90°， ∵AB ⊥CD ，∴∠NEM= 90°，∴四边形ONEM 是矩形，∴ON=EM ．∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB=21×(4+10)=7 cm ，∴EM= 7-4=3 cm ，∴ON=3 cm ，即圆心O 到CD 的距离为3cm.(2)连接OD ，∵ON ⊥CD ，∴ ND=21CD ，∵ON=3 cm ，OD=8 cm ，∴. ∴cm.三年模拟全练一、选择题1.C 在⊙O 中，BA 为直径，且BA ⊥CD ，垂足为P ，所以PC=PD ，连接AC ，BD ，易证△PAC ∽△PDB ，所以，即PC ·PD=PA ·PB ，因为PA=2，PB=8，PC=PD ，所以PC ²= 2×8=16，所以PC=4，所以CD=2PC=8．故选C ．2.D ∵CO =AO ，∠A= 22.5°，∴∠OCA=∠OAC= 22.5°，∴∠COE= 45°，∴CD ⊥AB ，∴∠CEO=90°，CD=2CE ，又∠COE =45°，∴CE ＝CO ·sin45°=4×2222=，∴24CD =，故选D ．3.C 如图，过O 作OD ⊥AB 于C ，交⊙O 于D ，∵CD=4 cm ，OD=10 cm ，∴ OC=6 cm ，又∵Rt △BCO 中，OB= 10 cm ，∴，∴AB= 2BC= 16 cm.故选C ．二、填空题4．答案8解析 连接OC ，∵直径AB= 10，∴，∵CD ⊥AB ，∴CD= 2CE ，在Rt △OCE 中，CE ²+OE ²= OC ²，即CE ²+3²= 5²，解得CE=4，∴CD= 2CE= 2×4=8．三、解答题5．解析 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD+ ∠ACE= 90°．又∠ACE+∠CAB=90°，∴∠BCD=∠BAC.∵OA=OC ，∴∠OAC= ∠OCA.∴∠OCA=∠BCD.(2)设⊙O 的半径为r cm ，则OE=OB-EB=(r-8)cm ，∵AB ⊥CD ，CD=24 cm ，∴CE=21CD=21×24=12 cm ，在Rt △CEO 中，由勾股定理可得OC ²= OE ²+CE ²，即r ²=(r-8)²+12²，解得r= 13，∴2r= 2×13= 26.答：⊙O 的直径为26 cm.五年中考全练一、选择题1.D ∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，∴，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB= 80°．故选D ．二、填空题2．答案2或14解析 过点O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连接OA 、OC ，∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD ，AB= 12，CD= 16，∴AE=BE=21AB=6，CF=DF=21CD=8，在Rt △AOE 中，，在Rt △OCF 中，，当点O 在AB 和CD 之间时，如图1，EF=OE+OF=8+6=14;图1当点O 不在AB 和CD 之间时，如图2，EF=OE-OF=8-6=2，图2∴AB 与CD 之间的距离为2或14.核心素养全练1.D 如图，连接OA ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵⊙O 的直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，当OP ⊥AB 时OP 有最小值，则AD=21AB=4 cm ，由勾股定理得 cm ．∴OP 的最小值为3 cm;当OP 与OA 重合时，OP 有最大值，最大值为5 cm ，∴在弦AB 上，使OP 的长为3 cm 的点有1个，使OP 的长为4 cm 的点有2个，使OP 的长为5 cm 的点有2个，故P 在AB 上有5个点符合题意，故选D ．2．解析 (1)如图，AE 为所求作．(2)连接OE ，交BC 于F ，连接OC ，如图，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE= ∠CAE ，∴，∴OE ⊥BC ．∴EF=3，∴OF =5-3=2，在Rt OCF 中，， 在Rt △CEF 中，．。
06-28.4 垂径定理_九年级上册数学冀教版
过基础 教材必备知识精练
过能力 学科关键能力构建
快速核答案过基础 教材必备知识精练 知识点1 垂径定理 1.C 2.C 3.C 4.A 5. 6.26 知识点2 垂径定理的推论 7.D 8.B 9.5 过能力 学科关键能力构建
1.4 2. 3.1或7 4.
5.（1）证明：如图，连接.，是的中点，，，.，，.
