经典垂径定理教案
2024版人教版九年级上册《垂径定理》教案
人教版九年级上册《垂径定理》教案目录•课程介绍与目标•知识回顾与铺垫•垂径定理的引入与证明•垂径定理在几何问题中的应用•垂径定理在生活中的实际应用•课堂练习与巩固提高•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与目标教材版本及内容概述教材版本人教版九年级上册内容概述本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。
感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。
教学方法与手段教学方法采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。
教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推论。
同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。
02知识回顾与铺垫圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。
直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆中，所有的半径都相等。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。
030201直径、半径、弦等概念顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧的长度与圆心角的度数成正比。
弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系03垂径定理的引入与证明垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
垂径定理优秀教案
记录与整理
每个小组安排一名记录员，负责 记录讨论过程中的重要观点和问 题。讨论结束后，由组长组织整 理讨论成果，准备向全班汇报。
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学生自主设计问题并求解
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问题设计
鼓励学生们结合垂径定理的内容，自主设计一些具有挑战 性的问题。问题可以涉及到证明、计算、应用等方面。
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物理学中的应用
在物理学中，垂径定理可用于解决与圆相关的运动问题，如圆周 运动、简谐振动等。
工程学中的应用
在工程学中，垂径定理可用于计算圆的弧长、面积等参数，以及解 决与圆相关的设计问题。
数学其他分支中的应用
垂径定理还可应用于数学的其他分支，如解析几何、三角函数等， 为解决相关问题提供新的思路和方法。
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01
圆的周长（或称为圆的周长）
C = 2πr，其中r为圆的半径。
02
圆的面积
A = πr^2，其中r为圆的半径。
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垂径定理的推导与证明
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垂径定理的推导过程
引入概念
首先，通过图形和实例引 入垂径和垂径中点的概念 ，为后续推导打下基础。
构建辅助线
在圆中，作过圆心与垂径 垂直的辅助线，将垂径分 为两段，并标出相应的点 。
垂径定理优秀教案
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目录
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• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 垂径定理的推导与证明 • 垂径定理的应用举例 • 学生自主探究活动 • 课程总结与拓展延伸
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01
课程介绍与目标
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3
垂径定理的概念
垂径定理优秀教案
垂径定理优秀教案一、创意教学目标1. 知识与技能目标-学生能够准确说出垂径定理的内容，并能用数学语言进行表述。
“同学们，咱得知道啥是垂径定理哈。
就是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这可重要啦，得牢牢记住！”-学会运用垂径定理进行简单的几何计算和证明。
“咱学这个定理可不是光嘴上说说，得会用它做题。
比如说，给你一条弦和一个圆的直径，让你求弦长啥的，咱得会算。
”-能够通过观察、分析图形，发现并运用垂径定理解决实际问题。
“生活中也有很多跟垂径定理有关的事儿呢，咱得有双善于发现的眼睛，用这个定理去解决实际问题。
”2. 过程与方法目标-经历垂径定理的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳能力。
“咱一起好好观察这些图形，看看能发现啥规律。
然后分析分析，最后归纳出垂径定理。
这个过程很重要，能让咱的脑袋瓜越来越灵。
”-通过小组讨论、合作学习，提高学生的交流与合作能力。
“同学们分组讨论讨论，说说自己对垂径定理的理解。
大家一起商量商量怎么用这个定理做题，互相学习，共同进步。
”-运用数学实验法，让学生亲身体验垂径定理的应用，培养学生的实践操作能力和创新思维。
“咱来做个小实验，用圆规和直尺画个圆，再画一条弦，然后用直径去垂直这条弦，看看有啥发现。
这样能让咱更好地理解这个定理。
”3. 情感态度与价值观目标-激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索的精神。
“这个垂径定理可有意思啦！大家好好探索探索，说不定能发现一些新的东西呢。
要有勇于探索的精神，别怕犯错。
”-让学生体会数学的美和实用性，增强学生学习数学的信心。
“看看这些图形，多漂亮啊！而且这个定理在生活中也很有用呢。
学好了数学，咱以后干啥都有底气。
”-培养学生的团队合作意识和竞争意识，提高学生的综合素质。
“小组之间可以比一比，看哪个组对垂径定理理解得更透彻，做题做得又快又好。
这样能让大家更有动力，也能培养咱的团队合作意识和竞争意识。
”二、独特教学重点与难点1. 教学重点-垂径定理的内容及应用。
3.3 垂径定理 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
垂径定理初中教案
垂径定理初中教案1. 知识与技能：通过观察、实验和证明，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。
2. 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3. 情感态度价值观：培养学生类比分析、猜想探索的能力，通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
二、教学重难点1. 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理。
2. 教学难点：垂径定理的证明。
三、教学过程1. 导入：回顾轴对称图形的概念和性质，引出圆也是轴对称图形，并提问：圆的轴对称性有哪些应用？2. 探索：让学生分组进行实验，观察和记录圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现垂径定理。
3. 证明：引导学生运用已学的三角形全等的知识，证明垂径定理。
在此过程中，教师应给予学生适当的提示和引导，帮助学生完成证明。
4. 应用：让学生运用垂径定理解决一些有关的证明与计算问题，巩固所学知识。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现垂径定理。
2. 利用分组实验，让学生亲身体验和观察圆的轴对称性，增强学生的实践能力。
3. 在证明过程中，引导学生运用已学的三角形全等的知识，培养学生的逻辑思维能力。
4. 设计一些有关的证明与计算问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在探索和证明过程中的表现。
2. 课后作业：布置一些有关的证明与计算问题，检验学生对垂径定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，共同提高。
六、教学反思本节课通过观察、实验和证明，使学生掌握了垂径定理，并能够运用它解决有关的证明与计算问题。
在教学过程中，注重了学生的参与和实践，培养了学生的逻辑思维能力和应用能力。
同时，通过问题驱动的教学方法，激发了学生的学习兴趣和探索精神。
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垂直于弦的直径（第一课时）教案
教学目标：
1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；
在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学
的热爱。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。
教学用具：圆规，三角尺，PPT 课件 教学过程： 一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）
2、实验：探究圆的轴对称性。
如图（1），若将⊙O 沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现：
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。
3、引入新知：如图（2），左图中AB 是⊙O 的弦，直径CD 与弦AB 相交，那么沿直径CD 所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB 是⊙O 的弦，直径C D ⊥AB,垂足为E 。
此时再沿直径CD 所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。
B
（1）
（2）
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二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。
可能出现的数量关系是：
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。
板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。
练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直
线或线段。
（三）例题
例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm。
求：⊙O的半径。
变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为3cm，⊙O的半径为5cm。
求：弦AB的长为多少？
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。
例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
3文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.
求证:AC=BD.
（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）
变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD 。
变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接
OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接
OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂
线段。
遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
① 经过圆心 得到 ① 平分弦
一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧
3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业
1、整理垂径定理的证明过程。
2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。
3、课本P82，练习2.
（4）
A
B
（7）。