【解题通法】利用垂径定理求线段长的方法 连半径（圆心与弦的端点）或过圆心作弦的垂线，构造由弦长的一半、半径、弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理求解.
知识点2 垂径定理的推论
7.下列说法正确的是( )
D
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;②平分弦的直径平分弦所对的弧;③垂直于弦的直线必过圆心;④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
4
【解析】 点是弧的中点， 是的直径，， ，，. 点是弦 的中点，，， ，，，三点共线， .
2.如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点 作交于点，则 的最大值为__.
第2题图
【解析】 如图，连接.设的半径为 ， ，， 当的值最小时， 的值最大（圆的半径长为定值）.当时， 的值最小（垂线段最短），此时
（1）求证： .
证明：如图，连接 .，是 的中点，，， .，， .
（2）若，，求 的半径.
解：设的半径为，则 .， .，是的中点， .由（1）知， ，在中， ，即 ，解得， 的半径为3.
一题练透
圆的基本性质的相关计算
如图1，是的直径，点，在圆上，连接，，，， 与交于点 .
图1
图2
（1）若 ，则____ .
9.[2024龙岩永定区期中]如图，是的弦，是的中点，交 于点．若，，则的半径为___ ．
初中数学冀教版九年级上册第二十八章 圆28.4 垂径定理-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于______.【答案】6【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB=16，∴AD=AB=×16=8，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，即102=OD2+82，解得，OD=6．故答案为：6．2.【答题】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=4，0C=2，则半径OB的长为______．【答案】4【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】连接OB，∵OC⊥AB于C，AB=，∴BC=AB=×=，在Rt△OBC中，∵OC=2，BC=，∴OB==4，故答案为：4．3.【答题】如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴，y轴交于B，C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为______．【答案】5【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．4.【答题】如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______．【答案】16【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】连接OA，⊙O的直径CD=20，则⊙O的半径为10，即OA=OC=10，又∵OM：OC=3：5，∴OM=6，∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM=BM，在Rt△AOM中，AM==8，∴AB=2AM=2×8=16，故答案为：16．5.【答题】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC=75°，BC=cm，则OC的长为______cm．【答案】4【分析】根据垂径定理解答即可. 连接．根据已知角度关系证明为等腰直角三角形求解．【解答】解：连接OA，OB.因为AB垂直平分半径OD，所以所以又因为所以又因为OB=OC，所以则△OBC是等腰直角三角形,所以故答案为：4.6.【答题】⊙O的半径为25 cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝30 cm，CD ＝48 cm，则AB和CD之间的距离为______ cm.【答案】13或27【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】如图,①当AB与CD在直径的一侧时,在Rt△AOF中，∵OA=25cm，AF=15cm，∴OF=20cm.同理OE=7cm，∴平行线AB与CD的距离为20−7=13cm；②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为20+7=27cm.故答案为：13或277.【答题】已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为______厘米．【答案】8【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】解：如图，弓形AB的高CD=2厘米，连接OA，Rt△OAD中，OA=5cm，OD=OC-CD=3cm，根据勾股定理，得AD=4cm，故AB=2AD=8cm．即这个弓形的弦长是8厘米．故答案为：8.8.【答题】如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=______cm．【答案】8【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】连接AO，则AO=OD=13cm．∵AB⊥OD，∴AC=AB=12．在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，，∴CD=OD-OC=13-5=8．故答案为8．9.【答题】下列说法中正确的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；④平分弦的直线，必定过圆心；⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，故①正确；在命题②中，两条直径是相互平分的，所以②是错误的；平分弦的直线不是直径一定不垂直这条弦，故③错误；平分弦的直线不是直径一定不过圆心，故命题④错误；平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，因为当弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不垂直，也不平分这条弦所对的弧，故⑤错误；正确的一个，选A.10.【答题】如图，，，，为⊙上的点，于点，若，，则的长为（）．A.B.C.D.【答案】B【分析】根据垂径定理解答即可. 【解答】解：∵，∴．又∵，∴．∵，∴．∴．∴．．故选．11.【答题】下列命题中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧；B. 三点确定一个圆；C. 相等的圆心角所对的弧相等；D. 垂直弦的直径平分这条弦.【答案】D【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；D、垂直弦的直径平分这条弦，正确，选D.12.【答题】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A. 2cmB. cmC.D.【答案】C【分析】根据垂径定理解答即可.在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD 的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA.根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2 cm．选C.13.【答题】如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】∵ON⊥AB，∴AN=AB=12，∴在Rt△AON中，ON===5.选A.14.【答题】下列说法错误的是（）A. 垂直于弦的直径平分弦B. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧C. 平分弦的直径平分弦所对的弧D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦【答案】C【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项A、B正确；C中，当被平分的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.选C.15.【答题】如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M，CM＝2，则AB 的长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M，∴AB=2AM，OA=OC=5，又∵CM=2，∴OM=OC-CM=5-2=3，∴在Rt△OAM中，AM=，∴AB=2AM=8.选D.16.【答题】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交O于D，则AC=AB=4，由勾股定理得,OC==3，所以CD=OD-OC=2故O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个，选C.17.【答题】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】过点O作OD⊥AB交⊙O于点D,交AB于点E,因为半径为5,点O到弦AB的距离为3,所以OD=5,OE=3,所以DE=OD-OE=5-3=2,所以点D到弦AB所在直线的距离为2,在AB所在直线上方,在OE上取EH=ED,过H作AB的平行线与⊙O有两个交点F,G,显然点F,G到弦AB所在直线的距离为2,所以, ⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点共有3个,选C.18.【答题】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A. AD=BDB. OD=CDC. ∠CAD=∠CBDD. ∠OCA=∠OCB【答案】B【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】DO=CD.理由如下：∵在O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，∵DO=CD，∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形.选B.19.【答题】如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A. B. 2+ C. D.【答案】B【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA.∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1.∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1,∴PD=.∵P的圆心是(2,a)，∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+2.选B.20.【答题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知，CD=8，AE=2，则⊙O的半径长是（）A. 10cmB. 6cmC. 5cmD. 3cm【答案】C【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：如图所示，连接OC，设半径为R，∵AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，∴∠CEO=90∘，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，即，R2=42+(R−2)2，解得：R=5，则O的半径长是5cm，选C.。
冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 最新课件
AEB
O·
当堂检测：
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则A2B4= cm。
AE
B
·O
• 方法提炼：涉及半径、弦长、圆心到弦距 离的计算时，通常作半径，及过圆心作弦 的垂线，构造以半径为斜边的直角三角形 ，利用垂径定理和勾股定理解决。
温馨提示
·O
计算中常用勾股定理 呀！
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外）？为什么？
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
AE=BE ⌒⌒ A⌒C=B⌒C
O·
AD=BD
A
E
B
D
请用证明的方式，验证猜 想的正确性。
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
C
D
E
O·
B
当堂检测：
2、如图，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm,则⊙O的半径是10 cm。
A
EB
· O
当堂检测：
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
⊙O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离
是 3cm 。
证一证：
已知： CD是圆0的直径， AB为弦，且AB⊥CD，
垂足为E。
C
求证：AE=BE，A⌒D=B⌒D， A⌒C=B⌒C．
O·
说一说：
A
E
B
D
你能把上述的条件及结论归纳成定理
吗？
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,
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垂径定理
例1. 选择题：
（1）下列说法中，正确的是（）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 两个半圆是等弧
C. 半径相等的弧是等弧
D. 直径是圆中最长的弦答案：D
（2）下列说法错误的是（）
A. 圆上的点到圆心的距离相等
B. 过圆心的线段是直径
C. 直径是圆中最长的弦
D. 半径相等的圆是等圆答案：B
例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结OC.OD
∵M、N分别是OA.OB的中点
∵OA＝OB，∴OM＝ON
又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD
∴Rt△OMC≌Rt△OND
∴∠AOC＝∠BOD
例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。
分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E
∵AB＝12
由垂径定理知：
∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB.BC分别交于点D.E。
求AB.AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4
∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB
∴△AFC∽△ACB
例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M
∵点P在AB上，PA＝4cm
即⊙O的半径为7cm。
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：如图，设圆拱所在圆的圆心为O，半径为r，CD为拱高
则OC⊥AB于D
答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。